高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)點(diǎn)梳理附詳細(xì)解析

數(shù)學(xué)(精品課)中的隱含條件往往最容易被忽視，這些隱含條件通常被稱為題中的"陷阱"，解

題過(guò)程中一不小心就會(huì)掉進(jìn)去。下面總結(jié)了高考復(fù)習(xí)中的高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)點(diǎn)分析梳理，希望同學(xué)們

在今后的學(xué)習(xí)中引以為戒，對(duì)這些列出來(lái)的易錯(cuò)點(diǎn)別中招了。

一、集合與簡(jiǎn)易邏輯

易錯(cuò)點(diǎn)1對(duì)集合表示方法理解存在偏差

【問(wèn)題】1：已知A={x|x>O},B={y|y>l},求AflB。

錯(cuò)解：4「8=中

剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本質(zhì)。

正確結(jié)果：A^B=B

【問(wèn)題】2：已知A={y|y=x+2},8={(x,y)|x2+y2=4},求4口8。

錯(cuò)解：An8={(0,2),(—2,0)}

正確答案：An3=0>

剖析：審題不慎，忽視代表元素，誤認(rèn)為A為點(diǎn)集。

反思：對(duì)集合表示法部分學(xué)生只從形式上"掌握"，對(duì)其本質(zhì)的理解存在誤區(qū)，常見的錯(cuò)誤是不理

解集合的表示法，忽視集合的代表元素。

易錯(cuò)點(diǎn)2在解含參數(shù)集合問(wèn)題時(shí)忽視空集

【問(wèn)題]：已知4={x|2a<x<a2},B={x[—2<x<l},且A=求a的取值范圍。

錯(cuò)解：0)

剖析：忽視A=0的情況。

正確答案:[-1,2]

反思：由于空集是一個(gè)特殊的集合，它是任何集合的子集，因此對(duì)于集合Aq8就有可能忽視

了A=0,導(dǎo)致解題結(jié)果錯(cuò)誤。尤其是在解含參數(shù)的集合問(wèn)題時(shí)，更應(yīng)注意到當(dāng)參數(shù)在某個(gè)范

圍內(nèi)取值時(shí)，所給的集合可能是空集的情況。考生由于思維定式的原因，往往會(huì)在解題中遺忘了

這個(gè)集合，導(dǎo)致答案錯(cuò)誤或答案不全面。

易錯(cuò)點(diǎn)3在解含參數(shù)問(wèn)題時(shí)忽視元素的互異性

【問(wèn)題]：已知：LG{a+2,(a+l)2,a2+3a+3],求實(shí)數(shù)a的值。

錯(cuò)解：a=-2,-1,0

剖析：忽視元素的互異性，其實(shí)當(dāng)a=—2時(shí)，(。+1)2="+3。+3=1；當(dāng)。=一1時(shí)，

a+2-a2+3a+3-l；均不符合題意。

正確答案：a-0

反思：集合中的元素具有確定性、互異性、無(wú)序性，集合元素的三性中的互異性對(duì)解題的影響最

大，特別是含參數(shù)的集合，實(shí)際上就隱含著對(duì)字母參數(shù)的一些要求。解題時(shí)可先求出字母參數(shù)的

值，再代入驗(yàn)證。

1

易錯(cuò)點(diǎn)4命題的否定與否命題關(guān)系不明

【問(wèn)題]：寫出“若。￡用或aeP,則a任MAP"的否命題。

錯(cuò)解一：否命題為“若。史聞或則

剖析：概念模糊，弄錯(cuò)兩類命題的關(guān)系。

錯(cuò)解二：否命題為“若aeM或aeP,則aeMDP”

剖析：知識(shí)不完整，〃必用或“紀(jì)2的否定形式應(yīng)為^^用且。6/3。

正確答案：若aeM一旦awP,則awMClP

反思：命題的否定是命題的非命題，也就是"保持原命題的條件不變，否定原命題的結(jié)論作為結(jié)

