第九章統計一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）下列命題是真命題的是（

）A．有甲?乙?丙三種個體按3:1:2的比例分層抽樣調查，假如抽取的甲個體數為9，則樣本容量為30B．若甲組數據的方差為5，乙組數據為5，6，9，10，5，則這兩組數據中較穩定的是甲C．數據1，2，3，4，4，5的平均數?眾數?中位數相同D．某單位A?B?C三個部門平均年齡為38歲?24歲和42歲，又A，B兩部門人員平均年齡為30歲，B?C兩部門人員平均年齡為34歲，則該單位全體人員的平均年齡為35歲【解題思路】對于選項A依據分層抽樣的定義可推斷正誤，對于選項B求出乙組數據的方程，與甲組數據的方差比較，可推斷正誤，對于選項C求出數據的平均數、眾數、中位數即可推斷正誤，對于選項D設A，B，C三個部門的人數為a，b，c，依據題意可得a=3b【解答過程】解：對于選項A：假如抽取的甲個體數為9，則樣本容量為936=18對于選項B：乙組數據的平均數為5+6+9+10+55=7，方差為因為乙組數據的方程比甲組數據的方差小，所以這兩組數據中較穩定的是乙，故選項B是假命題，對于選項C：數據1，2，3，4，4，5的平均數為196、眾數為4、中位數為72，故選項對于選項D：設A，B，C三個部門的人數為a，b，c，則有：38a+24b24b+42c所以該單位全體人員的平均年齡為38a故選項D是真命題，故選：D．2．（5分）甲、乙、丙、丁四所學校分別有150、120、180、150名高二學生參加某次數學調研測試.為了解學生實力水平，需從這600名學生中抽取一個容量為100的樣本作卷面分析，記這項調查為①；在丙校有50名數學培優生，須要從中抽取10名學生進行失分分析，記這項調查為②.完成這兩項調查宜接受的抽樣方法依次是(A．分層抽樣法、系統抽樣法 B．分層抽樣法、簡潔隨機抽樣法C．系統抽樣法、分層抽樣法 D．簡潔隨機抽樣法、分層抽樣法【解題思路】依據分層抽樣和簡潔隨機抽樣的定義進行推斷即可．【解答過程】①，四所學校，學生有差異，故①運用分層抽樣，②在同一所學校，且人數較少，運用的是簡潔隨機抽樣，故選B．3．（5分）“雙色球”彩票中有33個紅色球，每個球的編號分別為01，02，…，33．一位彩民用隨機數表法選取6個號碼作為6個紅色球的編號，選取方法是從下面的隨機數表中第1行第5列和第6列的數字起先，從左向右讀數，則依次選出來的第5個紅色球的編號為7816657208026314021443199714019832049234493682003623486969387181A．01 B．02 C．14 D．19【解題思路】依據隨機數表，依次進行選擇即可得到結論．【解答過程】從隨機數表第1行的第5列和第6列數字起先由左到右依次選取兩個數字中小于33的編號去除重復，可知對應的數值為08，02，14，19，01，04；則第5個個體的編號為01．故選A．4．（5分）某學校在校學生有2000人，為了增加學生的體質，學校實行了跑步和登山競賽，每人都參加且只參加其中一項競賽，高一、高二、高三年級參加跑步的人數分別為a，b，c，且a:b:c=2:5:3A．15人 B．30人 C．40人 D．45人【解題思路】由題知全校參加跑步的人數為2000×【解答過程】解：由題意，可知全校參加跑步的人數為2000×所以a+b+c=1500因為按分層抽樣的方法從中抽取一個容量為200的樣本，所以應從高三年級參加跑步的學生中抽取的人數為450×故選：D.5．（5分）（2024·貴州貴陽·統考一模）在一場跳水競賽中，7位裁判給某選手打分從低到高依次為x1，8.1，8.4，8.5，9.0，9.5，x7x7≤10，若去掉一個最高分x7A．7.7 B．7.8 C．7.9 D．8.0【解題思路】依據所給條件可得出x1+x【解答過程】因為去掉最高分與最低分后平均分為8.1+8.4+8.5+9.0+9.55所以x1解得x1由于得分依據從低到高的依次排列的，故x1≤8.1當x1=7.7時，x2=9.7，滿意上述條件，故A錯誤；當x1=7.8時，x2=9.6，滿意上述條件，故B錯誤；當故選：D.6．（5分）某公司2024年5月至2024年3月的各月利潤率與每百元營業收入中的成本如圖所示，則下列說法中正確的是（

