PAGEPAGE1第2課時函數的最大(小)值必備學問基礎練1.函數f(x)=x3-3x+1在區間[-3,0]上的最大值和最小值分別是()A.1,-1 B.1,-17 C.3,-17 D.9,-192.某城市在發展過程中,交通狀況漸漸受到大家更多的關注,據有關統計數據顯示,從上午6h到9h,車輛通過該市某一路段的用時y(單位:min)與車輛進入該路段的時刻t之間的關系可近似地用如下函數表示:y=-18t3-34t2+36t-6294.則在這段時間內,通過該路段用時最多的時刻是A.6h B.7h C.8h D.9h3.(多選題)函數y=f(x)的導函數y=f'(x)的圖象如圖所示,則()A.函數在區間[-2,0]上的最大值、最小值均在端點處取得B.2為f(x)的微小值點C.f(x)在12D.f(-2)是f(x)的最小值4.(2024江蘇連云港高二期末)函數f(x)=(x+1)ex的最小值是.

5.函數y=x+12x2(x>0)的最小值為6.做一個無蓋的圓柱形水桶,若要使水桶的體積是27π,且用料最省,則水桶的底面半徑為,最小表面積為.

7.求下列函數的最值:(1)f(x)=sinx+cosx,x∈-π2,π(2)f(x)=ln(1+x)-14x2,x∈[0,2]關鍵實力提升練8.某商場從生產廠家以每件20元購進一批商品,若該商品零售價定為p元,銷售量為Q件,則銷售量Q與零售價p有如下關系:Q=8300-170p-p2.則最大毛利潤為(毛利潤=銷售收入-進貨支出)()A.30元 B.60元C.28000元 D.23000元9.函數f(x)=6x-x3+6在[0,4]上的最大值與最小值之和為()A.-46 B.-35 C.6 D.510.已知函數f(x)=-x3+ax2-4在x=2處取得極值,若m,n均屬于[-1,1],則f(m)+f'(n)的最小值是()A.-13 B.-15 C.10 D.1511.若函數f(x)=-x3-3x2+1在[a,+∞)上的最大值為1,則實數a的取值范圍是()A.[-3,+∞) B.(-3,+∞)C.(-3,0) D.[-3,0]12.已知函數f(x)=ex-2x+a有零點,則a的取值范圍是.

13.已知存在x∈(0,+∞)使不等式2xlnx≤-x2+ax-3成立,則實數a的取值范圍是.

14.為了在夏季降溫柔冬季供暖時削減能源損耗,房屋的屋頂和外墻須要建立隔熱層.某幢建筑物要建立可運用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建立成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿意關系:C(x)=k3x+5(0≤x≤10),若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元.設f(x)為隔熱層建立費用與(1)求k的值及f(x)的表達式.(2)隔熱層修建多厚時,總費用f(x)達到最小?并求最小值.15.已知函數f(x)=alnx-bx2,a,b∈R,且曲線y=f(x)在x=1處與直線y=-12相切(1)求a,b的值;(2)求f(x)在1e,e上的最大值.16.某商場銷售某種商品的閱歷表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價格x(單位:元/千克)滿意關系式y=ax-3+10(x-6)2,其中3<x<6,a為常數,已知銷售價格為5元/千克時,每日可售出該商品(1)求a的值;(2)若該商品的成本為3元/千克,試確定銷售價格x的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.學科素養創新練17.已知函數f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(1)當a<0時,求函數f(x)的單調性;(2)當a<0時,證明f(x)≤-34a-

