人教A版第1頁

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第36講

空間幾何體直觀圖和三視圖

第37講空間幾何體表面積和體積

第38講空間點、直線、平面之間位置

關系

第39講空間中平行關系

第40講空間中垂直關系

第41講空間向量及運算

第42講空間向量處理線面位置關系

第43講空間角與距離求法第七單元立體幾何第3頁第七單元立體幾何第4頁知識框架第七單元

│知識框架第5頁第七單元

│知識框架第6頁考綱要求第七單元

│考綱要求

1．空間幾何體

(1)認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體結構特征，并能利用這些特征描述現實生活中簡單物體結構．

(2)能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等簡易組合)三視圖，能識別上述三視圖所表示立體模型，會用斜二測法畫出它們直觀圖．

(3)會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形三視圖與直觀圖，了解空間圖形不一樣表示形式．

(4)會畫一些建筑物視圖與直觀圖(在不影響圖形特征基礎上，尺寸、線條等不作嚴格要求)．第7頁第七單元

│考綱要求(5)了解球、棱柱、棱錐、臺表面積和體積計算公式(不要求記憶公式)．2.點、直線、平面之間位置關系(1)了解空間直線、平面位置關系定義，并了解以下能夠作為推理依據公理和定理：公理1：假如一條直線上兩點在一個平面內，那么這條直線上全部點都在此平面內．公理2：過不在同一條直線上三點，有且只有一個平面．公理3：假如兩個不重合平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點公共直線．公理4：平行于同一條直線兩條直線相互平行．第8頁第七單元

│考綱要求定理：空間中假如一個角兩邊與另一個角兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補．

(2)以立體幾何上述定義、公理和定理為出發點，認識和了解空間中線面平行、垂直相關性質與判定定理．了解以下判定定理：

假如平面外一條直線與此平面內一條直線平行，那么該直線與此平面平行．假如一個平面內兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行．假如一條直線與一個平面內兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直．假如一個平面經過另一個平面垂線，那么這兩個平面垂直．第9頁第七單元

│考綱要求了解以下性質定理，并能夠證實：假如一條直線與一個平面平行，那么經過該直線任何一個平面與此平面交線和該直線平行．假如兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們交線相互平行．垂直于同一個平面兩條直線平行．假如兩個平面垂直，那么一個平面內垂直于它們交線直線與另一個平面垂直．

(3)能利用公理、定理和已取得結論證實一些空間圖形位置關系簡單命題．

3．空間向量及其運算

(1)了解空間向量概念，了解空間向量基本定理及其意第10頁第七單元

│考綱要求義，掌握空間向量正交分解及其坐標表示．

(2)掌握空間向量線性運算及其坐標表示．

(3)掌握空間向量數量積及其坐標表示，能利用向量數量積判斷向量共線與垂直．

4．空間向量應用

(1)了解直線方向向量與平面法向量．

(2)能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直、平行關系．

(3)能用向量方法證實相關直線和平面位置關系一些定理(包含三垂線定理)．

(4)能用向量方法處理直線與直線、直線與平面、平面與平面夾角計算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中應用．第11頁命題趨勢第七單元

│命題趨勢

立體幾何是中學數學主干知識之一，側重考查空間想象能力和推理計算能力，縱觀近三年新課標省市高考試題中，立體幾何部分在題型、題量、分值、難度等方面，均保持相對穩定，其考查熱點內容有以下幾個特點：1．從考查形式看，普通有兩個左右選擇題或填空題和一道解答題，分值為22分左右，約占總分值(150分)15%；包括立體幾何內容命題形式最為多變，填空題嘗試設計成多項選擇填空、完形填空、結構填空等題型，以及開放性問題和多項選擇題．

2．從考查內容看，一是以客觀題來考查空間幾何體概念與性質、線面關系判定、表面積與體積、三視圖與直觀圖等，第12頁第七單元

│命題趨勢其中線面位置關系判定又常與命題、充要條件等相關知識融合在一起進行考查，在幾何體表面積與體積為載體試題中滲透函數、方程等數學思想方法；二是解答題以空間幾何體為載體，考查立體幾何綜合問題．主要是位置關系判定、空間角與距離計算，普通都可用幾何法和向量法兩種方法求解．預測新課標高考，對立體幾何考查知識點及試題難度，會繼續保持穩定，著重考查空間點、線、面位置關系判斷及幾何體表面積與體積計算，應用空間向量處理空間角與空間距離；而三視圖作為新課標新增內容，主要形式是在三視圖為載體試題中融入簡單幾何體表面積與體積計算，也可能會出現在解答題中與其它知識點交匯與綜合．第13頁使用提議

1．編寫意圖本單元內容是必修2立體幾何初步和選修2－1空間向量與立體幾何兩部分內容整合，在高考試題中以中、低級題形式出現，所以，編寫時主要考慮以下幾方面：(1)本單元公理、定理較多，編寫時重視從文字、符號、圖形這三方面進行分析，并經過經典例題到達熟練掌握及應用；(2)空間想象能力是學習立體幾何最基本能力要求，選擇例題時重視培養學生識圖、作圖、了解與應用圖能力；第七單元

│使用提議第14頁(3)對本單元重點內容是空間線面平行與垂直、空間角計算，第39、40講專題講解，還在第42講中講解應用空間向量處理線面位置關系，第43講研究空間角與距離求法．2．教學指導立體幾何主要是培養學生空間想象能力、推理論證能力、利用圖形語言進行交流能力以及幾何直觀能力，本單元重點是空間元素之間平行與垂直關系、空間幾何體表面積與體積，并關注畫圖、識圖、用圖能力提升，在復習時我們要重視以下幾點：(1)立足課標，控制難度．新課標對立體幾何初步要求，改變了經典“立體幾何”把推理論證能力放在最突出位置，第七單元