論"所得的命題，但否命題是"否定原命題的條件作為條件，否定原命題的結(jié)論作為結(jié)論"所得的

命題。對(duì)此。考生可能會(huì)犯兩類錯(cuò)誤①概念不清，不會(huì)對(duì)原命題的條件和結(jié)論作出否定；②審題

不夠細(xì)心。

易錯(cuò)點(diǎn)5充分必要條件顛倒出錯(cuò)

【問(wèn)題]：已知a1是實(shí)數(shù)，貝y。>0且。>0"是"a+Z?>0且">0"的

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

錯(cuò)解：選B

剖析：識(shí)記不好，不能真正理解充要條件概念，未能掌握判斷充要條件的方法。

正確答案：C

反思：對(duì)于兩個(gè)條件A6,如果An3,則A是8的充分條件，8是A的必要條件，如果

A<=>B,則A是3的充要條件。判斷充要條件常用的方法有①定義法；②集合法；③等價(jià)法。

解題時(shí)最容易出錯(cuò)的就是顛倒了充分性與必要性，所以在解決這類問(wèn)題時(shí)，一定要分清條件和結(jié)

論，根據(jù)充要條件的定義，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗ鞒鰷?zhǔn)確的判斷，不充分不必要常借助反例說(shuō)明。

易錯(cuò)點(diǎn)6對(duì)邏輯聯(lián)結(jié)詞及其真值表理解不準(zhǔn)

【問(wèn)題】：命題p：若a、bGR,則同+W>1是|a+4>1的充分而不必要條件；命題q：函數(shù)

y=Jlx-lI-2的定義域是(—8,—1]u[3,+8),則

A"p或4"為假B"p且4"為真C〃真g假D〃假(7真

錯(cuò)解一：選A或3

剖析：對(duì)真值表記憶不準(zhǔn)，本題中〃假4真，因此"p或q"為真，而"p且q"為假。

錯(cuò)法二：選C

剖析：基礎(chǔ)不牢，在判斷命題真假時(shí)出錯(cuò)。

正確答案：D

反思：含邏輯聯(lián)結(jié)詞"或"、"且"、"非"的命題稱為復(fù)合命題。在判斷復(fù)合命題真假時(shí)，常常因?yàn)?/p>

對(duì)概念理解不準(zhǔn)確或真值表記不清而出現(xiàn)錯(cuò)誤。為此準(zhǔn)確理解概念、巧記真值表是解題的關(guān)鍵。

2

這里介紹一種快速記憶真值表的方法：

"p或4"一一有真則真；"p且q"一—有假則假；"非p"一—真假相反。

易錯(cuò)點(diǎn)7否定全稱、特稱命題出錯(cuò)

【問(wèn)題】寫出下列命題的否定：

①p：對(duì)任意的正整數(shù)x,x2>x：

(2)q：存在一個(gè)三角形，它的內(nèi)角和大于180°；

③r:三角形只有一個(gè)外接圓。

錯(cuò)解：①「0：對(duì)任意的正整數(shù)x,x2<x；

②所有的三角形的內(nèi)角和小于180°；

③「廣存在一個(gè)三角形有且只有一個(gè)外接圓。

剖析：知識(shí)欠缺，基礎(chǔ)不牢導(dǎo)致出錯(cuò)。

正確答案：①「夕：存在正整數(shù)x,使x2<x；

②所有的三角形的內(nèi)角和都不大于180°；

③「廣存在一個(gè)三角形至少有兩個(gè)外接圓。

反思：全稱命題p:VxeA/,p(x),它的否定->p:玉e,特稱命題0:玉€川,〃(幻，

它的否定r?：VxwM,「p(x)。一般來(lái)說(shuō)，全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全

