第九章概率與統計9.9正態分布考點一正態分布的概念與性質例1[2024年新課標Ⅱ卷]某物理量的測量結果聽從正態分布N10,σA.σ越小,該物理量在一次測量中在9.9,B.σ越小,該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C.σ越小,該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.σ越小,該物理量在一次測量中落在9.9,10.2與落在解：對于A,σ2為數據的方差,所以σ越小,數據在μ=10旁邊越集中,所以測量結果落在9.9對于B,由正態分布密度曲線的對稱性,可知該物理量一次測量結果大于10的概率為0.5,B正確.對于C,由正態分布密度曲線的對稱性,可知該物理量一次測量結果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等,C正確.對于D,該物理量一次測量結果落在9.9,10.0的概率與落在10.2,故選D.【點撥】利用正態曲線的特點求參數μ，σ.①正態曲線是單峰的，它關于直線x=μ對稱，由此特點結合圖象求出μ.②正態曲線在x=μ處達到峰值變式1設X～Nμ1,A.PB.PC.函數Ft=PD.P解：由正態密度曲線的性質，得X，Y的正態密度曲線分別關于直線x=μ1，x=μ2對稱.對于A，由圖象,得μ1<μ2，所以PY≥μ2<PY≥μ1，故A錯誤.對于B，由圖象,得X的正態密度曲線較Y的正態密度曲線“瘦高”，所以σ1<σ2，所以考點二正態分布的概率計算例2為了解高三復習備考狀況，某校組織了一次階段考試,高三全體考生的數學成果近似聽從正態分布N100,17.52.已知成果在117.5分以上（不含117.5分）的學生有80人，則此次參加考試的學生成果低于82.5分的概率為0.16；假如成果大于135分的為特別優秀，那么本次數學考試成果特別優秀的大約有10人（若X～解：因為數學成果X～N100,17.52，所以P100?17.5≤X【點撥】正態曲線解題的關鍵是，利用對稱性把待求區間內的概率向已知區間內的概率轉化.解題時要充分結合圖形進行分析、求解,要留意數形結合思想及化歸思想的運用.變式2（1）【多選題】已知隨機變量X～N0,1A.PX≤?C.P1≤解：因為隨機變量X～N0,1因為隨機變量Y～N1,2利用正態密度曲線的對稱性,可得PX≤?1=PX≥因為P1≤X所以P1≤X因為PX≥2=1?Pμ1（2）若隨機變量X～Nμ,σ2σ>0A.19 B.12 C.6 D.5解：因為數學成果近似地聽從正態分布N120,10所以Px?120<10故選C.考點三正態分布的應用例3某車間生產一批零件，現從中隨機抽取10個零件，測量其內徑（單位：cm）的數據如下：8787889295979899103104設這10個數據的平均值為μ，標準差為σ.（1）求μ與σ.解：μ=110×87（2）假設這批零件的內徑Z（單位：cm）聽從正態分布Nμ①從這批零件中隨機抽取10個，設這10個零件中內徑大于107cm的個數為X，求D[答案]因為Z～N95,36，所以PZ>②若該車間又新購一臺設備，安裝調試后，試生產了5個零件，測量其內徑（單位：cm）分別為76，85，93，99，108，以原設備生產性能為標準，試問這臺設備是否須要進一步調試，說明你的理由.附：若X～Nμ,σ[答案]因為Z～N95,36，所以P因為76?[77,【點撥】解決正態分布問題要把握住三個關鍵點：對稱軸x=μ,標準差σ和分布區間.利用對稱性可求指定范圍內的概率值,由μ，σ，分布區間的特征進行轉化，使分布區間轉化為σ,2σ或變式3（1）【多選題】裝疫苗的玻璃瓶用的不是一般玻璃，而是中性硼硅玻璃，這種玻璃有較好的平均線膨脹系數（簡稱：膨脹系數）.某玻璃廠有兩條硼硅玻璃的生產線，其中甲生產線所產硼硅玻璃的膨脹系數X1～N4.7,0.01，乙生產線所產硼硅玻璃的膨脹系數X2～N4.6,A.甲生產線所產硼硅玻璃的膨脹系數范圍在4.5,4.8B.甲生產線所產硼硅玻璃的膨脹系數比乙生產線所產硼硅玻璃的膨脹系數數值更集中C.若用于疫苗藥瓶的硼硅玻璃的膨脹系數不能超過5，則乙生產線所產硼硅玻璃符合標準的概率更大D.若用于疫苗藥瓶的硼硅玻璃的膨脹系數范圍為[4.6解：因為X1～N4.7,因為X2～N4.6,所以P4.5<X因為σ1=0.1因為PX1≤5=PXP4.6≤X1≤4.8=（2）某商場在五一假期間開展了一項有獎闖關活動，并對每一關依據難度進行賦分，滿分為450分.已知包括甲、乙、丙在內的2500人參加了該項闖關活動.且該闖關活動累計得分聽從正態分布，現要依據得分給前400名發放嘉獎.①假設該闖關活動平均分數為171分，分數在11分到331分之間的人數占比約為95.45%解：設此次闖關活動的分數記為X～[答案]由題意，可知μ=171.因為P171而4002500=0.16所以前400名參賽者的最低得分低于μ+②丙得知他的分數為430分，而乙告知丙：“這次闖關活動平均分數為201分，分數在126分到276分之間的人數