函數性質的綜合應用[培優技法]1．周期性與奇偶性、單調性相結合的問題以分段函數、二次函數、指數函數、對數函數、三角函數等為載體，常考查函數的函數值與最值、比較大小、解不等式等問題，常先利用奇偶性推導出周期性，然后將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內，或已知單調性的區間內求解，綜合性比較強．2．把握函數的周期性與對稱性的關系(1)如果f(x)的圖象關于點(a，0)對稱，且關于直線x＝b(a≠b)對稱，則函數f(x)的周期T＝4|a－b|．(類比y＝sinx的圖象)(2)如果f(x)的圖象關于點(a，0)對稱，且關于點(b，0)(a≠b)對稱，則函數f(x)的周期T＝2|a－b|．(類比y＝sinx的圖象)(3)若函數f(x)的圖象關于直線x＝a與直線x＝b(a≠b)對稱，那么函數的周期T＝2|a－b|．(類比y＝sinx的圖象)[培優案例][例1](2024·云南高三校聯考階段練習)定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x＋2)＝f(－x)，當x∈[－1，0]時，f(x)＝x2＋2x，則f(2024)＝________．0[因為f(x)是偶函數，所以f(x)＝f(－x)，則f(x＋2)＝f(－x)＝f(x)，所以函數f(x)的周期為T＝2，所以f(2024)＝f(0＋2×1012)＝f(0)＝0．故答案為0．][例2](2024·江蘇連云港校考模擬預測)已知f(x)是定義在[－5，5]上的偶函數，當－5≤x≤0時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式fxA．(－π，－2)∪(0，2)∪(π，5]B．(－π，－2)∪(π，5]C．[－5，－π)∪(－2，0)∪(2，π)D．[－5，－2)∪(π，5]C[∵f(x)為定義在[－5，5]上的偶函數，∴f(x)圖象關于y軸對稱，∴當x∈[－5，－2)∪(2，5]時，f(x)>0；當x∈(－2，2)時，f(x)<0；若fxsinx>0，則當x∈[－5，－π)∪(2，π)時，fx當x∈(－2，0)時，fx∴fxsinx>0的解集為[－5，－π)∪(－故選C．][例3](2024年1月九省聯考)已知函數f(x)的定義域為R，且f12≠0，若f(x＋y)＋f(x)f(y)＝4xyA．f-1B．f12C．函數fx-1D．函數fx+1ABD[令x＝12，y＝0，則有f12＋f12×f0＝又f12≠0，故1＋f0＝0，即f0令x＝12，y＝－12，則有f12-12＋f12·f即f0＋f12f-12＝－1，由f又f12≠0，故f-令y＝－12，則有fx-12＋fxf-即fx-12＝－2x，故函數f有fx+1-12＝－2即fx+12＝－2即函數fx+1令x＝1，有f12＝－2×故B正確，C錯誤，D正確．故選ABD．]培優訓練(一)函數性質的綜合應用1．(2024·湖北武漢模擬)已知函數f(x－1)(x∈R)是偶函數，且函數f(x)的圖象關于點(1，0)對稱，當x∈[－1，1]時，f(x)＝ax－1，則f(2024)＝()A．－1B．－2C．0D．2A[根據題意，函數f(x－1)(x∈R)是偶函數，則函數f(x)的對稱軸為直線x＝－1，則有f(x)＝f(－2－x)，又由函數f(x)的圖象關于點(1，0)成中心對稱，則f(x)＝－f(2－x)，則有f(－2－x)＝－f(2－x)，則f(x＋4)＝－f(x)，則有f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，則函數f(x)是周期為8的周期函數，則f(2024)＝f(0＋253×8)＝f(0)＝－1．故選A．]2．(2024·河北邯鄲一模)已知函數f(x－1)為偶函數，且函數f(x)在[－1，＋∞)上單調遞增，則關于x的不等式f(1－2x)＜f(－7)的解集為()A．(－∞，3) B．(3，＋∞)C．(－∞，2) D．(2，＋∞)A[因為f(x－1)為偶函數，所以f(x)的圖象關于直線x＝－1對稱．因為f(x)在[－1，＋∞)上單調遞增，所以f(x)在(－∞，－1]上單調遞減．因為f(1－2x)＜f(－7)＝f(5)，所以－7＜1－2x＜5，解得x＜3．故選A．]3．(2024·江蘇蘇州期末)已知定義在R上的函數f(x)的圖象連續不間斷，有下列四個命題：甲：f(x)是奇函數；乙：f(x)的圖象關于點(2，0)對稱；丙：f(22)＝0；丁：f(x＋6)＝f(x)．