第八章若當標準形一、本章知識脈絡框圖矩陣矩陣與等價矩陣可逆的充要條件矩陣可逆的充要條件矩陣與相似矩陣多項式與多項式矩陣的關系等價標準形問題等價標準形問題行列式因子不變因子對角形式問題秩與初等因子Jordan標準形矩陣的等價問題哈密頓-凱萊定理最小多項式二、本章重點及難點矩陣的相似問題一直是高等代數中的重點研究對象,除了前面所談到的化矩陣為對角形的方法外我們還可以從其他渠道探討這個問題.比如,周知
~
存在可逆矩陣
使得
.但是尋找可逆矩陣
往往是件比較困難的工作,因此我們可論證等價性成立:
（或論證它們有相同的標準形）,那么就相稱于
~
；此外,對不能對角化的矩陣我們也可以研究將其化成上（下）三角形或準對角形──若當（Jordan）標準形.作為理論準備，
矩陣的標準形理論是本章的重點之一.通過
矩陣的初等變換求其標準形是最基本的規定；了解
矩陣的不變因子、行列式因子以及初等因子這三個重要概念并掌握它們的性質、互相之間的關系和求法等技術方面的工作，是本章的關鍵.討論矩陣的相似標準形是本章的重要目的.本章的難點有如下幾個方面:掌握矩陣的不變因子、行列式因子與初等因子這三個重要概念以及它們的性質、關系和求法；理解并掌握兩個數字矩陣
與
相似的充足必要條件,以及數字矩陣
與對角矩陣相似的充足必要條件；充足發揮最小多項式的性質在討論矩陣的相似標準形中的作用；掌握矩陣的Jordan標準形的求法、性質及其應用.三、本章的基本知識要點（一）矩陣的概念和性質1.設
是一個數域,
是一個文字,假如
矩陣
的每個元素都是
的多項式,即
=
,那么,
就是一個關于
的多項式矩陣,簡稱為
矩陣.假如
,則稱
為
階
矩陣.2.假如在
矩陣
中，有一個
階子式不為零，一切
階子式（假如存在）全為零，則稱
的秩為
，記為
.注意:①；②若
是一個數字
階矩陣,則必有
.3.設
是
階
矩陣，若存在
階
矩陣
使得則稱
是可逆的,并稱
是
的逆矩陣,記為
.4.注意：（1）一個
階
矩陣
是可逆的充要條件為行列式:
.（2）若
是可逆時,則有
,其中
是
隨著矩陣.（3）在數字矩陣中,
階矩陣
是可逆的充足必要條件是行列式
（即
是滿秩矩陣）,但對于
矩陣來說,當矩陣的行列式
時,矩陣
未必是可逆的,即滿秩的
矩陣未必是可逆的.（二）初等矩陣1.由
階單位矩陣
通過一次
矩陣的初等變換得到的
階
矩陣稱為初等
矩陣.其有三種不同的類型,分別是
、
與
,并且都是可逆矩陣,且逆矩陣仍是同類的初等
矩陣.2.對
的矩陣
進行一次初等行變換,相稱于在
的左邊乘上相應的
階初等
矩陣；而對
進行一次初等列變換,就相稱于在
的右邊乘上相應的
階初等
矩陣.3．
矩陣
可逆的充足必要條件是
可表成一系列初等
矩陣的乘積.4.注意:(1)由于在
矩陣的第二類型的初等變換中,不允許用一個非常數的多項式
去乘或除矩陣的某一行（列）,這導致了
矩陣的初等變換與數字矩陣的初等變換在性質上有些區別,這請讀者充足注意.(2)等價的矩陣具有相同的秩、行列式因子、不變因子和初等因子.（三）矩陣的標準形1.
矩陣不變因子設
的
矩陣
的秩為
,那么
可通過一系列的初等變換化成對角矩陣,即存在
階可逆矩陣
和
階可逆矩陣
,使

,其中
是首一多項式
,且.并稱※式為矩陣的標準形.其中稱為的不變因子.注意:若
是一個
階數字矩陣,則
的特性多項式必有（1）；（2）所有不變因子的次數之和.2.
矩陣的行列式因子（1）設
的
矩陣
的秩為
,那么對于正整數

