第四章曲線運動萬有引力與航天綜合過關規(guī)范限時檢測滿分：100分考試時間：45分鐘一、選擇題(本題共8小題，每小題6分，共計48分。每小題給出的四個選項中，第1～5題只有一項符合題目要求，第6～8題有多項符合題目要求。全部選對的得6分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)1．在冬奧會短道速滑項目中，運動員繞周長僅111米的短道競賽。運動員比賽過程中在通過彎道時如果不能很好地控制速度，將發(fā)生側滑而摔離正常比賽路線。圖中圓弧虛線Ob代表彎道，即正常運動路線，Oa為運動員在O點時的速度方向(研究時可將運動員看成質點)。下列論述正確的是(D)A．發(fā)生側滑是因為運動員受到的合力方向背離圓心B．發(fā)生側滑是因為運動員受到的合力大于所需要的向心力C．若在O點發(fā)生側滑，則滑動的方向在Oa左側D．若在O點發(fā)生側滑，則滑動的方向在Oa右側與Ob之間[解析]發(fā)生側滑是因為運動員的速度過大，所需要的向心力過大，運動員受到的合力小于所需要的向心力而發(fā)生離心運動，受到的合力方向仍指向彎道內(nèi)側，故A、B均錯誤；運動員水平方向不受任何外力時才沿Oa運動，實際上運動員要受摩擦力作用，所以滑動的方向在Oa右側與Ob之間，故C項錯誤，D項正確。2．如圖所示，一船夫以搖船載客為生往返于河的兩岸。若該船夫搖船第一次從河岸A點用最短的時間到對岸B點，船在靜水中的速度為v1。第二次該船從同一地點以最短的路程過河到對岸B點，船在靜水中的速度為v2，船的運動軌跡恰好與第一次的重合。假設河水速度保持不變，則該船兩次過河所用的時間之比是(D)A．v1︰v2 B．v2︰v1C．veq\o\al(2,1)︰veq\o\al(2,2) D．veq\o\al(2,2)︰veq\o\al(2,1)[解析]由題意可知，船夫兩次駕船的軌跡重合，知合速度方向相同，第一次船的靜水速度垂直于河岸，第二次船的靜水速度與合速度垂直，如圖所示。船兩次過河的合位移相等，則渡河時間之比等于船兩次過河合速度的反比。則eq\f(t1,t2)＝eq\f(v2合,v1合)＝eq\f(\f(v2,tanθ),\f(v1,sinθ))＝eq\f(v2,v1)cosθ，而cosθ＝eq\f(v2,v1)可得eq\f(t1,t2)＝eq\f(v\o\al(2,2),v\o\al(2,1))，故D項正確。3．(2023·全國卷Ⅲ)金星、地球和火星繞太陽的公轉均可視為勻速圓周運動，它們的向心加速度大小分別為a金、a地、a火，它們沿軌道運行的速率分別為v金、v地、v火。已知它們的軌道半徑R金<R地<R火，由此可以判定(A)A．a(chǎn)金>a地>a火 B．a(chǎn)火>a地>a金C．v地>v火>v金 D．v火>v地>v金[解析]行星繞太陽做圓周運動時，由牛頓第二定律和圓周運動知識：由Geq\f(mM,R2)＝ma得向心加速度a＝eq\f(GM,R2)，由Geq\f(mM,R2)＝meq\f(v2,R)得速度v＝eq\r(\f(GM,R))由于R金＜R地＜R火所以a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，選項A正確。4．兩根長度不同的細線下面分別懸掛兩個小球，細線上端固定在同一點，若兩個小球以相同的角速度繞共同的豎直軸在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，則兩個小球在運動過程中，相對位置關系示意圖正確的是圖中的(B)[解析]小球做勻速圓周運動，對其受力分析如圖所示。由牛頓第二定律則有mgtanθ＝mω2Lsinθ，整理得Lcosθ＝eq\f(g,ω2)是定值，則兩球處于同一高度，故B項正確。5．“跳一跳”小游戲需要操作者控制棋子離開平臺時的速度，使其能跳到旁邊平臺上。如圖所示的拋物線為棋子在某次跳躍過程中的運動軌跡，其最高點離平臺的高度為h，在最高點的水平速度為v。若質量為m的棋子在運動過程中可視為質點，只受重力作用，重力加速度為g，則下列說法正確的是(B)A．棋子從出發(fā)到落回到對面平臺上所需時間t＝eq\r(\f(2h,g))B．若僅v變大，則落回到平臺上的落點變遠C．若僅v變大，則落回到平臺時的時間會長D．棋子落回到平臺上時的速度大小為eq\r(2gh)[解析]從最高點落回到平臺的過程可以看作是平拋運動，根據(jù)h＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)得t1＝eq\r(\f(2h,g))，故總時間為t＝2eq\r(\f(2h,g))，A項錯誤；從最高點落到平臺的過程為平拋運動，運動的時間由高度決定，高度不變，則其落回到平臺的時間不變，v增大，其落回到平臺的落點變遠，故B項正確，C項錯誤；從最高點落下，豎直方向為自由落體，v豎直＝eq\r(2gh)，合速度一定不是eq\r(2gh)，故D項錯誤。