如果有且僅有一個是假命題，則該命題是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁D[甲正確時，f(x)＝－f(－x)；乙正確時，f(x)＝－f(4－x)，若甲、乙都正確，則f(x)＝－f(－x)＝f(4＋x)，則周期T＝4，則由f(2)＝－f(－2)，f(2)＝f(－2)，可得f(2)＝0，則f(22)＝f(2)＝0，故丙正確；丁正確時，則f(x)的周期為6，這與上面得到的周期T＝4互相矛盾．由四個命題有且僅有一個是假命題，則丁錯誤．故選D．]4．(2024·湖北統考模擬預測)已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，對任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，有fx1-fx2x1-xA．(－1，1)∪(1，＋∞)B．(－1，1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1)A[已知f(x)是定義在R上的偶函數，則f(x)＝f(－x)，又對任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有fx所以函數f(x)在[0，＋∞)上單調遞增，則函數f(x)在(－∞，0)上單調遞減，又f(1)＝0，所以f(－1)＝f(1)＝0，根據函數f(x)的單調性可知：(x－1)f(x)>0等價為x-1>即x>1，x>解得x>1或－1<x<1，即不等式的解集為(－1，1)∪(1，＋∞)．故選A．]5．(2024·遼寧六校聯考)若定義在R上的奇函數f(x)滿足f(2－x)＝f(x)，在區間(0，1)上，有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，則下列說法正確的是()A．函數f(x)的圖象關于點(1，0)成中心對稱B．函數f(x)的圖象關于直線x＝2成軸對稱C．在區間(2，3)上，f(x)單調遞減D．f-72>C[f(4－x)＝f(2－(x－2))＝f(x－2)＝－f(2－x)＝－f(x)，即f(4－x)＋f(x)＝0，故f(x)關于(2，0)成中心對稱，B不正確；∵f(2－x)＝f(x)，則f(x)的圖象關于直線x＝1成軸對稱，A錯誤；根據題意可得，f(x)在(0，1)內單調遞增，∵f(x)的圖象關于直線x＝1成軸對稱，關于點(2，0)成中心對稱，則f(x)在(2，3)內單調遞減，C正確；又∵f(x)＝f(2－x)＝－f(x－2)，則f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可知f(x)的周期為4，則f-72＝f12<6．(2024·遼陽模擬)定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在[0，2]上單調遞增，若方程f(x)＝m(m>0)在區間[－8，8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4的值為()A．8 B．－8C．0 D．－4B[因為f(x－4)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x＋4)，所以f(x＋8)＝f(x)，所以函數f(x)的周期為8，又因為f(x)是奇函數，f(x－4)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x－4)＝f(4－x)，令x＝2＋x，則f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，又因為f(x)是奇函數，在[0，2]上單調遞增，作出函數的大致圖象如圖所示，由圖象可知f(x)＝m(m>0)在區間[－8，8]上的四個不同的根x1，x2，x3，x4，兩個關于直線x＝－6對稱，兩個關于直線x＝2對稱，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－6×2＋2×2＝－8．]7．(2022·全國乙卷)已知函數f(x)，g(x)的定義域均為R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7．若y＝g(x)的圖象關于直線x＝2對稱，g(2)＝4，則k=A．－21 B．－22C．－23 D．－24D[因為y＝g(x)的圖象關于直線x＝2對稱，所以g(2－x)＝g(x＋2)，因為g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋2)－f(x－2)＝7，即g(x＋2)＝7＋f(x－2)，因為f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(x)＋g(x＋2)＝5，代入得f(x)＋[7＋f(x－2)]＝5，即f(x)＋f(x－2)＝－2，所以f(3)＋f(5)＋…＋f(21)＝(－2)×5＝－10，f(4)＋f(6)＋…＋f(22)＝(－2)×5＝－10．