專題07一元二次方程的應用（2個知識點3種題型1種中考考法）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1.二次三項式的因式分解知識點2.一元二次方程的實際應用【方法二】實例探索法題型1.二次三項式的因式分解題型2.幾何圖形問題題型3.增長率問題【方法三】仿真實戰法考法.一元二次方程的實際應用【方法四】成果評定法【倍速學習四種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1.二次三項式的因式分解二次三項式的因式分解（1）形如的多項式稱為二次三項式；（2）如果一元二次方程的兩個根是和,那么二次三項式的分解公式為：．【例1】在實數范圍內分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）原式；原式，令，解得：，，即得；原式；原式．【總結】考查二次三項式的因式分解，十字相乘法即可，在實數范圍內可分解為．【變式1】在實數范圍內分解因式：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）令，解得：，，即該式可分解為；（2）令，解得：，，即該式可分解為．【總結】考查二次項系數為1的二次三項式的因式分解，即為．【變式2】在實數范圍內分解因式：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）原式；（2）原式為．【總結】考查分解因式中的整體思想，注意分解要徹底．知識點2.一元二次方程的實際應用（1）解題步驟：①審題；②設未知數；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤檢驗根是否有意義；⑥作答．（2）應用模型：一元二次方程經常在增長率問題、面積問題等方面應用.①平均增長率（降低率）問題：公式：b＝a(1±x)n，a表示基數，x表示平均增長率（降低率），n表示變化的次數，b表示變化n次后的量；②利潤問題：利潤=售價成本；利潤率=利潤/成本×100%；③傳播、比賽問題：通過割補或平移形成規則圖形，運用面積之間的關系列方程.注意：運用一元二次方程解決實際問題時，方程一般有兩個實數根，則必須要根據題意檢驗根是否有意義.【例2】（2020·上海第二工業大學附屬龔路中學八年級期中）受疫情影響某廠今年第一季度的產值只有200萬元，為幫助企業渡過難關，政府出臺了很多幫扶政策，在當地政府的暖心相助下，該廠第三季度的總產值提高到500萬元．若平均每季度的增產率是，則可以列方程（）A． B． C． D．【答案】C【分析】若平均每季度的增產率是，經過兩次增長后應該為，建立方程即可．【詳解】解：若平均每季度的增產率是，則可以列方程故本題選擇C【點睛】本題是一元二次方程的應用問題當中的變化率問題，解題時找到等量關系是關鍵．【例3】（2020·上海第二工業大學附屬龔路中學八年級期中）某小組每人給他人送一張照片，全組共送出132張，那么這個小組共有___________人．【答案】12【分析】先找出題目中的等量關系為：人數×（人數1）=132，通過列一元二次方程計算求得正數解即可．【詳解】解：設這個小組共有x人．