）A．2024年5—12月的利潤率呈遞減趨勢B．這11個月的利潤率的80%分位數為7.09%C．這11個月的每百元營業收入中的成本呈遞增趨勢D．這11個月的每百元營業收入中的成本的方差大于1【解題思路】由圖中信息可推斷A，C；由百分位數和方差的定義可推斷B，D.【解答過程】對于A，2024年5,6月的利潤率相同，8,9月的利潤率在遞增，所以A不正確；對于B，將這11個月的利潤率從小排到大為：5.97%所以80%分位數為：11×對于C，由圖中可知，8,9月的每百元營業收入中的成本呈遞減趨勢，所以C不正確；對于D，這11個月的每百元營業收入中的成本的平均數為x≈因為84.30-故選：B.7．（5分）（2024·全國·高三專題練習）為實行健康第一的指導思想，切實加強學校體育工作，促進學生主動參加體育熬煉，養成良好的熬煉習慣，提高體質健康水平.某市抽調三所中學進行中學生體育達標測試，現簡稱為A校、B校、C校.現對本次測試進行調查統計，得到測試成果排在前200名學生層次分布的餅狀圖、A校前200名學生的分布條形圖，則下列結論不愿定正確的是（

）A．測試成果前200名學生中A校人數超過C校人數的2倍B．測試成果前100名學生中A校人數超過一半以上C．測試成果前151—200名學生中C校人數最多33人D．測試成果前51—100名學生中A校人數多于B校人數【解題思路】干脆計算判定選項A、B確定正確；計算前1—150名學生中A校人數和B校最多可能的人數，得到C校最少可能的人數，得前151—200名學生中C校人數最多可能值，判定選項C確定正確；考慮到這200名學生中B校學生總數為68人，至多有可能會有25人在151—200名之間，可以判定選項D不愿定正確.【解答過程】前200名學生中A校人數200×46%=92人，C校人數前100名學生中A校人數約為29+25=54人，超過半數的50人，故B確定正確；成果前150名以內的學生中A校人數約為29+25+21=75人，B校人數最多全在這個范圍，有34%×200=68人,所以C校至少有150-75-68=7人，又∵測試成果前51—100名學生中A校人數約為25人，這200名學生中B校學生總數為200×故選：D.8．（5分）（2024·全國·高三專題練習）依據氣象學上的標準，連續5天的日平均氣溫低于10℃即為入冬，將連續5天的日平均溫度的記錄數據（記錄數據都是自然數）作為一組樣本，現有4組樣本①、②、③、④①平均數x<4②平均數x<4③平均數x<4且標準差s④眾數等于5且極差小于或等于4．則4組樣本中確定符合入冬指標的共有（

）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【解題思路】舉反例否定①；反證法證明②符合要求；舉反例否定③；干脆法證明④符合要求.【解答過程】①舉反例：0，0，0，4，11，其平均數x=3<4②假設有數據大于或等于10，由極差小于或等于3可知，則此組數據中的最小值為10-與x<4③舉反例：1，1，1，1，11，平均數x=3<4，且標準差s④在眾數等于5且極差小于等于4時，則最大數不超過9.符合入冬指標.故選：B．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）某地區公共部門為了調查本地區中學生的吸煙狀況，對隨機抽出的編號為1~1000的1000名學生進行了調查.調查中運用了兩個問題，問題1：你的編號是否為奇數？問題2：你是否經常吸煙？被調查者從設計好的隨機裝置（內有除顏色外完全相同的白球50個，紅球50個）中摸出一個小球（摸完放回）：摸到白球則照實回答問題1，摸到紅球則照實回答問題2，回答“是”的人在一張白紙上畫一個“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于問題的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪個問題也是別人不知道的，因此被調查者可以毫無顧忌地給出真實的答案.最終統計得出，這1000人中，共有260人回答“是”，則下列表述正確的是（

）A．估計被調查者中約有510人吸煙B．估計約有10人對問題2的回答為“是”C．估計該地區約有2%的中學生吸煙D．估計該地區約有1%的中學生吸煙【解題思路】依據題意知被調查者回答第一個問題的概率為12，其編號為奇數的概率也是12，計算可得出隨機抽出的【解答過程】隨機抽出的1000名學生中，回答第一個問題的概率是12，其編號是奇數的概率也是1所以回答問題1且回答的“是”的學生人數為1000×回答問題2且回答的“是”的人數為260-由此可估計該地區中學生吸煙人數的百分比為10500=2%，估計被調查者中吸煙的人數為故選：BC.10．（5分）為落實黨中心的“三農”政策，某市組織該市全部鄉鎮干部進行了一期“三農”政策專題培訓，并在培訓結束時進行了結業考試．如圖是該次考試成果隨機抽樣樣本的頻率分布直方圖．則下列關于這次考試成果的估計正確的是（