因為f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(0)＋g(2)＝5，即f(0)＝1，所以f(2)＝－2－f(0)＝－3．因為g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋4)－f(x)＝7，又因為f(x)＋g(2－x)＝5，聯立得，g(2－x)＋g(x＋4)＝12，所以y＝g(x)的圖象關于點(3，6)中心對稱，因為函數g(x)的定義域為R，所以g(3)＝6，因為f(x)＋g(x＋2)＝5，所以f(1)＝5－g(3)＝－1．所以k=＝f(1)＋f(2)＋[f(3)＋f(5)＋…＋f(21)]＋[f(4)＋f(6)＋…＋f(22)]＝－1－3－10－10＝－24．故選D．]8．(多選)(2024·山西大同模擬)奇函數f(x)與偶函數g(x)的定義域均為R，且滿足f(x)－g(x)＝2x，則下列判斷正確的是()A．f(x)＋g(x)≥0B．f(x)＝2C．f(x)在R上單調遞增D．g(x)的值域為(－∞，－1]BCD[因為f(x)－g(x)＝2x，①所以f(－x)－g(－x)＝2－x．因為f(x)為奇函數，g(x)為偶函數，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，所以－f(x)－g(x)＝2－x，②由①②得，f(x)＝2x-2-x2，g則f(x)＋g(x)＝－2－x<0，故A錯誤，B，C正確．因為g(x)＝－2x+2所以D正確．故選BCD．]9．(多選)(2024·浙江大學附屬中學期中)已知f(x)是定義在R上的奇函數，且y＝f(x＋1)為偶函數，當x∈(0，1]時，f(x)＝－x2，下列結論正確的有()A．函數f(x)的周期是4B．直線x＝2023是函數f(x)的一條對稱軸C．f(x)在[2022，2023]上單調遞減D．f(2022)＋f(2023)＝1ABD[對于A，因為函數f(x＋1)為偶函數，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，即f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，因為f(x)為奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，則f(x＋2)＝f(－(x＋1)＋1)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x),所以f(x)是周期為4的函數，故A正確；因為f(x)關于直線x＝1對稱，且為奇函數，所以f(x)關于直線x＝－1對稱，又f(x)是周期為4的函數，所以f(x)關于直線x＝3對稱，因為2023＝505×4＋3，所以直線x＝2023是函數f(x)的一條對稱軸，故B正確；由f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(0)＝0，當x∈(0，1]時，f(x)＝－x2，可得當x∈[0，1]時，f(x)＝－x2，令x∈[2，3]，則x－2∈[0，1]，所以f(x)＝－f(x－2)＝(x－2)2，此時f(x)單調遞增，因為2022＝505×4＋2，所以f(x)在[2022，2023]上的單調性相當于f(x)在[2，3]上的單調性，故此時單調遞增，故C錯誤；f(2022)＝f(2)＝0，f(2023)＝f(3)＝1，所以f(2022)＋f(2023)＝1，故D正確．故選ABD．]10．(多選)(2024·江蘇連云港期中)已知函數f(x)的定義域是R，函數f(x)是偶函數，f(2x－1)＋1是奇函數，則()A．f(0)＝－1B．f(1)＝－1C．4是函數f(x)的一個周期D．函數f(x)的圖象關于直線x＝9對稱BC[因為f(2x－1)＋1為奇函數，所以f(－2x－1)＋1＝－f2整理得，f(－2x－1)＋f(2x－1)＝－2，令x＝0得，2f(－1)＝－2，解得f(1)＝－1，B正確；將2x替換為x＋1，得f(－x－1－1)＋f(x＋1－1)＝－2，即f(－x－2)＋f(x)＝－2，①又因為f(x)是偶函數，所以f(－x)＝f(x)，將x替換為x＋2，得f(－x－2)＝f(x＋2)，②由①②得：f(x＋2)＋f(x)＝－2，③則f(x＋4)＋f(x＋2)＝－2，④③－④得，f(x＋4)＝f(x)，故4是函數f(x)的一個周期，C正確；因為f(x＋2)＋f(x)＝－2，所以f(x＋2)＋f(－x)＝－2，故f(x)關于(1，－1)中心對稱，又因為4是函數f(x)的一個周期，所以f(9)＝f(2×4＋1)＝f(1)＝－1，故f(x)關于(9，－1)中心對稱，D錯誤；因為f(x)關于(1，－1)中心對稱，故(0，f(0))與(2，f(2))關于(1，－1)中心對稱，無法得到f(0)＝－1(注意f(0)的值無法確定)，A錯誤．