第2課時(shí)夾角問(wèn)題A級(jí)必備學(xué)問(wèn)基礎(chǔ)練1.在直三棱柱ABC-A'B'C'中,側(cè)棱長(zhǎng)為4,底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形,則異面直線AB'與BC'所成角的余弦值為()A.12 B.C.14 D.2.若正三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱長(zhǎng)都相等,D是棱A1C1的中點(diǎn),則直線AD與平面B1DC所成角的正弦值為()A.35 B.C.35 D.3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E為棱BB1的中點(diǎn),則平面A1ED與平面ABCD所成角的正弦值為()A.12 B.53 C.34.已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,SD⊥平面ABCD,棱AB,SC的中點(diǎn)分別為E,F.若直線EC與BF所成角的余弦值為55,則SD=(A.2 B.3C.4 D.15.已知在菱形ABCD中,∠ABC=60°,將△ABC沿AC折起,使得平面B'AC⊥平面DAC,則二面角B'-CD-A的余弦值為()A.2 B.1C.33 D.6.(多選題)在△ABC中,BC=5,AB=1,tan∠ABC=-2,將△ABC繞直線AB旋轉(zhuǎn)至△ABP處,使平面ABP⊥平面ABC,則()A.在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為πB.點(diǎn)B到平面PAC的距離為3C.直線AP與直線PC所成角為πD.直線AB與平面PBC所成角的正弦值為57.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=3,則異面直線AD1和DC1所成角的余弦值是.

8.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱BB1的中點(diǎn),則平面AA1B1B與平面AD1E所成角的正弦值為.

B級(jí)關(guān)鍵實(shí)力提升練9.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱BC和棱CC1的中點(diǎn),則異面直線AC和MN所成的角為()A.30° B.45° C.90° D.60°10.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面積是底面積的63倍,E為四邊形ABB1A1的中心,F為棱CC1的中點(diǎn),則異面直線BF與CE所成角的余弦值為 ()A.23913C.3926 D.11.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°,若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,則平面APB與平面PBC夾角的余弦值為.

12.如圖所示,四邊形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.(1)求SC與平面ASD所成角的余弦值;(2)求平面SAB和平面SCD夾角的余弦值.13.如圖,在五面體ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,CC1⊥平面ABC,AA1∥BB1.已知AB=AC=2,AA1=3,A1B1=A1C1,且BB1<CC1.(1)證明:AA1⊥平面ABC;(2)求平面A1B1C1與平面AA1C1C的夾角的余弦值的取值范圍.

