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文檔簡介
斜?u;
①槍柱awm0、q由校-柱I;其A他校M拄*…J正棱柱
的棱鉗用血力▼行尚造琴
依什圖第油為城方那.底回函
高中課程復(fù)習(xí)專題
高中課程復(fù)習(xí)專題數(shù)學(xué)立體幾何
一空間幾何體
㈠空間幾何體的類型
1多面體:由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體。圍成多面體的
各個(gè)多邊形叫做多面體的面,相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的
棱,棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)。
2旋轉(zhuǎn)體:把一個(gè)平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋
轉(zhuǎn)形成了封閉幾何體。其中,
這條直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。
㈡幾種空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
1棱柱的結(jié)構(gòu)特征
1.1棱柱的定義:有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊
形,并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,由這些
面所圍成的幾何體叫做棱柱。
1.2棱柱的分類
圖1圖-11棱柱-1棱柱
1.3棱柱的性質(zhì)
⑴側(cè)棱都相等,側(cè)面是平行四邊形;
⑵兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形;
⑶過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形;
(4)直棱柱的側(cè)棱長與高相等,側(cè)面的對角面是矩形。
1.4長方體的性質(zhì)
⑴長方體的一條對角線的長的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三
條棱的平方和:2222+AAAC+AC=ABII圖1-2長方體
⑵長方體的一條對角線AC與過定點(diǎn)A的三條棱所成1
的角分別是a、B、丫,那么:222222
cosa+cosB+cosy=1sina+sinB+siny=2
AC⑶長方體的一條對角線與過定點(diǎn)A的相鄰三個(gè)面所
組成的角分別為,則:8a、、丫1222222sina+sinB+sin
Y=1cosa+cosB+cosy=2
1.5棱柱的側(cè)面展開圖:正n棱柱的側(cè)面展開圖是由n個(gè)全等
矩形組成的以底面周長和側(cè)棱為鄰邊的矩形。
1
高中課程復(fù)習(xí)專題
1.6棱柱的面積和體積公式
S=c?h(c為底面周長,h為棱柱的高)直棱柱側(cè)面
S=c,h+2S底直棱柱全
V=S,h底棱柱
2圓柱的結(jié)構(gòu)特征
2-1圓柱的定義:以矩形的一邊所在的直線
為旋轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成
的幾何體叫圓柱。
2-2圓柱的性質(zhì)
圖1-3圓柱⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圓;
⑵過軸的截面(軸截面)是全等的矩形。
2-3圓柱的側(cè)面展開圖:圓柱的側(cè)面展開圖是以底面周長和母線
長為鄰邊的矩形。
2-4圓柱的面積和體積公式
=2兀?r?h(r為底面半徑,h為圓柱的高)S圓柱側(cè)面2
=2幾rh+2幾rS圓柱全2V=Sh=rrh底圓柱
3棱錐的結(jié)構(gòu)特征
3-1棱錐的定義⑴棱錐:有一個(gè)面是多邊形,其余各面是
有由這些面所圍成的一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,幾何體叫做棱
錐。如果有一個(gè)棱錐的底面是正多⑵正棱錐:圖1-4棱錐
邊形,并且頂點(diǎn)在底面的投影是底面的中心,這樣的棱錐叫做正
棱錐。
正棱錐的結(jié)構(gòu)特征3-2
⑴平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形,相似比等于頂