x（x1）=132，

解得x1=12，x2=11（不合題意，舍去）．

故答案為:12．【點睛】本題主要考查一元二次方程的應用，得到照片總張數的等量關系是解決本題的關鍵，重點是理解2個人之間要互送出2張照片．【例4】（2020·上海市格致初級中學八年級期中）某校八年級舉行足球比賽，每個班級都要和其他班級比賽一次，結果一共進行了6場比賽，則八年級共有_____個班級．【答案】3．【分析】設共有個班級參加比賽，根據共有45場比賽列出方程，求出方程的解即可得到結果．【詳解】解：設共有個班級參加比賽，根據題意得：，整理得：，即，解得：或（舍去）．則共有3個班級球隊參加比賽．故答案為：3．【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是找出等量關系“需安排6場比賽”．【例5】（2020·上海外國語大學附屬雙語學校）工藝商場按標價銷售某種工藝品時，每件可獲利45元，按標價的八五折銷售共工藝品8件與將標價降低35元銷售該工藝品12件所獲利潤相等．（1）該工藝品每件的進價、標價分別是多少元？（2）若每件工藝品按（1）中求得的進價進貨，標價售出，工藝商場每天可售出該工藝品100件，若每件工藝品降價1元，則每天可售出該工藝品4件，如果既要每天要獲得的利潤4800元，又要使消費者得到實惠，問每件工藝品降價多少元出售？（3）請商場如何定價可以使每天獲得最高利潤？【答案】（1）該商品的每件標價為200元，進價為155元；（2）每件工藝品降價15元出售；（3）當工藝品定價為190元，每天獲得的利潤最大，最大利潤4900元【分析】（1）設標價為x，則進價為x45，根據“標價的八五折銷售該工藝品8件與將標價降低35元銷售該工藝品12件所獲利潤相等”列方程求解即可；（2）設工藝品降價m元，根據“總利潤=單件利潤×件數”列出方程即可求出結論；（3）設工藝品定價為a元，可根據總利潤=單件利潤×件數、配方法及平方的非負性即可求出結論．【詳解】解：（1）設標價為x，則進價為x45，8[0.85x(x45)]=12[x35(x45)]，整理得3601.2x=120，即1.2x=240，解得：x=200，則每件進價為：20045=155（元）答：該商品的每件標價為200元，進價為155元．（2）設工藝品降價m元，則(45m)(100+4m)=4800解得：m1=5，m2=15∵要使消費者得到實惠∴m=15答：每件工藝品降價15元出售．（3）設工藝品定價為a元，總利潤為：(a－155)[100+4（200－a）]=4a2＋1520a－139500=4(a190)2+4900，∵(a190)2≥0∴4(a190)2≤0∴4(a190)2+4900≤4900，即總利潤最大值為4900，此時a=190答：當工藝品定價為190元，每天獲得的利潤最大，最大利潤4900元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，重點是掌握求最值的問題．注意：數學應用題來源于實踐，用于實踐，在當今社會市場經濟的環境下，應掌握一些有關商品價格和利潤的知識，總利潤等于總收入減去總成本，然后再利用配方法和平方的非負性求最值．【例6】如圖，一農戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12米的住房墻，另外三邊用25米長的建筑材料圍成的，為了方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一扇1米寬的門．當所圍矩形與墻垂直的一邊長為多少時，豬舍面積為80平方米？【答案】當所圍矩形與墻垂直的一邊長為8米時，豬舍面積為80平方米．【分析】設矩形豬舍垂直于住房墻一邊長為xm可以得出平行于墻的一邊的長為（252x+1）m．根據矩形的面積公式建立方程求出其解就可以了．解：設矩形豬舍垂直于住房墻一邊長為xm可以得出平行于墻的一邊的長為(252x+1)m，由題意得x(252x+1)=80，化簡，得x213x+40=0，解得：x1=5，x2=8，當x=5時，262x=16＞12（舍去），當x=8時，262x=10＜12，答：當所圍矩形與墻垂直的一邊長為8米時，豬舍面積為80平方米．【點撥】本題考查了列一元二次方程解實際問題的運用，矩形的面積公式的運用及一元二次方程的解法的運用，解答時尋找題目的等量關系是關鍵．【例7】若兩個連續整數的積是56，求這兩個連續整數的和．【答案】這兩個連續整數的和為15或15【分析】設這兩個連續整數中較小的數為x，則較大的數為x＋1，根據題意，列出方程即可求出x，從而求出結論．解：設這兩個連續整數中較小的數為x，則較大的數為x＋1由題意可得x（x＋1）=56解得：x1=7，x2=8∴這兩個整數為7、8或8，7∴兩個連續整數的和為7＋8=15或8＋（7）=15答：這兩個連續整數的和為15或15．【點撥】本題考查了一元二次方程的應用，能用代數式表示出兩個連續整數，找到等量關系準確的列出方程是解決問題的關鍵．【例8】如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點P從點A出發沿邊AC向點C以1cm/s的速度移動，點Q從C點出發沿CB邊向點B以2cm/s的速度移動．

（1）如果P、Q同時出發，幾秒鐘后，可使△PCQ的面積為8cm2？

（2）點P、Q在移動過程中，是否存在某一時刻，使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半？【答案】（1）2s或4s后可使△PCQ的面積為8cm2；（2）不存在使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半的時刻，理由見解析；【分析】（1）設點P、Q同時出發，x秒鐘后，AP=xcm，PC=（6x）cm，CQ=2xcm，此時△PCQ的面積為：×2x（6x），令該式=8，由此等量關系列出方程求出符合題意的值；

（2）△ABC的面積的一半等于××AC×BC=12cm2，令×2x（6x）=12，判斷該方程是否有解，若有解則存在，否則不存在．【詳解】（1）設xs后，可使△PCQ的面積為8cm2．