│使用提議第15頁從單純強調幾何邏輯推理轉變為合情推理與邏輯推理并重，切忌盲目拔高．(2)重視提升空間想象能力．在復習過程中，要重視將文字語言轉化為圖形，明確已知元素之間位置關系及度量關系；借助圖形來反應并思索未知空間形狀與位置關系；能從復雜圖形中分析出基本圖形和位置關系，并借助直觀感覺展開聯想與猜測，進行推理與計算．(3)歸納總結，規范訓練．復習中要抓根本，攻重點，針對重點內容加以訓練，如平行和垂直是位置關系關鍵，而線面垂直又是關鍵關鍵；要加強數學思想方法總結與提煉，立體幾何中蘊含著豐富思想方法，如轉化與化歸思想，第七單元

│使用提議第16頁熟練將空間問題轉化成平面圖形來處理，以及線線、線面、面面關系相互轉化；要規范例題講解與作業訓練，例題講解要重視作、證、求三步驟，符號語言表示要規范、嚴謹．另外，適度關注對平行、垂直探究，關注對條件或結論不完備情景下開放性問題探究．(4)在空間角和距離求解和位置關系判定中，體會空間向量這一工具巨大作用．3．課時安排本單元共8講和一個滾動基礎訓練卷，一個單元能力訓練卷，每講提議1課時完成，基礎訓練卷和單元能力訓練卷都提議1課時完成，共需10課時．第七單元

│使用提議第17頁第36講│空間幾何體直觀圖和三視圖第36講空間幾何體直觀圖

和三視圖第18頁名稱棱柱棱錐棱臺圖形表示棱柱________________________，或棱柱______棱錐____________，或棱錐________棱臺________________________，或棱臺________分類以底面多邊形邊數為標準分為________、_______、________等以底面多邊形邊數為標準分為________、______、________等以底面多邊形邊數為標準分為_________、_______、_______等知識梳理第36講│知識梳理BCDE－A′B′C′D′E′AC′S－ABCDE

S－AC

ABCDE－A′B′C′D′E′

AC′

三棱柱四棱柱五棱柱三棱錐四棱錐五棱錐三棱臺四棱臺五棱臺1.棱柱、棱錐、棱臺結構特征第19頁名稱棱柱棱錐棱臺結構特征①有兩個面相互________，其余各個面都是_____________；②每相鄰兩個四邊形公共邊都相互________有一個面是________，其余各面是有一個公共頂點________多面體用一個平行于棱錐底面平面去截棱錐，________和________之間部分側棱______________相交于________但不一定相等延長線交于________側面展開形狀__________________________________第36講│知識梳理平行平行四邊形平行多邊形三角形底面截面平行且相等一點一點平行四邊形三角形梯形第20頁名稱圓柱圓錐圓臺球圖形表示圓柱_______圓錐_______圓臺_______球________底面平行且全等________________相同兩個________無軸線過底面________且________于底面過________和底面________且________于底面過上、下底面________且________于底面過________第36講│知識梳理OO′2.圓、圓錐、圓臺和球結構特征SOOO′O圓圓面圓面圓心垂直頂點圓心垂直圓心垂直球心第21頁名稱圓柱圓錐圓臺球母線平行、相等且________于底面相交于________延長線交于________無軸截面全等________全等______________全等__________________側面展開圖________________________無第36講│知識梳理垂直一點一點矩形等腰三角形等腰梯形大圓矩形扇形扇環第22頁第36講│知識梳理3.三視圖與直觀圖三視圖(1)空間幾何體三視圖是用__________得到，在這種投影下與投影面平行平面圖形留下影子與平面圖形形狀和大小是___________，即從幾何體________、________、________三個方向，觀察這個幾何體，得到投影圖分別稱為________、________、________，即幾何體三視圖．(2)三視圖排列次序是，先畫________，俯視圖放在正視圖________，且________相等；側視圖放在________右方，且________相等；側視圖與俯視圖________相等，即“長對正，高平齊，寬相等”正投影完全相同正前方正左方正上方正視圖側視圖俯視圖正視圖下方長度正視圖高度寬度第23頁第36講│知識梳理直觀圖空間幾何體直觀圖慣用________畫法來畫，基本步驟是畫幾何體底面在已知圖形中取相互垂直x軸和y軸，兩軸相交于點O，畫直觀圖時，把它們畫成對應x′軸與y′軸，兩軸相交于點O′，且使∠x′O′y′＝______________，它們確定平面表示水平面；已知圖形中平行于x軸或y軸線段，在直觀圖中分別畫成________x′軸與y′軸線段；③已知圖形中平行于x軸線段，在直觀圖中保持原長度______，平行于y軸線段，長度為______________．畫幾何體高在已知圖形中過O點作垂直于xOy平面z軸，在直觀圖中對應z′軸，也垂直于x′O′y′平面，已知圖形中平行于z軸線段，在直觀圖中仍________z′軸且長度________斜二測45°或135°平行于不變原來二分之一平行于不變第24頁關鍵點探究?探究點1空間幾何體結構特征第36講│關鍵點探究

例1

以下是關于空間幾何體四個命題中，①由八個面圍成，其中兩個面是相互平行且全等正六邊形，其它各面是矩形幾何體是六棱柱；②有一個面是多邊形，其余各面都是三角形幾何體一定是棱錐；③有兩個面相互平行，其余各面都是梯形幾何體一定是棱臺；④棱錐側面是全等等腰三角形，該棱錐一定是正棱錐．其中正確命題個數是(

