2024北京石景山高一（下）期末數學本試卷共6頁，滿分為100分，考試時間為120分鐘．請務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效，考試結束后上交答題卡。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.與224角終邊相同的角是A．B．1132．若扇形的面積為1，且弧長為其半徑的兩倍，則該扇形的半徑為?C．124D．136A．11+3iB．2C．4D．63．復數在復平面內對應的點位于3+iA．第一象限B．第二象限a+b=C．第三象限D．第四象限4．已知向量a,b滿足(2,，a?b=(，則D．1|a|2?|b|=2A．2B．?1C．05．在△中，已知2sinABsinC，那么△一定是=A．等腰三角形．直角三角形D．正三角形C．等腰直角三角形6．古人把正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數、正割函數、余割函數、正矢函數、余矢函數這八1tan1cos種三角函數的函數線合稱為八線.其中余切函數cot=，正割函數sec=，余割函數1sincsc=，正矢函數sin=1?cos，余矢函數cos=1?sin.如圖角始邊為x軸的非負半軸，其終邊與單位圓交點P，A、B分別是單位圓與x軸和y軸正半軸的交點，過點P作分別為M、N，過點A作軸的垂線，過點B作軸的垂線分別交的終邊于T、S，其中、、、為有向線段，下列表示正確的是垂直x軸，作垂直y軸，垂足xyA．sin=B．cot=第1頁/共8頁C．csc=．sec=NB357．若cos(?=)，則sin=47117??D．A．B．C．55258．函數y=Asinx?)(A0,0,0π)的部分圖像如圖所示，則其解析式為π6π3A．y=2x?B．y=2x?π3π3C．y=2sinx?D．y=sin2x?9.已知z,z為復數，下列結論錯誤的是12A．z+z=z+zB．zz=zz12121212C．若1z2R，則z=z1Dzz=0z=0z=0，則或1221210.八卦是中國文化的基本哲學概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正，其中=2，則下列命題：八邊形①=?2;②+=?2;2③在上的投影向量為;2④若點P為正八邊形邊上的一個動點，則的最大值為4.其中正確的命題個數是A．1B．2C．3D．4第2頁/共8頁第二部分（非選擇題共60分）二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．π．化簡+=.2112．若tan=，則=__________．2πcos23π13．在△中，=1，C=A=，，則△的外接圓半徑為________.3614．已知向量a__________．在正方形網格中的位置如圖所示．若網格紙上小正方形的邊長為1，則c(a?b)=15．已知三角形是邊長為2的等邊三角形.如圖，將三角形的頂點A與原點重合.在x軸上，然后將三角形沿著x軸順時針滾動，每當頂點再次回落到x軸上時，將相鄰兩個之間的距離稱為“一AA①一個周期是6；②完成一個周期，頂點A的軌跡是一個半圓；π③完成一個周期，頂點A的軌跡長度是；38π④完成一個周期，頂點A的軌跡與x軸圍成的面積是其中所有正確結論的序號是________．+3.3三、解答題：本大題共5小題，共40分．應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.（本小題滿分8分）如圖，以為始邊作角()與0π，它們的終邊與單位圓O分別交于43553455Q兩點，已知點的坐標為?,，點Q的坐標為,．P、Psin?sin（Ⅰ）求（Ⅱ）求的值；tan2的值．第3頁/共8頁17．(本小題滿分8分)已知a,b,c分別為△的三個內角,B,C的對邊，且asinB=bcosA．（Ⅰ）求A的值；（Ⅱ）若a2，且△=的面積為3，求,c．188分）1向量a?)b=(3sinxcos2x)xR，設函數f(x)=ab．2f(x)f(x)[0，]在區間內的草圖；（Ⅰ）求的最小正周期并在右邊直角坐標中畫出函數f(x)?m=0[0，]、m，求的取值范圍及+的值．（Ⅱ）若方程在上有兩個根19．(本小題滿分8分)2π如圖，在△中，A=，AC=2，平分ACB交于點D，CD=3．3（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求BCD的面積．20．(本小題滿分8分)π=1=，A是扇形弧上的動點，過A作，圓心角的平行線如圖，在扇形中，半徑3=．交于B．記（Ⅰ）求的長（用（Ⅱ）求△面積的最大值，并求此時角的大小．第4頁/共8頁第5頁/共8頁參考答案一、選擇題：本大題共10個小題，每小題4分，共40分．題號答案12345678910DAABABDBCC二、填空題：本大題共5個小題，每小題4分，共20分．題號答案1213141545①③④?sin?11三、解答題：本大題共5個小題，共40分．解答題應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16．(本小題滿分8分)435cos=?，sin=，5345cos=，sin=2分535451故sin?sin=?=?.4分5435（Ⅱ）由（Ⅰ）知sin=，且cos=，5sincos455343故===，6分4322tan24tan2===?2根據二倍角公式得．8分1?2741?317．(本小題滿分8分)abc==中，由正弦定理得：，sinAsinBsinC∴bA=asinB可等價轉化為3sinBA=sinAsinB，B(0,π)sinB02分其中，故．∴3cosA=sinA，即A=3，因為πA(0,π)，所以A=.4分3123=bcsinA=bc=3，所以bc4，=6分（Ⅱ）由△ABC4第6頁/共8頁=b2+c2?bccosA=b+c)?bc2由余弦定理可得a2=(+)bc2?12，所以b+c=4，即4所以bc2.==8分18．(本小題滿分8分)31f(x)=sin2x?cos2x=sin(2x?)．226()fxT=．的最小正周期3分4分1+（Ⅱ）由圖可知，當m(1?)時，=，即+=8分6分22631+當m(?)時，=，即+=2233∴+=．或3319．(本小題滿分8分)CD△中，由正弦定理得=．sinsinA2π2sin3sinA23所以sin=因為0==．2分CD2π，3π所以=．4分42πππ（Ⅱ）由（Ⅰ）得ACD=BCD=π??=．3412π由題設，B=ACB=，即△為等腰三角形．6π所以=2=6．6分6第7頁/共8頁121ππ3?所以BCD的面積為△BCD20．(本小題滿分8分)=CDsinBCD=63sin(?)=．23448分A，B作的垂線，垂足分別為C，D，sin，則==sin=，，33=CD=cos?sin．3分31123143(?)1c