2024-2025學年高中數學第一章三角函數1.2.2同角三角函數的基本關系（1）教學教案新人教A版必修4授課內容授課時數授課班級授課人數授課地點授課時間課程基本信息1.課程名稱：高中數學第一章三角函數1.2.2同角三角函數的基本關系（1）

2.教學年級和班級：高中一年級

3.授課時間：2024-2025學年第一學期

4.教學時數：45分鐘

教學內容：

1.理解同角三角函數的基本關系式；

2.學會運用同角三角函數的基本關系式進行函數值的計算；

3.能夠利用基本關系式解決實際問題。

教學過程：

1.導入（5分鐘）：

利用多媒體展示生活中與三角函數相關的實例，激發學生學習興趣。

2.基本概念講解（15分鐘）：

根據教材，講解同角三角函數的基本關系式，包括正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的定義及它們之間的關系。

3.例題解析（15分鐘）：

結合教材中的例題，講解如何運用同角三角函數的基本關系式進行計算，以及在實際問題中的應用。

4.課堂練習（10分鐘）：

讓學生獨立完成教材中的練習題，鞏固所學知識。

5.總結與拓展（5分鐘）：

對本節課的知識點進行總結，并提出相關問題，引導學生進行思考，為下一節課做好鋪墊。

教學評價：

1.課后作業：布置教材中的課后習題，檢查學生對同角三角函數基本關系的掌握程度；

2.課堂表現：觀察學生在課堂上的參與程度、提問回答情況，了解學生的學習狀態。

教學資源：

1.教材：《高中數學》（新人教A版）必修4；

2.多媒體課件：展示生活實例、講解例題等；

3.練習題：教材中的課后習題及課堂練習題。核心素養目標本節課旨在培養學生的數學抽象、邏輯推理和數學建模等核心素養。通過學習同角三角函數的基本關系，使學生能夠：

1.抽象出三角函數之間的內在聯系，形成對函數關系的深入理解，提高數學抽象能力；

2.運用邏輯推理，分析并證明同角三角函數的基本關系，培養嚴謹的數學思維；

3.將同角三角函數的基本關系應用于實際問題，建立數學模型，提高解決實際問題的能力。

在教學過程中，注重引導學生主動探究、發現規律，培養他們的創新意識和實踐能力，使學生在掌握知識的同時，提高數學學科核心素養。重點難點及解決辦法重點：

1.同角三角函數基本關系式的理解與記憶；

2.運用基本關系式進行三角函數值的計算；

3.將基本關系式應用于解決實際問題。

難點：

1.對基本關系式的推導過程理解；

2.在實際問題中靈活運用基本關系式。

解決辦法與突破策略：

1.采用直觀演示和動畫輔助，幫助學生形象理解基本關系式的推導過程，強化記憶；

2.通過典型例題的講解，引導學生逐步掌握運用基本關系式進行計算的方法；

3.設計具有實際背景的問題，鼓勵學生運用所學知識解決，提高學生的數學建模和問題解決能力；

4.組織小組討論和互助學習，讓學生在合作中互相啟發，共同突破難點；

5.對于理解有困難的學生，提供個性化輔導和額外練習，確保每位學生都能跟上教學進度。教學資源準備1.教材：

-確保每位學生都提前準備好《高中數學》（新人教A版）必修4教材，特別是第一章三角函數的相關內容。

-準備教材中與本節課相關的習題和例題，以便在課堂上及時展示和討論。

2.輔助材料：

-準備多媒體課件，包括三角函數基本關系式的動態推導過程，使得學生能夠直觀理解。

-收集和制作與三角函數相關的實際生活圖片、圖表和視頻，如建筑物的三角結構、機械運動中的三角函數應用等，以增強學生對知識應用的認識。

-準備一些數學歷史資料，介紹三角函數在數學發展史上的地位和作用，提升學生的學習興趣。

-設計并打印課堂練習題和小組討論指導資料，確保學生能夠在課堂上即時鞏固所學知識。

3.實驗器材：

-雖然本節課不涉及實際的物理實驗，但如果條件允許，可以準備一些簡單的測量工具，如量角器、直尺等，用于模擬實際情境中的三角測量問題。

4.教室布置：

-根據本節課的教學需要，將教室座位調整為小組合作模式，每組配備一臺計算機或平板，以便學生觀看多媒體課件和進行小組討論。

-在教室前方設置投影儀和屏幕，確保所有學生都能清晰地觀看課件內容。

-如果有條件，設置一個互動白板或智能黑板，以便教師現場演示和講解。

-在教室墻壁上張貼與三角函數相關的圖表和知識點海報，創造一個數學學習氛圍。

5.其他準備：

-教師提前熟悉教材內容，準備詳細的教案和學案，確保教學過程順暢。

-準備教學評價工具，如課堂練習的評分標準和課后作業的批改要點，確保教學評價的客觀性和有效性。