稱命題。切記對(duì)全稱、特稱命題的否定，不僅要否定結(jié)論p(x),而且還要對(duì)量詞"V和丁，進(jìn)行

否定。另外，對(duì)一些省略了量詞的簡(jiǎn)化形式，應(yīng)先將命題寫成完整形式，再依據(jù)法則來(lái)寫出其否

定形式。

二、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

易錯(cuò)點(diǎn)8求函數(shù)定義域時(shí)條件考慮不充分

【問(wèn)題】：求函數(shù)y=一———+(x+l)°的定義域。

,3-2x—x"

錯(cuò)解：[-3,1]

剖析：基礎(chǔ)不牢，忽視分母不為零；誤以為(x+l)°=l對(duì)任意實(shí)數(shù)成立。

正確答案：(―3,T)U(—U)

反思：函數(shù)定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，因此求定義域時(shí)就要根據(jù)函數(shù)解析式把

各種情況下的自變量的限制條件找出來(lái)，列成不等式組，不等式組的解集就是該函數(shù)定義域。在

求函數(shù)的定義域時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)①分式的分母不為零；②偶次根式被開方式非負(fù)；③對(duì)數(shù)的真

數(shù)大于零；④零的零次幕沒有意義；⑤函數(shù)的定義域是非空的數(shù)集。

3

易錯(cuò)點(diǎn)9求復(fù)合函數(shù)定義域時(shí)忽視“內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域"

【問(wèn)題】已知函數(shù)/(x)=log3X+2,xe[l,9]求函數(shù)y=[/(x)]2+/(/)的值域。

錯(cuò)解：設(shè)t=log3x,G[0,2],.,.y=〃+6r+6,te[0,2],

???函數(shù)的值域是[6,22]0

剖析：知識(shí)欠缺，求函數(shù)y=[/(%)『+/(/)定義域時(shí)，應(yīng)考慮

1WxW9

正確答案：函數(shù)的值域是[6,13]

反思：在復(fù)合函數(shù)中，外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域，求復(fù)合函數(shù)定義域類型為：

①若已知/(X)的定義域?yàn)榭桑鋸?fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式a<g(x)<b解出即

可；②若已知/[g(x)]的定義域?yàn)閇a,可，求g(x)的定義域，相當(dāng)于xe?b]時(shí)，求g(x)的值域

(即/(無(wú))的定義域)。

易錯(cuò)點(diǎn)分析10判斷函數(shù)奇偶性時(shí)忽視定義域

【問(wèn)題】1：判斷函數(shù)8=狂二1乂'+(的奇偶性。

x(x-l)

f+1

錯(cuò)解：原函數(shù)即y=——，，為奇函數(shù)

x

剖析：只關(guān)注解析式化簡(jiǎn)，忽略定義域。

正確答案：非奇非偶函數(shù)。

【問(wèn)題】2:判斷函數(shù)/(x)=jd—1+J1一寸的奇偶性。

錯(cuò)解：???/(-x)=f(x),.,.為偶函數(shù)

剖析：不求函數(shù)定義域只看表面解析式，只能得到偶函數(shù)這一結(jié)論，導(dǎo)致錯(cuò)誤。

正確答案：既奇且偶函數(shù)。

反思：函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。如果不具備這個(gè)條件，一定是非奇

非偶函數(shù)。在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，如果對(duì)定義域內(nèi)任意X都有/(-x)=-/(x),則

/(X)為奇函數(shù)；如果對(duì)定義域內(nèi)任意X都有/(-x)=/(x),則/(X)為偶函數(shù)，如果對(duì)定義域

內(nèi)存在X。使/(一/)豐一/(X0)，則/(X)不是奇函數(shù)；如果對(duì)定義域內(nèi)存在不使

f(-x0)豐f(x0),則/(X)不是偶函數(shù)。

易錯(cuò)點(diǎn)11求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)忽視定義域

【問(wèn)題】：求函數(shù)y=k)go,5(4+3x—x2)的增區(qū)間。

4

錯(cuò)解一：...外層函數(shù)為減函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)M=4+3X—/減區(qū)間為［|,+8),.?.原函數(shù)增區(qū)間為

