第第頁§8.8拋物線課標要求1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程.2.掌握拋物線的簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率).3.了解拋物線的簡單應用．知識梳理1．拋物線的概念把平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．注意：定點F不在定直線l上，否則動點M的軌跡不是拋物線，而是過點F垂直于直線l的一條直線．2．拋物線的標準方程和簡單幾何性質標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)對稱軸x軸y軸頂點(0,0)離心率e＝1常用結論1．通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦長等于2p.2．拋物線y2＝2px(p>0)上一點P(x0，y0)到焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也稱為拋物線的焦半徑．3．設拋物線方程為y2＝2px(p>0)，準線x＝－eq\f(p,2)與x軸相交于點P，過焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的直線l與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，O為原點，α為AB與對稱軸正向所成的角，則有如下的焦點弦長公式：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|，|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|，|AB|＝x1＋x2＋p，|AB|＝eq\f(2p,sin2α).自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡是拋物線．(×)(2)方程y＝4x2表示焦點在x軸上的拋物線，焦點坐標是(1,0)．(×)(3)標準方程y2＝2px(p>0)中的p的幾何意義是焦點到準線的距離．(√)(4)焦點在y軸上的拋物線的標準方程x2＝±2py(p>0)，也可以寫成y＝ax2，這與以前學習的二次函數的解析式是一致的．(√)2．拋物線x2＝eq\f(1,4)y的準線方程為()A．y＝－eq\f(1,16)B．x＝－eq\f(1,16)C．y＝eq\f(1,16)D．x＝eq\f(1,16)答案A解析由拋物線的標準方程可得，拋物線的焦點位于y軸正半軸上，焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))，準線方程為y＝－eq\f(1,16).3．拋物線y2＝2px(p>0)上一點M(3，y)到焦點F的距離|MF|＝4，則拋物線的方程為()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝x答案B解析由題意可得|MF|＝xM＋eq\f(p,2)，則3＋eq\f(p,2)＝4，即p＝2，故拋物線方程為y2＝4x.4．若拋物線y2＝2px(p>0)上的點到焦點的最短距離為1，則p的值為()A．0B．1C．2D．3答案C解析由拋物線的定義可知，拋物線y2＝2px(p>0)上的點到焦點的距離等于其到準線的距離，則最短距離為eq\f(p,2)＝1，所以p＝2.題型一拋物線的定義及應用例1(1)設圓O：x2＋y2＝4與y軸交于A，B兩點(A在B的上方)，過點B作圓O的切線l，若動點P到A的距離等于P到l的距離，則動點P的軌跡方程為()A．x2＝8yB．x2＝16yC．y2＝8xD．y2＝16x答案A解析因為圓O：x2＋y2＝4與y軸交于A，B兩點(A在B的上方)，所以A(0,2)，B(0，－2)，又因為過點B作圓O的切線l，所以切線l的方程為y＝－2，因為動點P到A的距離等于P到l的距離，所以動點P的軌跡為拋物線，且其焦點為(0,2)，準線為y＝－2，所以P的軌跡方程為x2＝8y.(2)已知點M(20,40)不在拋物線C：y2＝2px(p>0)上，拋物線C的焦點為F.若對于拋物線上的一點P，|PM|＋|PF|的最小值為41，則p的值等于________．答案42或22解析當點M(20,40)位于拋物線內時，如圖①，過點P作拋物線準線的垂線，垂足為D，則|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.