5.1.2弧度制

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解角的集合與實(shí)數(shù)集間的--對應(yīng)；

2.熟練掌握角度制與弧度制間的互相轉(zhuǎn)化；

3、能靈活運(yùn)用弧長公式、扇形的面積公式。

重點(diǎn)難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：角度與弧度的互相轉(zhuǎn)化，弧長公式及扇形的面積公式的推導(dǎo)與運(yùn)用;

2.教學(xué)難點(diǎn)：用扇形的弧長公式、扇形的面積公式解決問題。

知識梳理

1.規(guī)定：叫做1弧度的角。

2.一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè),負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè),零角的弧度數(shù)

是0

3.弧度與角度的轉(zhuǎn)化：1°=rad;lrad=。

4.扇形的弧長公式：,扇形的面積公

式：0

學(xué)習(xí)過程

一、探索新知

探究：在圓內(nèi)，圓心角的大小和半徑大小有關(guān)系嗎?

角度為30°、60°的圓心角，半徑L1,2,3時(shí),

(1)分別計(jì)算相對應(yīng)的弧長L

(2)分別計(jì)算對應(yīng)弧長與半徑之比。

思考：通過上面的計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

1.弧度的概念

把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度(radian)的角.

弧度制：這種以弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制，它的單位是弧度，單位

符號是rad.

約定：正角的弧度數(shù)為正數(shù),

負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，

零角的弧度數(shù)為0.

思考1：圓的半徑為r,弧長分別為2r、-3r,則它們所對圓心角的弧度

數(shù)是多少？

思考2：如果半徑為r的圓的圓心角a所對的弧長為1,那么，角a的弧度數(shù)的絕對值

如何計(jì)算？

結(jié)論：圓心角A0B的弧度數(shù)等于它所對的弧的長與半徑長的比的絕對值。

2.角度與弧度的換算

思考3：一個(gè)周角以度為單位度量是多少度，以弧度為單位度量是多少弧度？由此可得

角度與弧度有怎樣的換算關(guān)系？

思考4：根據(jù)上述關(guān)系，1°等于多少弧度，1rad等于多少度？

例1.把67°30,化成弧度。

例2.把下列各角的弧度化為度數(shù)。

⑴—

12若

注：角度制與弧度制互化時(shí)要抓住180°=萬rad這個(gè)關(guān)鍵。

注：常規(guī)寫法

①用弧度數(shù)表示角時(shí)，常常把弧度數(shù)寫成多少萬的形式，不必寫成小數(shù).

②用弧度制表示角時(shí)，“弧度”二字或“rad”通常略去不寫，面只寫該角所對應(yīng)的弧度

數(shù).

③弧度與角度不能混用.即不能出現(xiàn)這樣的形式：300+工。

6

練習(xí)：填寫下列表中特殊角的弧度數(shù)或度數(shù)。

角0°30°60°120135270

度000

弧71715n712/r

~4~2~6

度

3.角的概念推廣后，角與實(shí)數(shù)之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系,

任意角的集合實(shí)數(shù)集R

例3.利用弧度制證明下列扇形的公式：(1)l=aR(2)S=-?R2

2

(3)S=-IR(其中R是扇形的半徑，/是弧長，a(0<a<2?)為圓心角，S是扇形的

2O

面積)。

達(dá)標(biāo)檢涮

1.正確表示終邊落在第一象限的角的范圍的是()

A.(2女幾,24兀十5J(?￡Z)

B.[4兀,+—

JI

C.2k立,24兀+—(4￡Z)

~吟/

D.A兀，A兀

2.與30。角終邊相同的角的集合是()

ji

A.\aa=k?360°+—,k^L

b

B.{cz|a=2kb+30°,k^Z}

C.{a|a=2k?360°+30°,k^Z}

n

D.aa=2kn+~r,AGZ

6

3.在半徑為10的圓中，240°的圓心角所對弧長為()

4020

A.ynB.5n

200400

C.-T-nD.

Jo

4.將一1485°化成2"+a(0Wa<2”，4?Z)的形式為

5.一個(gè)扇形的面積為1,周長為4,求該扇形圓心角的弧度數(shù).

課堂小結(jié)

這節(jié)課你的收獲是什么？

參考答案：

探究：規(guī)律：①.圓心角不變，比值不變；比值的大小與所取的圓的半徑大小無關(guān);

②圓心角改變，比值改變；比值的大小只與圓心角的大小有關(guān)；

思考1.2rad,-3rad.思考2.\a\=—

/思、考3.360°,2?o360°=2?，180°=冗

思考41°=Jx0.01745rad,lrad=(―)°?57.30°

1807i

例1.因?yàn)?7°30'=所以67°30'=^^mdx^^二』；zrad。

218028

Zy-IC/,、51/180、。51__O

例2.(1)—=(—)X—=75

12兀12

(2)￡X(—)°=45°

471

練習(xí):

角0°3045°60°90120135150180°270360°

度000000

弧0717171712萬3兀5兀n37c2?

~6~47~2VT~6~2

度

例3.解析見教材

達(dá)標(biāo)檢測

1.【解析】B中4=1時(shí)為卜，I1顯然不正確；因?yàn)榈谝幌笙藿遣缓K邊在坐標(biāo)軸

的角故C、D均錯(cuò)，只有A正確.

【答案】A

,JIJI

【解析】V30°=30X-—rad=—rad,

180b

2.，與30。終邊相同的所有角可表示為

JI

。=2?兀+二~,kRZ,故選D.

b

【答案】D

,Ji4

3.【解析】240°=240X---rad=-Jirad,

loUo

440

弧長1=\a\?r=-JiX10=—Ji,選A.

oo

【答案】A

4.【解析】由一1485°=-5X360°+315°,

一7

所以一1485°可以表不為-10n+1口.

7

【