-與學校技術部門協調，確保多媒體設備在上課前調試到位，避免因技術問題影響教學。教學流程（一）課前準備（預計用時：5分鐘）

學生預習：

發放預習材料，引導學生提前了解同角三角函數基本關系的學習內容，標記出有疑問或不懂的地方。設計預習問題，激發學生思考，為課堂學習同角三角函數基本關系內容做好準備。

教師備課：

深入研究教材，明確本節課的教學目標和重難點。準備教學用具和多媒體資源，確保教學過程的順利進行。設計課堂互動環節，提高學生學習同角三角函數基本關系的積極性。

（二）課堂導入（預計用時：3分鐘）

激發興趣：

回顧舊知：

簡要回顧上節課學習的三角函數的定義和性質，幫助學生建立知識之間的聯系。提出問題，檢查學生對舊知的掌握情況，為學習新課打下基礎。

（三）新課呈現（預計用時：25分鐘）

知識講解：

清晰、準確地講解同角三角函數的基本關系，結合實例幫助學生理解。突出基本關系式的推導和應用重點，強調理解難點，通過對比、歸納等方法幫助學生加深記憶。

互動探究：

設計小組討論環節，讓學生圍繞基本關系式的問題展開討論，培養學生的合作精神和溝通能力。鼓勵學生提出自己的觀點和疑問，引導學生深入思考，拓展思維。

技能訓練：

總結歸納：

在新課呈現結束后，對同角三角函數的基本關系進行梳理和總結。強調重點和難點，幫助學生形成完整的知識體系。

（四）鞏固練習（預計用時：5分鐘）

隨堂練習：

隨堂練習題，讓學生在課堂上完成，檢查學生對基本關系知識的掌握情況。鼓勵學生相互討論、互相幫助，共同解決問題。

錯題訂正：

針對學生在隨堂練習中出現的錯誤，進行及時訂正和講解。引導學生分析錯誤原因，避免類似錯誤再次發生。

（五）拓展延伸（預計用時：3分鐘）

知識拓展：

介紹三角函數在工程、物理等領域的拓展應用，拓寬學生的知識視野。引導學生關注學科前沿動態，培養學生的創新意識和探索精神。

情感升華：

結合三角函數的應用，引導學生思考學科與生活的聯系，培養學生的社會責任感。鼓勵學生分享學習心得和體會，增進師生之間的情感交流。

（六）課堂小結（預計用時：2分鐘）

簡要回顧本節課學習的同角三角函數基本關系，強調重點和難點。肯定學生的表現，鼓勵他們繼續努力。

布置作業：

根據本節課學習的內容，布置適量的課后作業，鞏固學習效果。提醒學生注意作業要求和時間安排，確保作業質量。知識點梳理1.三角函數的基本概念

-定義：以直角三角形的三個角（銳角）為自變量，以三條邊的比值或相關量為函數值的函數稱為三角函數。

-常見三角函數：正弦函數（sin）、余弦函數（cos）、正切函數（tan）、余切函數（cot）、正割函數（sec）、余割函數（csc）。

-三角函數的周期性：正弦、余弦、正切函數的周期性質及其與角度的關系。

2.同角三角函數的基本關系

-正弦與余弦的關系：sin2θ+cos2θ=1

-正切與正弦余弦的關系：tanθ=sinθ/cosθ

-余切與正弦余弦的關系：cotθ=cosθ/sinθ

-正割與余弦的關系：secθ=1/cosθ

-余割與正弦的關系：cscθ=1/sinθ

-同角三角函數的對稱性：sin(π/2-θ)=cosθ，cos(π/2-θ)=sinθ等。

3.三角函數的圖像與性質

-正弦函數的圖像與性質：圖像為周期性波動的曲線，性質包括奇函數、周期性、振幅等。

-余弦函數的圖像與性質：圖像為周期性波動的曲線，性質包括偶函數、周期性、振幅等。

-正切函數的圖像與性質：圖像為無界曲線，性質包括奇函數、周期性、漸近線等。

4.三角函數的應用

-三角函數在直角三角形中的應用：根據已知角度和邊長求解未知邊長。

-三角函數在物理中的應用：簡諧運動、波的傳播等。

-三角函數在工程中的應用：建筑設計、測量等。

5.三角函數的恒等變換

-和差公式：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ，cos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ

-積化和差公式：sinαcosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]，cosαsinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

-商數關系：tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1?tanαtanβ)