）A．眾數為82.5 B．80百分位數為91.7C．平均數為88 D．沒有一半以上干部的成果在80～90分之間【解題思路】A依據直方圖推斷眾數的位置即可；B利用百分位數的運算方法求出80百分位數即可；C利用直方圖求出平均數即可；D求出80~90分之間的頻率，與0.5比較大小即可【解答過程】由圖知：眾數出現在[80,85)之間，故眾數為82.5，故A正確；由圖可得該次考試成果在90分以下所占比例為5×在95分以下所占比例為5×因此，第80百分位數確定位于90,95內，所以第80百分位數為90+5×由(0.01×由(0.06+0.05)×故選：AB.11．（5分）（2024秋·廣東揭陽·高三期末）2024年前三個季度全國居民人均可支配收入27650元，比2024年同期增長了約5.3%，圖①為2024年與2024年前三季度全國及分城鄉居民人均可支配收入的對比圖；圖②為2024年前三季度全國居民人均消費支出及構成（其中全國居民人均可支配收入=城鎮居民人均可支配收入×城鎮人口比重+農村居民人均可支配收入×農村人口比重），則下列說法正確的是（

）A．2024年前三個季度全國居民可支配收人的中位數確定高于2024年同期全國居民可支配收入的中位數B．2024年城鎮居民人數多于農村居民人數C．2024年前三個季度全國居民在食品煙酒以及居住方面的人均消費超過了總消費的50%D．2024年前三個季度全國居民在教化文化消遣方面的人均消費支出超過了3700元【解題思路】依據圖中所給的信息對選項一一推斷即可得出答案.【解答過程】對于選項A，圖中信息體現的是平均數的差別，沒有供應中位數的信息，不能作出推斷，故選項A錯誤；對于選項B，設2024年城鎮居民占全國居民的比重為x，則有37482×x+146002024年前三個季度全國居民在食品煙酒以及居住方面的人均消費支出占總消費的比例分別為30%，24%，故選項C正確；2024年前三個季度全國居民在教化文化消遣方面的人均消費支出為27650×10%故選：BC.12．（5分）已知接受分層抽樣得到的樣本數據由兩部分組成，第一部分樣本數據xii=1,2,?,m的平均數為x，方差為sx2；其次部分樣本數據yii=1,2,?A．設總樣本的平均數為z，則xB．設總樣本的平均數為z，則zC．設總樣本的方差為s2，則D．若m=n【解題思路】對于A選項，因為x≤y，由z=對于B選項，舉例說明B不正確；對于C選項，舉例說明C不正確；對于D選項，若m=n,【解答過程】對于A選項，因為x≤yz=mm+n對于B選項，取第一部分數據為1,1,1,1,1，則x=1，sx2=0，取其次部分數據為-3,9，則y對于C選項，取第一部分數據為-2,-1,0,1,2，則x取其次部分數據為1,2,3,4,5，則y=3，sy2s2對于D選項，若m=n,故選：AD.三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2024·全國·高三專題練習）以下為甲、乙兩組按從小到大依次排列的數據：甲組：14，30，37，a，41，52，53，55，58，80；乙組：17，22，32，43，45，49，b，56．若甲組數據的第40百分位數和乙組數據的平均數相等，則4a-【解題思路】依據百分位數和平均數的定義即可列出式子計算求解.【解答過程】因為10×乙組數據的平均數為17+22+32+43+45+49+b+568依據題意得a+412=17+22+32+43+45+49+b+56所以4a故答案為：100.14．（5分）某企業三月中旬生產A、B、C三種產品共3000件，依據分層抽樣的結果，企業統計員作了如下統計表格．產品類別ABC產品數量(件)1300樣本容量(件)130由于不當心，表格中A、C產品的有關數據已被污染看不清楚，統計員記得A產品的樣本容量比C產品的樣本容量多10，依據以上信息，可得C產品的數量是800．【解題思路】依據分層抽樣的特點，進行求解即可.【解答過程】設C產品的數量為x件，則A產品的數量為1700-x件，由1301300可得C產品的數量為800件．故答案為800.15．（5分）（2024·全國·高一專題練習）圖1為某省某年1～4月份快遞業務量統計圖，圖2為該省當年1～4月份快遞業務收入統計圖．