2.4.2圓的一般方程

基礎過關練

題組一圓的一般方程

1.圓x2+y2-2x+6y+8=0的面積為()

A.8兀B.4兀C.2兀D.兀

2.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圓，則實數m的取值范圍是()

11

A.m<-B.m>-C.m<lD.m>l

22

3.若圓x2+y2-2x-4y=0的圓心到直線x-y+a=O的距離為今則a的值為(

A.-2或2B.；或|C.2或0D.-2或0

4.方程x2+y2+2ax-b2=0表示的圖形是()

A.一個圓B.只有當a=0時，才能表示一個圓

C.一個點D.a,b不全為。時，才能表示一個圓

5.下列方程分別表示什么圖形?若表示圓,則寫出圓心和半徑.

(l)x2+y2+5x-3y+1=0;(2)x2+y2+4x+4=0;

(3)x2+y2+x+2=0;(4)x2+y2+2by=0(b^0).

題組二圓的方程的求法

6.圓x2+y2-2x-l=0關于直線2x-y+3=0對稱的圓的方程是()

-1-1

A.(x+3)2+(y-2)2=-B.(x-3)2+(y+2)2=-

C.(x+3)2+(y-2)2=2D.(x-3)2+(y+2)2=2

7.與圓C:x2+y2-2x+4y-l=0有相同的圓心，且半徑是圓C的半徑的一半的圓的方程

為()

A.x2+y2-2x+4y+2=0B.x2+y2-2x+4y+l=0

C.x2+y2-2x+4y-1=0D.x2+y2-2x+4y+j=0

8.已知兩定點A(-2,0),B(l,0),若動點P滿足|PA|=2|PB|,則P的軌跡為()

A.直線B.線段C.圓D.半圓

9.設A為圓(x-l)2+y2=l上的動點,PA是圓的切線且|PA|=1,則點P的軌跡方程

是.

10.(2020四川綿陽中學高二上期末)已知AABC的三邊BC,CA,AB的中點分別是

D(5,3),E(4,2),F(1,1).

(1)求4ABC的邊AB所在直線的方程及點A的坐標；

(2)求△ABC的外接圓的方程.

題組三圓的方程的應用

n.若點M(3,0)是圓x2+y2-8x-4y+10=0內一點，則過點M(3,0)的最長的弦所在的直

線方程是()

A.x+y-3=0B.x-y-3=0

C.2x-y-6=0D.2x+y-6=0

12.若直線2x-5y+a=0平分圓x2+y2-4x+2y-5=0,貝Ua=()

A.9B.-9C.lD.-l

13.已知兩點A(-2,0),B(0,2),點C是圓x2+y2-2x=0上任意一點，則^ABC的面積的最

小值是()

A.3-V2B.3+V2C.3-yD.^

14.已知圓x2+y2+2x-4y+l=0上任一點A關于直線x-ay+2=0對稱的點A，仍在該圓

上，則a=.

15.已知定點A(a,2)在圓x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部，則a的取值范圍為

錯

能力提升練

題組一圓的一般方程

1.(*)當方程x2+y2+ax+2y+a2=0所表示的圓的面積最大時，直線y=(a-l)x+2的傾斜

角為()

A，7CmD."

4424

2.(2020河南鄭州高一上期末,#?)已知圓x2+y2-2mx-(4m+2)y+4m2+4m+1=0(m^0)

的圓心在直線x+y-7=0上，則該圓的面積為()

TT

A.4兀B.2兀C.TiD.-

3.(多選)(共)已知方程x2+y2+3ax+ay+|a2+a-l=0,若方程表示圓，則a的值可能為

()

A.-2B.OC.lD.3

題組二圓的方程的求法

4.(，)點P(4,-2)與圓x2+y2=4上任意一點連線的中點的軌跡方程是()

A.(x+2)2+(y-l)2=lB.(x-2)2+(y+1)2=4

C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x-2)2+(y+l)2=1

5.(2019北京豐臺高一期末,北)過三點人(1,-1),：6(1,4),(2(4,-2)的圓的方程為()

A.x2+y2-7x-3y+2=0B.x2+y2+7x-3y+2=0

C.x2+y2+7x+3y+2=0D.x2+y2-7x+3y+2=0

6.(2020浙江溫州中學高二上期中,")如圖，已知正方形ABCD的四個頂點坐標分

別為A(0,-2),C(4,2),B(4,-2),D(0,2).