的所有
階子式的首項系數為1的最大公因式,稱為
的
階行列式因子,記為
.（2）不變因子
與行列式因子
之間的關系是:
,
,……,
（I）（3）兩個矩陣等價的充足必要條件是它們具有相同的不變因子或相同的各階行列式因子.（4）
階可逆
矩陣
的各階行列式因子是
,進一步,
的不變因子是
,從而知道矩陣
的標準形是單位矩陣
.即可逆的
矩陣的標準形是單位矩陣,反過來,假如
矩陣
與單位矩陣等價,那么
一定是一個可逆矩陣.3.
矩陣的初等因子與
階數字矩陣的初等因子（1）把
矩陣
的每個次數大于零的不變因子分解成互不相同的一次因式的方冪的乘積,所有這些一次因式的方冪（相同的必須按出現的次數計算）,稱為
的初等因子.特別地,假如
為
階數字矩陣,
的特性矩陣
的初等因子習慣上稱為
的初等因子.（2）設
為
階數字矩陣,若特性矩陣
等價于下列的對角形矩陣（不一定是標準形）
,其中
都是首一多項式.那么將
分解成互不相同的一次因式的方冪（相同的必須按出現的次數計算）就是
的所有初等因子.4.不變因子、行列式因子與初等因子之間的關系
矩陣
的不變因子、行列式因子與初等因子之間存在有密切關系,它們之間可以互相導出.（1）假如已知不變因子
,直接使用定義可得到初等因子,運用上面的關系式（I）可導出行列式因子
.（2）假如已知行列式因子
,同樣可以運用關系式（I）導出不變因子
,從而得出初等因子.（3）假如已知矩陣
的秩
及其初等因子,這時可以將所有初等因子按不可約因子的方冪降冪排列,同一個不可約因子的方冪排成一行.假如不可約因子的方冪的個數局限性
個,則在后面用1補足,這時全體不可約因子的方冪排成下列的形式：那么,矩陣
的不變因子是
,
,………………依此就可以得到矩陣的行列式因子.下圖列出了矩陣及其標準形,不變因子,行列式因子以及秩與初等因子之間的關系.在計算過程中,讀者可以根據具體情況采用適當的環節進行.對角形對角形行列式因子不變因子秩與初等因子標準形初等變換矩陣A(λ)初等變換（四）矩陣的等價、數字方陣相似和對角化的條件1.設
與
都是
的
矩陣,那么有下列等價條件:（1）與等價與有相同的標準形；（2）與等價與有相同的不變因子；（3）與等價與有相同的行列式因子；（4）與等價與有相同的秩和初等因子；（5）與等價存在一系列初等矩陣和使得；（6）與等價存在可逆矩陣和使得.注意:兩個階數同樣的
矩陣僅是初等因子相同時,不能保證它們等價.例如矩陣
如
的初等因子相同,但它們不等價.2．設
都是
階數字矩陣,那么有下列關于矩陣相似的等價條件：（1）~與等價；（2）~與有相同的標準形；（3）~與有相同的不變因子；（4）~與有相同的行列式因子；（5）~與有相同的初等因子（或者與有相同的初等因子）；（6）~與有相同的若當標準形.3.設
是
階數字復矩陣,那么有下列等價條件:（1）與對角矩陣相似的充足必要條件是的不變因子沒有重根；（2）與對角矩陣相似的充足必要條件是的初等因子都是一次的；（3）與對角矩陣相似的充足必要條件是的最小多項式沒有重根；（4）與對角矩陣相似的充足必要條件是每個特性根的代數重數等于幾何重數.（五）數字矩陣的若當標準形與有理標準形從前面所談論的化矩陣為對角形矩陣可知,并不是所有的
階數字矩陣都能相似對角化,雖然如此,但對于實數域
上的
階對稱矩陣
,即實對稱矩陣
是一定與一個實對角矩陣相似的.于是,我們自然會提出這樣一個有待解決的重要問題:當一個矩陣不與對角矩陣相似時,能否退而求另一方面,使
相似于一個比對角矩陣稍為復雜,但仍能給計算和研究帶來便利的某種標準形呢？這就是我們下面要介紹的矩陣的若當標準形與有理標準形.1.矩陣的若當標準形（1）設
是一個復數,形式為的矩陣稱為若當（Jordan）塊.而由若干個若當塊
組成的準對角矩陣（分塊對角矩陣）稱為若當形矩陣,其中參數
可以是相等,也可以是不相等.（2）由于若當塊的特性矩陣的各階行列式因子是
,因此,它的不變因子是.由此即得,
的初等因子是
,也就是若當塊
的初等因子.由于若當塊
完全被它的級數
與主對角線上的元素
所刻劃,而這兩個數都反映在它的初等因子
中.因此,若當塊是由它的初等因子唯一決定的.（3）類似地,我們可以求得若當形矩陣的初等因子是.也就是說,每個若當形矩陣的所有初等因子是由它的所有若當塊的初等因子構成的.而每個若當塊是由其初等因子來決定的,由此可見,若當形矩陣除去其中的若當塊排列的順序外,是被它的初等因子唯一決定的.（4）若當形矩陣的重要結論是:復數域
上任一個
階矩陣
都相似于一個若當形矩陣
,這個若當形矩陣稱為的若當標準形.（5）設
是一個
階矩陣,
是
的若當標準形,那么存在可逆矩陣
,使得
；與有相同的秩與行列式；與有相同的特性多項式與最小多項式；特性矩陣與有相同的行列式因子；與（或者與）有相同的不變因子與初等因子.（6）對于復數域
上的
維線性空間
的任一個線性變換
,在
中必存在有一組基
,使得
在此基下的矩陣是一個若當形的.（7）每個
階的復數矩陣
都與一個下（或上）三角形矩陣相似，其主對角線上的元素剛好是矩陣
的所有特性值.即存在可逆矩陣
，使
（下三角形矩陣）,其中
是矩陣
的所有特性值.假如
是一個多項式,則
的所有特性值是
,即.2.矩陣的有理標準形在上面我們討論了復數域
上任何一個
階矩陣可相似于一個若當形矩陣,下面我們將在任意一個數域
上來討論類似的問題,并且證明了
上任意一個
階矩陣必相似于一個有理標準形矩陣.（1）對于數域上的一個多項式
,稱矩陣是多項式的伴侶陣.多項式
的伴侶陣
的不變因子（即是
的不變因子）是
,
.（2）設階矩陣的不變因子是其中
的次數大于等于1,并且假設
分別是
的伴侶陣,這時我們稱分塊對角矩陣是矩陣的有理標準形.（3）數域上的任意一個階矩陣必相似于它的有理標準形（由于它們具有相同的初等因子）.注意:若當標準形在復數域上是一定存在的,而有理標準形在任何數域上都是存在的.（六）最小多項式及其性質1.零化多項式與最小多項式設
是一個數域,
是
上的
階數字矩陣,假如數域
上的多項式
使得
,則稱
認為
根或
為
的零化多項式.在認為
根的多項式中,次數最低且首一的多項式稱為
的最小多項式,記為
.2.哈密頓─凱萊定理設
是一個數域,
是
上的
階數字矩陣,記
的特性多項式為那么即
的特性多項式是
的零化多項式.同時,尚有3.最小多項式的性質設
是數域
上的
階數字矩陣,
為
的最小多項式.（1）最小多項式是唯一的；（2）設
,則
的充足必要條件是
；特別地,矩陣
的最小多項式
是
的特性多項式
的一個因式.（3）若
是一個
階數字矩陣,且
的特性多項式為
那么；（4）的特性根都是根.（5）設
都是
階數字矩陣,假如
相似,即
~