當點M，P，D三點共線時，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值為41，得20＋eq\f(p,2)＝41，解得p＝42；當點M(20,40)位于拋物線外時，如圖②，當點P，M，F三點共線時，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值為41，得eq\r(402＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－\f(p,2)))2)＝41，解得p＝22或p＝58.當p＝58時，y2＝116x，點M(20,40)在拋物線內，故舍去．綜上，p＝42或p＝22.①②思維升華“看到準線想到焦點，看到焦點想到準線”，許多拋物線問題均可根據定義獲得簡捷、直觀的求解．“由數想形，由形想數，數形結合”是靈活解題的一條捷徑．跟蹤訓練1(1)已知拋物線y＝mx2(m>0)上的點(x0,2)到該拋物線焦點F的距離為eq\f(11,4)，則m等于()A．4B．3C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,3)答案D解析由題意知，拋物線y＝mx2(m>0)的準線方程為y＝－eq\f(1,4m)，根據拋物線的定義，可得點(x0,2)到焦點F的距離等于到準線y＝－eq\f(1,4m)的距離，可得2＋eq\f(1,4m)＝eq\f(11,4)，解得m＝eq\f(1,3).(2)已知點P為拋物線y2＝－4x上的動點，設點P到l：x＝1的距離為d1，到直線x＋y－4＝0的距離為d2，則d1＋d2的最小值是()A.eq\f(5,2)B.eq\f(5\r(2),2)C．2D.eq\r(2)答案B解析直線l：x＝1為拋物線y2＝－4x的準線，點P到準線的距離等于點P到焦點F的距離，過焦點F作直線x＋y－4＝0的垂線，如圖所示，當點P為所作直線與拋物線的交點時，d1＋d2的值最小，為點F到直線x＋y－4＝0的距離．∵F(－1,0)，∴(d1＋d2)min＝eq\f(|－1＋0－4|,\r(2))＝eq\f(5\r(2),2).題型二拋物線的標準方程例2(1)拋物線過點(3，－4)，則拋物線的標準方程為________．答案y2＝eq\f(16,3)x或x2＝－eq\f(9,4)y解析∵點(3，－4)在第四象限，∴拋物線開口向右或向下，設拋物線的標準方程為y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0)．把點(3，－4)的坐標分別代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，則2p＝eq\f(16,3)，2p1＝eq\f(9,4).∴所求拋物線的標準方程為y2＝eq\f(16,3)x或x2＝－eq\f(9,4)y.(2)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)，點A，B在拋物線上，且直線AB過點Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，F為C的焦點，若|FA|＝2|FB|＝6，則拋物線C的標準方程為________．答案y2＝8x解析如圖，過點A，B分別作拋物線C的準線l的垂線，垂足分別為A1，B1，由拋物線的定義可知，|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，∵2|FB|＝|FA|，∴2|BB1|＝|AA1|，則易知B為AD的中點．連接OB，則OB為△DFA的中位線，∴2|OB|＝|FA|，∴|OB|＝|FB|，∴點B在線段OF的垂直平分線上，∴點B的橫坐標為eq\f(p,4)，∴|FB|＝eq\f(p,2)＋eq\f(p,4)＝3，∴p＝4，∴拋物線C的標準方程為y2＝8x.思維升華求拋物線的標準方程的方法(1)定義法．(2)待定系數法：當焦點位置不確定時，分情況討論．跟蹤訓練2(1)拋物線C的焦點F關于其準線對稱的點為(0，－9)，則拋物線C的方程為()A．x2＝6yB．x2＝12yC．x2＝18yD．x2＝36y答案B解析由題可知，拋物線開口向上，設方程為x2＝2py(p>0)，設拋物線的焦點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，則準線為y＝－eq\f(p,2)，所以eq\f(\f(p,2)＋－9,2)＝－eq\f(p,2)，解得p＝6，所以拋物線C的方程為x2＝12y.