-積商關系：tanαtanβ=sinαsinβ/(cosαcosβ)

6.三角方程與不等式

-三角方程：sinθ=x，cosθ=x，tanθ=x等形式的方程。

-三角不等式：sinθ>0，cosθ≤1等。

-三角方程與不等式的解法：利用三角函數的圖像、性質、恒等變換等方法。重點題型整理題型一：

題目：已知正弦函數sinθ=3/5，求余弦函數cosθ的值。

解答：根據同角三角函數的基本關系式sin2θ+cos2θ=1，代入sinθ=3/5，可得cos2θ=1-(3/5)2=1-9/25=16/25。因此，cosθ=±√(16/25)=±4/5。

題型二：

題目：已知正切函數tanθ=2，求余切函數cotθ的值。

解答：根據同角三角函數的基本關系式tanθ=sinθ/cosθ，可得sinθ=2cosθ。再根據sin2θ+cos2θ=1，代入sinθ=2cosθ，得到(2cosθ)2+cos2θ=1，即4cos2θ+cos2θ=1。解得cosθ=±√(1/5)。因此，cotθ=cosθ/sinθ=±√(1/5)/(2√(1/5))=±1/2。

題型三：

題目：已知正弦函數sinθ=4/5，求正割函數secθ的值。

解答：根據同角三角函數的基本關系式secθ=1/cosθ，可得cosθ=1/sinθ=1/(4/5)=5/4。因此，secθ=1/cosθ=1/(5/4)=4/5。

題型四：

題目：已知余弦函數cosθ=-3/5，求余割函數cscθ的值。

解答：根據同角三角函數的基本關系式cscθ=1/sinθ，可得sinθ=1/cosθ=-5/3。因此，cscθ=1/sinθ=1/(-5/3)=-3/5。

題型五：

題目：已知正弦函數sinθ=1/2，求正切函數tanθ的值。

解答：根據同角三角函數的基本關系式tanθ=sinθ/cosθ，可得cosθ=1/sinθ=1/(1/2)=2。因此，tanθ=sinθ/cosθ=(1/2)/2=1/4。板書設計①重點知識點

-同角三角函數的基本關系

-sin2θ+cos2θ=1

-tanθ=sinθ/cosθ

-cotθ=cosθ/sinθ

-secθ=1/cosθ

-cscθ=1/sinθ

②重點詞

-同角

-三角函數

-正弦(sin)

-余弦(cos)

-正切(tan)

-余切(cot)

-正割(sec)

-余割(csc)

③重點句

-sin2θ+cos2θ=1

-tanθ=sinθ/cosθ

-cotθ=cosθ/sinθ

-secθ=1/cosθ

-cscθ=1/sinθ

④板書設計

1.利用圖形展示同角三角函數的基本關系，如直角三角形的邊長比例。

2.用彩色粉筆突出重點詞和句，如sin2θ+cos2θ=1等。

3.通過圖表或流程圖形式，展示三角函數之間的關系，如sinθ、cosθ、tanθ之間的關系。

4.在板書設計上加入一些有趣的元素，如小插圖、符號等，以激發學生的學習興趣和主動性。作業布置與反饋一、作業布置：

1.選擇題：

(1)若sinθ=3/5，則cosθ的值為()

A.4/5B.-4/5C.±4/5

(2)若tanθ=2，則cotθ的值為()

A.1/2B.-1/2C.±1/2

(3)若sinθ=4/5，則secθ的值為()

A.5/4B.-5/4C.±5/4

(4)若cosθ=-3/5，則cscθ的值為()

A.-3/5B.3/5C.±3/5

(5)若sinθ=1/2，則tanθ的值為()

A.1/4B.-1/4C.±1/4

2.計算題：

(1)已知sinθ=2/3，求cosθ的值。

(2)已知tanθ=5/3，求cotθ的值。

(3)已知secθ=4/3，求cosθ的值。

(4)已知cscθ=-5/4，求sinθ的值。

(5)已知sinθ=5/13，求tanθ的值。

3.應用題：

(1)在直角三角形中，已知一直角邊長為6，斜邊長為10，求另一銳角的正弦值。

(2)在直角坐標系中，已知直角三角形的直角頂點在原點，一直角邊在x軸上，另一直角邊在y軸上，斜邊長為10，求該直角三角形的斜邊上的高。

二、作業反饋：

1.選擇題：

(1)C(2)A(3)A(4)C(5)A

2.計算題：

(1)cosθ=±√(1-sin2θ)=±√(1-(2/3)2)=±√(1-4/9)=±√(5/9)=±(√5)/3

(2)cotθ=1/tanθ=1/(5/3)=