故選BC．]11．已知定義在R上的函數f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，則f(2025)＝________．0[由題知f(－x)＝－f(x)，可知函數為奇函數，f(0)＝0，用－x替代x，得到f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)，所以T＝6，所以f(2025)＝f(337×6＋3)＝f(3)．因為f(3－x)＝f(x)，所以f(3)＝f(0)＝0．所以f(2025)＝0．]12．(2024·四川雅安統考一模)已知函數f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，y＝f(x)＋ex為偶函數，y＝f(x)－2ex為奇函數，則f(x)的最小值為__________．3[因為y＝f(x)＋ex是偶函數，所以f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex，因為y＝f(x)－2ex是奇函數，所以f(－x)－2e－x＝－f(x)＋2ex，兩式聯立解得f(x)＝12ex＋32e－由基本不等式得f(x)＝12ex＋32e－x≥12×2ex·3e-x＝3，當且僅當ex＝3e－x，即x故答案為3．]階段提能(三)函數的概念與基本性質1．(人教A版必修第一冊P74習題3.1T16)給定數集A＝R，B＝(－∞，0]，方程u2＋2v＝0，①(1)任給u∈A，對應關系f使方程①的解v與u對應，判斷v＝f(u)是否為函數；(2)任給v∈B，對應關系g使方程①的解u與v對應，判斷u＝g(v)是否為函數．[解](1)由u∈R，對應關系f使方程①的解v與u對應v＝－12u2，每一個u∈R，都有唯一的v≤0與之對應，故v＝f(u(2)因為v∈B＝(－∞，0]，由u2＋2v＝0可得u2＝－2v≥0，此時每一個v(v＝0除外)，都有2個不同的u與之對應，故u＝g(v)不是函數．2．(湘教版必修第一冊P82例3)若函數f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區間(－∞，4)上單調遞減，求實數a的取值范圍．[解]因為二次函數f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的圖象的對稱軸為直線x＝1－a，且開口向上，所以函數在區間(－∞，1－a]上單調遞減，又已知該函數在區間(－∞，4)上單調遞減，則1－a≥4，即故實數a的取值范圍為(－∞，－3]．3．(人教A版必修第一冊P87習題3.2T13)我們知道，函數y＝f(x)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數y＝f(x)為奇函數，有同學發現可以將其推廣為：函數y＝f(x)的圖象關于點P(a，b)成中心對稱圖形的充要條件是函數y＝f(x＋a)－b為奇函數．(1)求函數f(x)＝x3－3x2圖象的對稱中心；(2)類比上述推廣結論，寫出“函數y＝f(x)的圖象關于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數y＝f(x)為偶函數”的一個推廣結論．[解](1)∵f(x)＝x3－3x2＝(x－1)3－3(x－1)－2，∴y＝f(x＋1)＋2＝x3－3x．設g(x)＝x3－3x，則g(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－x3＋3x＝－g(x)．∴g(x)為奇函數．∴f(x)＝x3－3x2的圖象關于點(1，－2)對稱．即f(x)＝x3－3x2的圖象的對稱中心是點(1，－2)．(2)函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a成軸對稱圖形的充要條件是函數y＝f(x＋a)為偶函數．4．