PAGE10-核心素養測評二十七平面對量的數量積及平面對量的應用(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若a·b=1,則x= ()A.-1 B.-QUOTE C.QUOTE D.1【解析】選D.a·b=1×2+(-1)×x=2-x=1,所以x=1.2.(2024·十堰模擬)若夾角為θ的向量a與b滿意|b|=|a-b|=1,且向量a為非零向量,則|a|= ()A.-2cosθ B.2cosθC.-cosθ D.cosθ【解析】選B.因為|b|=|a-b|=1,所以b2=a2-2a·b+b2,a2=2a·b,|a|2=2|a||b|cosθ,因為a為非零向量,所以|a|=2|b|cosθ=2cosθ.3.(多選)在直角坐標平面上,=(1,4),=(-3,1),且與在直線l的方向向量上的投影的長度相等,則直線l的斜率k的值為 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】選BC.設直線l的一個方向向量為v=(1,k),由題意可得=,所以|1+4k|=|-3+k|,解得k=QUOTE或-QUOTE.4.(2024·廣州模擬)已知非零向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|a-2b|=2,則|b|等于 ()A.4 B.2 C.QUOTE D.1【解析】選D.因為|a-2b|=2,所以|a-2b|2=4,a2-4a·b+4b2=4,4-4·2|b|cos60°+4|b|2=4,解得|b|=1.(|b|=0舍去)5.(2024·山東新高考模擬)設向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1),且(a-λb)⊥c,則λ= ()A.3 B.2 C.-2 D.-3【解析】選A.由題,得a-λb=(1+λ,1-3λ),由(a-λb)⊥c,從而2×(1+λ)+1×(1-3λ)=0,解得λ=3.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知△ABC的三邊長均為1,且=c,=a,=b,則a·b+b·c+a·c=________.

【解析】因為<a,b>=<b,c>=<a,c>=120°,|a|=|b|=|c|=1,所以a·b=b·c=a·c=1×1×cos120°=-QUOTE,a·b+b·c+a·c=-QUOTE.答案:-QUOTE7.已知向量m與n滿意|m|=1,|n|=2,且m⊥(m+n),則向量m與n的夾角為________. 世紀金榜導學號

【解析】設m,n的夾角為θ,因為m⊥(m+n),所以m·(m+n)=m2+m·n=1+1×2cosθ=0,所以cosθ=-QUOTE,又θ∈QUOTE,所以θ=QUOTE.答案:QUOTE【變式備選】已知向量a,b滿意|a|=|b|=2且(a+2b)·(a-b)=-2,則向量a與b的夾角為________.

【解析】設a與b的夾角為θ.由已知a2-2b2+a·b=-2,4-8+4cosθ=-2,cosθ=QUOTE,又θ∈[0,π],所以θ=QUOTE,即a與b的夾角為QUOTE.答案:QUOTE8.設e1,e2為單位向量,其中a=2e1+e2,b=e2,且a在b上的投影為2,則a·b=________,e1與e2的夾角為________.

【解析】設e1,e2的夾角為θ,因為a在b上的投影為2,所以=2e1·e2+|e2|2=2|e1|·|e2|cosθ+1=2,解得cosθ=QUOTE,則θ=QUOTE.a·b=(2e1+e2)·e2=2e1·e2+|e2|2=2|e1|·|e2|cosθ+1=2.答案:2QUOTE【變式備選】已知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點,則·的值為________;·的最大值為________.

【解析】以射線AB,AD為x軸,y軸的正方向建立平面直角坐標系,則A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),設E(t,0),t∈[0,1],則=(t,-1),=(0,-1),所以·=(t,-1)·(0,-1)=1.因為=(1,0),所以·=(t,-1)·(1,0)=t≤1,·的最大值為1.答案:11三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知|a|=4,|b|=8,a與b的夾角是120°. 世紀金榜導學號(1)計算:①|a+b|,②|4a-2b|.(2)當k為何值時,(a+2b)⊥(ka-b).【解析】由已知a·b=4×8×QUOTE=-16.(1)①因為|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-16)+64=48,所以|a+b|=4QUOTE.②因為|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=768,所以|4a-2b|=16QUOTE.(2)因為(a+2b)⊥(ka-b),所以(a+2b)·(ka-b)=0,ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,即16k-16(2k-1)-2×64=0,k=-7,所以當k=-7時,a+2b與ka-b垂直.10.在平面直角坐標系xOy中,點A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以線段AB,AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長.(2)設實數t滿意(-t)·=0,求t的值. 世紀金榜導學號【解析】(1)由已知=(3,5),=(-1,1),則+=(2,6),-=(4,4).所以|+|=2QUOTE,|-|=4QUOTE.所以所求的兩條對角線的長分別為4QUOTE,2QUOTE.(2)由已知,=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).由(-t)·=0得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,所以5t=-11,所以t=-QUOTE.(15分鐘35分)1.(5分)(2024·潮州模擬)已知向量a、b為單位向量,且a+b在a的方向上的投影為QUOTE+1,則向量a與b的夾角為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.設向量a與b的夾角為θ,因為向量a、b為單位向量,a+b在a的方向上的投影為QUOTE+1,所以(a+b)·a=|a|QUOTE,變形得1+a·b=QUOTE+1,即a·b=1×1×cosθ=cosθ=QUOTE,又由0≤θ≤π,則θ=QUOTE,故選A.2.(5分)(2024·開封模擬)已知向量a=(m-1,1),b=(m,-2),則“m=2”是“a⊥b”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.當m=2時,a=(1,1),b=(2,-2),所以a·b=2-2=0,所以充分性成立;當a⊥b時,a·b=m(m-1)-2=0,解得m=2或m=-1,必要性不成立.綜上,“m=2”是“a⊥b”的充分不必要條件.3.(5分)在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2,AB=1,D為BC的中點,E在斜邊AC上,若=2,則·=______.