依據對以上統計圖的理解，有下列四個說法：①當年1～4月份快遞業務量，3月份最高，2月份最低，差值接近2000萬件；②當年1～4月份快遞業務量同比增長率均超過50%，在3月份最高，可能與春節后快遞復原網購迎來噴漲有關；③從兩圖中看，快遞業務量與業務收入的同比增長率并不完全一樣，但業務量與業務收入變更高度一樣；④從1～4月份來看，快遞業務量與快遞業務收入有波動，但整體保持高速增長．其中，正確的說法為①②③．（寫出全部滿意條件的說法序號）【解題思路】①分析統計圖即可得到當年1～4月份快遞業務量，3月份最高，2月份最低，差值的多少.②分析統計圖即可得到當年1～4月份快遞業務量同比增長率，進而得出結論.③分析統計圖即可得到快遞業務量與業務收入的同比增長率是否一樣，業務量與業務收入變更高度是否一樣.④分析統計圖即可得到快遞業務量與快遞業務收入的波動狀況，以及整體的變更趨勢.【解答過程】對于①，當年1～4月份快遞業務量，3月份最高，有4397萬件，2月份最低，有2411萬件，其差值接近2000萬件，所以①正確；對于②，當年1～4月份快遞業務量的同比增長率分別為55%，53%，62%，58%，均超過50%，在3月份最高，可能與春節后快遞復原網購迎來噴漲有關，所以②正確；對于③，由兩圖易知，快遞業務量與業務收入的同比增長率并不完全一樣，而其業務量從高到低變更是3月→4月→1月→2月，業務收入從高到低變更也是3月→4月→1月→2月，保持高度一樣，所以③正確；對于④，由圖知，快遞業務收入2月對1月削減，4月對3月削減，整體不具備高速增長之說，所以④不正確．故答案為：①②③.16．（5分）在某地區某高傳染性病毒流行期間，為了建立指標顯示疫情已受限制，以便向該地區居民顯示可以過正常生活，有公共衛生專家建議的指標是“連續7天每天新增感染人數不超過5人”，依據連續7天的新增病例數計算，下列各個選項中，確定符合上述指標的是②③④.①平均數x≤3②平均數x≤3且標準差③平均數x≤3④眾數等于1且極差小于或等于4．【解題思路】依據各個選項，分別分析新增人數的最大值是否可能大于5，即可得結論．【解答過程】僅僅平均值不大于3，有可能其中某個值大于5，①不符合；平均數x≤3時，若7天中有一個數值大于5，則方差>(6-3)平均數x≤3且極差小于或等于2，最大值必不大于5，眾數等于1且極差小于或等于4時，最大值必不大于5，否則極差大于6－1＝5，④符合指標．故答案為：②③④.四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）兒童的喂養及輔食添加是影響兒童生長發育﹑身體健康的重要因素，喂養不當及輔食添加不正確，簡潔導致兒童貧血及其他疾病，影響兒童生長發育．為了解某地農村兒童的喂養、輔食添加狀況，發覺存在的問題，確定兒童的喂養及輔食添加的促進措施，擬在該地農村進行一次3歲以下兒童的喂養、輔食添加狀況和貧血相關因素的調查探討．請給出一個合理的抽樣方案（該地區共10個縣）．【解題思路】依據簡潔隨機抽樣的學問，結合該地區的縣數量和兒童年齡的限制，設計出一個方案即可.【解答過程】解：可接受如下抽樣方案：首先從該地區10個縣中隨機抽取4個縣，其次在隨機抽取的各縣中隨機抽取5個鄉（鎮），再次在隨機抽取的鄉（鎮）中隨機抽取5個行政村，最終在被抽中的行政村中各抽取24戶有3歲以下兒童的住戶并且在樣本戶的3歲以下兒童中隨機抽取1名兒童．當抽樣村符合要求的家庭不足24戶時，將其全部調查，不夠的戶在鄰村補齊（鄰村是指距離最近的非抽樣村）．（依據實際狀況，也可有其他合理的抽樣方案）.18．（12分）某市兩所高級中學聯合在暑假組織全體老師外出旅游，活動分為兩條線路：華東五市游和長白山之旅，且每位老師至多參加了其中的一條線路.在參加活動的老師中，高一老師占42.5%，高二老師占47.5%，高三老師占10%.參加華東五市游的老師占參加活動總人數的14（1）參加長白山之旅的高一老師、高二老師、高三老師在該組分別所占的比例；（2）參加長白山之旅的高一老師、高二老師、高三老師分別應抽取的人數.【解題思路】（1）設參加華東五市游的人數為x，參加長白山之旅的高一老師、高二老師、高三老師所占的比例分別為a，b，c，計算得到答案.（2）依據分層抽樣公式計算得到答案.【解答過程】（1）設參加華東五市游的人數為x，參加長白山之旅的高一老師、高二老師、高三老師所占的比例分別為a，b，c則有x?40%+3xb4x=47.5%，x?