3、

［r―,+00)。

剖析：基礎(chǔ)不牢，忽視定義域問(wèn)題

錯(cuò)解二：???4+3%-/>0,函數(shù)定義域?yàn)?—1,4),又內(nèi)層函數(shù)〃=4+3x—x2在(一1,自為增

33

函數(shù)，在［—,+8)為減函數(shù)，.?.原函數(shù)增區(qū)間為(-1,1］。

22

剖析：識(shí)記不好，對(duì)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則不熟練。

正確答案：［9,4)

2

反思：求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間一般步驟是①求函數(shù)的定義域；②作出內(nèi)層函數(shù)的圖象；③用"同增

異減”法則寫單調(diào)區(qū)間。解此類題通常會(huì)出現(xiàn)以下兩類錯(cuò)誤：一是忽視定義域；二是“同增異減"

法則不會(huì)或法則用錯(cuò)。

易錯(cuò)點(diǎn)12解"二次型函數(shù)”問(wèn)題時(shí)忽視對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論

【問(wèn)題】：函數(shù)/(x)=(/〃-1)/+2(m+1)》一1的圖象與X軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值

范圍。

錯(cuò)解：由A=0解得加=0或m=一3

剖析：知識(shí)殘缺，分類討論意識(shí)沒有，未考慮機(jī)-1=0的情況。

正確答案：{—3,0,1}

反思、：在二次型函數(shù)y=ox?+瓜+。中，當(dāng)。。o時(shí)為二次函數(shù)，其圖象為拋物線：當(dāng)。=()力/o

時(shí)為一次函數(shù)，其圖象為直線。在處理此類問(wèn)題時(shí)，應(yīng)密切注意一項(xiàng)的系數(shù)是否為o,若不能

確定，應(yīng)分類討論，另外有關(guān)三個(gè)"二次"之間的關(guān)系的結(jié)論也是我們應(yīng)關(guān)注的對(duì)象。例如：

ax2+Z?x+c>0解集為R<=>。>0,A<0或24=0">0

ax2+陵+。>0解集為0<=>。<0,2\<0或2=6=0340

易錯(cuò)點(diǎn)13用函數(shù)圖象解題時(shí)作圖不準(zhǔn)

【問(wèn)題】：求函數(shù)/(幻=/的圖象與直線/(x)=2*的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

錯(cuò)解：兩個(gè)

剖析：忽視指數(shù)函數(shù)與幕函數(shù)增減速度快慢對(duì)作圖的影響。

正確答案：三個(gè)

反思："數(shù)形結(jié)合"是重要思想方法之一，以其準(zhǔn)確、快速、靈活及操作性強(qiáng)等諸多優(yōu)點(diǎn)頗受數(shù)學(xué)

學(xué)習(xí)者的青睞。但我們?cè)诮忸}時(shí)應(yīng)充分利用函數(shù)性質(zhì)，畫準(zhǔn)圖形，不能主觀臆造，導(dǎo)致圖形"失

真"，從而得出錯(cuò)誤的答案。

易錯(cuò)點(diǎn)14忽視轉(zhuǎn)化的等價(jià)性

【問(wèn)題】1：已知方程3%+1=0有且只有一個(gè)根在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

5

錯(cuò)解：?.?方程加/—3x+l=0有且只有一個(gè)根在區(qū)間(0,1)內(nèi)，.?.函數(shù)丁=如2-3》+1的圖

象與x軸在(0,1)內(nèi)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，.?./(())/⑴<0,解得加<2

剖析：知識(shí)殘缺，在將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)時(shí)，應(yīng)考慮到△=()情況。

正確答案：m<2且m=9/4

剖析：①在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，去絕對(duì)值時(shí)出錯(cuò)，從而得到錯(cuò)誤的圖象。

