焦作市一般中學2024—2025學年高三第一次模擬考試數學考生留意：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡．上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知復數滿意，則的虛部為（）A．5 B． C． D．3．若圓與軸相切，則（）A．1 B． C．2 D．44．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知所在平面內一點滿意，則的面積是的面積的（）A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍6．小明將1，4，0，3，2，2這六個數字的一種排列設敒為自己的六位數字的銀行卡密碼，若兩個2之間只有一個數字，且1與4相鄰，則可以設置的密碼種數為（）A．48 B．32 C．24 D．167．已知函數有兩個極值點p，q，若，則（）A． B． C． D．8．已知雙曲線的右焦點為，過且與一條漸近線平行的直線與的右支及另一條漸近線分別交于B，D兩點，若，則的漸近線方程為（）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知函數，則（）A．為的一個周期 B．的圖象關于直線對稱C．為偶函數 D．在上單調遞增10．已知正三棱臺中，的面積為，的面積為，，棱的中點為，則（）A．該三棱臺的側面積為30 B．該三棱臺的高為C．平面 D．二面角的余弦值為11．甲是某公司的技術研發人員，他所在的小組負責某個項目，該項目由A，B，C三個工序組成，甲只負責其中一個工序，且甲負責工序A，B，C的概率分別為0.5，0.3，0.2，當他負責工序A，B，C時，該項目達標的概率分別為0.6，0.8，0.7，則下列結論正確的是（）A．該項目達標的概率為0.68B．若甲不負責工序C，則該項目達標的概率為0.54C．若該項目達標，則甲負責工序A的概率為D．若該項目未達標，則甲負責工序A的概率為12．已知拋物線的準線，直線與拋物線交于M，N兩點，為線段的中點，則下列結論正確的是（）A．若，則以為直徑的圓與相交B．若，則為坐標原點）C．過點M，N分別作拋物線的切線，，若，交于點，則D．若，則點到直線的距離大于等于三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知圓錐的底面半徑為1，體積為，則該圓錐的側面綻開圖對應的扇形的圓心角為_________．14．已知數列中，，且，則的前12項和為_________．15．已知正實數m，n滿意，則的最大值為_________．16．若函數在上沒有零點，則實數的取值范圍為_________．四、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（I）證明：；（II）若，求的值．18．（12分）如圖所示，在三棱錐中，，，．（I）求證：平面平面；（II）若，求直線與平面所成角的正弦值．19．（12分）已知數列中，，．（I）求的通項公式；（II）若，求數列的前n項和．20．（12分）為了驗證某種新能源汽車電池的平安性，小王在試驗室中進行了次試驗，假設小王每次試驗勝利的概率為，且每次試驗相互獨立．（I）若小王某天進行了4次試驗，且，求小王這一天試驗勝利次數的分布列以及期望；（II）若恰好勝利2次后停止試驗，，以表示停止試驗時試驗的總次數，求．（結果用含有的式子表示）21．（12分）（I）求函數的極值；（II）若，證明：當時，．22．（12分）已知橢圓的離心率為，直線過的上頂點與右頂點且與圓相切．（I）求的方程．（II）過上一點作圓的兩條切線，（均不與坐標軸垂直），，與的另一個交點分別為，．證明：（i）直線，的斜率之積為定值；（ii）．焦作市一般中學2024—2025學年高三第一次模擬考試數學·答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1．答案A命題意圖本題考查集合的表示、集合的運算．解析依題意，，，所以．2．答案B命題意圖本題考查復數的基本運算．解析，虛部為．3．答案D命題意圖本題考查圓的方程與性質．解析因為圓與軸相切，所以且，解得．4．答案B命題意圖本題考查三角恒等變換、充要條件的判定．解析，明顯，則，解得或．5．答案A命題意圖本題考查平面對量的線性運算．解析設的中點為，因為，所以，所以點是線段的五等分點，所以的面積是的面積的5倍．6．答案C命題意圖本題考查排列組合．