(2)設拋物線C的頂點在坐標原點，焦點F在y軸正半軸上，點P在拋物線C上，|PF|＝eq\f(5,2)，若以線段PF為直徑的圓過坐標軸上距離原點為1的點，則該拋物線C的方程為________．答案x2＝2y或x2＝8y解析由題意設拋物線方程為x2＝2py(p>0)，P(x0，y0)，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，圓的半徑為eq\f(5,4)，由焦半徑公式可知y0＋eq\f(p,2)＝eq\f(5,2)，得y0＝eq\f(5－p,2)，并且線段PF中點的縱坐標是eq\f(y0＋\f(p,2),2)＝eq\f(5,4)，所以以線段PF為直徑的圓與x軸相切，切點坐標為(－1,0)或(1,0)，所以x0＝±2，即點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±2，\f(5－p,2)))，代入拋物線方程x2＝2py(p>0)，得4＝2p·eq\f(5－p,2)，解得p＝1或p＝4，即當點F在y軸正半軸時，拋物線方程是x2＝2y或x2＝8y.題型三拋物線的幾何性質例3(1)已知圓x2＋y2＝1與拋物線y2＝2px(p>0)交于A，B兩點，與拋物線的準線交于C，D兩點，若四邊形ABCD是矩形，則p等于()A.eq\f(\r(5),2)B.eq\f(\r(2),5)C.eq\f(5\r(2),2)D.eq\f(2\r(5),5)答案D解析因為四邊形ABCD是矩形，所以由拋物線與圓的對稱性知，弦AB為拋物線y2＝2px(p>0)的通徑，因為圓的半徑為1，拋物線的通徑為2p，所以有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)))2＋p2＝1，解得p＝eq\f(2\r(5),5).思維升華應用拋物線的幾何性質解題時，常結合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現了數形結合思想解題的直觀性．跟蹤訓練3(1)已知O為坐標原點，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，則C的準線方程為______．答案x＝－eq\f(3,2)解析方法一(解直角三角形法)由題易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以eq\f(|OF|,|PF|)＝eq\f(|PF|,|FQ|)，即eq\f(\f(p,2),p)＝eq\f(p,6)，解得p＝3(p＝0舍去)，所以C的準線方程為x＝－eq\f(3,2).方法二(應用射影定理法)由題易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝eq\f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的準線方程為x＝－eq\f(3,2).(2)已知F是拋物線y2＝16x的焦點，M是拋物線上一點，FM的延長線交y軸于點N，若3eq\o(FM,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))，則|NF|＝________.答案16解析易知焦點F的坐標為(4,0)，準線l的方程為x＝－4，如圖，拋物線準線與x軸的交點為A，作MB⊥l于點B，NC⊥l于點C，AF∥MB∥NC，則eq\f(|MN|,|NF|)＝eq\f(|BM|－|CN|,|OF|)，由3eq\o(FM,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))，得eq\f(|MN|,|NF|)＝eq\f(3,5)，又|CN|＝4，|OF|＝4，所以eq\f(|BM|－4,4)＝eq\f(3,5)，|BM|＝eq\f(32,5)，|MF|＝|BM|＝eq\f(32,5)，eq\f(|MF|,|NF|)＝eq\f(2,5)，所以|NF|＝16.課時精練一、單項選擇題1．在平面內，已知定點A及定直線l，記動點P到l的距離為d，則“|PA|＝d”是“點P的軌跡是以點A為焦點，直線l為準線的拋物線”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件答案C解析“點P的軌跡是以點A為焦點，直線l為準線的拋物線”?“|PA|＝d”，反之不成立，當直線經過定點A時，軌跡不是拋物線．因此“|PA|＝d”是“點P的軌跡是以點A為焦點，直線l為準線的拋物線”的必要不充分條件．2．已知拋物線x2＝2py(p>0)上的一點M(x0,1)到其焦點的距離為2，則該拋物線的焦點到其準線的距離為()A．