②在圖象變換過(guò)程中出錯(cuò)，搞錯(cuò)平移方向。

正確答案：D

反思：等價(jià)轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)的重要思想方法之一，處理得當(dāng)會(huì)起到意想不到的效果，但等價(jià)轉(zhuǎn)化的前

提是轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，反之會(huì)出現(xiàn)各種離奇的錯(cuò)誤。

易錯(cuò)點(diǎn)15分段函數(shù)問(wèn)題

【問(wèn)題】1：.已知/(x)=!(2—”)x+lx<l是R上的增函數(shù)，求。的取值范圍。

axx>\

錯(cuò)解：(L2)

剖析：知識(shí)殘缺，只考慮到各段函數(shù)在相應(yīng)定義域內(nèi)為增函數(shù)，忽視/(x)在分界點(diǎn)附近函數(shù)值

大小關(guān)系。

正確答案：1,2)

【問(wèn)題】2:設(shè)函數(shù)f(x)=F+bx+c，x40，x40，茍■(_4)=/(0),f(-2)=-2,求關(guān)于x的方程

[2,x>0.

/(%)=%解的個(gè)數(shù)。

錯(cuò)解：兩個(gè)

剖析：基礎(chǔ)不實(shí)，分類討論意識(shí)沒有，未能將方程/(%)=%分兩種情況來(lái)解。

正確答案：三個(gè)

反思：與分段函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題有作圖、求值、求值域、解方程、解不等式、研究單調(diào)性及討論奇

偶性等等。在解決此類問(wèn)題時(shí)，要注意分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù)，如果自變量取值不

能確定，要對(duì)自變量取值進(jìn)行分類討論，同時(shí)還要關(guān)注分界點(diǎn)附近函數(shù)值變化情況。

易錯(cuò)點(diǎn)16函數(shù)零點(diǎn)定理使用不當(dāng)

6

【問(wèn)題】若函數(shù)/(x)在區(qū)間卜2,2］上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且/(x)在(-2,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，

則乃的值()

A大于0B小于0C等于0D不能確定

錯(cuò)解：由函數(shù)零點(diǎn)存在定理知，川-2)力2k0,故選B

剖析：沒有正確理解函數(shù)零點(diǎn)的含義及存在性，若函數(shù)/(x)在(-2,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，且該零

點(diǎn)為"變號(hào)零點(diǎn)"，則力-2)力2k0,否則力-2,力2左0.

正確答案：D

反思：函數(shù)零點(diǎn)定理是指如果函數(shù)/(x)在區(qū)間［a,句上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有

/(aW)<0,那么函數(shù)/(x)在區(qū)間(。力)內(nèi)有零點(diǎn)。解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題常用方法有定理法、

圖象法和方程法。函數(shù)零點(diǎn)又分為"變號(hào)零點(diǎn)"和"不變號(hào)零點(diǎn)”，函數(shù)零點(diǎn)定理僅適用于"變號(hào)零

點(diǎn)"，對(duì)"不變號(hào)零點(diǎn)"無(wú)能為力。

易錯(cuò)點(diǎn)17混淆兩類切線的概念

【問(wèn)題】：若直線y=kx與曲線y=丁-3/+2》相切試求k的值。(提示y=kx即過(guò)原點(diǎn)

的切線)

錯(cuò)解：：9二？/一6x+2,.?.斜率Z=2,

剖析：知識(shí)殘缺，過(guò)某點(diǎn)的切線并非在某點(diǎn)處的切線。

正確答案：％=2或4=一,

4

反思：曲線在點(diǎn)P處的切線”P為切點(diǎn)且P在曲線上，而"過(guò)點(diǎn)P的切線”僅能說(shuō)明點(diǎn)P在曲線的

切線上。

易錯(cuò)點(diǎn)18誤解"導(dǎo)數(shù)為0"與"有極值"的邏輯關(guān)系

【問(wèn)題】：函數(shù)/(X)=/+公2+法+。2在X=1處有極值10,求a,b的值。

錯(cuò)解：由/(1)=10,/'(I)=0解得。=4/=—11或。=—3力=3

剖析：對(duì)“導(dǎo)數(shù)為0"與"有極值"邏輯關(guān)系分辨不清，錯(cuò)把/(%)為極值的必要條件當(dāng)作充要條件。

正確答案：a=4,b=-ll

反思：在使用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值時(shí)，很容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是求出使導(dǎo)函數(shù)等于0的點(diǎn)，而沒有