【解析】如圖,以B為原點,AB所在直線為x軸,BC所在直線為y軸,建立平面直角坐標系,則B(0,0),A(1,0),C(0,2),=(-1,2).因為D為BC的中點,所以D(0,1),因為=2,所以EQUOTE,=QUOTE,所以·=QUOTE·(-1,2)=-QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE4.(10分)(2024·鄭州模擬)已知向量m=(2sinωx,cos2ωx-sin2ωx),n=(QUOTEcosωx,1),其中ω>0,x∈R.若函數f(x)=m·n的最小正周期為π.(1)求ω的值.(2)在△ABC中,若f(B)=-2,BC=QUOTE,sinB=QUOTEsinA,求·的值. 世紀金榜導學號【解析】(1)f(x)=m·n=2QUOTEsinωxcosωx+cos2ωx-sin2ωx=QUOTEsin2ωx+cos2ωx=2sinQUOTE.因為f(x)的最小正周期為π,所以T=QUOTE=π,又ω>0,所以ω=1.(2)由(1)知f(x)=2sinQUOTE.設△ABC中角A,B,C所對邊分別是a,b,c.因為f(B)=-2,所以2sinQUOTE=-2,即sinQUOTE=-1,又0<B<π,解得B=QUOTE.因為BC=QUOTE,即a=QUOTE,又sinB=QUOTEsinA,所以b=QUOTEa,b=3.由正弦定理得,QUOTE=QUOTE,解得sinA=QUOTE.又0<A<QUOTE,解得A=QUOTE,所以C=QUOTE,c=a=QUOTE,所以·=cacosB=QUOTE×QUOTE×cosQUOTE=-QUOTE.5.(10分)在如圖所示的平面直角坐標系中,已知點A(1,0)和點B(-1,0),||=1,且∠AOC=x,其中O為坐標原點.(1)若x=QUOTE,設點D為線段OA上的動點,求|+|的最小值.(2)若x∈QUOTE,向量m=,n=(1-cosx,sinx-2cosx),求m·n的最小值及對應的x值. 世紀金榜導學號【解析】(1)設D(t,0)(0≤t≤1),當x=QUOTE時,可得CQUOTE,所以+=QUOTE,所以|+|2=QUOTE+QUOTE(0≤t≤1),所以當t=QUOTE時,|+|2取得最小值為QUOTE,故|+|的最小值為QUOTE.(2)由題意得C(cosx,sinx),m==(cosx+1,sinx),則m·n=1-cos2x+sin2x-2sinxcosx=1-cos2x-sin2x=1-QUOTEsinQUOTE.因為x∈QUOTE,所以QUOTE≤2x+QUOTE≤QUOTE.所以當2x+QUOTE=QUOTE,即x=QUOTE時,m·n=1-QUOTEsinQUOTE取得最小值1-QUOTE,所以m·n的最小值為1-QUOTE,此時x=QUOTE.1.已知向量a,b,c共面,且均為單位向量,a·b=0,則|a+b-c|的取值范圍是 ()A.[QUOTE-1,QUOTE+1] B.[1,QUOTE]C.[QUOTE,QUOTE] D.[QUOTE-1,1]【解析】選A.因為a·b=0,所以|a+b|2=a2+2a·b+b2=2,所以|a+b|=QUOTE.所以|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a·b-2(a+b)·c=3-2(a+b)·c當c與(a+b)同向時,(a+b)·c最大,|a+b-c|2最小,此時(a+b)·c=|a+b|·|c|cos0°=QUOTE,|a+b-c|2=3-2QUOTE=(QUOTE-1)2,所以|a+b-c|min=QUOTE-1;當c與(a+b)反向時,(a+b)·c最小,|a+b-c|2最大,此時(a+b)·c=|a+b|·|c|cosπ=-QUOTE,|a+b-c|2=3+2QUOTE=(QUOTE+1)2,所以|a+b-c|max=QUOTE+1.所以|a+b-c|的取值范圍為[QUOTE-1,QUOTE+1].2.已知坐標平面上的凸四邊形ABCD滿意=(1,QUOTE),=(-QUOTE,1),則凸四邊形ABCD