第三章統計案例3.1回歸分析的基本思想及其初步應用第1課時線性回歸模型A級基礎鞏固一、選擇題1．有下列說法：①線性回歸分析就是由樣本點去尋找一條直線，貼近這些樣本點的數學方法；②利用樣本點的散點圖可以直觀判斷兩個變量的關系是否可以用線性關系表示；③通過回歸方程eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(b,\s\up12(^))x＋eq\o(a,\s\up12(^))及其回歸系數b，可以估計和觀測變量的取值和變化趨勢；④因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關性檢驗．其中正確說法的個數是()A．1B．2C．3D．解析：①反映的是最小二乘法思想，故正確．②反映的是畫散點圖的作用，也正確．③反映的是回歸模型y＝bx＋a＋e，其中e為隨機誤差，故也正確．④不正確，在求回歸方程之前必須進行相關性檢驗，以體現兩變量的關系．答案：C2．設兩個變量x和y之間具有線性相關關系，它們的相關系數是r，y關于x的回歸直線的斜率是b，縱軸上的截距是a，那么必有()A．b與r的符號相同B．a與r的符號相同C．b與r的符號相反D．a與r的符號相反解析：因為b＞0時，兩變量正相關，此時r＞0；b＜0時，兩變量負相關，此時r＜0.答案：A3．對變量x，y進行回歸分析時，依據得到的4個不同的回歸模型畫出殘差圖，則下列模型擬合效果最好的是()解析：用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區域中，說明這樣的模型比較合適，帶狀區域的寬度越窄，說明模型的擬合效果越好．答案：A4．設某大學的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關關系．根據一組樣本數據(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝0.85x－85.71，則下列結論中不正確的是()A．y與x具有正的線性相關關系B．回歸直線過樣本點的中心(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y)))C．若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加D．若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為解析：回歸方程中x的系數為0.85＞0，因此y與x具有正的線性相關關系，A正確；由回歸方程系數的意義可知回歸直線過樣本點的中心eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))，B正確；依據回歸方程中y的含義可知，x每變化1個單位，y相應變化約0.85個單位，C正確；用回歸方程對總體進行估計不能得到肯定的結論，故D錯誤．答案：D5．(2015·福建卷)為了解某社區居民的家庭年收入與年支出的關系，隨機調查了該社區5戶家庭，得到如下統計數據表：收入x/萬元8.28.610.011.311.9支出y/萬元6.27.58.08.59.8根據上表可得回歸直線方程eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(b,\s\up12(^))x＋eq\o(a,\s\up12(^))，其中eq\o(b,\s\up12(^))＝0.76，eq\o(a,\s\up12(^))＝y－eq\o(b,\s\up12(^))eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))，.據此估計，該社區一戶年收入為15萬元家庭的年支出為()A．11.4萬元 B．11.8萬元C．12.0萬元 D．12.2萬元解析：由已知得eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝eq\f(8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9,5)＝10(萬元)，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))＝eq\f(6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8,5)＝8(萬元)，故eq\o(a,\s\up12(^))＝8－0.76×10＝0.4.所以回歸直線方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝0.76x＋0.4，社區一戶年收入為15萬元家庭年支出為eq\o(y,\s\up12(^))＝0.76x＋0.4，社區一戶年收入為15萬元家庭支出為eq\o(y,\s\up12(^))＝0.76×15＋0.4＝11.8(萬元)．答案：B二、填空題6．若施化肥量x(kg)與小麥產量y(kg)之間的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝250＋4x，當施化肥量為50kg時，預計小麥產量為________kg.解析：把x＝50代入eq\o(y,\s\up6(^))＝250＋4x，得eq\o(y,\s\up6(^))＝450.答案：4507．已知x，y的取值如表所示：x0134y2.24.34.86.7若從散點圖分析，y與x線性相關，且eq\o(y,\s\up6(^))＝0.95x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則eq\o(a,\s\up6(^))的值等于________．解析：x＝eq\f(1,4)(0＋1＋3＋4)＝2，y＝eq\f(2.2＋4.3＋4.8＋6.7,4)＝4.5，而回歸直線方程過樣本點的中心(2，4.5)，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝y－0.95x＝4.5－0.95×2＝2.6.答案：2.68．已知一個線性回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝1.5x＋45，其中x的取值依次為1，7，5，13，19，則eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))＝________．