轉(zhuǎn)化思想：解方程(組)與不等式(組)

考情及趨勢分析考情分析年份題號題型分值考查形式結(jié)果202312填空題3方程組的解為命題點1解二元一次方程組(2023.12)

課標(biāo)要求1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；2.會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根及兩個實根是否相等；3.了解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．(2022年版課標(biāo)調(diào)整為考查內(nèi)容)命題點2一元二次方程根的判別式(9年9考)

考情及趨勢分析考情分析年份題號題型分值考查形式考查設(shè)問根的情況20237選擇題3判斷根的情況直接判斷方程的根的情況兩個不相等的實數(shù)根20226選擇題3判斷根的情況直接判斷方程的根的情況兩個不相等的實數(shù)根考情分析年份題號題型分值考查形式考查設(shè)問根的情況20217選擇題3根據(jù)根的情況確定字母取值求字母的值沒有實數(shù)根20207選擇題3判斷根的情況與新定義結(jié)合，判斷方程的根的情況兩個不相等的實數(shù)根20196選擇題3判斷根的情況直接判斷方程的根的情況兩個不相等的實數(shù)根20187選擇題3根據(jù)根的情況選方程有兩個不相等的實數(shù)根的是兩個不相等的實數(shù)根20176選擇題3判斷根的情況直接判斷方程的根的情況兩個不相等的實數(shù)根考情分析年份題號題型分值考查形式考查設(shè)問根的情況201611填空題3根據(jù)根的情況確定字母取值范圍若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求字母的取值范圍兩個不相等的實數(shù)根201519(1)解答題4證明題求證方程總有兩個不相等的實數(shù)根兩個不相等的實數(shù)根【考情總結(jié)】1.在三大題型中均有考查，以選擇題為主；2.考查的形式有兩種：①不解方程，直接判斷一元二次方程根的情況；②根據(jù)根的情況，確定某個未知系數(shù)的值(或取值范圍)；3.除2021年外，其余年份根的情況都為兩個不相等的實數(shù)根；4.2020年結(jié)合新定義考查．

課標(biāo)要求能解可化為一元一次方程的分式方程．命題點3解分式方程

考情及趨勢分析考情分析年份題號題型分值考查內(nèi)容20174選擇題3求分式方程去分母后得到的整式方程

課標(biāo)要求1.結(jié)合具體問題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質(zhì)；2.能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集；3.會用數(shù)軸確定由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集．命題點4一元一次不等式(組)的解法及解集表示(9年7考)

考情及趨勢分析考情分析年份題號題型分值不等號方向是否涉及變號設(shè)問與其他知識結(jié)合202212填空題3≤，＞否不等式組的解集/202012填空題3＞，＞否不等式組的解集數(shù)軸201912填空題3≤，＞是，一個不等式組的解集/考情分析年份題號題型分值不等號方向是否涉及變號設(shè)問與其他知識結(jié)合201813填空題3＞，≥是，一個最小整數(shù)解/201712填空題3≤，＜是，一個不等式組的解集/201616解答題2≤，＜是，一個不等式組的整數(shù)解分式化簡20155選擇題3≥，＞是，一個解集在數(shù)軸上表示/【考情總結(jié)】1.除2016年在解答題分式化簡求值中涉及考查，2015年在選擇題中考查外，其他年份如果考查的話，均在填空題考查；2.設(shè)問形式：求不等式組解集，整數(shù)解，最小整數(shù)解，解集在數(shù)軸表示；不等式常在實際應(yīng)用題中考查.一題串講重難點一、定義1.

方程的定義：含有未知數(shù)的等式2.一元一次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)都是1的整式方程3.二元一次方程組的定義：如果方程組中含有兩個未知數(shù)，且含未知數(shù)的項的次數(shù)都是一次的方程組4.分式方程的定義：分母中含未知數(shù)的方程5.一元二次方程的定義：只含有1個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程6.不等式的定義：用不等號表示不等關(guān)系的式子7.

一元一次不等式的定義：含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式8.一元一次不等式組的定義：由幾個含有同一個未知數(shù)的一元一次不等式組成的不等式組【溫馨提示】可以通過等式性質(zhì)化簡后，再對方程(組)與不等式(組)進(jìn)行識別例1下列各式中：①1＋2＝3；②2x＋1≠3；

③x＋y；

④2x＝1;⑤＝1;⑥2x＋3＝1；⑦2x＋3y＝1;⑧2x＋3>1;⑨；

⑩x＋x2＋3＝2x2＋1－x2;?y＝2x2＋3；?;?2x2＋3x＝1.(1)是方程的有__________________；(2)是一元一次方程的有________；(3)是二元一次方程組的有______；(4)是分式方程的有______；(5)是一元二次方程的有______；(6)是不等式的有________；(7)是一元一次不等式的有______；(8)是一元一次不等式組的有______．④⑤⑥⑦⑩???④⑥⑩?⑤?②⑧⑨②⑧⑨例2已知方程xm－1－(m＋1)x－2＝0.(1)若該方程是關(guān)于x的一元一次方程，則m的值為________；(2)若該方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為________．31或2二、解法

(9年9考)數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化思想，即將其不斷向一元一次方程及不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化．一、二元一次方程組的解法1.代入消元法：當(dāng)方程組中有一個方程的未知數(shù)的系數(shù)為1或－1時，常用代入消元法2.加減消元法：當(dāng)方程組中同一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或成倍數(shù)關(guān)系時，常用加減消元法．二、解分式方程的一般步驟：三、一元二次方程的解法1.