；（6）設
是準對角形,且
分別是
的最小多項式,那么；（7）階若當塊的最小多項式.（六）重要定理與結論定理1假設
都是
階數字矩陣,假如存在
階數字矩陣
滿足則矩陣與相似.作為矩陣多項式,
矩陣也有下列的帶余除法定理.定理2設
是數域
上的兩個
階
矩陣,其中假如
可逆,則存在
矩陣
及
,滿足
,
,其中
分別是零或者
,且滿足上述條件的
及
是唯一的.
表達矩陣
中所有元素的最高次數.假如把定理2的矩陣
分別改成數字矩陣
的特性矩陣
,那么定理2變成下列的定理.定理3對于任何不是零的
階數字矩陣
,以及
矩陣
與
,一定存在
矩陣
與
以及數字矩陣
與
使得
,
.定理3的一個常用推論是下面的定理4設
,則存在唯一的
矩陣
使得.證明:存在性的驗證.假設多項式那么,取其中代入定理中,可以驗證等式成立.唯一性的證明.假設還存在有另一個
矩陣
使得只要把兩個等式相減,可以得到再通過比較等式兩邊
的次數,即可得到
.■定理5階數字矩陣的最大不變因子等于的所有初等因子的最小公倍式.證明:由于
,將矩陣
所有初等因子按不可約因子的方冪降冪排列,同一個不可約因子的方冪排成一行,局限性
個的在后面用1補足.排列的形式如下:那么,不變因子
,也就是等于所有初等因子的最小公倍式.■定理6設
階矩陣
的最小多項式為
,證明：
,其中
是
的最后一個不變因子.證明:設
的所有初等因子是其中兩兩不同.這時.另一方面,由于
相似于若當標準形
,
由于對角分塊矩陣的最小多項式等于各分塊矩陣最小多項式的最小公倍式,并且相似矩陣有相同的最小多項式,所以
.■定理7設
是準對角形,且
分別是
的最小多項式,證明:

,其中
表達
的最小公倍式.證明:由于
,所以,
,即
是矩陣
零化多項式,因此
,故
是
的一個公倍式.另一方面，任取
的一個公倍式
，則有
，可見
是矩陣
的一個零化多項式，所以，
.再由于
的首項系數為1，因此

.■定理8相似矩陣具有相同的最小多項式.證明:設
階矩陣
與
相似,即存在可逆矩陣
,使得
.又設
分別是矩陣
,
的最小多項式,且設那么,我們有所以,
,
是
的零化多項式,而
是
的最小多項式,因此,
.類似可以證明,
.再從
的首項系數為1,即可得到
.■四、基本例題解題點擊1.
矩陣的基本概念與計算【例1】設有
矩陣
,計算:（1）
；（2）
.【提醒及點評】矩陣的運算法則與數字矩陣的運算法則相同.【例2】設
,求
.【提醒及點評】可以按數字矩陣求逆的方法進行計算.【例3】設
,求
.【解】由于而
,所以可以應用牛頓二項式定理來進行計算.
.■【知識擴展提醒】題目可以擴充為對任意階數的若當塊,求.【例4】設有矩陣試求矩陣使得
,其中或者.【提醒及點評】此例子重要介紹矩陣的帶余除法定理.【解】一方面把矩陣
表達成矩陣多項式的形式:然后借助于多項式除以多項式的運算,我們有 所以,
,
.■【知識擴展提醒】題目假如是求
矩陣
使得
,則在做多項式除法的時候,注意矩陣
與
相乘時的左右方向即可.2.求
矩陣的標準形、行列式因子、不變因子與初等因子（1）行列式因子的計算方法一:直接使用行列式因子的定義進行計算.【例5】設有矩陣
,試求其行列式因子.【解】由于矩陣
的元素中具有非零常數1,所以一階行列式因子
.或者是由于下列所有多項式的最大公因式是1,所以
.對于二階行列式因子
.由于
的2階子式一共有9個，一一計算比較麻煩，我們只要找出特別的幾個出來，看它們是否互素即行.由于2階子式與是互素的,即最大公因式是1,所以二階行列式因子
.最后計算三階行列式因子
,由于矩陣
的3階子式只有1個,所以
.■【注意】由于使用定義的方法求行列式因子的計算過程比較麻煩,因此一般很少用,除非是矩陣
比較簡樸.方法二：先用初等變換化簡
矩陣,一般情況是化簡成為標準形或者對角形,再對簡化后的
矩陣求行列式因子.【例6】設有矩陣試求其行列式因子.【解】由于因此,所求的行列式因子是
,
.■方法三：對于特殊類型的
矩陣（如對角形、上下三角形等等）,可以先求出階數大的行列式因子,再運用
的關系,求出階數低的行列式因子.【例7】設有下列矩陣①；②試求它們的行列式因子.【解】①由于矩陣的行列式所以,
,又由于在
中有一個
階的子式
,故
,于是,
.②顯然
,又其中的一個3階子式
,由于三階行列式因子
并且尚有
，因此可見
，于是
.■（2）矩陣的標準形、不變因子與初等因子的計算方法一:直接使用矩陣的初等變換,求
矩陣的標準形,進而可以得到不變因子.【例8】用初等變換求下列矩陣的標準形、不變因子與初等因子..【提醒及點評】在使用初等變換來求
矩陣的標準形時,第一步應將矩陣左上角的元素變成可以整除矩陣的所有元素,第二步才干消去矩陣的第一行與第一列的其余元素,反復這個過程即可把
矩陣化其標準形.關鍵的一步是在矩陣的所有元素中直接找出一個或者通過加減運算后找出一個元素,使其可以整除矩陣的所有元素.【解】于是,
的不變因子
,從而得出矩陣的初等因子是
.■方法二：對于一些形如上（下）三角形、對角形等特殊的
矩陣,可以先求其行列式因子（或者初等因子）,再運用不變因子與行列式因子的關系,求出不變因子,進而得到矩陣的標準形.【例9】求下列矩陣的標準形與不變因子.①；②【解】①顯然,行列式因子