(人教A版必修第一冊P101復習參考題3T12)試討論函數y＝x－1x[解]定義域為{x|x≠0}，值域為R．?x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，則y1－y2＝x1－1x1－x2∵x1，x2∈(－∞，0)，∴x1x2>0，x1－x2<0，x1x2＋1>0，∴y1－y2<0，即y1<y2．∴y＝x－1x在(－∞?x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，則y1－y2＝x1∵x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，∴x1x2>0，x1x2＋1>0，x1－x2<0．∴y1－y2<0，即y1<y2．∴y＝x－1x在(0，＋∞)上設f(x)＝y＝x－1x∵f(－x)＝－x－1-x＝－x-1x＝－f∴f(x)＝y＝x－1xy＝x－1x5．(2021·全國甲卷)設f(x)是定義域為R的奇函數，且f(1＋x)＝f(－x)．若f-13＝13，則A．－53 B．－C．13 D．C[因為f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(－x)＝－f(x)．又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f(1＋(1＋x))＝f(－(1＋x))＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，所以函數f(x)是以2為周期的周期函數，f53＝f53-2＝f6．(2020·新高考Ⅰ卷)若定義在R上的奇函數f(x)在(－∞，0)上單調遞減，且f(2)＝0，則滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是()A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1]C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3]D[法一：由題意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)單調遞減，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.當x＞0時，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；當x＜0時，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x＜0，∴－1≤x＜0；當x＝0時，顯然符合題意．綜上，原不等式的解集為[－1，0]∪[1，3]，故選D.法二：當x＝3時，f(3－1)＝0，符合題意，排除B；當x＝4時，f(4－1)＝f(3)＜0，此時不符合題意，排除選項A，C.故選D.]7．(2016·全國甲卷)已知函數f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝2－f(x)，若函數y＝x+1x與y＝f(x)圖象的交點為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，yi=A．0 B．mC．2m D．4mB[因為f(－x)＝2－f(x)，所以f(－x)＋f(x)＝2．因為-x+x2＝0，f-x+fx2＝1，所以函數y＝f(x)的圖象關于點(0，1)對稱．函數y＝x+1x＝1＋1x，故其圖象也關于點(0，1)對稱．所以函數y＝x+1x與y＝f(x)圖象的交點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成對出現，且每一對均關于點(0，1)對稱，所以xi＝0，＝28．(2020·全國Ⅱ卷)設函數f(x)＝x3－1x3，則f(A．是奇函數，且在(0，＋∞)單調遞增B．是奇函數，且在(0，＋∞)單調遞減C．是偶函數，且在(0，＋∞)單調遞增D．是偶函數，且在(0，＋∞)單調遞減A[函數f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，因為f(－x)＝(－x)3－1-x3＝－x3＋1x3＝－x3-1x3＝－f(x)，所以函數f(x)為奇函數，排除C，D．因為函數y＝x3，y＝－1x3在(0，＋∞)上單調遞增，所以f(x)＝x3－1x3在(0，＋∞)上單調遞增，排除B(B選項的另一種解法：當x∈(0，＋∞)時，由f(x)＝x3－1x3，得f′(x)＝3x9．(2021·新高考Ⅱ卷)已知函數f(x)的定義域為R，f(x＋2)為偶函數，f(2x＋1)為奇函數，則()A．f-12＝0 B．C．f(2)＝0 D．f(4)＝0B[法一：