故a參加長白山之旅的高一老師、高二老師、高三老師在該組所占的比例分別為40%，50%，10%.（2）參加長白山之旅的高一老師應抽取人數為200×抽取的高二老師人數為200×抽取的高三老師人數為200×19．（12分）已知A，B兩家公司的員工月均工資（單位：萬元）狀況分別如圖1，圖2所示：(1)以每組數據的區間中點值為代表，依據圖1估計A公司員工月均工資的平均數、中位數，你認為用哪個數據更能反映該公司一般員工的工資水平？請說明理由．(2)小明擬到A，B兩家公司中的一家應聘，以公司一般員工的工資水平作為決策依據，他應當選哪個公司？【解題思路】（1）依據平均數、中位數的定義，由圖1扇形統計圖上讀取的數據，可得答案；（2）求解出兩家公司的平均數、中位數、眾數，進行比較，可得答案.【解答過程】（1）A公司員工月均工資的平均數為0.3×由題圖1可知A公司員工月均工資在0.6萬元以下的比例為0.21+0.29=0.5，所以A公司員工月均工資的中位數約為0.6萬元．用中位數更能反映該公司一般員工的工資水平，理由如下：因為平均數受每一個數據的影響，越離群的數據對平均數的影響越大，該公司少數員工的月收入很高，在這種狀況下平均數并不能較好的反映一般員工的收入水平，而中位數不受少數極端數據的影響，可以較好的反映一般員工的收入水平．（2）B公司員工月均工資的平均數為0.3×由題圖2知，B公司員工月均工資在0.6萬元以下的頻率為0.375+0.75×0.2=0.225，在0.8萬元以下的頻率為設B公司員工月均工資的中位數為x萬元，則x-0.6×小明應選擇B公司應聘，理由如下：B公司員工工資數據較為集中，月均工資的平均數和中位數均能反映該公司一般員工的平均收入水平，B公司員工月均工資平均數為0.69，中位數為0.7，均大于A公司員工月均工資的中位數0.62，所以以公司一般員工的工資水平作為決策依據，小明應當選B公司應聘．20．（12分）某市為了激勵市民節約用電，實行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過200千瓦時的部分按0.5元/千瓦時收費，超過200千瓦時但不超過400千瓦時的部分按0.8元/千瓦時收費，超過400千瓦時的部分按1.0元/千瓦時收費.(1)求某戶居民的用電費用y（單位：元）關于月用電量x（單位：千瓦時）的函數解析式；(2)為了了解居民的用電狀況，通過抽樣獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖.若這100戶居民中今年1月份用電費用小于260元的占80%，求a(3)依據（2）中求得的數據計算用電量的75%【解題思路】（1）依據題目條件，列出函數解析式即可；（2）將y=260代入（1）中解析式得到x的值，再結合頻率分布直方圖求a（3）依據百分位數和平均數的定義，結合頻率分布直方圖中的數據，計算即可.【解答過程】（1）當0?x?當200<x?400當x>400時，y所以y與x之間的函數解析式為y（2）由（1）可知，當y=260時，x=400，即用電量小于400千瓦時的占結合頻率分布直方圖可知，0.001解得a=0.0015,（3）設75%分位數為m，由題圖知，用電量低于300千瓦時的頻率為0.0010+0.0020+0.0030×用電量低于400千瓦時的頻率為0.8，所以75%分位數在300,400內，所以0.6+m-即用電量的75%平均數=50×21．（12分）魚卷是泉州十大名小吃之一,不但本地人寵愛,而且深受外來游客的贊許.小張從事魚卷生產和批發多年,有著不少來自零售商和酒店的客戶當地的習俗是農歷正月不生產魚卷,客戶正月所須要的魚卷都會在上一年農歷十二月底進行一次性選購 小張把去年年底選購 魚卷的數量x(單位:箱)在100,200的客戶稱為“熟客”,并把他們去年選購 的數量制成下表:選購 數x100,120120,140140,160160,180180,200客戶數10105205(1)依據表中的數據作出頻率分布直方圖,并估計選購 數在168箱以上(含168箱)的“熟客”人數;(2)若去年年底“熟客”們選購 的魚卷數量占小張去年年底總的銷售量的58(3)由于魚卷受到游客們的青睞,小張做了一份市場調查,確定今年年底是否在網上出售魚卷,若不在網上出售魚卷,則按去年的價格出售,每箱利潤為20元,預料銷售量與去年持平;若在網上出售魚卷,則需把每箱售價下調2至5元,且每下調m元(2≤m≤5)銷售量可增加1000【解題思路】（1）依據統計表作出頻率分布直方圖，再