)A．0B．1C．2D．3第25頁第36講│關鍵點探究例1[思緒]要判斷幾何體類型，應從各類幾何體結構特征入手，結合棱錐、正棱錐概念及相關性質，逐一進行考查．B

[解析]①是正確，如圖1所表示，該幾何體滿足有兩個面相互平行，其余六個面都是矩形，則每相鄰兩個面公共邊都相互平行，故該幾何體是六棱柱(如圖1)；②是錯誤，有一個面是多邊形，其余各面都是三角形幾何體不一定是棱錐(如圖2)；第26頁第36講│關鍵點探究③是錯誤，有兩個面相互平行，其余各面都是梯形幾何體不一定是棱臺(如圖3)；④是錯誤，如圖4所表示，AB＝BC＝CD＝DA，AC＝BD，棱錐側面是全等等腰三角形，但該棱錐不是正三棱錐．故選B.第27頁第36講│關鍵點探究[點評]準確了解幾何體定義，真正把握幾何體結構特征是處理概念題關鍵；另外，要斷定命題為假時，還能夠結構反例，或借助于周圍實物判斷．下面變式題復習旋轉體結構特征以及其截面形狀．第28頁第36講│關鍵點探究

以下有4個命題：①用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓，則這個幾何體一定是球；②以三角形一邊為軸旋轉一周所得旋轉體是圓錐；③以直角梯形一腰為軸旋轉一周所得旋轉體是圓臺；④一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺．其中正確命題個數為(

)A．0B．1C．2D．3變式題第29頁第36講│關鍵點探究

[思緒]求處理平面圖形繞軸旋轉問題切入點是，對原平面圖形作適當分割，再依據圓錐、圓柱、圓臺、球結構特征進行判斷；處理截面問題關鍵是，熟悉旋轉體各個方向截面形狀．變式題第30頁第36講│關鍵點探究B

[解析]依據球、圓柱、圓錐、圓臺概念不難判出：①是正確，當用過高線平面截圓柱和圓錐時，截面分別為矩形和三角形，只有球滿足任意截面都是圓面；第31頁第36講│關鍵點探究②是錯誤，當以直角三角形一條直角邊為軸旋轉才能夠得到圓錐，如圖(1)、(2)所表示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋轉軸不是直角邊，所得幾何體都不是圓錐；③是錯誤，只有以直角梯形垂直于底邊一腰為軸旋轉可得到圓臺；④是錯誤，只有用平行于圓錐底面平面截圓錐，才可得到一個圓錐和圓臺．故選B.第32頁第36講│關鍵點探究?探究點2空間幾何體三視圖第33頁第36講│關鍵點探究例2[思緒]本題可由實物圖畫出三視圖，畫幾何體三視圖時，可見輪廓線和棱用實線畫出，不能看見輪廓線用虛線表示；畫圖時，先確定幾何體中與投影面垂直或平行線及面位置．D

[解析]設AA′＝a，則BB′＝2a，CC′＝3a，先畫AB及AA′、BB′位置，可排除A、C；由△ABC是正三角形，且棱CC′被遮擋，可排除B，故選D.第34頁第36講│關鍵點探究?探究點3空間幾何體直觀圖

例3

已知正三角形ABC邊長為1，那么△ABC平面直觀圖△A′B′C′面積為________．例3[思緒]本題切入點是按照斜二測畫法規則，畫出正三角形直觀圖，求出△A′B′C′底邊上高，再求其面積．第35頁第36講│關鍵點探究第36頁第36講│關鍵點探究第37頁第36講│關鍵點探究變式題

[·揚州模擬]用斜二測畫法畫一個水平放置平面圖形直觀圖為如圖36－3所表示一個正方形，則原來圖形是(

)第38頁第36講│關鍵點探究變式題[思緒]依據斜二測畫法規則，將直觀圖還原時，平行于x軸線段長度不變，平行于y軸線段長度變為直觀圖中對應線段長度2倍，即得到原來圖形．A

[解析]由直觀圖可知，在直觀圖中多邊形為正方形，對角線長為，所以原圖形為平行四邊形，位于y軸上對角線長為2.第39頁第36講│關鍵點探究?探究點4三視圖、直觀圖綜合應用

例4[·廣東卷]某高速公路收費站入口處安全標識墩如圖36－5(a)所表示．墩上半部分是正四棱錐P－EFGH，下半部分是長方體ABCD－EFGH.圖36－5(b)、圖36－5(c)分別是該標識墩正(主)視圖和俯視圖．(1)請畫出該安全標識墩側(左)視圖；(2)求該安全標識墩體積．第40頁第36講│關鍵點探究

例4

[思緒]本題給出空間幾何體是一個正四棱錐和長方體組成簡單組合體，可由直觀圖得到側視圖形狀；再由已知正視圖和俯視圖數量關系知道，側視圖和正視圖是完全相同，且幾何體數量關系可知，故體積可求．第41頁第36講│關鍵點探究[點評]本題與實際問題相結合，表達了數學應用性，作圖題要規范準確，不要忘記標出相關數據．求體積時注意把不規則幾何體割補成規則幾何體．本題求體積時，應用“長對正，寬相等，高平齊”得出相關數據是關鍵．第42頁第36講│關鍵點探究

[·遼寧卷]如圖36－6所表示，網格紙小正方形邊長是1，在其上用粗線畫出了某多面體三視圖，則這個多面體最長一條棱長為________．變式題第43頁第36講│關鍵點探究變式題[思緒]本題能夠利用幾何體三視圖與直觀圖之間關系，解題切入點可先將三視圖還原，畫出直觀圖，再利用網格線給出長度求解．

[解析]由已知三視圖還原為直觀圖后幾何體是四棱錐V－ABCD(如圖所表示)，滿足VA⊥平面ABCD；依據題目中給出方格長度，能夠求得四棱錐V－ABCD底面是邊長為2正方形，且四棱錐高為2，所以這個多面體最長一條棱VC長為

