Page18一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復數的虛部是（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】依據復數乘除法則化簡，再依據復數的虛部定義即可求解.【詳解】因為，所以的虛部是-2．故選：C2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，然后利用集合補集和并集運算即可.【詳解】由已知，，，.故選：C.3.已知向量，若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據向量的坐標運算求出，，再依據向量垂直的坐標表示即可求出．【詳解】因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．4.把一個鐵制底面半徑為，側面積為的實心圓柱熔化后鑄成一個球，則這個鐵球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出圓柱的高，由圓柱和球的體積相等即可得出球的半徑，再利用球體的表面積公式可求得結果.【詳解】設實心圓柱的高為，因為實心圓柱的底面半徑為，側面積為，解得，則圓柱的體積為，設球的半徑為，則，解得，因此，該鐵球表面積為.故選：A.5.設甲：，乙：，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件 B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件 D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【解析】【分析】依據充分條件、必要條件的概念及同角三角函數的基本關系得解.【詳解】當時，例如但，即推不出；當時，，即能推出.綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.故選：B6.已知函數，則（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】D【解析】【分析】結合函數的解析式及對數的運算性質計算即可.【詳解】由題意可得，故選：D.7.函數的圖像向左平移個單位得到函數的圖像，若函數是偶函數，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據圖像平移得函數的解析式，由函數是偶函數，解出，可得.【詳解】函數的圖像向左平移個單位，得的圖像，又函數是偶函數，則有，，解得，；所以.故選：C．8.在中，若，則面積的最大值為（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】延長至點，使得，延長至點，使得，可得，，再由可得答案.【詳解】如圖，延長至點，使得，延長至點，使得，若，則，，所以，則面積的最大值為1.故選：C.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知點、、、，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依據向量模長和夾角的坐標求解、向量平行和垂直的坐標表示依次推斷各個選項即可.【詳解】對于A，，，，，A正確；對于B，，，，，，B正確；對于C，，，，C錯誤；對于D，，，，，D正確.故選：ABD.10.下列說法正確的是（）A.命題“”的否定是“”B.若正數滿意，則C.函數的最小正周期是D.半徑為1，圓心角為的扇形的弧長等于【答案】BCD【解析】【分析】依據全稱命題的否定是特稱命題可推斷A；利用基本不等式可推斷B；利用三角函數的周期公式可推斷C；利用扇形的弧長公式可推斷D.【詳解】命題“”的否定是“”，故A錯誤；，當且僅當時，等號成立，故B正確；函數的最小正周期，故C正確；半徑為1，圓心角為的扇形的弧長為，故D正確.故選：BCD.11.已知函數的圖象是由函數的圖象向右平移個單位得到，則（）A.的最小正周期為πB.在區間上單調遞增C.的圖象關于直線對稱D.的圖象關于點對稱【答案】AD【解析】【分析】用二倍角公式化簡，向右平移后得，分別代入正弦函數的單調區間，對稱軸，對稱中心分別對四個選項推斷即可.【詳解】因為，向右平移個單位得，則最小正周期為，故A選項正確；令，解得，所以單調遞增區間為，故B選項錯誤；令解得，故C選項錯誤；令解得所以函數的對稱中心為，故D選項正確.故選：AD12.已知的解集是，則下列說法中正確的是（）A.若c滿意題目要求，則有成立B.的最小值是4C.函數的值域為，則實數b的取值范圍是D.當時，，的值域是，則的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】依據三個二次之間的關系分析可得，對A：依據指數函數的單調性分析推斷；對B：依據基本不等式分析運算；對C：依據對數函數分析推斷；對D：依據二次函數的性質運算推斷.【詳解】若解集是，則方程的根為，且，可得，解得，對A：∵，則，∴，A正確；對B：∵，當且僅當，即時等號成立，∴的最小值是，B錯誤；對C：函數的值域為，則函數的值域包含，且，可得，解得，C正確；對D：當時，則，，令，解得；令，解得或；若在上的值域是，則或，可得，故的取值范圍是，D正確.故選：ACD.【點睛】易錯點睛：留意理解以下兩種狀況：（1）的值域為，則；（2）的定義域為，則.