參考答案第2課時函數的最大(小)值1.Cf'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f'(x)=0,得x=±1.又f(-3)=-27+9+1=-17,f(0)=1,f(-1)=-1+3+1=3,1?[-3,0].所以函數f(x)的最大值為3,最小值為-17.2.C由題意,得y'=-38t2-32t+36=-38(t+12)(令y'=0得t=-12(舍去)或t=8.當6≤t<8時,y'>0;當8<t≤9時,y'<0,所以當t=8時,y有最大值,即此時刻通過該路段用時最多.3.ABC由導函數y=f'(x)的圖象可知,函數f(x)在區間[-2,0]上單調遞增,因此在區間[-2,0]上的最大值、最小值均在端點處取得,故A正確;f(x)在-2,12和(2,+∞)上單調遞增,在(-∞,-2)和12,2上單調遞減,且2為f(x)的微小值點,故B和C均正確;f(-2)是函數f(x)的微小值,但不肯定是最小值,故D錯誤.故選ABC.4.-1e2函數f(x)=(x+1)ex的導數為f'(x)=(x+2)ex,當x>-2時,f'(x)>0,f(x)單調遞增,當x<-2時,f'(x)<0,f(x)單調遞減,因此當x=-2時,函數有最小值,最小值為f(-2)=(-2+1)e-2=-5.32y'=1+12×(-2)×1x3=1-1x3=x3-1x3=(x-1)(x2+x+1)x3,所以當x>1時,y'>0,當06.327π設圓柱形水桶的表面積為S,底面半徑為r(r>0),則水桶的高為27r2,所以S=πr2+2πr×27r2=πr2+54πr(r>0),S'=2πr-54πr2,當0<r<3時,S'<0;當r>3時,S'>0,所以當r=3時,圓柱形水桶的表面積最小,即用料最省.∴Smin=π×32+54π3=9π+18π=27π7.解(1)f'(x)=cosx-sinx.令f'(x)=0,即tanx=1,且x∈-π2,π2,所以x=又因為fπ4=2,f-π2=-1,fπ2=1,所以當x∈-π2,π2時,函數的最大值為fπ4=2,最小值為f-π2=-1.(2)f'(x)=11+令11+x?x2=0,化簡為x解得x1=-2(舍去),x2=1.f(1)=ln2-14,f(0)=0,f(2)=ln3-1>∵f(1)>f(2),∴f(0)=0為函數f(x)在[0,2]上的最小值,f(1)=ln2-14為函數f(x)在[0,2]上的最大值8.D設毛利潤為L(p),由題意知L(p)=Q(p-20)=(8300-170p-p2)(p-20)=-p3-150p2+11700p-166000,所以L'(p)=-3p2-300p+11700.令L'(p)=0,解得p=30或p=-130(舍去).此時,L(30)=23000.因為在p=30旁邊的左側L'(p)>0,右側L'(p)<0,所以L(30)是極大值,依據實際問題的意義知,L(30)是最大值,即零售價定為每件30元時,最大毛利潤為23000元.9.B由f(x)=6x-x3+6得f'(x)=3x-3x2=3(1-x2x)x,由f'當x∈(0,1)時,f'(x)>0,當x∈(1,+∞)時,f'(x)<0,所以f(x)的極大值為f(1)=11,又f(0)=6,f(4)=-46,所以f(x)的最大值為11,最小值為-46,所以最大值與最小值之和為-35.故選B.10.A對函數f(x)求導得f'(x)=-3x2+2ax,由函數f(x)在x=2處取得極值知f'(2)=0,即-3×4+2a×2=0,∴a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x,易知f(x)在[-1,0)上單調遞減,在(0,1]上單調遞增,∴當m∈[-1,1]時,f(m)min=f(0)=-4.又f'(x)=-3x2+6x的圖象開口向下,且對稱軸為x=1,∴當n∈[-1,1]時,f'(n)min=f'(-1)=-9,故f(m)+f'(n)的最小值為-13.11.D∵f(x)=-x3-3x2+1,∴f'(x)=-3x2-6x,令f'(x)=-3x2-6x=0,解得x=0或x=-2,當x改變時,f'(x),f(x)的改變狀況如下表:x(-∞,-2)-2(-2,0)0(0,+∞)f'(x)-0+0-f(x)單調遞減微小值單調遞增極大值單調遞減由f(x)=1,得-x3-3x2+1=1,解得x=0或x=-3.當x>0時,f(x)<f(0)=1,當x<-3時,f(x)>f(-3)=1.又f(x)=-x3-3x2+1在[a,+∞)上的最大值為1,∴a的取值范圍為[-3,0].故選D.12.(-∞,2ln2-2]函數f(x)=ex-2x+a有零點,即方程ex-2x+a=0有實根,即函數g(x)=2x-ex的圖象與直線y=a有交點,而g'(x)=2-ex,易知函數g(x)=2x-ex在(-∞,ln2)上單調遞增,在(ln2,+∞)上單調遞減,因而g(x)=2x-ex的值域為(-∞,2ln2-2],所以要使函數g(x)=2x-ex的圖象與直線y=a有交點,只需a≤2ln2-2即可.13.[4,+∞)2xlnx≤-x2+ax-3,則a≥2lnx+x+3x設h(x)=2lnx+3x+x(x>0),則h'(x)=(當x∈(0,1)時,h'(x)<0,h(x)單調遞減,當x∈(1,+∞)時,h'(x)>0,h(x)單調遞增.∴h(x)min=h(1)=4.∴a≥h(x)min=4.14.解(1)由題設,每年能源消耗費用為C(x)=k3x+5(0≤x≤10),再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)而建立費用為C1(x)=6x.最終得隔熱層建立費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)=20C(x)+C1(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x(2)f'(x)=6-2400(3x+5)2,令f'(x)解得x=5或x=-253(舍去)當0<x<5時,f'(x)<0;當5<x<10時,f'(x)>0.故x=5是f(x)的最小值點,對應的最小值為f(5)=6×5+80015+5=70當隔熱層為5cm厚時,總費用達到最小值70萬元.15.解(1)f'(x)=ax-2bx(x>0)由曲線y=f(x)在x=1處與直線y=-12相切得f'(1(2)由(1),得f(x)=lnx-12x2,定義域為(0,+∞)f'(x)=1x-x=1令f'(x)>0,得0<x<1,令f'(x)<0,得x>1,所以f(x)在1e,1上是增函數,在(1,e]上是減函數,所以f(x)在1e,e上的最大值為f(1)=-12.16.解(1)因為x=5時,y=11,所以a2+10=11,a=2(2)由(1)知,該商品每日的銷售量y=2x-3+10(x-所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)=(x-3)·2x-3+10(x-6)2=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<從而,f'(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6),于是,當x改變時,f'(x),f(x)的改變狀況如下表:x(3,4)4(4,6)f'(x)+0-f(x)單調遞增極大值42單調遞減由上表可得,x=4是函數f(x)在區間(3,6)內的極大值點,也是最大值點,所以當x=4時,函數f(x)取得最大值,且最大值等于42.故當銷售價格為4元/千克時,商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.17.(1)解f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=1x+2ax+2a+1=(x+1)(2ax+1)x.令f'(x)若a<0,則-12a>0,當x∈0,-12a時,f'(x)>0;當x∈-12a,+∞時,f'(x)<故f(x)在0,-12a上單調遞增,在-12a,+∞上單調遞減.(2)證明由(1)知,當a<