.第44頁第36講│規律總結規律總結1．幾類特殊多面體及它們之間關系第45頁第36講│規律總結

2．柱體(圓柱與棱柱)、臺體(圓臺與棱臺)、錐體(圓錐與棱錐)聯絡3．由幾何體三視圖判斷原物體形狀由幾何體三視圖來判斷原物體形狀時普通規律為：“長對正，高平齊，寬相等”，由此可見，正視圖和側視圖形狀確定原幾何體為柱體、錐體還是臺體；俯視圖確定原幾何體為多面體還是旋轉體．第46頁第36講│規律總結4．用斜二測畫法畫立體圖形直觀圖用斜二測畫法畫立體圖形直觀圖步驟是：一畫軸，二畫底，三畫高，四成圖；其中，關鍵是要依據圖形特點選取適當坐標系，盡可能把頂點或其它關鍵點放在軸上或與軸平行直線上，這么能夠簡化作圖步驟，對于圖形中平行于y軸線段畫直觀圖時要畫成原來長度二分之一，對于圖形中與x軸、y軸和z軸都不平行線段，可經過確定端點方法來處理．第47頁第37講│空間幾何體表面積和體積

第37講空間幾何體表面積

和體積第48頁知識梳理第37講│知識梳理

1．柱體、錐體、臺體表面積(1)多面體表面積①我們能夠把多面體展成___________，利用__________求面積方法，求多面體表面積；②棱柱、棱錐、棱臺是由多個平面圖形圍成多面體，它們側面積就是各__________之和，表面積是______________之和，即________與________之和．平面圖形平面圖形側面面積各個面面積側面積底面積第49頁第37講│知識梳理(2)旋轉體表面積公式名稱圖形側面積表面積圓柱S圓柱側＝________S＝_____________或S＝______________圓錐S圓錐側＝__________S＝_________或S＝_________2πrl2πr2＋2πrl2πr(r＋l)πrlπr2＋πrlπr(r＋l)第50頁第37講│知識梳理名稱圖形側面積表面積圓臺S圓臺側＝___________S＝____________________球S＝________π(r＋r′)lπ(r′2＋r2＋r′l＋rl)

4πR2第51頁第37講│知識梳理2.柱體、錐體、臺體體積(1)設棱(圓)柱底面積為S，高為h，則體積V＝________；(2)設棱(圓)錐底面積為S，高為h，則體積V＝________；(3)設棱(圓)臺上、下底面積分別為S′、S，高為h，則體積V＝__________________；(4)設球半徑為R，則球體積V＝________.注：對于一些不規則幾何體，慣用割補方法，轉化成已知體積公式幾何體求體積．Sh第52頁關鍵點探究第37講│關鍵點探究?探究點1空間幾何體表面積和體積計算

例1(1)[·安徽卷]一個幾何體三視圖如圖37－1所表示，該幾何體表面積是(

)A．372B．360C．292D．280第53頁第37講│關鍵點探究(2)

一個容器外形是一個棱長為2正方體，其三視圖如圖37－2所表示，則容器容積為(

)第54頁第37講│關鍵點探究例1（1）[思緒]解題切入點是把三視圖還原為直觀圖，把三視圖中條件轉化為直觀圖條件，依據各面特征分別求面積，再求表面積．

B

[解析]由三視圖可知，該幾何體是由兩個長方體組成組合體，上面長方體長為6、寬為2、高為8；下面長方體長為10、寬為8、高2，所以該幾何體表面積等于下面長方體全方面積與上面長方體4個側面積之和，即

S＝(10×8＋10×2＋8×2)×2＋(8×6＋8×2)×2＝360，故選B.第55頁第37講│關鍵點探究(2)[思緒]由三視圖判斷容器形狀是一個倒置圓錐，依據三視圖條件能夠確定容器半徑與高，代入體積公式求解．A

[解析]由三視圖可知，幾何體為正方體內倒置圓錐(如圖)，軸截面是等腰三角形，其底面半徑為1，高為2，故容器體積為第56頁第37講│關鍵點探究[點評]在以三視圖為載體試題中融入簡單幾何體表面積與體積是高考新課標卷熱點題型，解題關鍵是由三視圖確定直觀圖形狀，以及直觀圖中線面位置關系和數量關系，利用表面積公式求解；另外，組合體表面積重合部分輕易產生重復計算錯誤．下面變式題是旋轉體表面積計算問題：第57頁第37講│關鍵點探究如圖37－3所表示，已知各頂點都在一個球面上正四棱柱高為4，體積為16，求這個球表面積．變式題1第58頁第37講│關鍵點探究變式題1

[思緒](1)相關球計算關鍵是求出半徑，球外接于正四棱柱，正四棱柱頂點在球面上，正四棱柱對角線長等于球直徑．[解答](1)設正四棱柱底邊長為a，則V＝Sh＝a2h＝a2·4＝16，∴a＝2.如圖，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1頂點都在球面上，過相正確側棱AA1、CC1及球心O作截面，對角線AC1就是球直徑，設球半徑為R，則第59頁第37講│關鍵點探究已知某幾何體俯視圖是如圖37－4所表示矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個底邊長為8、高為4等腰三角形，側視圖(或稱左視圖)是一個底邊長為6、高為4等腰三角形．(1)求該幾何體體積V；(2)求該幾何體側面積S.變式題2第60頁第37講│關鍵點探究變式題2

[解答]由已知三視圖條件可得，幾何體是一個高為4四棱錐，其底面是長、寬分別為8和6矩形，正側面及相對側面均為底邊長為8，高為h1等腰三角形，左右側面均為底邊長為6、高為h2等腰三角形(如圖四棱錐P－ABCD所表示)．第61頁?探究點2空間幾何體中最值問題第37講│關鍵點探究