6．(2023·四川成都七中診斷)中國已經(jīng)開發(fā)出了低軌道太空測試設備，目前安裝在了“天宮二號”上進行測試。若該設備能將飛行器P送到火星附近使其繞火星做勻速圓周運動。如圖所示，火星相對飛行器的張角為θ，火星半徑為R，飛行器繞火星做勻速圓周運動的軌道半徑為r，已知引力常量為G。下列說法正確的是(BD)A．若測得飛行器周期和火星半徑R，可得到火星的質量B．若測得飛行器周期和軌道半徑r，可得到火星的質量C．若測得飛行器周期和張角θ，可得到火星的質量D．若測得飛行器周期和張角θ，可得到火星的平均密度[解析]本題考查根據(jù)衛(wèi)星環(huán)繞中心天體做圓周運動，求解中心天體的質量、密度。設火星的質量為M，平均密度為ρ，飛行器的質量為m，周期為T。對于飛行器，根據(jù)萬有引力提供向心力有eq\f(GMm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)，得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，所以若測得飛行器周期和軌道半徑r，可得到火星的質量，選項B正確；由幾何關系得R＝rsineq\f(θ,2)，所以M＝eq\f(4π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,sin\f(θ,2))))3,GT2)；若測得飛行器周期、火星半徑R和張角θ，可得到火星的質量，選項A、C錯誤；火星的平均密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT2·sin3\f(θ,2))，知測得飛行器周期和張角，可得到火星的平均密度，選項D正確。7．如圖所示，A、B兩小球用一根輕繩連接，輕繩跨過圓錐筒頂點處的光滑小定滑輪，圓錐筒的側面光滑。當圓錐筒繞豎直對稱軸OO′勻速轉動時，兩球都位于筒側面上，且與筒保持相對靜止，小球A到頂點O的距離大于小球B到頂點O的距離，則下列判斷正確的是(BD)A．A球的質量大B．B球的質量大C．A球對圓錐筒側面的壓力大D．B球對圓錐筒側面的壓力大[解析]本題考查圓錐面內(nèi)的圓周運動問題。繩對A、B兩球的拉力大小相等，設繩子對小球的拉力大小為T，側面對小球的支持力大小為F，則豎直方向有Tcosθ＋Fsinθ＝mg，水平方向有Tsinθ－Fcosθ＝mω2lsinθ，可得T＝mgcosθ＋mω2lsin2θ，可知質量m越大，l就越小，則B球的質量大，又T＝eq\f(mg－Fsinθ,cosθ)，可知m越大，F(xiàn)就越大，則B球受圓錐筒側面的支持力大，結合牛頓第三定律可知選項B、D正確，A、C錯誤。8．(2023·湖北黃岡質檢)繩索套馬是內(nèi)蒙古牧民的重要體育活動。某次活動中，套馬者騎在馬背上以速度v追趕提前釋放的烈馬，同時揮動質量為m的套馬圈，使套馬圈圍繞套馬者在水平面內(nèi)做角速度為ω、半徑為r的勻速圓周運動，追逐一段時間后套馬者和烈馬的距離s保持不變，待套馬圈運動到烈馬正后方時，套馬者松開套馬圈，最終成功套住烈馬。運動過程中，套馬者和烈馬行進路線平行，松手后套馬圈在空中的運動可視為平拋運動。下列說法正確的是(BC)A．套馬圈圍繞套馬者做圖示順時針的圓周運動B．套馬圈圍繞套馬者做圖示逆時針的圓周運動C．套馬圈做平拋運動的初速度為v＋ωrD．套馬圈做平拋運動的時間為eq\f(s,ωr)[解析]本題考查平拋運動和圓周運動的結合。根據(jù)題圖可知，套馬圈做逆時針的圓周運動，故A錯誤，B正確；依據(jù)題意可知，套馬圈轉到烈馬正后方時，運動速度與烈馬同向，則套馬圈做平拋運動的初速度v′＝v＋ωr，故C正確；平拋運動在水平方向可看成勻速直線運動，水平位移x＝eq\r(s2－r2)，套馬圈相對于烈馬的水平速度v0＝rω，則套馬圈做平拋運動的時間t＝eq\f(\r(s2－r2),rω)，故D錯誤。二、非選擇題(本題共3小題，共52分。)9．(12分)如圖甲所示是“研究平拋物體運動”的實驗裝置圖，通過描點畫出平拋小球的運動軌跡。甲(1)以下是實驗過程中的一些做法，其中合理的是AC(填正確答案標號)。A．安裝斜槽軌道，使其末端保持水平B．每次小球釋放的初始位置可以任意選擇C．每次小球應從同一高度由靜止釋放D．