參考答案第2課時(shí)夾角問(wèn)題1.C由題意,取線段AC的中點(diǎn)O,以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),B(0,23,0),B'(0,23,4),C'(-2,0,4),所以AB'=(-2,23,4),BC'=(-2,-23,4),所以cos<AB'所以AB'與BC'所成角的余弦值為14故選C.2.D取棱AC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,令三棱柱的棱長(zhǎng)為2,則OB=22-1=3,A(0,-1,0),D(0,0,2),C(0,1,0),B1(3,0,2),所以AD=(0,1,2),CD=(0,-1,2),CB1設(shè)n=(x,y,z)為平面B1DC的法向量,由n·CD=0,n·CB1=0,設(shè)直線AD與平面B1DC所成的角為α,則sinα=|cos<AD,n>|=|AD所以直線AD與平面B1DC所成角的正弦值為45.故選D3.B以A為原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則A1(0,0,1),E1,0,12,D(0,1,0),∴A1D=(0,1,-1),A1E=1,0,-12.設(shè)平面A1ED的法向量為n1=(x,y則A1E·n1=x-∴n1=(1,2,2).由圖可知,平面ABCD的一個(gè)法向量為n2=(0,0,1),∴cos<n1,n2>=n1·n2|n1||n2|=23,則sin<n1,n4.C以D為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)SD=t(t>0),則B(2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,t),E(2,1,0),所以F0,1,t2,所以EC=(-2,1,0),BF=-2,-1,t2.因?yàn)橹本€EC與BF所成角的余弦值為55,所以|cos<EC,BF>|=|EC·BF||5.D設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1,取線段AC的中點(diǎn)O,連接B'O,DO,因?yàn)椤螦B'C=∠ADC=60°,所以B'O⊥AC,DO⊥AC.又平面B'AC⊥平面DAC,平面B'AC∩平面DAC=AC,所以B'O⊥平面ACD,如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則O(0,0,0),C12,0,0,B'0,0,32,D0,32,0,所以O(shè)B'=0,0,32,B'C=12,0,-32,CD=-12,32,0設(shè)平面B'CD的法向量為n=(x,y,z),則B令z=1,得x=3,y=1,則n=(3,1,1).易知平面CDA的一個(gè)法向量為OB'=0,0,32,所以|cos<OB',n>|=3236.ABC延長(zhǎng)AB,過(guò)點(diǎn)C作CO⊥AB,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O,依據(jù)旋轉(zhuǎn)的學(xué)問(wèn)可知PO⊥AB,由于平面ABP⊥平面ABC,且交線為AB,PO?平面ABP,所以PO⊥平面ABC,由于CO?平面ABC,所以PO⊥CO,故AO,CO,PO兩兩相互垂直,由此建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,BC=5,AB=1,tan∠ABC=-2,所以tan∠CBO=2,∠CBO為銳角,sin∠CBOcos∠CBO=2,sin所以BO=5×15=1,CO=PO=5所以在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為14×π×22=π,A選項(xiàng)正確.A(2,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),PAC=(-2,2,0),PC=(0,2,-2),BA=(1,0,0),設(shè)平面PAC的法向量為m=(x1,y1,z1),則m·AC=-2x1+2y1=0,m·PC=2y1-2z1=0,取x1=1,則y1=1,z1=1,故m=(1,1,1),所以PB=(1,0,-2),PC=(0,2,-2),設(shè)平面PBC的法向量為n=(x2,y2,z2),則n·PB=x2-2z2=0,n·PC=2y2-2z2=0,取x2=2,則y2=1,7.913以A1為原點(diǎn),A1B1,A1D1,A1A所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,3),D1(0,2,0),D(0,2,3),C1(2,2,0),AD1=(0,2,-3),DC故異面直線AD1和DC1所成角的余弦值為|cos<AD1,8.53以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD,AB,AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1中棱長(zhǎng)為2,則A(0,0,0),D(2,0,0),D1(2,0,2),E(0,2,1),則AD=(2,0,0),AD1=(2,0,2),AE=由題可得AD是平面AA1B1B的一個(gè)法向量.設(shè)平面AD1E的法向量n=(x,y,z),則n·AD1=2x+2z=0,n·AE設(shè)平面AA1B1B與平面AD1E所成角為θ,所以平面AA1B1B與平面AD1E所成角的余弦值為cosθ=n·所以平面AA1B1B與平面AD1E所成角的正弦值為1-9.D以D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1中棱長(zhǎng)為2,∵M(jìn),N分別為棱BC和棱CC1的中點(diǎn),∴M(1,2,0),N(0,2,1),A(2,0,0),C(0,2,0),MN=(-1,0,1),AC=(-2,2,0),設(shè)異面直線AC和MN所成的角為θ,則cosθ=|MN·AC∴θ=60°.∴異面直線AC和MN所成的角為60°.故選D.10.B(方法1)如圖所示,取A1B1的中點(diǎn)G,連接FG,EG.因?yàn)镋為四邊形ABB1A1的中心,所以EG∥CF,且EG=CF,所以四邊形CFGE為平行四邊形,所以FG∥CE,所以∠BFG或其補(bǔ)角就是異面直線BF與CE所成的角.設(shè)該三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2,正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面積是底面積的63倍,則3×2AA1=2×34×22×63,所以AA1=6.連接BG則BG=62+12=37,BF=22在△BFG中,由余弦定理得,cos∠BFG=BF2+FG2-BG(方法2)設(shè)AC=2,則由題得3×2CC1=2×34×22×63所以CC1=6.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AC,AA1所在直線分別為y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(3,1,0),C(0,2,0),E32,12,3,F(0,2,3),所以BF=(-3,1,3),CE=32,-32,3,故|cos<BF,所以異面直線BF與CE所成角的余弦值為391311.33在平面PAD內(nèi)作PF⊥AD,垂足為因?yàn)椤螧AP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD.又AP∩PD=P,AP?平面PAD,PD?平面PAD,從而AB⊥平面PAD.又PF?平面PAD,故AB⊥PF.又PF⊥AD,AB∩AD=A,AB?平面ABCD,AD?平面ABCD,可得PF⊥平面ABCD.以F為坐標(biāo)原點(diǎn),取棱BC中點(diǎn)為E,以FA,FE,FP所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.取PA=1,則AD=2,PF=22,所以A22,0,0,P0,0,22,B22,1,0,C-22,1,0.所以PC=-22,1,-22,CB=(2,0,0),PA=22,0,-22,AB=(0,1,0).設(shè)n=(x,y,z)是平面PBC的法向量,則n·PC=0,n·CB=0,即-22x設(shè)m=(x1,y1,z1)是平面PAB的法向量,則m取z1=1,則x1=1,y1=0,故m=(1,0,1).則cos<n,m>=n·故平面APB與平面PBC夾角的余弦值為3312.解(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,S(0,0,2),C(2,2,0),A(0,0,0),B(0,2,0),D(1,0,0),SC=(2,2,-2),∵AB⊥平面ASD,故平面ASD的一個(gè)法向量為AB=(0,2,0),設(shè)SC與平面ASD所成的角為θ,則sinθ=|cos<SC,AB>|=|SC·AB||SC||AB(2)平面SAB的一個(gè)法向量為m=(1,0,0),∵SC=(2,2,-2),SD=(1,0,-2),設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),由SC令z=1,則x=2,y=-1.故n=(2,-1,1).設(shè)平面SAB和平面SCD的夾角為α,則cosα=|m·n||m||13.(1)證明因?yàn)锳A1∥BB1,且AA1?平面BB1C1C,BB1?平面BB1C1C,所以AA1∥平面BB1C1C.因?yàn)锳A1?平面AA1C1C,平面AA1C1C∩平面BB1C1C=CC1,所以AA1∥CC1.又CC1⊥平面ABC,所以AA1⊥平面ABC.(2)解由(1)可知,AA1⊥AB,AA1⊥AC.又AB⊥AC,則以A為原點(diǎn),AB,AC,AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)B1(2,0,m),C1(0,2,n).又A1(0,0,3)