解析1與4相鄰，共有種排法，兩個2之間插入1個數，共有種排法，再把組合好的數全排列，共有種排法，則總共有種密碼．7．答案D命題意圖本題考查導數的運算、指數的運算．解析依題意，，則即明顯，，故，則，代入中，解得，則．8．答案C命題意圖本題考查雙曲線的方程與性質．解析易知的漸近線方程為，不妨設直線，聯立方程得得，，則．而，故，代入中，得，則，故所求的漸近線方程為．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．每小題全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．答案AB命題意圖本題考查三角函數的圖象與性質．解析依題意，的最小正周期，則為的一個周期，故A正確；，故B正確；，不是偶函數，故C錯誤；在上單調遞減，故D錯誤．10．答案BCD命題意圖本題考查三棱臺的結構特征．解析對于A，依據條件可得，，所以等腰梯形的高為，面積為，所以該三棱臺的側面積為，故A錯誤；對于B，設的中心為，的中心為，可知是直角梯形，，，，故B正確；對于C，分別延長棱，，交于點，易知為等邊三角形，四面體為正四面體，恰好為的中心，所以平面，故C正確；對于，二面角即正四面體相鄰側面的夾角，由正四面體的性質可知其余弦值為，故D正確．11．答案ACD命題意圖本題考查條件概率、全概率公式．解析記甲負責工序A為事務，甲負責工序B為事務，甲負責工序C為事務，該項目達標為事務．對于A，該項目達標的概率為，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確．12．答案BCD命題意圖本題考查拋物線的方程、拋物線的性質、直線與拋物線的綜合性問題．解析由題可得拋物線，設，．對于A，直線過的焦點，則以為直徑的圓與相切，故A錯誤；對于B，直線，將代入，得，則，故，故B正確；對于C，拋物線在點處的切線方程為，拋物線在點處的切線方程為，聯立兩式，解得，故，故C正確；對于D，由拋物線的對稱性進行臨界分析，可知當軸時，點到直線的距離最小，此時，點到直線的距離為，故正確．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．答案命題意圖本題考查空間幾何體的結構特征．解析設圓錐（如圖所示）的高為．因為，所以，母線．將圓錐沿綻開所得扇形的弧長為，則扇形的圓心角為．14．答案命題意圖本題考查數列的周期性、分組求和．解析依題意，故，所以，，，…，故的前12項和為．15．答案2命題意圖本題考查基本不等式及其應用．解析依題意得，則，當且僅當時等號成立，則，解得，則的最大值為2．16．答案命題意圖本題考查利用導數探討函數的性質．解析令，明顯，則，令，，則，令，得，，易知函數在和上單調遞增，在和上單調遞減，且極大值為，微小值為．由圖象可知，當時，直線與曲線沒有交點，即在上沒有零點．四、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．命題意圖本題考查正余弦定理及其應用、三角恒等變換．解析（I）由正弦定理及條件可得，由余弦定理可得，化簡得．（II）由得，化簡得，又，故，所以，故．18．命題意圖本題考查空間面面的位置關系，向量法求空間角．解析（I）因為，所以，同理可得，故，因為，所以平面，因為平面，故平面平面．（II）以C為坐標原點，，所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，．設為平面的法向量，則即令，得．設直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．19．命題意圖本題考查等差數列的定義、通項公式、裂項相消法求和．解析（I）由，可得，故數列是以1為首項，為公差的等差數列，故，則．（II）由（I）可知，故．20．命題意圖本題考查二項分布、相互獨立事務的概率、互斥事務的概率．解析（I）依題意，，則，，，，故的分布列為：X01234P故．（II）方法一：設“停止試驗時試驗總次數不大于”，則，“次試驗中，勝利了0次或1次”，“次試驗中，勝利了0次”的概率；“次試驗中，勝利了1次”的概率．所以．方法二：事務“”表示前次試驗只勝利了1次，且第次試驗勝利，故，所以，利用錯位相減法可得該式的結果為．21．命題意圖本題考查利用導數探討函數的性質．解析（I）依題意，，令，解得，所以當時，，當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增，而，故的微小值為0，無極大值．（II）由（I）可知，當時，，則．令，則，易知在上單調遞增．因為，所以，，故，使得，即①．當時，，單調