,并且矩陣
有一個3階子式
，所以有
，故
的不變因子是
，
，即
的標準形是
.②雖然矩陣
不是對角形,但可用初等變換化成對角形：由此可得矩陣
的初等因子是
,而矩陣的秩=4,據此可知不變因子是
,
,故矩陣的標準形是
.■（3）有關數字矩陣的初等因子的計算【例10】求下列數字矩陣的初等因子（以及不變因子,相應特性矩陣的行列式因子）...【提醒及點評】對于計算數字矩陣的初等因子,其實其過程與求矩陣的若當標準形同樣.計算方法與求一般
矩陣的初等因子是同樣的.【解】由于因此,所求的初等因子是
,不變因子是
,行列式因子是
.■3.有關
矩陣等價的判斷與證明【例11】判斷下列兩個矩陣是否等價？
,
【提醒及點評】運用矩陣等價的6個方法之一進行判斷.【解】易見,矩陣
與
的行列式因子都是因此,矩陣
與
是等價的.■【例12】對于任意的
階
矩陣
,證明
與
等價.【提醒及點評】可以證明它們有相同的行列式因子或者有相同的標準形.【解】假設矩陣的標準形是因此,存在可逆矩陣
使得
,兩邊取轉置得到
,從而知道
與
有相同的標準形,所以
與
等價.■4.有關數字矩陣
的特性矩陣（特性多項式、凱萊定理）
的應用【例13】設有矩陣
,求
,其中
是正整數.【提醒及點評】運用哈密頓-凱萊定理及帶余除法進行計算.【解】設
是矩陣
的特性多項式,那么計算可得再根據計算
的規定,取多項式
,并令（帶余除法）分別把
代入,得到
.又由于
是特性多項式
的2重根,所以,對上式兩邊求導后有再代入
得到,
.求解上面關于
的聯立方程組,我們可以得到因此,
.■【注意】關鍵是如何運用矩陣A的特性值,找到關于
的聯立方程組.【例14】設有矩陣
,及多項式
,求
.【提醒及點評】運用哈密頓-凱萊定理及帶余除法進行計算.【解】由于特性多項式
,再由帶余除法得到因此,由哈密頓—凱萊定理得到,再求其逆,得到
.■【注意】此題型的計算量比較大,關鍵是掌握其計算的方法與技巧.【例15】假如
是一個
階可逆矩陣,導出使用哈密頓—凱萊定理求逆矩陣
的公式.【解】假定矩陣的特性多項式是則由凱萊定理知道,而
,因此,即矩陣的逆矩陣
.■【知識擴展提醒】題目可以改成:證明存在一個實系數多項式
,使得
.【例16】設
是任意一個
階矩陣,且證明:
的隨著矩陣
是
的多項式,并且.【證明】由上例知道,而
,代入上述,可以得到所以,
.■5.相似矩陣的判斷與證明【例16】判斷下列矩陣是否相似.【提醒及點評】要判斷兩個矩陣是否相似,通常的方法是先求出它們的不變因子（或行列式因子、或初等因子）,假如它們相同,則相似,否則不相似.當然,假如兩個矩陣的秩,行列式,特性多項式或最小多項式有一個不相等,則它們一定不相似.要注意的是,即使它們的秩,行列式,特性多項式或最小多項式都相等,仍然不能擬定它們是否相似.許多學生往往根據兩個矩陣的特性多項式相同,就斷定這兩個矩陣相似,這是初學者常犯的一個錯誤,請讀者給予充足的注意.【解】由于從而,
與
有相同的不變因子,故
與
相似.■【例17】假設多項式
有
個不同的根
,證明矩陣與相似.【提醒及點評】驗證兩個矩陣的不變因子相同即行.■ 【例18】下列形式的矩陣（其中
稱為上對角元素）稱為海森伯格矩陣.試證明:兩個上對角元素全非零的海森伯格矩陣相似的充足必要條件是它們有相同的特性多項式.【提醒及點評】計算特性矩陣
的行列式因子,再依此進行證明.【證明】由于特性矩陣假如
,由于
有一個
階的子式所以
的行列式因子
.由此得,
的行列式因子是.于是,兩個上對角元素全非零的海森伯格矩陣
相似于