(1)求對角線AC所在直線的方程；

(2)求正方形ABCD外接圓的方程；

(3)若動點P為外接圓上一點，點N(-2,0)為定點，問線段PN中點的軌跡是什么？并求

出該軌跡方程.

題組三圓的方程的應用

7.(2019福建福田高三月考,")已知：6(0,0)人(8,3),(2(2次,0),平面ABC內的動點

P,M滿足|?|=1,而=祝，則|麗F的最大值是()

37+2屈卜37+6V33

AA.^—

C.fD?

44

8.0)已知圓的方程為乂2+丫26-8丫=0.設該圓過點(2,6)的最長弦和最短弦分別為

AC和BD,則四邊形ABCD的面積為.

9.(2020湖南長沙明德中學高一期中,")如圖,0是坐標原點，圓。的半徑為1,點A(-

l,0),B(l,0),點P,Q分別從點A,B同時出發，在圓O上按逆時針方向運動，若點P的速

度大小是點Q的兩倍，則在點P運動一周的過程中，布-而的最大值為.

10.(")已知以點C為圓心的圓經過點A(-l,0)和B(3,4),且圓心在直線x+3y-15=0±.

設點P在圓C上，求APAB面積的最大值.

答案全解全析

基礎過關練

1.C原方程可化為(x-l)2+(y+3)2=2,

半徑r=V2,圓的面積S=7ir2=27i.

2.A由二元二次方程表示圓的充要條件可知,(-l)2+12-4m〉0,解得m<：,故選A.

3.C由題意得圓心為(1,2).則圓心(1,2)到直線的距離為點三=次,解得a=0或a=2.

4.D(2a>+4b2=4(a2+b2),所以當a=b=O時，方程表示一個點;當aWO或bWO時，方程

表示一個圓.

5解析⑴原方程配方得(％+，+(月)2哆故該方程表示以(-汩為圓心,斗為半

徑的圓.

(2)原方程配方得(x+2>+y2=0,表示一個點(-2,0).

(3)二?原方程配方得(％+(f+y2=T，無實數解,.?.該方程不表示任何圖形.

(4)原方程配方得x2+(y+b)2=b2(bW0),故該方程表示圓心為(0,-b),半徑為|b|的圓.

6.C由x2+y2-2x-l=0得(x-l)2+y2=2,所以(x-l)2+y2=2的圓心01的坐標為(1,0),半徑

為企,故排除A,B.又易求C中圓(x+3)2+(y-2)2=2的圓心。2的坐標為G3,2),OQ2的

中點(-1,1)在直線2x-y+3=0上，而D中圓(x-3)2+(y+2>=2的圓心。3的坐標為(3,-

2),0103的中點(2,-1)不在直線2x-y+3=0上，故選C.

7.D易知圓C的標準方程為(x-l)2+(y+2)2=6,所以圓C的圓心坐標為(1,-2),半徑為

逐，故所求圓的圓心坐標為(1,-2),半徑為?，所以所求圓的方程為(x-

2

l>+(y+2)2=(乎)=；,即x2+y2-2x+4y+^=0.

8.C設點P的坐標為(x,y),

動點P滿足|PA|=2|PB|,

...+2)2+y2=2j(x-l)2+y2,兩邊平方得(x+2)2+y2=4[(x-l)2+y2],

即(x-2>+y2=4.

??.P的軌跡為圓.故選c.

9.答案(x-l)2+y2=2

解析設P(x,y),易知圓(x-l)2+y2=l的圓心B(1,O),半徑r=l,

則|PAF+r2=|PBF,.\|PB|2=2.

...點P的軌跡是以(1,0)為圓心，魚為半徑的圓.

???點P的軌跡方程是(x-l)2+y2=2.

10.解析⑴由題意可知k=kB=—=1,XF(l,l)為AB的中點，

EDA5-4

，AB所在直線的方程為y-l=l,(x-1),即x-y=0.①

同理CA所在直線的方程為x-2y=0,②

聯立①②，得A(0,0).

同理可得B(2,2),C(8,4).