6B．4C．3D．2答案D解析由題可知，拋物線準線為y＝－eq\f(p,2)，可得1＋eq\f(p,2)＝2，解得p＝2，所以該拋物線的焦點到其準線的距離為p＝2.3．在平面直角坐標系Oxy中，動點P(x，y)到直線x＝1的距離比它到定點(－2,0)的距離小1，則P的軌跡方程為()A．y2＝2xB．y2＝4xC．y2＝－4xD．y2＝－8x答案D解析由題意知動點P(x，y)到直線x＝2的距離與到定點(－2,0)的距離相等，由拋物線的定義知，P的軌跡是以(－2,0)為焦點，x＝2為準線的拋物線，所以p＝4，軌跡方程為y2＝－8x.4．設M是拋物線y2＝4x上的一點，F是拋物線的焦點，O是坐標原點，若∠OFM＝120°，則|FM|等于()A．3B．4C.eq\f(4,3)D.eq\f(7,3)答案B解析過點M作拋物線的準線l的垂線，垂足為點N，連接FN，如圖所示，因為∠OFM＝120°，MN∥x軸，則∠FMN＝60°，由拋物線的定義可得|MN|＝|FM|，所以△FNM為等邊三角形，則∠FNM＝60°，拋物線y2＝4x的準線方程為x＝－1，設直線x＝－1交x軸于點E，則∠ENF＝30°，易知|EF|＝2，∠FEN＝90°，則|FM|＝|FN|＝2|EF|＝4.5．已知拋物線y2＝16x的焦點為F，P點在拋物線上，Q點在圓C：(x－6)2＋(y－2)2＝4上，則|PQ|＋|PF|的最小值為()A．4B．6C．8D．10答案C解析如圖，過點P向準線作垂線，垂足為A，則|PF|＝|PA|，當CP垂直于拋物線的準線時，|CP|＋|PA|最小，此時線段CP與圓C的交點為Q，因為準線方程為x＝－4，C(6,2)，半徑為2，所以|PQ|＋|PF|的最小值為|AQ|＝|CA|－2＝10－2＝8.二、多項選擇題6．已知拋物線C：x2＝8y的焦點為F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是拋物線上的兩點，下列結論正確的是()A．|MF|的最小值為2B．若|MF|＋|NF|＝12，則線段MN的中點P到x軸的距離為6C．若直線MN過點F，則x1x2＝4D．若eq\o(MF,\s\up6(→))＝λeq\o(NF,\s\up6(→))，則|MN|的最小值為8答案AD解析對于A，x2＝8y，則p＝4，焦點F的坐標為(0,2)，準線方程為y＝－2，∴|MF|＝y1＋2，∵y1≥0，∴|MF|≥2，當且僅當y1＝0時等號成立，故A正確；對于B，∵|MF|＋|NF|＝12，根據拋物線定義得y1＋2＋y2＋2＝12，則y1＋y2＝8，而由中點坐標公式得點P的縱坐標yP＝eq\f(y1＋y2,2)＝4，即點P到x軸的距離為4，故B錯誤；對于C，由題意可知直線MN斜率存在，∵直線MN過點F，設直線MN的方程為y＝kx＋2，代入拋物線方程整理得x2－8kx－16＝0，∴x1＋x2＝8k，x1x2＝－16，故C錯誤；對于D，若eq\o(MF,\s\up6(→))＝λeq\o(NF,\s\up6(→))，則M，F，N三點共線，由題得|MF|＋|NF|＝y1＋2＋y2＋2＝y1＋y2＋4＝eq\f(x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2),8)＋4＝eq\f(x1＋x22－2x1x2,8)＋4＝eq\f(64k2＋32,8)＋4，當k＝0時，|MN|的最小值即為拋物線的通徑長，此時最小值為8，故D正確．三、填空題7．已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點為F，點A在拋物線C上，若點A到x軸的距離是|AF|－2，則p＝________.答案4解析由拋物線的方程可得F(0，eq\f(p,2))，設A(x0，y0)，則y0≥0，則|AF|＝y0＋eq\f(p,2)，又點A到x軸的距離是|AF|－2，故y0＝y0＋eq\f(p,2)－2，故p＝4.8．A，B是拋物線x2＝2y上的兩點，O為坐標原點．若|OA|＝|OB|，且△AOB的面積為12eq\r(3)，則∠AOB＝________.答案60°解析如圖，∵|OA|＝|OB|，∴A，B兩點關于y軸對稱，設Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，\f(a2,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a2,2)))，∴S△AOB＝eq\f(1,2)×2a×eq\f(a2,2)＝12eq\r(3)，解得a＝2eq\r(3)，∴B(2eq\r(3)，6)，∴tanθ＝eq\f(2\r(3),6)＝