與
有相同的行列式因子

.■6.求矩陣的Jordan標準形和有理標準形【例19】求下列數字矩陣的若當（Jordan）標準形和有理標準形.（1）；（2）.【提醒及點評】可以先求出矩陣的初等因子,然后由初等因子寫出矩陣的若當標準形及有理標準形.【解】（1）由于所以,初等因子是
,因此矩陣
的若當標準形
與有理標準形
分別是
,
.（2）容易算得,矩陣
的初等因子是
,所以,若當標準形
與有理標準形
分別是
，
.■【知識擴展提醒】從上面的例子可以看出,矩陣
的若當標準形
=有理標準形
的充足必要條件是:矩陣
的初等因子都是一次的.【例20】設
.求可逆矩陣
,使得
成為若當標準形.【提醒及點評】這是求相似變換矩陣的問題.可先求出若當標準形，然后通過求解線性方程組來求可逆矩陣
.【解】由例19知道,矩陣
的若當標準形是.設有可逆矩陣
,使得
,則
.令
,其中
是列向量組,那么所以,
是
的屬于特性值
的特性向量,且
滿足
.下面先求向量
,因
,所以
是齊次線性方程組的非零解,并且滿足又由于
,所以每一個非零向量都是
的非零解.取
,則再從齊次線性方程組求出一個屬于特性值
的特性向量
,此時取矩陣則
可逆,且■7.矩陣最小多項式的計算及在證明中的應用求
階方陣
的最小多項式
,通常采用如下三種方法:方法一試探法:一方面求出
的特性多項式
,然后寫出
中包含
的所有互異特性值的因式,最后驗證這些因子是否是
的零化多項式,其中次數最低的首一多項式即是
.方法二求出
的若當標準形,再運用其中是的若當標準形中認為對角元的若當塊的最高階數.方法三當
的
階行列式因子
易于求得,運用
求最小多項式.【例21】求下列矩陣的最小多項式.(1)；(2)；(3)【解】(1)由于
,其包含
的所有互異的特性值的因式有:
,直接計算有
,
從而的最小多項式.(2)顯然可以求得
的三階行列式因子
,而特性多項式
,所以最小多項式
.(3)由例19知道，矩陣
的不變因子是
，所以最小多項式是
.■【例22】求指定的數字矩陣的最小多項式(1)4階矩陣的元素均是1；(2)；(3)已知3階矩陣
的特性值分別是1,-1,2,
(4)
的充足必要條件是什么？(5)若
的特性值都是單根,那么
對嗎？【解】(1)由于
,而計算知道
,所以最小多項式是
.【知識擴展提醒】題目可擴充為假如
階矩陣
的所有元素都是
且不為零,求其最小多項式.(2)可以把矩陣看作若當標準形矩陣，其最小多項式由各個若當塊的最小多項式的最小公倍式組成.因此，3個矩陣的最小多項式分別是；；(3)由于
,并且矩陣
的特性值分別是1,-1,2,由此,可以求得矩陣
的特性值分別是-4,-6,-12.故
的特性多項式
,由此得到
的最小多項式是
.(4)對于
階數字矩陣
,
的充足必要條件是
的行列式因子
.這可從計算公式
得到.(5)若
的特性值都是單根，那么矩陣
與一對角矩陣相似，從而知道最小多項式
沒有重根，再根據特性多項式
與
具有相同的
的特性值，因此有
.■【例23】求矩陣的全體零化多項式集.【提醒及點評】求一個矩陣的零化多項式集,其實是求矩陣的最小多項式,再轉化成一種零化多項式集合的形式.【解】從前面的例21(1)已經知道，矩陣
的最小多項式
，從而
的全體零化多項式集合
.■【例24】設
是一個
階數字矩陣,那么,
的特性多項式
與其最小多項式
之間的關系有：(1)；(2)存在正整數使得；(3)假如設
是6階矩陣,并且特性多項式與最小多項式分別是
,
試求的所有不變因子及A的若當標準形.【解】(1)根據最小多項式的定義即可得出.(2)設
的不變因子為
,則
,
.又由于
,所以
,或者是
,此即
.(3)
,
,而
,所以,
故
的所有不變因子是
.并由此得到
的初等因子是
,于是
的若當標準形是
.■【例25】試證明:(1)假如復數矩陣