例2[·全國卷Ⅱ]第62頁第37講│關鍵點探究第63頁第37講│關鍵點探究??高考命題者說【考查目標】本題考查正四棱錐概念和體積計算，考查函數最大值概念和求解方法，綜合考查考生運算求解能力．【命制過程】本題要求考生了解正四棱錐概念，進而得到正四棱錐體積表示式．分析求解體積最大值問題是本題重點，試題設計為考生提供了處理問題多個切入點．【解題思緒】如右圖，在正四棱錐S－ABCD中，O是底面正方形ABCD中心．第64頁第37講│關鍵點探究第65頁第37講│關鍵點探究第66頁第37講│關鍵點探究變式題[·寶山調研]如圖37－5，已知正四棱錐P－ABCD全方面積為2，記正四棱錐高為h.試用h表示底面邊長，并求正四棱錐體積V最大值．第67頁第37講│關鍵點探究變式題第68頁第37講│關鍵點探究第69頁?探究點3展開與折疊問題第37講│關鍵點探究

例3如圖37－6所表示，已知圓錐SO中，底面半徑r＝1，母線長l＝4，M為母線SA上一個點，且SM＝x，從點M拉一根繩子，圍繞圓錐側面轉到點A，求：(1)繩子最短長度平方f(x)；(2)繩子最短時，頂點到繩子最短距離．第70頁第37講│關鍵點探究第71頁第37講│關鍵點探究第72頁第37講│關鍵點探究變式題

[·福州模擬]如圖37－7所表示，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E為AB中點，將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點A，則三棱錐A－DCE外接球體積為(

)第73頁第37講│關鍵點探究變式題第74頁第37講│規律總結規律總結1．柱、錐、臺體側面積和表面積都是利用展開圖得到，必須熟悉其側面展開圖形狀．名稱側面展開圖展開圖名稱棱柱n個平行四邊形第75頁第37講│規律總結名稱側面展開圖展開圖名稱棱錐n個共頂點三角形棱臺n個梯形第76頁第37講│規律總結名稱側面展開圖展開圖名稱圓柱矩形，矩形長是圓柱底面周長，寬是圓柱母線長圓錐扇形，扇形半徑是圓錐母線長，弧長是圓錐底面周長第77頁第37講│規律總結名稱側面展開圖展開圖名稱圓臺扇環，扇環內、外弧長分別是圓臺上、下底面周長第78頁第38講│空間點、直線、平面之間位置關系第38講空間點、直線、平面之間位置關系第79頁知識梳理第38講│知識梳理

1．平面概念及其表示(1)平面概念幾何里所說“平面”就是從一些物體(課桌面、海平面等)抽象出來，平面有兩個特征：①_____________，即平面是無邊界且無限延展；②_________________，即平面是無厚薄、無大小、無數個平面重合在一起，依然是一個平面，平面是無所謂面積．一個平面把空間分成兩部分，平面上一條直線把平面分成兩部分．

無限延展平(沒有厚度)第80頁第38講│知識梳理

(2)平面表示法通常畫____________________表示平面(如圖38－1)，平面可用小寫希臘字母表示，如________、平面β；或用表示平行四邊形頂點大寫英文字母表示，如_____________、____________________.平行四邊形平面α平面AC平面ABCD第81頁名稱內容圖形表示數學語言表示作用公理1假如一條直線上________在一個平面內，那么這條直線在此平面內A∈l，B∈l且A∈α，B∈α?l?α①判定直線在平面內；②判定點在平面內公理2過________一條直線上________，有且只有一個平面若A、B、C三點不一樣在一條直線上，則A、B、C三點確定一個平面α①確定平面；②證實點、線共面第38講│知識梳理兩點2．平面基本性質不在三點第82頁名稱內容圖形表示數學語言表示作用公理3假如兩個________平面有______公共點，那么它們有且只有一條過該點公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l①判定兩個平面是否相交；②證實點在直線上；③證實三點共線；④證實三線共點；⑤畫兩個相交平面交線第38講│知識梳理不重合一個第83頁第38講│知識梳理注：公理2有以下三個推論名稱內容圖形數學語言表示作用公理2推論推論1經過______________________，有且只有一個平面若A?l，則點A和直線l確定一個平面α①確定平面；②證實點、線共面推論2經過兩條____________有且只有一個平面若a∩b＝P，則a與b確定一個平面α，使a?α，b?α推論3經過兩條__________有且只有一個平面若a∥b，則a與b確定一個平面α，使a?α，b?α一條直線和直線外一點相交直線平行直線第84頁位置關系圖形表示表示方法公共點個數共面直線相交直線a∩b＝A有且只有________公共點平行直線a∥b在同一平面內，________公共點異面直線a、b是異面直線不一樣在__________平面內，_________公共點第38講│知識梳理3.空間直線與直線位置關系一個沒有任何一個沒有第85頁第38講│知識梳理4.平行直線(1)公理4(平行公理)：平行于同一條直線____________________．用符號表示為：a∥b，b∥c?a∥c.由公理4可知，空間平行線含有________．公理4結論與平面幾何中相關結論相同，是平面幾何中結論推廣，是判定空間兩條直線________依據．(2)等角定理：空間中假如兩個角兩邊分別對應平行，那么這兩個角_____________．5.異面直線(1)定義：________________________兩條直線叫做異面直線．兩條直線相互平行傳遞性平行相等或互補不一樣在任何一個平面內第86頁第38講│知識梳理(2)性質：兩條異面直線既不________也不________．(3)異面直線所成角已知異面直線a、b，在空間任取一點O，過O作_________________，則a′與b′所成________(或________)叫做異面直線a與b所成角(或夾角)．異面直線所成角范圍：________.假如兩條異面直線所成角是直角，則稱這兩條異面直線________．兩條相互垂直異面直線a、b，記作_______.相交平行a′∥a，銳角直角相互垂直a⊥bb′∥b第87頁關鍵點探究第38講│關鍵點探究?探究點1空間點、線、面位置關系判定

