第三章圓錐曲線的方程單元綜合測試第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．(2023·江蘇揚州·高二統考開學考試)雙曲線的離心率為(

)A． B． C． D． 【答案】C【解析】由題意得，，所以．故選：C．2．(2023·全國·高二專題練習)設拋物線的頂點為O，焦點為F，準線為l，P是拋物線上異于O的一點，過P作于Q．則線段FQ的垂直平分線(

)A．經過點O B．經過點P C．平行于直線OP D．垂直于直線OP【答案】B【解析】連接PF，由題意及拋物線的定義可知，則為等腰三角形，故線段FQ的垂直平分線經過點P．故選：B．3．(2023·高二課時練習)已知橢圓的對稱軸是坐標軸，離心率為，長軸長為12，則橢圓方程為(

)A． B．C．或 D．【答案】C【解析】由題意知，，，所以，，∴，又因為橢圓的對稱軸是坐標軸，則焦點可能在或軸上.∴橢圓方程：或故選：C4．(2023·江蘇鎮江·高二統考期中)青花瓷是中華陶乲燒制工藝的珍品，屬秞下彩瓷.一只內壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高為，碗口直徑為，碗深.瓷碗的軸截面輪廓可以近似地看成拋物線，碗里有一根長度為的筷子，筷子過瓷碗軸截面輪廓曲線的焦點，且兩端在碗的內壁上.則筷子的中點離桌面的距離為(

)

A． B． C． D．【答案】B【解析】建立平面直角坐標系，如圖所示，設拋物線的方程為，其焦點為，碗口直徑為，碗深，所以拋物線過點，所以，解得，所以拋物線的方程為，設，過中點作軸，由拋物線的定義可得，解得，所以，所以筷子的中點離桌面的距離為.故選：B.

5．(2023·江西萍鄉·高二統考期末)油紙傘是中國傳統工藝品，至今已有1000多年的歷史.為宣傳和推廣這一傳統工藝，某活動中將一把油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示.該傘的傘面是一個半徑為的圓形平面，圓心到傘柄底端距離為2，當光線與地面夾角為時，傘面在地面形成了一個橢圓形影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，該橢圓的離心率(

)

A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，過傘面上端邊沿的光線、過這個邊沿點傘面的直徑及橢圓的長軸圍成底角為的等腰三角形，腰長為傘面圓的直徑，橢圓長軸長為底邊長，則，即，而橢圓的短軸長，即，所以橢圓的離心率故選：D6．(2023·高二課時練習)過拋物線焦點F的直線與拋物線交于P，Q兩點，若P，Q在拋物線準線上的射影為，則等于(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】由于為焦半徑，所以，題中求的是角，故把邊轉化到角，如圖，

則，，，又，所以，，從而.故選：C7．(2023·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學校考期末)已知為拋物線的焦點，過且斜率為1的直線交于，兩點，若，則(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】拋物線的方程為，則其焦點，設直線的方程為，由，可得：，，，根據拋物線定義，，因為，所以，所以即，解得：.故選：B.8．(2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯考期末)已知雙曲線的左，右焦點分別為，右支上一點到雙曲線的兩條漸近線的距離分別為，若，則雙曲線的漸近線方程為(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】設，則，即，漸近線方程為，即，則點到雙曲線的兩條漸近線的距離分別為：，因為，則，可得，即，又由，可得，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．(2023·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學校考期末)下列說法中，正確的有(

)A．過點并且傾斜角為0°的直線方程為B．雙曲線的漸近線方程為C．點關于的對稱點坐標為D．拋物線的準線方程是【答案】BC【解析】對A，過點并且傾斜角為0°的直線方程為，故錯誤；對B，雙曲線的漸近線方程為，故正確；對C，設點關于的對稱點坐標為，則由解得，故正確；對D，拋物線，，準線方程為，故錯誤.故選：BC10．(2023·山西晉中·高二統考期末)關于、的方程表示的軌跡可以是(

)A．橢圓 B．雙曲線 C．直線 D．拋物線【答案】BC【解析】當時，該方程表示的軌跡是直線；當時，該方程表示的軌跡是直線；當且時，原方程可化為.當或時，，該方程表示的軌跡是雙曲線；當，又，則，此時方程為，該方程表示圓；綜上所述，方程所表示的曲線不可能是橢圓或拋物線.故選：BC.11．(2023·廣西·高二校聯考期中)已知雙曲線的左、右焦點分別為，拋物線的焦點與雙曲線C的一個焦點重合，點P是這兩條曲線的一個公共點，則下列說法正確的是(

)A． B．的周長為16C．的面積為 D．【答案】AB【解析】由已知，雙曲線右焦點，即，故A項正確．且拋物線方程為．對于B項，聯立雙曲線與拋物線的方程，整理可得．，解得或(舍去負值)，所以，代入可得，．設，又，所以，，，則的周長為16，故B項正確；對于C項，易知，故C項錯誤；對于D項，由余弦定理可得，，故D項錯誤．故選：AB

