第01講平面向量與三角形中的范圍與最值問題【題型歸納目錄】題型一：定義法題型二：坐標法題型三：基底法題型四：幾何意義法題型五：極化恒等式【知識點梳理】知識點一．平面向量范圍與最值問題常用方法：1、定義法第一步：利用向量的概念及其基本運算將所求問題轉化為相應的等式關系第二步：運用基木不等式求其最值問題第三步：得出結論2、坐標法第一步：根據題意建立適當的直角坐標系并寫出相應點的坐標第二步：將平面向量的運算坐標化第三步：運用適當的數學方法如二次函數的思想、基本不等式的思想、三角函數思想等求解3、基底法第一步：利用其底轉化向量第二步：根據向量運算律化簡目標第三步：運用適當的數學方法如二次函數的思想、基本不等式的思想、三角函數思想等得出結論4、幾何意義法第一步：先確定向量所表達的點的軌跡第二步：根據直線與曲線位置關系列式第三步：解得結果知識點二．極化恒等式1、平行四邊形平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：(1)(2)(1)(2)兩式相加得：2、極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式(1)平行四邊形模式：幾何意義：向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的．(2)三角形模式：(M為BD的中點)AABCM知識點三．在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內容的重點、難點．解決這類問題，通常有下列五種解題技巧：(1)利用基本不等式求范圍或最值；(2)利用三角函數求范圍或最值；(3)利用三角形中的不等關系求范圍或最值；(4)根據三角形解的個數求范圍或最值；(5)利用二次函數求范圍或最值．要建立所求量(式子)與已知角或邊的關系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數值，轉化為函數關系，將原問題轉化為求函數的值域問題．這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數的定義域)找完善，避免結果的范圍過大．【典例例題】題型一：定義法例1．(2023·山東臨沂·高一校考階段練習)如圖，在中，M為線段的中點，G為線段上一點，，過點G的直線分別交直線，于P，Q兩點，，，則的最小值為(

)．A． B． C．3 D．9例2．(2023·廣西·高一校聯考階段練習)已知點是的邊上靠近點的三等分點，點是線段上一點(不包括端點)，若，則的最小值為(

)A．1 B．2 C．3 D．4例3．(2023·江蘇南京·高一南京市寧海中學校聯考期中)已知向量均為單位向量，且，向量滿足，則的最大值為(

)A． B． C． D．題型二：坐標法例4．(2023·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中?？计谥?已知，若點M是所在平面內的一點，且，則的最小值為(

)A． B． C． D．例5．(2023·山東濱州·高一山東省北鎮中學校聯考階段練習)已知梯形，且為平面內一點，則的最小值是(

)A． B． C． D．2例6．(2023·廣東佛山·高一南海中學校考階段練習)在中，已知，，，D是的中點，E，F分別是，上的動點，且，則的最小值為(

)A． B． C． D．題型三：基底法例7．(2023·福建三明·高一三明一中?？计谥?已知以為圓心的單位圓上有兩個定點、及兩個動點、，且，則的最大值是(

)A． B． C． D．例8．(2023·全國·高一專題練習)已知的外心為，且滿足，(其中，則的最大值為(

)A．2 B． C． D．5題型四：幾何意義法例9．(2023·廣東深圳·高一校考期中)平面四邊形是邊長為4的菱形，且．點N是DC邊上的點，滿足．點M是四邊形內或邊界上的一個動點，則的最大值為(

)A．13 B．7 C．14 D．例10．(2023·江蘇南京·高一南京市第一中學?？计谥?向量，，若與的夾角為，則的最大值為(

)A．2 B． C．4 D．例11．(2023·高一課時練習)已知向量，，，滿足，記的最大值為，最小值為，則(

)A． B．2 C． D．1題型五：極化恒等式例12．(2023·浙江·高一校聯考期中)已知圖中正六邊形的邊長為6，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為4，若點P在正六邊形的邊上運動，為圓O的直徑，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．例13．(2023·福建福州·高一福建省福州高級中學?？计谥?已知邊長為2的正方形ABCD內接于圓O，點P是正方形ABCD四條邊上的動點，MN是圓O的一條直徑，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【過關測試】一、單選題1．(2023·高一課時練習)如圖，在直角梯形ABCD中，，，，，動點P在邊BC上，且滿足(m，n均為正數)，則的最小值為(

)

A．1 B． C． D．2．(2023·江蘇泰州·高一泰州中學?？计谥?已知平面向量，對任意實數都有，成立.若，則的最大值是(

)A． B． C． D．3．(2023·湖北黃岡·高一校考期中)如圖所示，在矩形中，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，則的最大值是(

)A．-4 B．4 C．-1 D．14．(2023·重慶北碚·高一西南大學附中?？茧A段練習)平面向量，滿足，且，則與夾角的余弦值的最大值是(

)A． B． C． D．5．(2023·北京·高一首都師范大學附屬中學?？茧A段練習)如圖，A，B，C三點在半徑為l的圓O上運動，M是圓O外一點，且，，則的最大值為(

)A．4 B．5 C．6 D．76．(2023·陜西西安·高一西北工業大學附屬中學?？茧A段練習)已知向量均為單位向量，且．向量與向量的夾角為，則的最大值為(

)A． B．1 C． D．27．(2023·湖北武漢·高一華中師大一附中?？茧A段練習)已知向量，，滿足，，，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．8．(2023·北京·高一北理工附中?？计谥?已知點，，.若平面區域D由所有滿足的點P組成(其中，)，則的取值范圍為(

)A． B．C． D．9．(2023·四川成都·高一樹德中學?？茧A段練習)如圖所示，邊長為2的正，以BC的中點O為圓心，BC為直徑在點A的另一側作半圓弧，點P在圓弧上運動，則的取值范圍為(

)A． B． C． D．10．(2023·四川達州·高一校考期中)如圖，正方形的邊長為2，動點滿足，且點在正方形內部及邊上運動，若，則的取值范圍為(

)A． B． C． D．11．(2023·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谥?如圖，中，，，.在所在的平面內，有一個邊長為1的正方形繞點按逆時針方向旋轉(不少于1周)，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．12．(2023·江蘇南京·高一?？计谥?如圖所示，矩形的邊，，以點為圓心，為半徑的圓與交于點，若點是圓弧(含端點?上的一點，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．13．(2023·湖北武漢·高一華中科技大學附屬中學校聯考期中)已知平行四邊形ABCD中，，點P在線段CD上(不包含端點)，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．14．(2023·陜西西安·高一長安一中?？计谥?點M在邊長為4的正△ABC內(包括邊界)，滿足，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．15．(2023·高一課時練習)設非零向量，若，則的取值范圍為(

)A．[0，1] B．[0，2]C．[0，3] D．[1，2]16．(2023·全國·高一專題練習)如圖所示，梯形中，，點為的中點，，，若向量在向量上的投影向量