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高考高中數學必考23個經典不等式總結

(解析附后)

例1.證明：I+4+K+…+4<2；

2~3"

例2.若：J+/=2,求證：a+b<2；

例3.若："wM,求證：

2n+1n+22n

例4.若:a、b>(),且ab=a+b+3,求：a+〃的取

值范圍；

例5.若：〃,瓦C是416c的三邊，求證：

abc

------+------->-------；

7+?1+b1+c

例6.當時，求證：

例7.若xeA，求J=NX2+x+7-y/x2-x+1的值

域；

例8.求函數r=正獨叱的最大值和最小值；

2-cos0

例9.若a、b、c>0,求證：

2229

------+------4------->-----------；

a+bb+cc+aa+b+c

例10.若。,4。€區,^.a2+b2+c2=25,試求：

“-25+2。的取值范圍；

例11.若a,瓦cwK,^.2a—b—2c=6，求/+/+。2

的最小值；

例12.若a,5,ewA,且

日二無+。+31=求"He的最大

1654

值和最小值；

例13.若a,反c>〃，X,J\N>〃,且滿足

a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,

ax+by+cz=3(),求："+"的值；

x+y+z

ni5

例14.求證：V—<-;

jt=[A~3

例15.當時，求證:2<(J+-)n<S；

n

例16.求證:

11-31-3-5I?3?5?…?(2"-1)

-4------+----------F^2n+l

2242T?62?4?6?…?(2")

例例.求證：

4-,—<」2〃+1-1)

例18.已知：x>〃，求證：——<ln(2+x)<x

1+x

例19.已知：〃wM,求證：

-H----F...H-------<ln(7+M)<-----F...H—；

23n+12n

例20.已知：〃N2,求證:2〃>"(〃一7)

例21.已知："cM,求證：

,111n

7d+-+???+------>一；

232n-l2

例22.設：s.=vn+vF5+i+j〃(〃+i),求證：

"(〃+7)v2S〃<("+7)2；

例23.已知：ne,求證：

n+1〃+23n+l

23個經典的不等式專題解析

例1.證明：1+4+4+…+4<2

2/3“

［證明］

⑴放縮法

從第二項開始放縮后，進行裂項求和.

此法稱為“放縮法

⑵積分法

構建函數：=—，則〃x）在區間為單調

遞減函數.

nn

從第二項開始用積分，當函數是減函數時，積分項大

于求和項時，積分限為［1.3；

積分項小于求和項時，積分限為+此法稱為

“積分法

⑶加強版

數學上，這種數列求和S”叫〃階級數；當〃f8時，

S”叫怩窮級數|,簡稱|級數.

例2.若：a3+/>?-2,求證：a+h<2

［證明］

⑴公式法

a34-b'=(a+h\a~+h~-ah)>ab{a+〃)，即：

ab{a+6)42

貝lj:3ab(a+b)W6,a3+b3+3ab(a+b)^8,即：

(a+bf<8,即：a+b<2.

立方和公式以及均值不等式配合.此法稱為立方和

的忸式法h

⑵琴生不等式

構建函數：f(x)=x3,則在XGA+區間為單調遞增

函數，且是下凸函數.

對于此類函數琴生不等式I表述為:函數值的平均值

不小于平均值的函數值.

即.)+/(*2)+…+/(x〃)之/(，+*2+…+X")

nn

對于本題：/('+/("%/(小心)即：

2一八2

小+b、’(a+/>V

-----)---->一----)--

a+b<i2

琴生不等式可秒此題.此法稱為“琴生不等式

⑶權方和不等式

若(a>0,b>0,>〃或〃z<—I)

am+1

貝I]?-!■—4-———

.b；nb,r~氏+...+4)”'

J______"

3

已知：a+/=2，即：詆2+詆2-

采用權方和不等式：

a3b3(〃+分尸_(?+/>)'

(方+向-23

即：7A("+?’,即：a+b<2.

23

此法稱為‘旭方和不等式卜.

⑷幕均不等式

由于幕均函數44(。)=盯+"?+'“+%'隨r單

n

I7

調遞增而得到幕均不等式：

a+A<a3+b3

⑷()，即：

%4M3°~2~~~

：a+b^2.