由題意得，AP=xcm，PC=（6x）cm，CQ=2xcm，

則?(6?x)?2x＝8．

整理，得x26x+8=0，解得x1=2，x2=4．

所以P、Q同時出發，2s或4s后可使△PCQ的面積為8cm2．

（2）由題意得：

S△ABC=×AC?BC=×6×8=24，

即：×2x×（6x）=×24，

x26x+12=0，

△=624×12=12＜0，該方程無實數解，

所以，不存在使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半的時刻．【點睛】本題主要考查一元二次方程的應用，解題關鍵關鍵在于根據題意找出等量關系列出方程求解．【方法二】實例探索法題型1.二次三項式的因式分解1.將在實數范圍內因式分解，正確的結果是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】關于的一元二次方程的根為，，由此對應的二次三項式分解為，即為，故選C．【總結】考查二次三項式的因式分解，當做方程進行解題即可．2.在實數范圍內分解因式：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）令，解得：，，即該式可分解為；（2）令，解得：，，即該式可分解為．【總結】考查二次三項式的因式分解，．3.在實數范圍內分解因式：（1）； （2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）令，解得：，，則原式可分解為；（2）令，解得：，，則原式可分解為；令，該方程即為，解得：，，則原式可分解為．【總結】主元法的思想，把一個字母當做未知數，另一個當做常數．4.二次三項式，當a取何值時，（1）在實數范圍內能分解；（2）能分解成兩個相同的因式；（3）不能因式分解