對(duì)這些點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)進(jìn)行判斷，誤以為使導(dǎo)函數(shù)等于0的點(diǎn)就是函數(shù)的極值點(diǎn)。出現(xiàn)

這種錯(cuò)誤的原因就是對(duì)導(dǎo)數(shù)與極值關(guān)系不清。可導(dǎo)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值為。只是這個(gè)函數(shù)在

此點(diǎn)取到極值的必要條件，充要條件是/'(/)=。且/"'(X)在/兩側(cè)異號(hào)。。

易錯(cuò)點(diǎn)19對(duì)"導(dǎo)數(shù)值符號(hào)"與"函數(shù)單調(diào)性”關(guān)系理解不透徹

【問(wèn)題】：若函數(shù)/(x)=o?—%在R上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

7

,o6?<0

錯(cuò)解：由/'。)=3以2_1<0在R上恒成立，.?.《,解得。<0

A=12a<0

剖析：概念模糊，錯(cuò)把/(x)在某個(gè)區(qū)間上是單調(diào)增(減)函數(shù)的充分條件當(dāng)成充要條件。事實(shí)

上a=0時(shí)滿足題意。

正確答案：a<0

反思：一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)增(減)的充要條件是這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間上恒大(小)

于等于0,且導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上都不恒為0。切記導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上恒大(小)于

0僅為該函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)增(減)的充分條件。

易錯(cuò)點(diǎn)20對(duì)"導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)"與"原函數(shù)圖象升降"關(guān)系不清楚

【問(wèn)題】：已知函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)r(x)的圖象如圖所示，則y=/(x)的圖象最有可能的是.

錯(cuò)解：選

剖析：概念不清，憑空亂猜，正確解法是由于/'(0)=/<2)=0,且兩邊值符號(hào)相反，故。和2

為極值點(diǎn)；又因?yàn)楫?dāng)x<0和x>2時(shí)，/'(x)>0,當(dāng)0<x<2時(shí)，/'(x)<0,所以函數(shù)/(x)

在(-8,0)和(2,+oo)上為增函數(shù)，在(0,2)上為減函數(shù)。

正確答案：C

反思:解答此類題的關(guān)鍵是抓住①導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與原函數(shù)的極值點(diǎn)關(guān)系一一極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0：

②導(dǎo)函數(shù)值的符號(hào)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系一一原函數(shù)看增減,導(dǎo)函數(shù)看正負(fù)。

易錯(cuò)點(diǎn)21原解函數(shù)的反函數(shù)易漏掉確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域J

例/(%)=—H%4是R上的奇函數(shù)，(D求a的值(2)求的反函數(shù)/T(X)

剖析：求解已知函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，易忽略求解反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域而出錯(cuò)。

解析：(1)利用"x)+/(—X)=0(或/(())=())求得a=l.

2*-1i+y

(2)由a=l即/(x)設(shè)3=/(x),則2"(1—、)=1+卜由于丁#1故2”

2x+\1一>

ItzY—\9

x=log,1-",而y(x)=^7—j-=1-^—(T，l)所以尸W=1唯1(T<X<1)

8

反思：(1)在求解函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，一定要通過(guò)確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域在反函數(shù)的解析式后表明

(若反函數(shù)的定義域?yàn)镽可省略)。

(2)應(yīng)用/T(Z?)=a=/(a)=b可省略求反函數(shù)的步驟，直接利用原函數(shù)求解但應(yīng)注意其自變量和函數(shù)值

要互換。

【練3】函數(shù)/(%)=J^T+1(XZ1)的反函數(shù)是()