此法稱為“幕均不等式

例3.若："wN4,求證：

—4------+-------+…+—<1

2n+1n+22n

［解析］

(1)放縮法

由：〃+〃之〃+A>〃(A=7,2,...,〃)得

2nn+kn

則2五唱力r有，即:

n111n

—4------+-------+...+-------<一

2nn+1n+2n+nn

—<-------4---------+…+——<

2n+1n+22n

從一開始就放縮，然后求和.此法稱為放縮法

⑵性質法

本題也可以采用不等式性質證明.

所證不等式中的任何一項如第左項，均滿足

---4-------<一,當有〃項累加時，

2n〃+An

不等式兩個邊界項乘以〃倍，則不等式依然成立.

即：大于最小值得〃倍，小于最大值的〃倍.

另外，-----------+…+二一的最大值是

n+1n+22n

\n2?0.693147...,本題有些松.

例4.若:a^b>0,且，必=。+6+3,求：“+6的取

值范圍

［解析］

⑴解析法

(?+b)~=a"+b~+2ab>4ab=4(a+b+3)=4(a+b)+

令：t^a+b,貝lj上式為：*-4-12之0,即：

?一伙+2）2〃

故：t*6或，&-2（舍）.

本題采用了I均值不等式網二次不等式.

⑵基本不等式

由而=a+b+3得：ab-a—b-^1=4,即：

(a-lXb-1)=4.

兩正數之積為定值時，兩數相等時其和最小.

故：當("—7)=(方-7)=2時,(Q-7)+--Z)為最小

值.

即：(a-l)+(b-l)>2+2=4,即：a+h>6.

⑶拉格朗日乘數法

拉格朗日函數為：L(a,b)=a+b+2(ab-a-b-3)

當拉氏函數取極值時，-=l+^b-l)=O；

da

OT

—=1+2(a—1)=0

db

艮:2=-------=--------，艮［1:〃=a

b—1(i—1

則〃。,方)取極值時,b=a,代入ab=a+b+3得：

a2=2a+3

即：a2-2a-3=0，即：(a-3X"7)=〃，即：。=3

故：6)取極值時，b=a=3,則：a+b=6

由于當°=2時，代入ab=a+Z>+3得：2b=b+5,

即：b=5

此時，a+h=2+5=7>6.

則a+Z>=6為最小值，故：a+bZ6.

此法稱為,拉格朗日乘數法［"

例5.若：，。是的三邊，求證：

abc

----F---->----

7+<z1+b1+c

［證明］

⑴單調性法

構造函數/(*)=二一，則在時，/(X)為單調

7+x

遞增函數.

所以，對于三角形來說，兩邊之和大于第三邊，即：

a+b>c

那么，對于增函數有：/(a+b)>f(c),即：

a+bc八

------->----①

1+a+h1+c

由放縮法得:

aabb

---->,------>--------

1+a1+a+b--1+b1+a+b

由上式及①式得：

1+a1+b1+a+b1+a+b1+a+b1+c

構造函數，利用函數單調性，此法稱為“單調性法

對于兩邊之和大于第三邊的式子，其實是“設限法”或

“設界法

例6.當〃N2時，求證:

［證明］

⑴放縮法

當時,n-1<n<n+1,

都擴大〃倍得：〃("-］)</<〃("+/),取倒數得：

111

n(n-I)n2n(n+1)

裂項：—--->-4>-一一—,求和：

n—1nrenn+1

JL11nn

y(—---

A-/A-7k

即：1----->―7H--—>--------.先放縮，

n2~3~〃~2n+1

裂項求和，再放縮.

此法為“放縮法

⑵積分法

構建函數：，(x)=-4，則/(X)在xwH+區間為單

x~

調遞減函數.

由面積關系得到：SBDF>SAGDF>SIFFC

.k+1

即：一L，即：

XX

1__1j_1_1

A-1k>k2>kA+l

本式實際上是放縮法得到的基本不等式，同前面裂項

式.

后面的證法同⑴.此法稱為‘叵司’

⑶加強版

由第1題的求證：4+~4+?“+?4〈二一,一一'一可

r2~4nn+1

1131

得：―7+…-1----7V-------

212n24n

故加強版為：當〃22時，求證：

1111131

------------<-7+―7+…----7V--------

2n+12~3“4n

例7.若xwA，求j，=\]x2+x+l-ylx2-x+l的值

域.

［解析］

（1）向量法

ym=lim(--]~~,)=-1

一

、XX」\XX"

故：J，w(-7,7).此法稱為［極值法「.