．【答案】（1）且；（2）；（3）．【解析】原式是二次三項是，可知二次項系數，得：，令，得，（1）原式可分解因式，則有，得：且；（2）原式可分解為兩個相同的式子，則有，得：；（3）原式不能分解因式，則有，得：．【總結】考查二次三項式的因式分解與方程根的情況之間的關系，注意區分開各種情形之間的區別和聯系．5.已知可以分解得到，求實數的值．【答案】，，．【解析】，由此可得：，解得：．【總結】考查二次三項式的因式分解，也可通過韋達定理進行求解．6.多項式是完全平方式，求證：．【解析】證明：是完全平方式，關于的方程有兩個相等的實數根，，．【總結】考查可分解為完全平方式的二次三項式，即所對應的一元二次方程．題型2.幾何圖形問題7．（2021·上海市民辦新竹園中學八年級月考）用長為20米的竹籬笆在倉庫外面圍一個長方形的堆料場，一面利用外墻，要使長方形面積達到42平方米，則相鄰兩邊的長度是多少？【答案】3米和14米或7米和6米【分析】設垂直于墻的一邊長為x米，則平行于墻的一邊長為（202x）米，根據長方形的面積公式結合堆料場的面積為42平方米，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出結論．【詳解】解：設垂直于墻的一邊長為x米，則平行于墻的一邊長為（202x）米，依題意，得：x（202x）=42．整理，得：x210x+21=0，解得：x1=3，x2=7，∴相鄰兩邊的長度是3米和14米或7米和6米．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．8．（2020·上海金山區·八年級期中）如圖利用長25米的一段圍墻，用籬笆圍一個長方形的場地做雞場，中間用籬笆分割出2個小長方形，與墻平行的一邊上和中間用籬笆的隔離各開一扇寬為1米的門，總共用去籬笆的長度為51米，為了使這個長方形的面積為216平方米，求邊各為多少米？【答案】AB邊為12米，BC邊為18米【分析】設AB的長為x米，根據題意列出一元二次方程，求解并找到符合題意的解即可．【詳解】設AB的長為x米，根據題意得，解得，當時，，不符合題意，故舍去；當時，，符合題意，∴，∴AB邊為12米，BC邊為18米．【點睛】本題主要考查一元二次方程的應用，根據題意列出方程并找到合適的解是關鍵．9．（2020·上海市奉賢區弘文學校）如圖所示，要建設一個面積為90平方米的倉庫，倉庫的一邊靠墻，這堵墻長16米；倉庫如圖要求開兩扇1.5米寬的小門．已知圍建倉庫的現有材料可使新建木墻的總長為30米，那么這個倉庫設計的長和寬應分別是多少米？【答案】倉庫的長是15米，寬是6米．【分析】設倉庫的寬是x米，長是（303x+1.5×2），根據面積為90平方米可列方程求解．【詳解】解：設倉庫的寬是x米，（302x+1.5×2）x=90，整理得，解得，x=5或x=6，當x=5米時，長為302×5+1.5×2=18米＞16米，故x=5米不符合題意；當x=6米時，長為302×6+1.5×2=15米＜16米，答：倉庫的長是15米，寬是6米．【點睛】本題考查理解題意的能力，關鍵是設出長，表示出寬，以面積做為等量關系列方程求解．10．（2020·上海市進才中學北校八年級月考）如圖,用總長為80米的籬笆,在一面靠墻的空地上圍成如圖所示的花圃ABCD,花圃中間有一條2米寬的人行通道,園藝師傅用籬笆圍成了四個形狀、大小一樣的鮮花種植區域,鮮花種植總面積為192平方米,花圃的一邊靠墻,墻長20米,求AB和BC的長.【答案】AB=12m，BC=18m.【分析】設AB=x，則BE=，根據鮮花種植總面積為192平方米及矩形的面積得到一元二次方程即可求解.【詳解】設AB=x，則BE=，∴解得x1=8,x2=12,當x=12時，BE=8，∴BC=2×8+2=18＜20，符合題意；當x=8時，BE=12，∴BC=2×12+2=26＞20，不符合題意，舍去；故AB=12m，BC=18m.【點睛】此題主要考查一元二次方程的應用，解題的關鍵是根據圖形找到等量關系列出方程求解.11．（上海市民辦新竹園中學八年級月考）如圖，在中，點P、Q同時由A、B兩點出發，分別沿AC，BC的方向勻速運動，它們的速度都是每秒1cm,____秒鐘后△PCQ的面積等于△ABC的一半？【答案】2【分析】設P、Q同時出發，x秒鐘后，AP＝xcm，BQ＝xcm，PC＝（6?x）cm，CQ＝（8?x）cm，此時△PCQ的面積為×（8?x）（6?x），令該式＝×AC×BC，得到方程即可求解.【詳解】設運動x秒后．由題意得：AP＝xcm，BQ＝xcm，PC＝（6?x）cm，CQ＝（8?x）cm，S△ABC＝×AC?BC＝×6×8＝24，即：×（8?x）×（6?x）＝×24，x2?14x＋24＝0，（x?2）（x?12）＝0，x1＝12，x2＝2；∵x＜6，∴x1＝12舍去，所以，當2秒時使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半．故填：2.【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應用，關鍵在于表示出三角形面積進而得出等量關系求解．題型3.增長率問題12．（2021·上海市民辦新竹園中學八年級月考）某鋼鐵廠一月份的產量為5000t，三月份上升到7200t，則這兩個月平均增長的百分率為（）A．12% B．2% C．1.2% D．20%【答案】D【分析】根據題意，可以列出相應的一元二次方程，從而可以求得這兩個月平均每月增長的百分率．