為描出小球的運動軌跡：描繪的點可以用折線連接(2)實驗得到平拋小球的運動軌跡，在軌跡上取一些點，以平拋起點O為坐標原點，測量它們的水平坐標x和豎直坐標y，圖乙中y－x2圖像能說明平拋小球運動軌跡為拋物線的是C(填正確答案標號)。乙(3)如圖丙所示為某同學根據(jù)實驗畫出的平拋小球的運動軌跡，O點為平拋的起點，在軌跡上任取三點A、B、C，測得A、B兩點豎直坐標y1為5.0cm、y2為45.0cm，A、B兩點水平間距Δx為40cm，則平拋小球的初速度v0＝2m/s，若C點的豎直坐標y3為60.0cm，則小球在C點的速度vC＝4m/s(g取10m/s2)。[解析](1)“研究平拋物體運動”的實驗過程中：斜槽軌道末端水平是必須的，否則不是平拋運動，故A項正確；在描點時，要保證所有點在同一條拋物線上，則每次釋放小球應從靜止開始從同一位置釋放，故B項錯誤，C項正確；連線時用平滑的曲線連起來，D項錯誤。(2)實驗得到平拋小球的運動軌跡，在軌跡上取一些點，以平拋起點O為坐標原點，測量它們的水平坐標x和豎直坐標y，根據(jù)平拋規(guī)律得y＝eq\f(1,2)gt2＝eq\f(1,2)geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,v0)))2＝eq\f(g,2v\o\al(2,0))x2，所以y－x2圖像是一條過原點的直線，故C項正確。(3)設小球從A點到O點的時間為t1，根據(jù)平拋規(guī)律有y1＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)，而y2＝eq\f(1,2)geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t1＋\f(Δx,v0)))2，聯(lián)立可求得v0＝2m/s，t1＝0.1s。小球水平方向做勻速直線運動，因此C點的水平方向速度為v0，豎直方向做自由落體運動，veq\o\al(2,yC)＝2gy3，因此有vC＝eq\r(v\o\al(2,0)＋2gy3)＝eq\r(22＋2×10×0.6)m/s＝4m/s。10．(20分)以下是某同學就有關月球的知識設計的兩個問題，請解答。(1)若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球中心與地球中心間的距離為r，且把月球繞地球的運動近似看作是勻速圓周運動，求月球繞地球運行的周期T；(2)若宇航員登陸月球后，站在月球表面以初速度v0水平拋出一個小球，小球飛行一段時間t后恰好垂直地撞在傾角為θ＝37°的斜坡上，已知月球半徑為R0，月球質量分布均勻，引力常量為G，求月球的密度(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)。[答案](1)T＝eq\f(2πr,R)eq\r(\f(r,g))(2)eq\f(v0,GtπR0)[解析](1)設地球的質量為M，已知月球的軌道半徑為r，則根據(jù)萬有引力提供向心力得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)在地球表面有m′g＝Geq\f(Mm′,R2)由以上兩式得T＝eq\f(2πr,R)eq\r(\f(r,g))。(2)設月球表面的重力加速度為g月，由斜面平拋運動規(guī)律得tanθ＝eq\f(v0,g月t)解得g月＝eq\f(v0,ttanθ)，在月球表面有m′g月＝Geq\f(Mm′,R\o\al(2,0))由以上兩式得M月＝ρ·eq\f(4,3)πReq\o\al(3,0)解得月球的密度ρ＝eq\f(v0,GtπR0)。11．(20分)(2023·遼寧東北育才學校一模)如圖所示，M是水平放置的足夠大的圓盤，繞過其圓心的豎直軸OO′勻速轉動，規(guī)定經(jīng)過圓心O水平向右為x軸的正方向。在圓心O正上方距盤面高為h處有一個正在間斷滴水的容器，從t＝0時刻開始該容器從O點正上方隨傳送帶沿與x軸平行的方向做勻速直線運動，速度大小為v。已知容器在t＝0時刻滴下第一滴水，以后每當前一滴水剛好落到盤面上時再滴一滴水。求：(1)每一滴水經(jīng)過多長時間落到盤面上；(2)要使每一滴水在盤面上的落點都位于同一直線上，圓盤轉動的角速度ω應為多大；(3)第二滴水與第三滴水在盤面上落點間的最大距離x。[答案](1)eq\r(\f(2h,g))(2)nπeq\r(\f(g,2h))(n＝1,2,3，…)(3)5veq\r(\f(2h,g))[解析]本題為圓周運動與自由落體運動相結合的多解問題。(1)水滴在豎直方向上做自由落體運動，有h＝eq\f(1,2)gt