點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比;
⑵正棱錐的各側(cè)棱相等,各側(cè)面是全等的等腰三角形;
⑶正棱錐中的六個(gè)元素,即側(cè)棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、
側(cè)棱在底面上的射影(0B)、斜高在底面上的射影(0H)、底
面邊長的一半(BH),構(gòu)成四個(gè)直角三角形(三角形SOB、
SOH、SBH、
OBH均為直角三角形)。
n棱錐的側(cè)面展開圖是由n個(gè)全等的等腰三角形組成。正棱錐
的側(cè)面展開圖:正3-3
正棱錐的面積和體積公式3-4
,
=0.5ch(c為底面周長,h'為側(cè)面斜高)S正棱錐側(cè)=0.5c
h'+SS底面正棱錐全
)(h為棱錐的高?=1/3SVh底面棱錐
4圓錐的結(jié)構(gòu)特征
2
gsWS3?,羯
高中課程復(fù)習(xí)專題
4-1圓錐的定義:以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋
轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓
錐。
圓錐的結(jié)構(gòu)特征4-2
平行于底面的截面都是圓,截面直徑與底面直徑之比等⑴
于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比;
軸截面是等腰三角形;⑵
圖1-5圓錐母線的平方等于底面半徑與高的平方和:⑶
222+h
I=r
圓錐的側(cè)面展開圖:圓錐的側(cè)面展開圖是以頂點(diǎn)為圓心,以母線
長為半徑的扇形。4-3
圓錐的面積和體積的公式4-4
S=兀r?I(r為底面半徑,I為母線長)圓錐側(cè)
S=nr*(r+I)圓錐全2h-)為圓錐高(h圓錐r兀=1/3V
棱臺的結(jié)構(gòu)特征5棱臺的定義:用一個(gè)平行于底面的平面去
截棱錐,5.1我們把截面和底面之間的部分稱為棱臺。正棱
臺的結(jié)構(gòu)特征5.2⑴各側(cè)棱相等,各側(cè)面都是全等的等腰
梯形;
圖1-6棱臺⑵正棱臺的兩個(gè)底面和平行于底面的截面都是正多
邊形;
⑶正棱臺的對角面也是等腰梯形;
(4)棱臺經(jīng)常被補(bǔ)成棱錐,然后利用形似三角形進(jìn)行研究。
5-3正棱臺的面積和體積公式
S=n/2(a+b)?h'(a為上底邊長,b為下底邊長,h'
為棱臺的斜高,n為邊數(shù))棱臺惻
S=S+S+S側(cè)棱臺全下底上底
V=棱臺
6圓臺的結(jié)構(gòu)特征
6-1圓臺的定義:用一個(gè)平行于底面的平面去截圓錐,我
們把截面和底面之間的部分稱為圓臺。
6-2圓臺的結(jié)構(gòu)特征
⑴圓臺的上下底面和平行于底面的截面都是圓;
⑵圓臺的截面是等腰梯形;
⑶圓臺經(jīng)常補(bǔ)成圓錐,然后利用相似三角形進(jìn)行研究。
圖1-7圓臺6-3圓臺的面積和體積公式
S=n?(R+r)?I(r>R為上下底面半徑)圓臺側(cè)
3
高中課程復(fù)習(xí)專題
22I?兀.(R+r)r兀?+兀.R+S=圓臺全22
V=1/3(E+兀R+兀rR)h(h為圓臺的高)圓臺7球的
結(jié)構(gòu)特征
7-1球的定義:以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,
半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體。空間中,與定
點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做球面,球面所圍成的
幾何體稱為球體。
球的結(jié)構(gòu)特征7-2
⑴球心與截面圓心的連線垂直于截面;
⑵截面半徑等于球半徑與截面和球心的距離的平方
222d差:r=R-圖1-8球
★7-3球與其他多面體的組合體的問題
球體與其他多面體組合,包括內(nèi)接和外切兩種類型,解決此類問
題的基本思路是:
⑴根據(jù)題意,確定是內(nèi)接還是外切,畫出立體圖形;
⑵找出多面體與球體連接的地方,找出對球的合適的切割面,
然后做出剖面圖;
⑶將立體問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中圓與多邊形的問題;
(4)注意圓與正方體的兩個(gè)關(guān)系:球內(nèi)接正方體,球直徑等于正