【詳解】解：設兩個月平均每月增長的百分率為x，5000（1+x）2=7200，解得，x1=0.2，x2=2.2（舍去），即兩個月平均每月增長的百分率為20%，故選D．【點睛】本題考查一元二次方程的應用，解答此類題目中的關鍵是明確題意，列出相應的方程，注意增長的百分率是正值．13．（2021·上海市松江區新橋中學八年級期中）一件襯衫原價200元，經過連續兩次降價后售價為162元，若兩次降價的百分率相同，則這個百分率為______．【答案】10%【分析】根據襯衫原來價格×（1每次降價的百分率）2=現在價格，設出未知數，列方程解答即可．【詳解】解：設這種襯衫平均每次降價的百分率為x，根據題意列方程得，200×（1x）2=162，解得x1=0.1，x2=1.9（不合題意，舍去）；答：這種襯衫平均每次降價的百分率為10%．故答案為：10%．【點睛】本題考查了一元二次方程在實際生活中的應用，此題列方程得依據是：襯衫原來價格×（1每次降價的百分率）2=現在價格．14．（2021·上海市教育學會青浦清河灣中學八年級期中）某商品原價為180元，連續兩次提價后售價為300元，且每次提價的百分率相等，設每次提價的百分率為x，依題意可列方程__________．【答案】【分析】根據該商品的原價及經過兩次提價后的價格，即可得出關于的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：依題意得：．故答案為：．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．15．（2021·上海奉賢區·八年級期末）疫情期間，某快遞公司推出無接觸配送服務，第一周的訂單數是5萬件，第三周的訂單數比第一周增加2.8萬件，如果設平均每周訂單數的增長率為x，那么符合題意的方程是___．【答案】5（1+x）2【分析】根據該快遞公司第一周及第三周訂單總件數，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：設平均每周訂單數的增長率為x，根據題意得：5（1+x）2=5+2.8，故答案為：5（1+x）2=5+2.8．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，找到等量關系是正確列出一元二次方程的關鍵．16．（2021·上海嘉定區·八年級期末）某單位在兩個月內將開支從25萬元降到16萬元，如果每月降低開支的百分率均為，那么這個x的值是________．【答案】20%【分析】利用降低后的開支=原開支×（1降低率）2，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結論．【詳解】解：依題意得：25（1x）2=16，解得：x1=0.2=20%，x2=1.8（不合題意，舍去）．故答案為：20%．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．17．（2021·上海靜安區·八年級期末）某市某年的綠化面積是20萬畝，第二、三年的年增長率相同．已知第三年的綠化面積達到了25萬畝，求第三年的年增長率，如果設該年增長率為x，那么可列關于x的方程：___．【答案】【分析】設每年增長率為，根據第一年綠化面積是20萬畝，則第二年綠化面積萬畝，第三年綠化面積萬畝，得出等式方程即可．【詳解】解：設每年增長率為，則第二年綠化面積萬畝，第三年綠化面積萬畝，根據題意得出：．故答案為：．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，得出每年的綠化面積是解題關鍵．【方法三】仿真實戰法考法.一元二次方程的實際應用1．（2022?上海）某公司5月份的營業額為25萬，7月份的營業額為36萬，已知5、6月的增長率相同，則增長率為．【分析】設平均每月的增長率為x，根據5月份的營業額為25萬元，7月份的營業額為36萬元，表示出7月的營業額，即可列出方程解答．【解答】解：設平均每月的增長率為x，由題意得25（1+x）2＝36，解得x1＝，x2＝﹣（不合題意，舍去）所以平均每月的增長率為20%．故答案為：20%．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，根據數量關系列出關于x的一元二次方程是解題的關鍵．2．（2020?上海）去年某商店“十一黃金周”進行促銷活動期間，前六天的總營業額為450萬元，第七天的營業額是前六天總營業額的12%．（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業額；（2）去年，該商店7月份的營業額為350萬元，8、9月份營業額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業額與9月份的營業額相等．求該商店去年8、9月份營業額的月增長率．【分析】（1）根據該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業額＝前六天的總營業額+第七天的營業額，即可求出結論；（2）設該商店去年8、9月份營業額的月增長率為x，根據該商店去年7月份及9月份的營業額，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【解答】解：（1）450+450×12%＝504（萬元）．