A、y-jc-2x+2(x<l)B,y-x2-2x+2(x>1)

11

c、y-x-2x(x<l)D、y-x-2x(x>l)

答案B

三、數(shù)列

易錯(cuò)點(diǎn)22由S“求a”時(shí)忽略對(duì)"n=1"檢驗(yàn)

【問(wèn)題】：已知數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和S“=〃2一〃+1,求%。

錯(cuò)解:由a,=Sn_S,T解得a“=2〃-2

剖析：考慮不全面，錯(cuò)誤原因是忽略了%=Sn-S,i成立的條件也2,實(shí)際上當(dāng)n=l時(shí)就出現(xiàn)了

So,而So是無(wú)意義的，所以使用4,=Sn-S,i求/，只能表示第二項(xiàng)以后的各項(xiàng)，而第一項(xiàng)能

否用這個(gè)4表示，尚需檢驗(yàn)。

正確答案：％=廠(〃=?

"[2n-2(n>2,neN)

反思：在數(shù)列問(wèn)題中，數(shù)列的通項(xiàng)凡與其前n項(xiàng)和S,之間關(guān)系如下

a=(H("=?,在使用這個(gè)關(guān)系式時(shí)，要牢牢記住其分段的特點(diǎn)。當(dāng)題中給出數(shù)

"—S,u(〃N2,〃eN)

列｛”“｝的勺與S“關(guān)系時(shí)，先令〃=1求出首項(xiàng)q,然后令“N2求出通項(xiàng)a“=S“—S"T，最

后代入驗(yàn)證。解答此類題常見錯(cuò)誤為直接令“22求出通項(xiàng)a“=S“-S,i，也不對(duì)〃=1進(jìn)行檢

驗(yàn)。

易錯(cuò)點(diǎn)23忽視兩個(gè)“中項(xiàng)"的區(qū)別

【問(wèn)題]：b[=ac是a,b,c成等比數(shù)列的()

A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分有不必要條件

9

錯(cuò)解：c

剖析：思維不縝密，沒有注意到當(dāng)b2=ac時(shí)，a,A,c可能為0。

正確答案：B

反思：若。,仇c成等比數(shù)列，則6為。和c的等比中項(xiàng)。由定義可知只有同號(hào)的兩數(shù)才有等比中

項(xiàng)，"b2=ac"僅是"。為。和c的等比中項(xiàng)"的必要不充分條件，在解題時(shí)務(wù)必要注意此點(diǎn)。

易錯(cuò)點(diǎn)24在數(shù)列求和中對(duì)求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前n項(xiàng)和不會(huì)采用錯(cuò)項(xiàng)相減法或解答

結(jié)果不到位。

【問(wèn)題】已知數(shù)列｛a“｝是等差數(shù)列，且6=2,q+%+%=12

（1）求數(shù)列｛〃,｝的通項(xiàng)公式（2）令2=4,乂'（兀€7?）求數(shù)列｛4｝前項(xiàng)和的公式。

剖析：本題根據(jù)條件確定數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式再由數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式分析可知數(shù)列｛5｝是一個(gè)等差數(shù)列

和一個(gè)等比數(shù)列構(gòu)成的“差比數(shù)列”，可用錯(cuò)項(xiàng)相減的方法求和。

解析：（1）易求得=2n

（2）由（1）得仇=2MX"令s“=2x+4%2+6*3+...+2nr”（I）則

23用減去（注意錯(cuò)過(guò)一位再相減）得

xsn=2x+4x+...+2（“-l）x"（U）（1）（II）

2-x"）

(1-x)s“=2x+2x2+2x3+...+2xn-2nxn+y當(dāng)xw1s=-----.........nx"+'當(dāng)x=l時(shí)

n1-X

力=〃（〃+

sn=2+4+6+...+21）

練上可得：

2

當(dāng)XW1S”=-----當(dāng)x=l時(shí)=2+4+6+=

"1-X1-x

反思：一般情況下對(duì)于數(shù)列｛q,｝有g(shù)=。也，其中數(shù)列｛q｝和也,｝分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，則其前n