解析：eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝eq\f(1＋7＋5＋13＋19,5)＝9，因為回歸直線方程過點(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y)))，所以eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))＝1.5x＋45＝1.5×9＋45＝58.5.答案：58.5三、解答題9．某醫院用光電比色計檢驗尿汞時，得尿汞含量x(單位：mg/L)與消光系數y讀數的結果如下：尿汞含量x246810消光系數y64138205285360(1)畫出散點圖；(2)求回歸方程．解：(1)散點圖如圖所示：(2)由圖可知y與x的樣本點大致分布在一條直線周圍，因此可以用線性回歸方程來擬合它．設回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(b,\s\up12(^))x＋eq\o(a,\s\up12(^)).故所求的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝36.95x－11.3.10．某個服裝店經營某種服裝，在某周內獲純利y（元）與該周每天銷售這種服裝件數x之間的一組數據關系表：x3456789y66697381899091(1)求eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))；(2)已知純利y與每天銷售件數x線性相關，試求出其回歸方程．解：(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9,7)＝6，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91,7)＝eq\f(559,7).(2)因為y與x有線性相關關系，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\f(559,7)－6×4.75＝eq\f(719,14)≈51.36.故回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝4.75x＋51.36.B級能力提升1．某學生四次模擬考試中，其英語作文的減分情況如下表：考試次數x1234所減分數y4.5432.5顯然所減分數y與模擬考試次數x之間有較好的線性相關關系，則其線性回歸方程為()A．y＝0.7x＋5.25 B．y＝－0.6x＋5.25C．y＝－0.7x＋6.25 D．y＝－0.7x＋5.25解析：由題意可知，所減分數y與模擬考試次數x之間為負相關，所以排除A.考試次數的平均數為x＝eq\f(1,4)(1＋2＋3＋4)＝2.5，所減分數的平均數為y＝eq\f(1,4)(4.5＋4＋3＋2.5)＝3.5，即直線應該過點(2.5，3.5)，代入驗證可知直線y＝－0.7x＋5.25成立，故選D.答案：D2．為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關系，下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時間x(單位：小時)與當天投籃命中率y之間的關系：時間x12345命中率y0.40.50.60.60.4小李這5天的平均投籃命中率為________，用線性回歸分析的方法，預測小李該月6號打6小時籃球的投籃命中率為________．解析：這5天的平均投籃命中率為eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))＝eq\f(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4,5)＝0.5，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3.所以eq\o(b,\s\up12(^))＝eq\f(0.1,10)＝0.01，eq\o(a,\s\up12(^))＝eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))－eq\o(b,\s\up12(^))eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝0.47.所以回歸直線方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝0.01x＋0.47.當x＝6時，eq\o(y,\s\up12(^))＝0.01×6＋0.47＝0.53.答案：0.50.533．某市垃圾處理廠的垃圾年處理量(單位：千萬噸)與資金投入量x(單位：千萬元)有如下統計數據：分類2012年2013年2014年2015年2016年資金投入量x/千萬元1.51.41.91.62.1垃圾處理量y/千萬噸7.47.09.27.910.0(1)若從統計的5年中任取2年，求這2年的垃圾處理量至少有一年不低于8.0千萬噸的概率；(2)由表中數據求得線性回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝4x＋eq\o(a,\s\up12(^))，該垃圾處理廠計劃2017年的垃圾處理量不低于9.0千萬噸，現由垃圾處理廠決策部門獲悉2017年的資金投入量約為1.8千萬元，請你預測2017年能否完成垃圾處理任務，若不能，缺口約為多少千萬噸？解：(1)從統計的5年垃圾處理量中任取2年的基本事件共10個：(7.4，7.0)，(7.4，9.2)，(7.4，7.9)，(7.4，10.0)，(7.0，9.2)，(7.0，7.9)，(7.0，10.0)，(9.2，7.9)，(9.2，10.0)，(7.9，10.0)，其中垃圾處理量至少有一年不低于8.0千萬噸的基本事件有6個：(7.4，9.2)，(7.4，10.0)，(7.0，9.2)，(7.0，10.0)，(9.2，7.9)，(9.2，10.0)．所以，這2年的垃圾處理量至少有一年不低于8.0千萬噸的概率為P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(2)eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝eq\f(1.5＋1.4＋1.9＋1.6＋2.1,5)＝1.7，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))＝eq\f(7.4＋7.0＋9.2＋7.9＋10.0,5)＝8.3，因為直線eq\o(y,\s\up12(^)