的最小多項式
,那么
一定與對角矩陣相似.(2)
階矩陣
稱為周期矩陣，假如存在正整數
使得
.那么，復數域上的周期矩陣一定與對角矩陣相似.(3)假如
階矩陣
,但存在一個非零正整數
使得
,那么
一定不能與一個對角矩陣相似.【提醒及點評】矩陣
與對角矩陣相似的充足必要條件是
的最小多項式
沒有重根,而
沒有重根的充足必要條件是最大公因式
.【證明】(1)由于
,即最小多項式
沒有重根,所以
與對角矩陣相似.(2)由已知,矩陣
有零化多項式
,而
,即
沒有重根.又最小多項式
,因此,
也沒有重根,故
與對角矩陣相似.(3)同樣，矩陣
有零化多項式
，由于
，所以
，即
.又從最小多項式
知，
，并且
，也就是
有重根，所以矩陣
不能與對角矩陣相似.■【例26】設
是
階矩陣,證明：
)=
.【提醒及點評】借助矩陣的若當標準形理論.【證明】由于存在可逆矩陣
,使得
是
的若當標準形.其中并且
.于是,對于任意的正整數
,從而,
.當
時，若當塊
是可逆矩陣，此時
.而當
時，
，又
，所以
.從而.
.■五、擴展例題解題點擊【例27】設有多項式及3階矩陣如下:試求
矩陣
及數字矩陣
,使得.【提醒及點評】規定的矩陣
與數字矩陣
其實滿足
,并且.解法過程還是矩陣的帶余除法原理.【解】由于借用多項式的綜合除法,我們有 所以,.■【例28】求可逆矩陣
,使得
成為標準形.其中矩陣.【提醒及點評】用矩陣的初等變換,化
,同時就可以求出矩陣
.【解】所以,矩陣并且
.■【例29】假設
,
,證明下列
矩陣彼此等價：.【提醒及點評】驗證矩陣的行列式因子相等即可.【例30】假設矩陣
的特性值（在復數范圍內）全是1,證明:對于任意的非零整數
,矩陣
與
相似.【提醒及點評】考慮特性值=1的若當塊
,證明
與
相似.【證明】對于若當塊矩陣
,顯然
是一個主對角線上的元素=1的三角形矩陣,并且
與
的初等因子都是
,所以
與
相似.由于矩陣
與其若當標準形
相似,即存在可逆矩陣
使得
,與
而
與
相似,所以
與
相似.■【例31】設
、
是兩個
階矩陣.證明:假如存在可逆矩陣
使得
，那么
.【提醒及點評】題目實際是證明:假如矩陣
與
相似,則
與
也相似.【證明】由于
,從而
記
,又所以,從而這說明左右兩邊是相等的
矩陣,故當
取任何值時,也相等.令
,得到即
,從而,
.■【例32】設矩陣
的秩為1.證明
的若當標準形只也許是
,假如
或者
,假如
.【證明】假設矩陣的若當標準形是
,其中
是若當塊.由于
,所以
,從而知道,在若當塊
中,只有一個的秩是1,其余都是0.不妨設
,
,從而
.設
的特性值是
,則從
知道,假如特性值
,則若當塊
,但假如特性值
,那么若當塊則是
.因此,矩陣
的若當標準形只能是
,這時
,或者
,這時
.■【例33】設
階矩陣
滿足
,并且
.證明：
相似于矩陣
,其中
是秩
的可逆矩陣.【提醒及點評】考慮矩陣有相同的若當標準形.【解】由于
,所以
是
的零化多項式.又
,所以
,即
是
的最小多項式,故不變因子
,從而得到
的標準形的形式是也就是矩陣的初等因子是于是的若當標準形是又
,故
相似于.另一方面,
,故
,且
,類似于上面的討論可得,矩陣
的若當標準形也是
,所以
與
相似.■【例34】設
是
階矩陣,證明：
相似于一個對角形矩陣的充足必要條件是,對于
的任意一個特性值
,都有：
=
.【提醒及點評】借用矩陣的若當標準形理論及相似矩陣具有相同的秩.【證明】必要性假設矩陣
相似于一個對角矩陣,即存在可逆矩陣
,使得
,所以
,
所以,
與
的秩相等,即
=
.充足性假設秩
=秩
,由于
與其若當標準形相似,即有可逆矩陣
,使
,其中
是若當塊.假如
不是對角形矩陣,不妨設
是下列的形式:
,這樣,
,因而，