直接開平方法：(1)當(dāng)方程缺少一次項時，即方程ax2＋c＝0(a≠0，ac<0)(2)能變形為(x＋m)2＝n(n≥0)的方程2.

配方法：(1)二次項系數(shù)化為1后，一次項系數(shù)是偶數(shù)的一元二次方程(2)各項系數(shù)比較小且便于配方3.因式分解法：(1)常數(shù)項為0，即方程ax2＋bx＝0(a≠0)(2)一元二次方程的一邊為0，另一邊易于分解為兩個一次因式的乘積4.公式法：(1)適用于所有一元二次方程，求根公式為x＝

，常在b，c均不為零，且方程左側(cè)很難因式分解時使用(2)步驟：①使用求根公式時要先把一元二次方程化為一般式，方程的右邊一定要化為0②判斷b2－4ac的正負(fù)，若b2－4ac<0，則原方程無解③若b2－4ac≥0，將a，b，c代入公式時注意其符號四、一元一次不等式組的解法及解集表示1.解法：第一步：分別求出各不等式的解集；第二步：將各個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來；第三步：在數(shù)軸上找出公共部分并表示出來2.解集在數(shù)軸上表示類型(a＞b)在數(shù)軸上的表示口訣解集x＞ax＞b同大取大x＞ax＜ax＜b同小取小x＜bx＜ax＞b大小小大取中間b＜x＜ax＞ax＜b大大小小取不了無解例3解方程組x－2y＝4

①4x＋3y＝5②解法一：代入消元法

解法二：加減消元法解：將①變形為x＝4＋2y③，將③代入②中，得4(4＋2y)＋3y＝5，解得y＝－1，將y＝－1代入③，得x＝2，∴原方程組的解為

.解：①×4，得4x－8y＝16④，④－②，得－8y－3y＝16－5，解得y＝－1，將y＝－1代入①，得x＋2＝4，解得x＝2，∴原方程組的解為

.x＝2y＝－1x＝2y＝－1

解題有策略多元方程消元的方法代入法、加減法．例4

(2023河南4題改編)解分式方程：

－2＝

解：方程兩邊同時乘以x－1，得1－2(x－1)＝－3，去括號得1－2x＋2＝－3，

移項得－2x＝－3－2－1，合并同類項得－2x＝－6，

解得x＝3，檢驗，當(dāng)x＝3時，x－1≠0，∴x＝3是原分式方程的解．例5解方程：

－1＝

.解：方程兩邊同時乘以x2－4x＋4，得x(x－2)－(x2－4x＋4)＝4，去括號，合并同類項得2x－4＝4，

移項得2x＝8，

解得x＝4，檢驗，當(dāng)x＝4時，x2－4x＋4＝(x－2)2＝4≠0，∴x＝4是原分式方程的解．例6解方程．(1)x2－4＝0；

(1)解：x2＝4，x＝2或x＝－2，∴x1＝2，x2＝－2；(2)解：x2－3x－4＝0，(x－4)(x＋1)＝0，x－4＝0或x＋1＝0，∴x1＝4，x2＝－1；

(2)x2－3x＝4；(3)解：化為一般式為x2＋6x＋4＝0，∴a＝1，b＝6，c＝4，∴b2－4ac＝20，即b2－4ac>0，將a，b，c代入公式x＝

，得x1＝

－3，x2＝－

－3.(4)x2－2x＝x－2.(3)x2＋6x＝－4；(4)解：x2－3x＋2＝0，(x－2)(x－1)＝0，x－2＝0或x－1＝0∴x1＝2，x2＝1.例7解不等式組x＋5≥4①,4x≥7x－6②.請結(jié)合題意填空，完成本題的解答．例7題圖(Ⅰ)解不等式①，得________；(Ⅱ)解不等式②，得________；(Ⅲ)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；x≥－1x≤2－1≤x≤22把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來如解圖：(Ⅴ)原不等式組的最大整數(shù)解為________．(Ⅳ)原不等式組的解集為___________；例7題解圖

解題有策略非整式方程的解法尋找其逆運算，化為整式方程，如：分式方程→去分母根式方程→乘方．高次方程降次的方法因式分解、開方．三、方程的解

(9年8考)一、※根與系數(shù)的關(guān)系若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個根，則x1＋x2＝－

，x1·x2＝

(2022年版課標(biāo)調(diào)整為考查內(nèi)容)二、一元二次方程根的判別式1.b2－4ac>0?方程有兩個不相等的實數(shù)根2.b2－4ac＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根3.b2－4ac<0?方程無實數(shù)根三、根的判別式的作用1.直接判斷或證明一元二次方程根的情況2.根據(jù)方程根的情況，確定字母的值或取值范圍(注：二次項系數(shù)不為0)四、分式方程的增根與無解1.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程分母為0的根2.分式方程無解的原因有兩個：一是去分母后的整式方程無解；二是整式方程的解使得最簡公分母為0例8已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋mx－2＝0的一個根為－1，則另一個根為________．例9

(2016河南11題改編)關(guān)于x的方程x2＋3x－k＝0為一元二次方程．(1)若方程沒有實數(shù)根，則k的取值范圍是________；(2)若方程有兩個相等的實數(shù)根，則k的值是_______；(3)若方程有兩個不相等的實數(shù)