方體對角線;
球外切正方體,球直徑等于正方體的邊長。
7-4球的面積和體積公式2兀)R(R為球半徑=4S球面3兀
R=4/3V球
㈢空間幾何體的視圖
1三視圖:觀察者從三個(gè)不同的位置觀察同一個(gè)空間幾何體而畫
出的圖形。正視圖:光線從幾何體的前面向后面正投影,得到的
投影圖。
側(cè)視圖:光線從幾何體的左邊向右邊正投影,得到的投影圖。俯視
圖:光線從幾何體的上面向右邊正投影,得到的投影圖。
注意:⑴俯視圖畫在正視圖的下方,“長度”與正視圖相等;側(cè)視
圖畫在正視圖的右方,
“高度”與正視圖相等,“寬度”與俯視圖相等。(正側(cè)一樣高,
正俯一樣長,俯側(cè)一樣
⑵正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是平面圖形,而不是直觀圖。
2直觀圖
2-1直觀圖的定義:是觀察者站在某一點(diǎn)觀察一個(gè)空間幾何體而
畫出的圖形,直觀圖通常
是在平行投影下畫出的空間圖形。
2-2斜二測法做空間幾何體的直觀圖
⑴在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy,即取NxOy=
90
⑵畫直觀圖時(shí),把它畫成對應(yīng)的軸。,它們確定的=45?;?/p>
135''',取/\,OxOyxOy
4
旦
高中課程復(fù)習(xí)專題
平面表示水平平面;
⑶在坐標(biāo)系x'o'中y畫'直觀圖時(shí),已知圖形中平行于數(shù)軸
的線段保持平行性不變;平行于
x軸的線段保持長度不變;平行于y軸的線段長度減半。
結(jié)論:采用斜二測法作出的直觀圖的面積是原平面圖形的
2-3解決關(guān)于直觀圖問題的注意事項(xiàng)
⑴由幾何體的三視圖畫直觀圖時(shí),一般先考慮“俯視圖”;
⑵由幾何體的直觀圖畫三視圖時(shí),能看見的輪廓線和棱畫成實(shí)
線,不能看見的輪廓線和棱畫成
虛線。
二點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系
㈠平面的基本性質(zhì)
1立體幾何中圖形語言、文字語言和符號語言的轉(zhuǎn)化
圖形語言文字語言符號語言
Aea點(diǎn)A在直線a上
外B在直線a點(diǎn)Ba
AGa點(diǎn)A在平面a內(nèi)
點(diǎn)B在平面a外aB
直線a在平面a內(nèi)aa
外a直線b在平面ab
直線a與平面a相交于點(diǎn)Aana=A
直線a與直線b相交于點(diǎn)Aanb=A
平面a與平面B交于直線aanB=a
5
Pwa
Awa
=>PA與a異面
aca
Aca
高中課程復(fù)習(xí)專題
★2平面的基本性質(zhì)
公理一:如果一條直線上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么直線在平面
內(nèi)。
公理二:不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面。
推論一:直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面。
推論二:兩條相交直線確定一個(gè)平面。
推論三:兩條平行直線確定一個(gè)平面。
公理三:如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們還有公共點(diǎn),這
些公共點(diǎn)的集合是一條直
線(兩個(gè)平面的交線)o
㈡空間圖形的位置關(guān)系
1空間直線的位置關(guān)系(相交、平行、異面)
1.1平行線的傳遞公理:平行于同一直線的兩條直線相互平行。
即:a//b,b〃ca//c
1.2等角定理:如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行,
那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。
1.3異面直線
⑴定義:不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線稱為異面直線。
⑵判定定理:連平面內(nèi)的一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線與這個(gè)平面
內(nèi)不過此點(diǎn)的直線為異面直線。
即:1.4異面直線所成的角圖2-1異面直線
⑴異面直線成角的范圍:(0°,90°].