例1如圖38－2，正方體ABCD－A1B1C1D1中，判斷以下命題是否正確，并請說明理由．(1)直線AC1在平面CC1B1B內；(2)設正方形ABCD與A1B1C1D1中心分別為O、O1，則平面AA1C1C與平面BB1D1D交線為OO1；(3)由點A、O、C能夠確定一個平面；(4)由A、C1、B1確定平面是ADC1B1；(5)若直線l是平面AC內直線，直線m是平面D1C內直線，若l與m相交，則交點一定在直線CD上．第88頁第38講│關鍵點探究

例1

[思緒]利用平面基本性質進行判斷．[解答](1)錯誤．若AC1?平面CC1B1B，又BC?平面CC1B1B，則A∈平面CC1B1B，且B∈平面CC1B1B，∴AB?平面CC1B1B，與AB?平面CC1B1B矛盾；(2)正確．因為O、O1是兩平面兩個公共點，所以平面AA1C1C與平面BB1D1D交線為OO1；(3)錯誤．因為A、O、C三點共線；(4)正確．因為A、C1、B1不共線，∴A、C1、B1三點確定一個平面α，第89頁第38講│關鍵點探究[點評]平面基本性質是判斷線面關系依據，在判斷過程中可適當利用圖形以及結構特例，以下面變式．又AB1C1D為平行四邊形，AC1、B1D相交于O2點，而O2∈α，B1∈α，∴B1O2?α，而D∈B1O2，∴D∈α；(5)正確．若l與m相交，則交點是兩平面公共點，而直線CD為兩平面交線，所以交點一定在直線CD上．第90頁第38講│關鍵點探究變式題以下命題：①空間中不一樣三點確定一個平面；②有三個公共點兩個平面必重合；③空間兩兩相交三條直線確定一個平面；④三角形是平面圖形；⑤平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形；⑥兩組對邊相等四邊形是平行四邊形．其中正確命題是________．

[思緒]本題可依據平面基本性質進行判斷，要注意條件嚴密性，可經過舉反例來判斷命題真假．①②③④可利用公理直接作出判斷，⑤⑥注意與平面幾何區分．④

[解析]由公理2知，不共線三點才能確定一個平面，所以知命題①②均錯，②中有可能出現兩平面只有一條公共線變式題第91頁第38講│關鍵點探究(當這三個公共點共線時)．③空間兩兩相交三條直線有三個交點或一個交點，若為三個交點，則這三線共面；若只有一個交點，則可能確定一個平面或三個平面．⑤中平行四邊形及梯形由公理2可得必為平面圖形，而四邊形有可能是空間四邊形，如圖①所表示.⑥如圖②四邊形AD′B′C中，AD′＝D′B′＝B′C＝CA，但它不是平行四邊形，所以⑥也錯.正確命題只有④.第92頁第38講│關鍵點探究?探究點2三點共線與三線共點問題

例2

如圖38－3所表示，E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD邊AB、BC、CD、DA上點，且EH與FG相交于點O.求證：B、D、O三點共線．第93頁第38講│關鍵點探究例2

[思緒]要證實B、D、O三點共線，可用公理3證實這三點是平面ABD與平面BCD公共點，則這三點都在這兩個平面交線上．[解答]∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD，∴EH?平面ABD.∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD，同理可證O∈平面BCD，∴O∈平面ABD∩平面BCD，即O∈BD，所以B、D、O三點共線．第94頁第38講│關鍵點探究

[點評]證實點共線依據是公理3，其方法是找出這些點所在兩個平面，說明各個點都是這兩個平面公共點，則這些點必在這兩個平面交線上；另外，證實三線共點依據也是公理3，可證實其中兩直線交點在第三條直線上，把問題歸結為證實點在直線上問題，而第三條直線是經過這兩條直線兩平面交線，兩個平面公共點必在這兩個平面交線上．下面變式題就是三線共點問題：第95頁第38講│關鍵點探究變式題兩個不全等三角形ABC、A1B1C1不在同一平面內，如圖38－4所表示，A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA，求證：AA1、BB1、CC1交于一點．第96頁第38講│關鍵點探究[思緒]先證實兩直線交點在兩平面交線上，而第三條直線恰好是兩個相交平面交線．[解答]因為A1B1∥AB，所以A1B1與AB確定平面α，因為B1C1∥BC，所以B1C1與BC確定平面β，因為C1A1∥CA，所以C1A1與CA確定平面γ，又△ABC與△A1B1C1不全等，所以有兩條對應邊不相等，設AB≠A1B1，因為AA1?α，BB1?α，則AA1與BB1必相交于P點，因為BB1?β，所以P∈β；因為AA1?γ，所以P∈γ，于是P在β、γ交線上，又β∩γ＝CC1，即P∈CC1，所以C、C1、P三點共線，所以，AA1、BB1、CC1交于一點P.變式題第97頁第38講│關鍵點探究?探究點3點線共面問題第98頁第38講│關鍵點探究第99頁第38講│關鍵點探究第100頁第38講│關鍵點探究第101頁第38講│關鍵點探究?探究點4異面直線所成角

例4[·全國卷Ⅰ]如圖38－6所表示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成角等于(

)A.30°B.45°C.60°D.90°第102頁第38講│關鍵點探究第103頁第38講│關鍵點探究第104頁第38講│關鍵點探究

??高考命題者說【考查目標】本題考查直三棱柱概念、異面直線所成角概念和求解方法，綜合考查考生空間想象能力和運算求解能力．【命制過程】本題以直三棱柱為載體，既面向全體考生，又為考生提供多個處理問題切入點．【解題思緒】思緒1如圖(1)，建立空間直角坐標系．設AB＝1，則有