答：該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業額為504萬元．（2）設該商店去年8、9月份營業額的月增長率為x，依題意，得：350（1+x）2＝504，解得：x1＝＝20%，x2＝﹣（不合題意，舍去）．答：該商店去年8、9月份營業額的月增長率為20%．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【方法四】成果評定法一、單選題1．（2023春·上海·八年級專題練習）受疫情影響某廠今年第一季度的產值只有200萬元，為幫助企業渡過難關，政府出臺了很多幫扶政策，在當地政府的暖心相助下，該廠第三季度的總產值提高到500萬元．若平均每季度的增產率是，則可以列方程（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】若平均每季度的增產率是，經過兩次增長后應該為，建立方程即可．【詳解】解：若平均每季度的增產率是，則可以列方程故本題選擇C【點睛】本題是一元二次方程的應用問題當中的變化率問題，解題時找到等量關系是關鍵．2．（2021秋·上海·八年級校考階段練習）某種花卉每盆的盈利與每盆的株數有一定的關系，每盆植3株時，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利減少元，要使每盆的盈利達到15元，每盆應多植多少株？設每盆多植x株，則可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣x）＝15 B．（x+3）（x）＝15C．（x+4）（3﹣x）＝15 D．（x+1）（4﹣x）＝15【答案】A【分析】根據已知假設每盆花苗增加x株，則每盆花苗有(x+3)株，得出平均單株盈利為x)元，由題意得(xx)=15即可．【詳解】解：設每盆應該多植x株，由題意得(xx)=15，故選：A．【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，根據每盆花苗株數×平均單株盈利=總盈利得出方程是解題關鍵．3．（2021秋·上海靜安·八年級上海市民立中學校考階段練習）二次三項式3x2﹣5xy+y2因式分解正確的是（）A．B．3（x﹣）（x﹣）C．D．3（x﹣y）（x+y）【答案】B【分析】解關于x的一元二次方程，因式分解即可判斷．【詳解】解：把3x25xy+y2=0看作是關于x的一元二次方程，△=（5y）24×3×y2=13y2，∴x=，∴x1=，x2=．∴3x25xy+y2=3(x)(x)，故選：B．【點睛】本題考查的是二次三項式的因式分解，掌握利用一元二次方程進行因式分解的方法是解題的關鍵．4．（2022秋·上海·八年級上海市黃浦大同初級中學校考階段練習）某商場一月份的營業額為400萬元，第一季度（包含一月、二月和三月）的營業額共1800萬元，設該商場每月營業額的月平均增長率為，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先得到二月份的營業額，三月份的營業額，等量關系為：一月份的營業額＋二月份的營業額＋三月份的營業額＝1800，把相關數值代入即可．【詳解】解：∵一月份的營業額為400萬元，平均每月增長率為x，∴二月份的營業額為400×（1＋x），∴三月份的營業額為400×（1＋x）×（1＋x）＝400×（1＋x）2，∴可列方程為400＋400×（1＋x）＋400×（1＋x）2＝1800，即故選：B．【點睛】考查求平均變化率的方法．若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經過兩次變化后的數量關系為a（1±x）2＝b．得到第一季度的營業額的等量關系是解決本題的關鍵．5．（2022春·上海·八年級專題練習）畢業之際，某校九年級數學興趣小組的同學相約到同一家禮品店購買紀念品，每兩個同學都相互贈送一件禮品，需要買禮品56件，則該興趣小組的人數為（）A．5人 B．6人 C．7人 D．8人【答案】D【分析】設該小組有x人，每兩個同學都相互贈送一件禮品，即一個人送出（x1）件禮品，依次列方程解答即可．【詳解】解：設該興趣小組的人數為x人，則每個同學送出（x﹣1）件禮品，依題意得：x（x﹣1）＝56，解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合題意，舍去），故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，正確理解題意找出等量關系式，列出方程，是解題關鍵.6．（2022秋·上海·八年級校考期中）某學校有一塊長方形運動場，長70米，寬50米，現計劃在這一場地四周（場外）筑一條寬度相等的跑道，其面積為1024平方米．設這條跑道的寬度為x米，可以列出的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】設這條跑道的寬度為x米，則長方形運動場外大長方形的長為米，寬為米，根據題中的面積列出方程即可．【詳解】解：設這條跑道的寬度為x米，則長方形運動場外大長方形的長為米，寬為米，根據題意得，故選：D．【點睛】題目主要考查一元二次方程的應用，理解題意，找準等量關系是解題關鍵．二、填空題7．（2022秋·上海虹口·八年級校考期中）若把一個正方形的一邊增加，另一邊增加，所得的長方形比原正方形面積多，設原正方形的邊長為x，則可列方程為．