(2)由⑴可得B(2,2),C(8,4),

設4ABC的外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,WA,B,C的坐標代入圓的方程可

(F=0,

得4+4+2D+2E+F=0,

(64+16+8D+4E+F=0,

(D=-16,

解方程組可得E=12,

[F=0,

圓的方程為x2+y2-16x+12y=0.

11.C圓x2+y2-8x-4y+10=0的圓心坐標為(4,2),則過點乂(3,0)且過圓心(4,2)的弦最

長.則最長弦所在直線的斜率k=.=2,結合選項知C正確.

4-3

12.B因為直線2x-5y+a=0平分圓x2+y2-4x+2y-5=0,所以直線2x-5y+a=0經過該圓

的圓心(2,-1),則2x2-5x(1)+a=0,解得a=-9.故選B.

13.A易得直線AB的方程為x-y+2=0,圓心坐標為(1,0),半徑為1,則圓心到直線

AB的距離延,所以點C到直線AB的最小距離為越-1,所以AABC面積

712+(-1)222

的最小值為,|AB|x(￥一1月x2&x(￥

14.答案:

解析根據題意得，圓心在直線x-ay+2=0上.由x2+y2+2x-4y+1=0,W(x+1)2+(y-2)2=4,

所以該圓的圓心是(-1,2),將(-1,2)代入x-ay+2=0中，得-l-2a+2=0,解得a=；.

15.答案(24

解析因為點A(a,2)在圓的外部,

斫以I"?+22-2a2-3X2+a2+a>0,

M“1(-2Q)2+(―3)2?4(小+a)>0.

所以2<a4.所以a的取值范圍為(2,)

易錯警示在運用圓的一般方程時，要注意隱含條件:D2+E2-4F〉。,防止忽略此條件

導致解題錯誤.

能力提升練

1.B方程x2+y2+ax+2y+a2=0可化為

(%+9+(丫+1)2=為+1,

設圓的半徑為r(r>0),則於=1-穹,

4

當a=0時,F取得最大值,從而圓的面積最大.

此時，直線方程為y=-x+2,斜率k=-l,傾斜角為三故選B.

4

2.A圓的方程可化為(x-m)2+(y-2m-l)2=m2(mW0),其圓心為(m,2m+l).

依題意得,m+2m+l-7=0,解得m=2,

???圓的半徑為2,面積為4兀，故選A.

3.AB由(3a)2+a2-46a2+a-l)〉0,得a<l,所以滿足條件的只有-2與0.故選AB.

_%1+4

—'瞰1Z雉?

!y=-zy'4，

因為好+資=4,所以(2x-4>+(2y+2)2=4.

化簡得(x-2>+(y+1)2=1.故選D.

5.A設所求的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.

(D-E+F+2=0,(D=-7,

依題意得。+4E+F+17=0,解得E=-3,

{4D-2E+F+20=0,=2.

因此，所求圓的方程為x2+y2-7x-3y+2=0,故選A.

6.解析⑴由兩點式可知，對角線AC所在直線的方程為"=言，整理得x-y-2=0.

(2)設G為外接圓的圓心，則G為AC的中點,G"，手)，即(2,0),

設r為外接圓的半徑，則r=|AC|,

而|AC|=J(4-0)2+葉+2尸=4&,

/.r=2V2.

???外接圓方程為(x-2/+y2=8.

(3)設點P坐標為(xo,yo),線段PN的中點M坐標為(x,y),則x=手,y=￡,

xo=2x+2,yo=2y,①

?.?點P為外接圓上一點,???(xo-2)2+羽=8,將①代入并整理，得x2+y2=2,

...該軌跡是以原點為圓心，a為半徑的圓，軌跡方程為x2+y2=2.

7.D由題易得，點P的軌跡為以A為圓心,1為半徑的圓.如圖所示，建立平面直角坐

標系，取AC的中點N,

,/PM=MC,：.M為PC的中點，

,.?|萬|=1,，|而|=；,從而M的軌跡為以N為圓心，;為半徑的圓,

三點共線時,BM最大.

又”(遮,3),C(2魂,0),；.N件則BN=J(￥)2+GJ=3,

.??I麗|的最大值為3+1：,

|麗F的最大值是竺，故選D.

4

8.答案20V5

解析設圓心為P,圓的方程x2+y2-6x-8y=0可化為(x-3)?+(y-4)2=25.圓心坐標為

P(3,4),半