例8.求函數)，=叵”的最大值和最小值

2—cos?

［解析］

(D斜率法

將函數稍作變形為：

j，=G〃一(一sinJ)=4匕工■

2—cosQxM—xv

設點,點MX",%),則M(2,〃),

N(cose,-sing),而點N在單位圓上，j”就是一條

直線的斜率，是過點河和圓上點N直線斜率的4

倍，關鍵是直線過圓上的N點.

斜率j，A的范圍為：[—tan3。",tan37]

即'Ml-冬斗

j，，-74.

而是臬的倍即：y=43yk,故：

即：j的最大值是/,最小值是-7.

原本要計算一番，這用分析法，免計算了.此法稱為

除率法卜

⑵輔助角法

先變形：I=J?sin-變形為:

2-cos。

2j，-j，8se=sin。=JJsin。+jcos6；

利用輔助角公式得：

______rz,

2y=,3+/(.—I——sin^4------cos0)

?'

=(3+y2sin(6+(p)

即：/~J=sin(g+g),即：

4+/

—14]：，：=sin(8+^p)<7;

/

即：-^747,EP:+,即：y247，艮［］：

3+/^

-1<)<1

如果要計算，需要用到輔助角公式.此法稱為'麗|

例9.若a、b、c>0,求證：

2229

------+-------+------->------------

a+bb+cc+aa+b+c

[證明]

⑴柯西不等式

由柯西不等式：

:￡+念+￡)［("小("小(，+明

即：(一^-+—^-+—[?「2(a+A+c)]N(3『=9

、a+bb+cc+ojL'Al'，

即，222V9

即：----+----+----27---------------r

^a+bb+cc+aJ(a+A+c)

此法稱為T柯西不等式上

⑵排序不等式

首先將不等式變形：〃+

a+bb+cc+a2

□nAC(Ib49on

即：3+---+---+--->-,即：

a+bb+cc+a2

a+bb+cc+a2

由于對稱性，不妨設:aNbNc,則：

a+b>a+c>b+c；

即：一L-

b+ca+ca+b

由排序不等式得：

正序和，_+，_+二之_1_+，_+」_亂序

b+ca+ca+ba+ca+bb+c

和；

正序和」L+」-+，_N，_+-+，_亂序

b+ca+ca+ba+bb+ca+c

和；

上兩式相加得：

JahcAa+bb+ca+c,

2------+-------+-------N------+-------+-------=3

(B+ca+ca+bJa+bb+ca+c

即：，+」一+±二證畢.

a+bh+cc+a2

此法稱為“排序不等式

⑶權方和不等式

權方和不等式：若(a>0,b>0,m>O或m<^—l)

虬ia好等

采用權方和不等乖：

J工+2=叵+回+叵

a+bb+cc+aa+bh+cc+a

(>/7+返+。2=(302二9

(a+6)+(b+c)+(c+a)2(a+b+c)a+b+c

此法稱為“權方和不等式

例10.若o,瓦eeR,且a~+b~+<?**=25,試求：

。-2〃+2c的取值范圍.

［解析］

⑴向量不等式

設：//I=(7,-2,2),n=(?,/>,c)

貝IJ：/="+(-2)2”=3,

n-\/a2+b:+c2—>/25=5

m'n—(7,-2,2)。(a,b,c)=a-2b+2c

|7n|*|n|=3x5=15

代人向量不等式ni'n4mn得：—2b+2c|475

即：-15<,a-2b+2c<>15

此法稱為伺爵等式I”

⑵柯西不等式

由柯西不等式得：

產+(-2)。+2。](/+/+/)之(4-25+20)。

即：9x25>[a-2h+2c)2,故：\a-2b+2c\^15

所以：-J5<a-2b+2c<15

此法稱為啊盲木等式卜

⑶拉格朗日乘數法

構建拉格朗日函數：

L(a,b、c)—a-26+2c+/(a~+Z>~+c~-25)

a

由函數在極值點的導數為〃得：

—=/+—=o，貝U:Z=-2a，即：。=—Z;

daA2

生=一2+叁=。,貝IJ：2=,即：Z>=2；

daA

—=2+—=0,則：X——C,即：c——A..

daA

代入a?+52+c2=25得：-A2=52,即：2=±—

43

土Rrtte占54_5-,1010

極值點為："=---=+—,/>