【答案】【分析】設原正方形的邊長為x，則所得的長方形的長為，寬為，根據“所得的長方形比原正方形面積多，”列出方程，即可求解．【詳解】解：設原正方形的邊長為x，則所得的長方形的長為，寬為，根據題意得：．故答案為：【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，明確題意，準確得到等量關系是解題的關鍵．8．（2023春·上海青浦·八年級統考期末）一輛汽車，新車購買價為25萬元，第一年使用后折舊20%，以后該車的年折舊率有所變化，但它在第二、三年的年折舊率相同．已知在第三年年末，這輛車折舊后價值萬元，設這輛車在第二、三年的年折舊率為a，則可列方程為．【答案】【分析】設這輛車第二、三年的年折舊率為x，則第二年這就后的價格為元，第三年折舊后的價格為元，與第三年折舊后的價格為萬元建立方程即可．【詳解】設這輛車第二、三年的年折舊率為x，由題意得，．故答案為：．【點睛】本題考查了列一元二次方程解實際問題的運用，解答本題時設出折舊率，表示出第三年的折舊后價格并運用價格為萬元建立方程是關鍵．9．（2022秋·上海寶山·八年級統考期中）某地區規劃將21000平方米矩形土地用于修建文化廣場，已知該片土地的寬為x米，長比寬長10米，那么這塊矩形土地的長是米．【答案】150【分析】土地的寬為x米，則長為米，根據矩形面積為21000平方米列一元二次方程，求解即可．【詳解】解：根據題意，土地的寬為x米，則長為米，∴，解得，（不合題意，舍去），∴矩形土地的長為（米），故答案為：150．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據題意建立等量關系是解題的關鍵．10．（2023春·上海長寧·八年級上海市延安初級中學校考階段練習）初二年級進行籃球比賽，每個班都與其他班級比賽一場，共進行36場比賽，那么初二年級共有個班級．【答案】9【分析】設這個學校初二年級共有x個班級，根據該校初二年級共進行了36場比賽，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【詳解】解：設這個學校初二年級共有x個班級，依題意得：，整理得：，解得：（不符合題意，舍去）．答：這個學校初二年級共有9個班級．故答案為：9．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．11．（2023春·上海浦東新·八年級統考期末）有一個兩位數，如果個位上的數比十位上的數大1，并其十位上的數的平方比個位上的數也大1，那么這個兩位數是．【答案】23【分析】設十位上的數為x，則個位上的數位，十位上的數的平方比個位上的數也大1，再建立方程求出其解就可以得出結論．【詳解】解：設原兩位數的十位數字為x，根據題意得：∴，解得：，（不符合題意舍去）答：這個兩位數為23，故答案為23．【點睛】本題考查的是一元二次方程的應用，理解題意，確定相等關系是解本題的關鍵．12．（2023春·上海浦東新·八年級校考期末）某區為創建全國文明城區，計劃今年建設綠地250公頃，比前年增加90公頃，設去年和今年比上一年的增長率都是x，根據題意，可得方程．【答案】【分析】根據題意可直接進行求解．【詳解】解：根據題意可得方程為；故答案為．【點睛】本題主要考查一元二次方程的應用，熟練掌握一元二次方程的增長率問題是解題的關鍵．13．（2022秋·上海靜安·八年級校考期中）如圖，在一個長為，寬為的矩形花園中修建小道（圖中陰影部分），其中，每段小道的兩邊緣平行，剩余的地方種植花草，要使種植花草的面積為，那么可列方程（不用化簡）為【答案】【分析】題目中存在的等量關系為矩形花園的面積小道的面積，據此可求得答案．【詳解】根據題意，得，．根據，可得．故答案為：．【點睛】本題主要考查實際問題與二元一次方程，能用含有未知數的代數式表示出等量關系是解題的關鍵．14．（2023秋·上海楊浦·八年級統考期末）某型號的原來每臺售價800元，經過兩次降價，且每次降價的百分率相同，現在每臺售價為578元，則每次降價的百分率是．【答案】【分析】設每次降價百分率為x，根據原來每臺售價800元，經過兩次降價，且每次降價的百分率相同，現在每臺售價為578元，列方程即可．【詳解】解：設每次降價百分率為x，由題意得：，解得：（舍），∴每次降價的百分率是，故答案為：．【點睛】本題考查理一元二次方程的應用，是個增長率問題，根據兩次降價前的結果，和現在的價格，列出方程是關鍵．15．（2021春·上海閔行·八年級校考期中）接種新冠疫苗是提高社會集體免疫最有效的途徑．按照“應種盡種、加快推進”原則，切實保障市民健康，發揮公共衛生健康疫苗接種示范引領作用，上海市加快推進市民疫苗接種．上海市市民新冠疫苗接種率一月份為，四月份提高到．如果每個月的接種增長率相同為，那么可列方程為．【答案】【分析】根據每個月的接種增長率相同為，一月份為，四月份提高到進行列方程即可．【詳解】解：由題意得：，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找出合適的等量關系是解題的關鍵．16．（2022秋·上海寶山·八年級校考期中）有一個人利用發短信，獲得信息的人也按他的發送人數發送該條短信，經過兩輪信息的發送，共有90人上獲得同一條信息，則每輪發送短信過程中平均一個人向人發送短信．【答案】9【分析】設每輪發送短信平均一個人向x個人發送短信，第一輪后共有人收到短信，第二輪發送短信的過程中，又平均一個人向x個人發送短信，則第二輪后共有人收到短信，根據這樣經過兩輪短信的發送共有90人收到同一條短信列出方程．