，也就是

，矛盾.所以每一個若當塊
都是對角矩陣，因此，
與對角矩陣相似.■【例35】設
是
階矩陣,證明:(1)存在一個正整數
,使得
；(2)存在一個正整數
,
,使得
.【提醒及點評】借用矩陣的若當標準形理論.【證明】(1)由于
,因而,一定存在一個正整數
,使得
.(2)對于矩陣
,由于存在可逆矩陣
,使得
,這里,
表達
的若當標準形,其中
表達特性值=0的若當塊,其余若當塊的對角線上元素非零.取
,其中
表達若當塊
的階數,那么
,
,所以,
,其中
表達若當塊
的階數.■【例36】設
是
階矩陣
的特性多項式,
,且
.證明:

的次數,

的次數.【提醒及點評】相似矩陣具有相同的秩,將
化為與其相似的若當標準形
:
,那么
為準對角形,以此來討論矩陣的秩.【證明】假設
是
的一個根,那么
,因此
或者
.從
知道,存在多項式
使得
,代入
知道，
與
不能同時成立.在復數域上，由于矩陣
相似于若當標準形，即存在可逆矩陣
，使得不妨設
是
的根,
是
的根,而它們的重數分別是
與
.因此

的次數,

的次數.又由于而
,
都是滿秩矩陣,所以得到的次數；同理可證

的次數.■【例37】設若當塊
,試求使得
相似于
的多項式
應滿足的充足必要條件.【證明】設
為滿足條件的任意一個多項式,那么
,由于
相似于
，所以它們有相同的特性值，即是
.從而得到.又從
相似于
,知道
,而
,假如
,那么
,這樣
,所以，
，這與
矛盾.故必有
，此時，矩陣
可逆，從而有==.因此,
,即
只有一個屬于特性值1的若當塊.這樣,矩陣
的若當標準形是
,所以，
相似于
.由此得，所規定的多項式是
，其中
為任一使
的多項式.■【例38】設
是一個
階復數矩陣,
的特性多項式
,證明:
的若當標準形中認為
特性值的若當塊的個數=特性子空間
的維數.【證明】設
的若當標準形是
,即存在可逆矩陣
,使得
,其中
是若當塊,其階數是
不妨設若當塊
是認為
特性值,其余若當塊
的主對角線上元素不是
,并且假定
.考慮下列齊次線性方程組
,其解空間剛好就是特性子空間
，因此
.而



,并令
,其中
,
為主對角線元素為0的
階矩陣,
為
階非退化矩陣,于是
,
.因而,
,所以，
，也就是等于