第105頁第38講│關鍵點探究第106頁第38講│關鍵點探究思緒2如圖(2)所表示，將直三棱柱ABC－A1B1C1嵌入正方體中，則∠AC1E＝60°為異面直線BA1與AC1所成角．【試題評價】試題以直三棱柱為載體，面向全體考生，突出對異面直線所成角概念了解，為各種求解方法使用提供了操作平臺，使考生靈活利用數學知識和方法處理實際問題能力得到表達．(引自高等教育出版社綱領版《高考文科試題分析》第95頁第6題)第107頁第38講│關鍵點探究變式題

[·湖南卷]如圖38－7所表示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1中點．求異面直線A1M和C1D1所成角正切值．第108頁第38講│關鍵點探究變式題第109頁第38講│規律總結規律總結1．公理作用公理1作用是判斷直線是否在某個平面內；公理2及其3個推論給出了確定一個平面或判斷“直線共面”方法；公理3作用是怎樣尋找兩相交平面交線以及證實“線共點”理論依據．2．證實三點共線及三線共點方法證三點共線及三線共點，都要轉化為證實點在直線上，而要證實點在直線上，可分別證點在兩個平面內，從而在兩個平面交線上．第110頁第38講│規律總結3．證實點線共面慣用方法(1)納入平面法：先確定一個平面，再證實相關點、線在此平面內；(2)輔助平面法：先證實相關點、線確定平面α，再證實其余元素確定平面β，最終證實平面α、β重合．4．求兩條異面直線所成角大小，普通方法是經過平行移動直線，把異面問題轉化為共面問題來處理．其關鍵是將其中一條直線平移到某個位置使其與另一條直線相交，或將兩條直線同時平移到某個位置，使其相交．平移直線方法有：①直接平移；②中位線平移．第111頁第39講│空間中平行關系第39講空間中平行關系第112頁知識梳理第39講│知識梳理

1．空間中直線和平面位置關系

位置關系圖形表示符號表示公共點直線a在平面α內________有________公共點直線在平面外直線a與平面α平行________________公共點直線與平面相交直線a與平面α斜交________有且只有________公共點直線a與平面α垂直________a?α無數個a∥α沒有a∩α＝Aa⊥α一個第113頁第39講│知識梳理

2．空間中兩個平面位置關系

位置關系圓形表示符號表示公共點兩平面平行________________公共點兩平面相交斜交________有一條公共________垂直_______且___________α∥β沒有α∩β＝lα⊥βα∩β＝a直線第114頁第39講│知識梳理

3．直線與平面平行判定與性質

類別語言表述圖形表示符號表示應用判定判定一條直線與一個平面___________，則稱這條直線與這個平面平行α∩α＝??a∥α證實直線與平面平行平面外_______________________________平行，則這條直線平行于這個平面a?α，b?α，且a∥b?a∥α性質一條直線和一個平面平行，則過這條直線任一平面與此平面______與該直線______a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b沒有公共點一條直線與此平面內一條直線交線平行第115頁第39講│知識梳理

4．平面與平面平行判定與性質

類別語言表述圖形表示符號表示應用判定一個平面內兩條_________與另一個平面平行，則這兩個平面平行a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β證實平面與平面平行假如一個平面內有兩條_________分別平行于另一個平面內______________，那么這兩個平面平行a?α，b?α，a∩b＝P，a∥a′，b∥b′?α∥β垂直于____________兩個平面平行a⊥α，a⊥β?α∥β相交直線相交直線兩條直線同一條直線第116頁第39講│知識梳理

類別語言表述圖形表示符號表示應用性質兩個平面平行，則其中一個平面內直線必______于另一個平面α∥β，a?α?a∥β證實直線與平面平行假如兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們________平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b證實直線與直線平行平行交線第117頁關鍵點探究第39講│關鍵點探究?探究點1平行判定

例1[·福州質檢]已知三棱柱ABC－A1B1C1中，M、N分別是A1B1和BC中點，連接MN，AM，AN.求證：MN∥平面ACC1A1.第118頁第39講│關鍵點探究第119頁第39講│關鍵點探究第120頁第39講│關鍵點探究第121頁第39講│關鍵點探究變式題

[·陜西卷]如圖39－2所表示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分別是PB，PC中點．(1)求證：EF∥平面PAD；(2)求三棱錐E－ABC體積V.第122頁第39講│關鍵點探究變式題第123頁第39講│關鍵點探究第124頁第39講│關鍵點探究

例2如圖39－3所表示，正三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F、G、H分別是AB、AC、A1C1、A1B1中點．求證：平面A1EF∥平面BCGH.第125頁第39講│關鍵點探究第126頁第39講│關鍵點探究?探究點2平行性質第127頁第39講│關鍵點探究第128頁第39講│關鍵點探究第129頁第39講│關鍵點探究?探究點3平行關系綜合應用

例4三如圖39－5所表示，已知點P是三角形ABC所在平面外一點，且PA＝BC＝1，截面EFGH分別平行于PA、BC(點E、F、G、H分別在棱AB、AC、PC、PB上)．(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形且周長為定值；(2)設PA與BC所成角為θ，求四邊形EFGH面積最大值．第130頁第39講│關鍵點探究第131頁第39講│關鍵點探究第132頁第39講│規律總結規律總結1．利用直線與平面平行判定定理關鍵是尋找該平面內平行直線，證兩直線平行是平面幾何問題，表達了空間問題平面化思想；判定直線與平面平行有以下方法：一是判定定理，二是線面平行定義，三是面面平行性質定理．2．要能夠靈活地作出輔助線或輔助平面來解題．應注意輔助線或輔助平面不能隨意添加，必須以某一性質或定理為依據，并關注輔助線或輔助平面本身性質特點．第133頁第39講│規律總結3．利用判定定理證實平面與平面平行時，兩直線是相交直線這一條件是關鍵，缺乏這一條件則定理不一定成立；證實面與面平行常轉化為證實線面平行，而證線面平行又轉化為證線線平行，逐步由空間轉化到平面．4．平面與平面平行也含有傳遞性．5．平行關系相互轉化第134頁第40講