【詳解】解：設每輪發送短信平均一個人向x個人發送短信，則：．整理得：解得或（舍去）故答案為：9．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程．該類題解答的關鍵在于分析每一輪中發送的人數與接收的人數，并能結合題意，列出方程．17．（2022秋·上海·八年級校考階段練習）如果兩個連續正偶數的積為120，則這兩個數是．【答案】10和12【分析】設這兩個連續正偶數分別為，，且，根據題意列出一元二次方程并求解，即可獲得答案．【詳解】解：設這兩個連續正偶數分別為，，且，根據題意，可得，整理可得，解得，（不合題意，舍去），所以，所以，這兩個數是10和12．故答案為：10和12．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，理解題意正確列出一元二次方程是解題關鍵．18．（2022秋·上海·八年級上海市黃浦大同初級中學校考階段練習）在《代數學》中記載了求方程正數解的幾何方法：如圖1，先構造一個面積為的正方形，再以正方形的邊為一邊向外構造四個面積為的矩形，得到大正方形的面積為，則該方程的正數解為．小明嘗試用此方法解關于x的方程時，構造出如圖2所示正方形，已知圖2中陰影部分的面積和為．該方程的正數解為．【答案】【分析】根據已知的數學模型，同理可得空白小正方形的邊長為，先計算出大正方形的面積等于陰影部分的面積加四個小正方形的面積，從而可求得大正方形的邊長，再用其減去兩個空白正方形的邊長即可求解【詳解】如圖2所示：先構造一個面積為的正方形，再以正方形的邊為一邊向外構造四個面積為的矩形，得到大正方形的面積為，則該方程的正數解為．故答案為：【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，讀懂題意并數形結合是解決問題的關鍵三、解答題19．（2022秋·上海·八年級專題練習）二次三項式，當a取何值時，(1)在實數范圍內能分解；(2)能分解成兩個相同的因式；(3)不能因式分解．【答案】(1)且(2)(3)【分析】（1）首先得到，然后令，表示出判別式，根據題意得，即可求出a的取值范圍；（2）根據題意可得，求解即可；（3）根據題意可得，求解即可．【詳解】（1）原式是二次三項是，可知二次項系數，得：，令，得，原式可分解因式，則有，得：且；（2）原式可分解為兩個相同的式子，則有，得：；（3）原式不能分解因式，則有，得：．【點睛】考查二次三項式的因式分解與方程根的情況之間的關系，注意區分開各種情形之間的區別和聯系．20．（2022秋·上海奉賢·八年級校考期中）某公司2020年經營總收入為1500萬元，該公司預計2022年經營總收入要達到2160萬元，假設每年經營總收入的年增長率相同．(1)求每年經營總收入的增長率是多少？(2)預計2021年經營總收入為多少萬元？【答案】(1)(2)1800元【分析】(1)設每年經營總收入的增長率是，根據題意即可列出一元二次方程，解方程即可求得；(2)根據每年經營總收入的增長率，列式計算，即可求得．【詳解】（1）解：設每年經營總收入的增長率是，根據題意可得：，解得，（舍去），答：每年經營總收入的增長率是；（2）解：(元)答：2021年經營總收入為1800元．【點睛】本題考查了一元二次方程的實際應用，根據題意，正確列出方程是解決本題的關鍵．21．（2022秋·上海青浦·八年級校考期中）如圖，利用18米長的一段墻，用籬笆圍成一個如圖所示的長方形養雞場，中間用籬笆分割出2個小長方形，每塊區域的前面各開一個寬1米的門，總共用去籬笆37米，為了使這個長方形養雞場的面積達到126平方米，求、邊長各為多少米？【答案】的長為7米，的長為18米．【分析】設為x米，則為米，然后根據題意列出方程求解即可．【詳解】解：設為x米，則為米，由題意得：，解得：，，當時，，當時，（不合題意，舍去），答：的長為7米，的長為18米．【點睛】本題主要考查一元二次方程的應用，正確列出方程是解題的關鍵．22．（2022秋·上海浦東新·八年級統考期中）某商店如果將進貨價為每件10元的商品按每件12元出售，每天可銷售200件，這種商品如果每漲價一元，其銷售量就減少10件．(1)將售價定為每件多少元時，能使這天所獲利潤達到1200元？(2)將售價定為每件多少元時，能使這天所獲利潤最大？最大的利潤是多少？【答案】(1)把售價定為每件20元或22元能使每天利潤達到1200元(2)將售價定位每件21元時，能使這天可獲的利潤最大，最大利潤是1210元【分析】對于（1），設商品的售價定為x元，再表示出單間利潤和銷售量，然后根據單間利潤×銷售量=總利潤列出方程，再求出解即可；對于（2），設這天的利潤為y元，結合（1）列出函數關系式，再配方討論極值即可．【詳解】（1）設每件商品的售價定為x元，依題意，得，整理得：，解得：，，∴把售價定為每件20元或22元能使每天利潤達到1200元；（2）設這天的利潤為y元，則，∵，∴當時，y有最大值，最大值為1210，答：將售價定位每件21元時，能使這天可獲的利潤最大，最大利潤是1210元．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，函數最大值的問題等，根據等量關系列出關系式（方程）是解題的關鍵．23．（2022秋·上海黃浦·八年級上海市黃浦大同初級中學校考期中）第二十二屆中國上海國際藝術節首次移師上海市黃浦區南京東路第一百貨商業中心．主辦方工作人員準備利用一邊靠