Page3第十七章綜合評價(時間：120分鐘滿分：120分)一、選擇題(每小題3分，共30分)1．以下列各組數為邊長能組成直角三角形的是BA．2，3，4B．eq\r(3)，2，eq\r(7)C．eq\r(6)，2eq\r(2)，eq\r(10)D．3，5，82．已知在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，則BC邊上的高為BA．6cmB．8cmC．10cmD．12cm3．如圖，點O為數軸的原點，點A和點B對應的實數分別是－1和1.過點B作BC⊥AB，以點B為圓心，OB的長為半徑畫弧，交BC于點D；再以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧，交數軸的正半軸于點E，則點E對應的實數是AA．eq\r(5)－1B．eq\r(5)C．eq\r(3)D．eq\r(3)－1eq\o(\s\up7(),\s\do5(第3題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第4題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第5題圖))4．如圖，AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，則AE＝DA．1B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．25．如圖，兩個較大正方形的面積分別為144，169，則字母A代表的正方形的面積為DA．5B．6C．20D．256．一個門框的尺寸如圖所示，下列尺寸的長方形木板不能從門框內通過的是AA．長3m，寬2.5mB．長4m，寬2.1mC．長3m，寬2.2mD．長3m，面積為6m2eq\o(\s\up7(),\s\do5(第6題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第7題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第8題圖))7．如圖，在3×3的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，若BD是△ABC的高，則BD的長為DA．eq\f(10\r(13),13)B．eq\f(9\r(13),13)C．eq\f(8\r(13),13)D．eq\f(7\r(13),13)8．如圖，一輪船以16海里/小時的速度從港口A動身向東北方向航行，另一輪船以12海里/小時的速度同時從港口A動身向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距DA．25海里B．30海里C．35海里D．40海里9．如圖，在△DEF中，∠D＝90°，DG∶GE＝1∶3，GE＝GF，Q是EF上的一動點，過點Q分別作QM⊥DE于點M，QN⊥GF于點N，EF＝2eq\r(6)，則QM＋QN的長是DA．定值2eq\r(3)B．定值eq\r(6)C．不確定D．定值2eq\r(2)eq\o(\s\up7(),\s\do5(第9題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第10題圖))10．如圖，四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD與正方形EFGH.連接EG，BD相交于點O，BD與HC相交于點P.若GO＝GP，則eq\f(S正方形ABCD,S正方形EFGH)的值是BA．1＋eq\r(2)B．2＋eq\r(2)C．5－eq\r(2)D．eq\f(15,4)二、填空題(每小題3分，共18分)11．定理“全等三角形的對應邊相等”的逆命題是__對應邊相等的三角形全等__，該逆命題是__真__命題(填“真”或“假”)．12．如圖，在△ABC中，CA＝CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB＝5，AD＝4，則AE＝__3__．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第12題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第13題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第14題圖))13．如圖，一長方體的長、寬、高分別為8cm，4cm，5cm.一只螞蟻沿著該長方體的表面從點A爬到點B，則螞蟻爬行的最短路徑的長是__eq\r(145)__cm.14．國慶假期中，小華與同學去玩探寶游戲，依據探寶圖，他們從門口A處動身先往東走8km，又往北走2km，遇到障礙后又往西走3km，再向北走到6km處往東拐，僅走了1km就找到了寶藏，則門口A到藏寶點B的直線距離是__10__km.15．如圖①是我國古代著名的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若較短的直角邊BC＝5，將四個直角三角形中較長的直角邊分別向外延長一倍，得到圖②所示的“數學風車”，若△BCD的周長是30，則這個風車的外圍周長是__76__．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第15題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第16題圖))16．如圖所示，在平面直角坐標系中，長方形ABCO的邊CO，OA分別在x軸、y軸上，點E在邊BC上，將該長方形沿AE折疊，點B恰好落在邊OC的三等分點點F處．若AB＝6，則點E的坐標是__(－6，eq\f(4\r(5),5))或(－6，eq\r(2))__．三、解答題(共72分)17．(8分)有人說：假如Rt△ABC的三邊是a，b，c(c＞a，c＞b)，那么以an，bn，cn(n是大于1的正整數)為三邊的三角形也是直角三角形．(1)這個說法是否正確？請說明理由；(2)寫出上述命題的逆命題，并推斷該逆命題是真命題還是假命題．解：(1)正確，理由如下：∵c2＝a2＋b2，∴(an)2＋(bn)2＝a2n2＋b2n2＝n2(a2＋b2)＝n2c2，∴以an，bn，cn為邊的三角形也是直角三角形(2)逆命題：假如以an，bn，cn(n是大于1的正整數)為三邊的三角形是直角三角形，那么以a，b，c為三邊的三角形也是直角三角形，該逆命題是真命題18．