⑵作異面直線成角的方法:平移法。
注意:找異面直線所成角時(shí),經(jīng)常把一條異面直線平移到另一
條異面直線的特殊點(diǎn)(如
,形成異面直線所成的角。中點(diǎn)、端點(diǎn)等)
2直線與平面的位置關(guān)系(直線在平面內(nèi)、相交、平行)
圖2-2直線與平面的位置關(guān)系
3平面與平面的位置關(guān)系(平行、斜交、垂直)
㈢平行關(guān)系(包括線面平行和面面平行)
6
ailb
a^a"alia(線線平行n線面平行)
bca
alia
aupna〃b(線面平行n?Ut早行)
af}0?b
1.1線面平行的定義:平面外的直線與平面無公共點(diǎn),則稱為直
線和平面平行。
1.2判定定理:
1.3性質(zhì)定理:
判斷或證明線面平行的方法1.4
利用定義(反證法):IAa=,如〃a(用于判斷);⑴
(用于證明);線面平行⑵利用判定定理:線線平行
線面平行(用于證明);利用平面的平行:面面平行⑶
(用于判斷)o⑷利用垂直于同一條直線的直線和平面平行
2線面斜交和線面角:IAa=A
(簡稱線面角):若直線與平面斜交,直線與平面所成的角2.1
則平面的斜線與該斜線在平面內(nèi)射影的夾角。92.2線
面角的范圍:ee[0°,90°]圖2-3線面角;。=0。注意:當(dāng)直線在
平面內(nèi)或者直線平行于平面時(shí),當(dāng)直線垂直于平面時(shí),9=90°
3面面平行3.1面面平行的定義:空間兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn),
則稱為兩平面平行。3.2面面平行的判定定理:⑴判
定定理1:如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平
面,那么兩個(gè)平面相互平行。即:圖2-4面面平行
推論:一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面的兩
條線段,那么這兩個(gè)平面平行。即:
圖2-5判定1推論⑵判定定理2:垂直于同一條直線的兩平
面互相平行。即:
3.3面面平行的性質(zhì)定理
圖2-6判定2
7
咽…=
aQya=>?///><(面面平行=>鰻線平行)
陽…
%bua
a(]b?O
l^anUa(緲微克n線面■宣)
Us
ILb
/la,aca=>;±o(皎面垂直n線線垂直)
aLa.b工anallb
PB?PCgOB=OCaPA>PB^OA>OR
高中課程復(fù)習(xí)專題
⑴(面面平行線面平行)
⑵
⑶夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等。
㈣垂直關(guān)系(包括線面垂直和面面垂直)
1線面垂直
1.1線面垂直的定義:若一條直線垂直
于平面內(nèi)的任意一條直線,則這條直線垂
直于平面。
1.2線面垂直的判定定理:
1.3線面垂直的性質(zhì)定理:
⑴若直線垂直于平面,則它垂直于平面內(nèi)任意一條直線。
即:
⑵垂直于同一平面的兩直線平行。
即:
1.4常用的判定或證明線面垂直的依據(jù)
⑴利用定義,用反證法證明。
⑵利用判定定理證明。
⑶一條直線垂直于平面而平行于另一條直線,則另一條直線也
垂直與平面。
(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè),則也垂直于另一個(gè)。
⑸如果兩平面垂直,在一平面內(nèi)有一直線垂直于兩平面交線,
則該直線垂直于另一平面。
★1.5三垂線定理及其逆定理
⑴斜線定理:從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的所有線段中,斜
線相等則射影相等,斜線越長則射影越長,垂線段最短。
如圖:⑵三垂線定理及其逆定理圖2-7斜線定理內(nèi)的
射影為,斜線PA在平面a,已知POa是平面aOA,
a內(nèi)的一條直線。
①三垂線定理:若a±0A,則a±PAo即垂直射影則垂直
斜線。
8
z/y
a<"?!=>al/r(線面垂直二的的垂直)
alfl
A
,aQf>sAnn,jLA(面面型直n線面重宣)1
aua
tf±AA
ztfy
a"
A^a
naua
A^a
c1
aLfi\」一“
,}n&ua^U>〃a
a“J
高中課程復(fù)習(xí)專題
②三垂線定理逆定理:若a,PA,則a±OAo即垂直斜線則
垂直射影。
⑶三垂線定理及其逆定理的主要應(yīng)用
三垂線定理2-8圖①證明異面直線垂直;
②作出和證明二面角的平面角;
③作點(diǎn)到線的垂線段。
2面面斜交和二面角
2.1二面角的定義:兩平面
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