12．(2023·山西大同·高二統考期末)經過拋物線的焦點的直線交拋物線于，兩點，設，，則下列說法中正確的是(

)A．當與軸垂直時，最小 B．C．以弦為直徑的圓與直線相離 D．【答案】ABD【解析】

如圖，設直線為，聯立，得，即，所以，，故D正確，，將代入得，故當時，取得最小值，此時直線與軸垂直，故A正確，，代入，，得，故B正確，設的中點為，則以弦為直徑的圓的圓心為，半徑為分別過作拋物線的垂線，垂足分別為,由拋物線的定義知，，則,故以弦為直徑的圓與直線相切，C錯誤，故選：ABD第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．(2023·江蘇鎮江·高二統考期中)雙曲線：(，)的焦點到漸近線的距離等于，則雙曲線的漸近線方程為______.【答案】【解析】由已知可得雙曲線的焦點坐標為，漸進線方程為，則點到漸近線，即的距離.又因為，所以，所以，雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.14．(2023·上海黃浦·高二上海市大同中學校考期中)設和為橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且滿足，則的面積是__________.【答案】/【解析】橢圓，即，所以，，，因為，所以點為短軸頂點，所以.故答案為：15．(2023·高二單元測試)如圖，橢圓①，②與雙曲線③，④的離心率分別為，其大小關系為________．

【答案】【解析】由題意，可得橢圓①，②的值相同，橢圓①的值小于橢圓②的值，又由，可得，根據雙曲線的開口越大離心率越大，根據圖象，可得，所以.故答案為：.16．(2023·江蘇常州·高二常州高級中學校考階段練習)已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，M為橢圓C上任意一點，N為圓E：上任意一點，則的最小值為__________.【答案】/【解析】由題意橢圓C：，M為橢圓C上任意一，N為圓E：上任意一點，

故，當且僅當共線時等號成立，故，當且僅當共線時等號成立，而，故，即的最小值為，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．(10分)(2023·山西晉中·高二統考期末)拋物線的焦點到準線的距離為.(1)求拋物線的標準方程；(2)過焦點的直線(斜率存在且不為0)交拋物線于兩點，線段的中垂線交拋物線的對稱軸于點，求.【解析】(1)因為拋物線的焦點到準線的距離為，所以，根據建系方案的不同，拋物線的標準方程有四種可能，分別是，，，.(2)在平面直角坐標系中，拋物線的位置并不影響的取值，因此不妨取拋物線的方程為，此時焦點，根據題意，直線的斜率存在且不為，因此設直線的方程為，與拋物線聯立，得關于的一元二次方程，則，設、，則，，，，則，線段的中點坐標為，中垂線方程為，令，解得，即中垂線與軸交于，所以，則.

18．(12分)(2023·重慶沙坪壩·高二重慶一中校考期中)已知雙曲線，焦點為，其中一條漸近線的傾斜角為，點在雙曲線上，且.(1)求雙曲線的標準方程；(2)若直線交于兩點，若的面積為，求正實數的值.【解析】(1)由條件知，，故.即雙曲線標準方程為.(2)設，到直線的距離為，聯立得，由，解得，又，故，而又由，故弦長，，又，解得，，又，故.19．(12分)(2023·高二課時練習)已知橢圓的焦點分別是，點分別為橢圓的長軸端點，點B為橢圓的短軸端點，且．(1)求橢圓的方程；(2)求點B與兩點，的連線的斜率的乘積；(3)設點P在這個橢圓上，且，求的長．【解析】(1)因為橢圓的焦點分別是，所以又因為，，聯立可得，，所以橢圓的方程為；(2)由分別為橢圓的長軸端點，所以不妨設，，由點B為橢圓的短軸端點，所以或，當時，，，所以，當時，，，所以，所以點B與兩點的連線的斜率的乘積為；(3)因為點P在這個橢圓上，所以，由小問(1)知，所以，又，聯立可得.20．(12分)(2023·山東青島·高二統考期中)已知點，，中，只有一點不在拋物線上.(1)求W的方程；(2)若直線與W相切，證明：.【解析】(1)若點A、C在上，則，，解得，此時，點B不在W上；若點A、B在上，則，，無解；若點B、C在上，則，，無解；綜上，W的方程為.(2)由題知，將代入得：，所以，即，所以.21．(12分)(2023·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學校考期末)在平面直角坐標系中，已知點，，點滿足，記的軌跡為.(1)求的方程；(2)，直線過點交于，兩點.并且，求直線方程.【解析】(1)因為,所以由橢圓的定義可知，軌跡是以點，為焦點，長軸長為的橢圓，設橢圓方程為，則，∴，又∵，則，∴橢圓的方程為；(2)由題意可知，直線的斜率不為0，設直線的方程為，聯立方程，消去得：，設，，則，，∵，即，∴，即，∴，，∴，且，∴，解得，∴直線方程為