│空間中垂直關系第40講空間中垂直關系第135頁1．直線與直線垂直定義:兩條直線所成角為________，則稱兩直線垂直，包含兩類:________垂直與________垂直．2．直線與平面垂直(1)定義:假如直線l和平面α內______________都垂直，就稱直線l和平面α相互垂直，記作l⊥α.直線l叫做平面α________，平面α叫做直線l________．

知識梳理異面相交90°任意一條直線垂線垂面第40講

│知識梳理第136頁第40講

│知識梳理(2)直線與平面垂直判定與性質類別語言表述圖形表示符號語言應用判定依據定義________證直線和平面垂直一條直線與一個平面內________________都垂直，則該直線與此平面垂直________假如兩條平行直線中________垂直于一個平面，那么____________也垂直于同一個平面________性質假如一條直線和一個平面垂直，那么這條直線和這個平面內_______________都垂直________證兩條直線垂直垂直于同一個平面兩條直線________________證兩條直線平行兩條相交直線一條另一條直線任意一條直線平行第137頁第40講

│知識梳理3．直線與平面所成角(1)定義：平面一條斜線和它在平面上________所成_________，叫做這條直線和這個平面所成角．如圖40－1所表示，∠PAO就是斜線PA和平面α所成角．(2)一條直線垂直于平面，則它們所成角是________；一條直線和平面平行或在平面內，則它們所成角是______角．直線和平面所成角范圍是________．射影銳角直角0°圖40－1第138頁第40講

│知識梳理4．二面角定義：從一條直線出發兩個________所組成圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角________，這兩個半平面叫做二面角________．如圖40－2所表示，在二面角α－l－β棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作________于棱l射線OA和OB，則射線OA和OB組成∠AOB叫做________________________．

半平面棱面垂直二面角α－l－β平面角圖40－2第139頁

二面角大小能夠用它平面角來度量，二面角取值范圍是________，平面角是直角二面角叫做____________．[0，π]直二面角5．兩個平面垂直(1)定義：兩個平面相交，假如它們所成二面角是____________，就說這兩個平面相互垂直．直二面角第40講

│知識梳理第140頁類別語言表述圖形表示符號表示應用判定依據定義，證實兩平面所成二面角是___________∠AOB是二面角α－l－β平面角，且____________，則α⊥β證兩平面垂直一個平面過另一個平面________，那么這兩個平面垂直________性質假如兩個平面垂直，那么它們所成________________是直角α⊥β，∠AOB是二面角α－a－β平面角，則____________證兩條直線垂直兩個平面垂直，則一個平面內垂直于______直線垂直于_____________________證直線與平面垂直(2)兩個平面垂直判定和性質直二面角垂線二面角平面角交線另一個平面∠AOB＝90°∠AOB＝90°第40講

│知識梳理第141頁關鍵點探究?探究點1垂直關系判定第40講

│關鍵點探究

例1如圖40－3所表示Rt△ABC所在平面外一點S，且SA＝SB＝SC，D為斜邊AC中點．(1)求證：SD⊥平面ABC；

(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.圖40－3第142頁第40講

│關鍵點探究

例1

[思緒]證實線面垂直，依據判定定理可轉化為證實線線垂直，考慮題中等腰三角形條件，可由底邊上中線和三角形中位線得到．第143頁第40講

│關鍵點探究[解答](1)取AB中點E，連接SE，DE.在Rt△ABC中，D、E分別為AC、AB中點，故DE∥BC，且DE⊥AB，∵SA＝SB，∴△SAB為等腰三角形，∴SE⊥AB.∵DE⊥AB，SE∩DE＝E，∴AB⊥面SDE.而SD?面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，

D為AC中點，∴SD⊥AC.又∵SD⊥AB，AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)若AB＝BC，則BD⊥AC.由(1)可知SD⊥面ABC，而BD?面ABC，∴SD⊥BD.∵SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.第144頁[·北京卷]

如圖40－4所表示，正方形ABCD和四邊形ACEF所在平面相互垂直．EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.(1)求證：AF∥平面BDE；(2)求證：CF⊥平面BDE.

第40講

│關鍵點探究變式題圖40－4第145頁第40講

│關鍵點探究

[思緒](1)要證實AF∥平面BDE，只需結構平行四邊形，證實AF與平面BDE一條直線平行；(2)證實CF⊥平面BDE，可利用菱形對角線垂直，以及由面面垂直轉化線面垂直，又線線垂直，得到CF與平面BDE兩條相交直線垂直．變式題第146頁[解答](1)設AC與BD交于點G.因為EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1.所以四邊形AGEF為平行四邊形．所以AF∥EG.因為EG?平面BDE，AF?平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)連接FG.因為EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以四邊形CEFG為菱形，所以CF⊥EG.因為四邊形ABCD為正方形，所以BD⊥AC.又因為平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.第40講

│關鍵點探究第147頁

例2[·課標全國卷]

如圖40－5所表示，已知四棱錐P－ABCD底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐高．(1)求證：平面PAC⊥平面PBD；(2)若AB＝，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱錐P－ABCD體積．

圖40－5第40講

│關鍵點探究第148頁第40講

│關鍵點探究第149頁[·山東卷]

在如圖40－6所表示幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分別為MB、PB、PC中點，且AD＝PD＝2MA.(1)求證：平面EFG⊥平面PDC