(8分)一個直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發覺了勾股定理的一種驗證方法．如圖，火柴盒的一個側面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，連接CC′，設AB＝a，BC＝b，AC＝c，請利用四邊形BCC′D′的面積驗證勾股定理：a2＋b2＝c2.解：∵四邊形BCC′D′是直角梯形，∴S梯形BCC′D′＝eq\f(1,2)(C′D′＋BC)·BD′＝eq\f(1,2)(a＋b)(a＋b)＝eq\f(1,2)(a＋b)2，由題意可知AC＝AC′，∠CAC′＝90°，∴△ACC′是等腰三角形，∴S梯形BCC′D′＝S△ACC′＋S△ABC＋S△AC′D′＝eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)ab·2＝eq\f(1,2)c2＋ab，∴eq\f(1,2)(a＋b)2＝eq\f(1,2)c2＋ab，化簡整理得a2＋b2＝c219．(8分)如圖，已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，若AD為∠CAB的平分線，求AD的長．解：過點D作DE⊥AB于點E，∵AD為∠ACB的平分線，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE.由勾股定理可得AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(102－62)＝8，設CD＝ED＝x，∵SRt△ABC＝SRt△ACD＋S△ABD，∴eq\f(1,2)BC·AC＝eq\f(1,2)AC·CD＋eq\f(1,2)AB·DE，即eq\f(1,2)×6×8＝eq\f(1,2)·8x＋eq\f(1,2)·10x，解得x＝eq\f(8,3)，即CD＝eq\f(8,3)，∴由勾股定理可得AD＝eq\r(AC2＋CD2)＝eq\r(82＋（\f(8,3)）2)＝eq\f(8\r(10),3)20．(8分)學過《勾股定理》后，某班愛好小組來到操場上測量旗桿AB的高度，得到如下信息：①測得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長1米(如圖①)；②當將繩子拉直時，測得此時拉繩子的手到地面的距離CD為1米，到旗桿的距離CE為6米(如圖②).依據以上信息，求旗桿AB的高度．解：設AB＝x米，則AC＝(x＋1)米．在Rt△ACE中，∵AC2＝AE2＋CE2，即(x＋1)2＝(x－1)2＋62，解得x＝9，∴旗桿AB的高度為9米21．(9分)如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AD＝eq\r(2)，CD＝eq\r(10).求：(1)∠DAB的度數；(2)連接BD，求BD的長．解：(1)連接AC，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，∵AD＝eq\r(2)，CD＝eq\r(10)，∴AD2＋AC2＝(eq\r(2))2＋(2eq\r(2))2＝2＋8＝10＝(eq\r(10))2＝CD2，∴△DAC是直角三角形，且∠DAC＝90°，∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°＋45°＝135°(2)過點D作DE⊥BA交BA的延長線于點E，∵∠DAB＝135°，∴∠DAE＝45°，∵∠ADE＝45°＝∠DAE，∴AE＝DE，∴AD＝eq\r(AE2＋DE2)＝eq\r(2)AE＝eq\r(2)，∴AE＝1，∴DE＝AE＝1，BE＝AB＋AE＝2＋1＝3，∴BD＝eq\r(BE2＋DE2)＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10)22．(9分)如圖，一艘船由A港沿北偏東60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．(1)求A，C兩港之間的距離(結果保留到0.1km，參考數據：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)；(2)確定C港在A港的什么方向．解：(1)由題意可得∠PBC＝30°，∠MAB＝60°，∴∠CBQ＝60°，∠BAN＝30°，∴∠ABQ＝30°，∴∠ABC＝90°.∵AB＝BC＝10，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝10eq\r(2)≈14.1(km).答：A，C兩港之間的距離為14.1km(2)由(1)知△ABC為等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∴∠CAM＝∠MAB－∠BAC＝60°－45°＝15°，∴C港在A港的北偏東15°方向23．(10分)如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫格點．(1)在圖①中以格點為頂點畫一條線段MN，使MN＝eq\r(10)；(2)在圖②中以格點為頂點畫△ABC，使AB＝eq\r(5)，AC＝eq\r(20)，BC＝5，并推斷它是否是直角三角形．解：(1)如圖①，線段MN即為所求(2)如圖②，△ABC即為所求．∵AB＝eq\r(5)，AC＝eq\r(20)，BC＝5，∴AB2＋AC2＝(eq\r(5))2＋(eq\r(20))2＝25＝52＝BC2，∴△ABC是直角三角形24．(12分)閱讀下列一段文字，回答問題．【材料閱讀】平面內有兩點M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由勾股定理可得這兩點間的距離MN＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).例如，如圖①，點M(3，1)，點N(1，－2)，則MN＝eq\r(（3－1）2＋（1＋2）2)＝eq\r(13).【干脆應用】(1)已知點P(2，－3)，點Q(－1，3)，求P，Q兩點間的距離；(2)如圖②，在平面直角坐標系中，點A(－1，－3)，OB＝eq\r(2)，OB與x軸正半軸的夾角是45°.①求點B的坐標；②試推斷△ABO的形態．解：(1)∵點P(2，－3)，點Q(－1，3)，∴P，Q兩點間的距離PQ＝eq\r(（2＋1）2＋（－3－3）2)＝3eq\r(5)(2)①過點B作BF⊥y軸于點F，∵OB與x軸