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知圓錐的底面半徑為2，母線長為4，則圓錐的側面積為______．【答案】【解析】【分析】干脆依據圓錐的側面積公式計算即可.【詳解】.故答案為：.14.用斜二測畫法畫水平放置的的直觀圖為直角邊長是2的等腰直角三角形（如圖），則的面積是___________.【答案】【解析】【分析】依據斜二測畫法法的規則，求得水平放置的的平面圖形，結合三角形的面積公式，即可求解.【詳解】如圖（1）所示，由水平放置的的直觀圖為直角邊長是2的等腰直角三角形，即且，可得,如圖（2）所示，依據斜二測畫法，可得的平面圖形，可得且，所以.故答案為：.15.已知，則的值是__________．【答案】5【解析】【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式以及弦化切的公式先化簡，在將代入即可.【詳解】因為，所以，故答案為：5.16.在中，，D為BC上一點，E為AD上一點，F為EC上一點，且，，，，則____________．【答案】【解析】【分析】先利用表達，利用數量積為0得到，設，利用余弦定理求出，作出幫助線，設出，平方后求出，得到F為EC上靠近點E三等分點，求出，得到答案.【詳解】設，，，則，解得：或（舍去），所以，即，，故，在三角形中，，解得：，，在三角形中，，取中點為，因為，所以，設，且，所以，即，兩邊平方得：，即，整理得：，即，解得：，，所以M為FC的中點，F為EC上靠近點E的三等分點，所以，所以，故.故答案為：【點睛】本題解題關鍵在于作出幫助線，利用數量積為0先得到，再結合余弦定理和數量積運算法則求出，難度大，綜合性強.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設集合,（1）若，求；（2）若，求實數的取值范圍．【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）依據并集的定義運算即得；（2）由題可得，分類探討進而可得不等式即得.【小問1詳解】當時，，；【小問2詳解】，當時，滿意題意，此時，解得；當時，解得，實數m的取值范圍為.18.在中，已知，求：（1）；（2）在方向上的投影向量；（3）在方向上的投影的數量．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由條件可得，進而得到，然后依據向量數量積的定義求解即可；（2）依據投影向量的定義求解即可.（3）依據投影向量的定義求解即可.【小問1詳解】因為，，，所以，即，所以，所以.【小問2詳解】由（1）知，，所以，所以在方向上的投影為.【小問3詳解】由（1）知，，所以在方向上的投影的數量為.19.蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子，建立和搬遷都很便利，適于牧業生產和游牧生活、蒙古包古代稱作穹廬、“氈包”或“氈帳”，如圖1所示，一個一般的蒙古包可視為一個圓錐與一個圓柱的組合，如圖2所示，已知該圓錐的高為2米，圓柱的高為3米，底面直徑為6米．（1）求該蒙古包的側面積．（2）求該蒙古包的體積．【答案】（1）平方米（2）立方米【解析】【分析】（1）先求出圓錐和圓柱的側面積，再求和即可；（2）先求出圓錐和圓柱的體積，再求和即可.【小問1詳解】依題意得米，米，米，所以米，所以圓錐的側面積為平方米，圓柱的側面積為平方米，所以該蒙古包的側面積為平方米.【小問2詳解】圓錐的體積為立方米，圓柱的體積為立方米，所以該蒙古包的體積為立方米.20.若函數在一個周期內的圖象如圖所示.（1）寫出函數的解析式；（2）求函數的單調增區間.將函數的圖象向右移動個單位后，得到函數的圖象，求函數在上的值域.【答案】（1）（2）的增區間為，，函數的值域為【解析】【分析】（1）依據函數的圖象可得及周期，即可求出，再利用待定系數法求出即可；（2）依據正弦函數的單調性結合整體思想即可求出函數的單調區間，依據平移變換的原則求出函數的解析式，再依據正弦函數的性質即可得解.【小問1詳解】由圖可知，則，所以，故，又，則，所以，即，又，所以，所以；【小問2詳解】令，得，所以的增區間為，，由題意，由，得，則，所以函數在上的值域為.21.已知銳角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2ccosC=bcosA+acosB.（1）求角C的大小；（2）若，求的周長的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化邊為角，然后由兩角和的正弦公式、誘導公式變形后可昨角；（2）由正弦定理把用角表示，并由兩角和與差的正弦公式化簡，由銳角三角形得的范圍，然后由正弦函數性質得取值范圍，從而得周長范圍．【小問1詳解】由正弦定理得：，代入，∴，又，∴，而0<C<，則，∴，故.【小問2詳解】由正弦定理得：，，因為為銳角三角形，所以，，由內角和為，則，所以，則，周長為，故的取值范圍為.22.已知函數．（1）若方程有三個不等實根，求實數的取值范圍；（2）若，且對，總，使得，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用一元二次函數與對數函數的性質分析的圖像，再將問題轉化為的圖像與的圖像有三個交點，從而結合圖像得解；（2）先將問題轉化為的值域是的值域的子集，再分別求得與的值域，從而利用數軸法即可得解.【小問1詳解】因為，所以當時，開口向上，對稱軸為，則，，當時，在上單調遞增，且的圖像由的圖像向下平移兩個單位而得，又因為方