項(xiàng)和可通過(guò)在原數(shù)列的每一項(xiàng)的基礎(chǔ)上都乘上等比數(shù)列的公比再錯(cuò)過(guò)一項(xiàng)相減的方法來(lái)求解，實(shí)際上課本上等比

數(shù)列的求和公式就是這種情況的特例。

【練】已知〃“=a"+an~'b+an~2b2+...+ab"~'+b"eN+,a>0,b>0）當(dāng)。=Z?時(shí)，求數(shù)列

｛a?｝的前n項(xiàng)和s“

10

(n+l)tz,,+2~(n+2)an+'-a2+2a〃(〃+3)

答案：aw］時(shí)s=-------------------------------------------當(dāng)a=］時(shí)s“=------------.

n(1-?)22

易錯(cuò)點(diǎn)25:不能根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)的特點(diǎn)尋找相應(yīng)的求和方法，在應(yīng)用裂項(xiàng)求和方法時(shí)對(duì)裂項(xiàng)后抵消項(xiàng)的規(guī)律不

清，導(dǎo)致多項(xiàng)或少項(xiàng)。

例、求s”='+-^―+——?——+???+---------!-----------.

11+21+2+31+2+3+…+〃

剖析：本題解答時(shí)一方面若不從通項(xiàng)入手分析各項(xiàng)的特點(diǎn)就很難找到解題突破口，其次在裂項(xiàng)抵消中間項(xiàng)的過(guò)

程中，對(duì)消去哪些項(xiàng)剩余哪些項(xiàng)規(guī)律不清而導(dǎo)致解題失誤。

解：由等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式得1+2+3+—?+〃=］——

---------!---------=---=2(-———),〃取1,2,3,…，就分別得到1,——，-----------

1+2+3+???+〃n{n+1)nn+l11+21+2+3

??S〃=2(1---)4-2(---)+2(---)+???+2(---------)

22334nn+\

=2(1-——)=—.

〃+1n+l

反思、：“裂項(xiàng)法”有兩個(gè)特點(diǎn)，一是每個(gè)分式的分子相同；二是每項(xiàng)的分母都是兩個(gè)數(shù)(也可三個(gè)或更多)相乘，

且這兩個(gè)數(shù)的第一個(gè)數(shù)是前一項(xiàng)的第二個(gè)數(shù)，如果不具備這些特點(diǎn)，就要進(jìn)行轉(zhuǎn)化。同是要明確消項(xiàng)的規(guī)律一般

情況下剩余項(xiàng)是前后對(duì)稱的。常見的變形題除本題外，還有其它形式，例如：求

———+——+???+——，方法還是抓通項(xiàng)，即

I2+222+432+6/2+2〃

111/1、

—......=----------=-(----------)，問(wèn)題會(huì)很容易解決。另外還有一些類似“裂項(xiàng)法”的題目，如：

n+2n〃(〃+2)2nn+2

a?=-j=~-j=,求其前〃項(xiàng)和，可通過(guò)分母有理化的方法解決。數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相

+J”+1

消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。

【練】求和S“出+D+

22-142-162-1(2〃1一1

112n

答案：S=1H---------bld---------bld----------!-???+1+=〃+

133557211—\2〃+12/?+1

易錯(cuò)點(diǎn)26等比數(shù)列求和時(shí)忽視對(duì)q討論

【問(wèn)題】：在等比數(shù)列｛%｝中，5〃為其前n項(xiàng)和，且邑=3%，求它的公比q。

錯(cuò)解：?.?魂3=4(1一爐)=3%，解得q=-,

l-q2

剖析：知識(shí)殘缺，直接用等比數(shù)列的求和公式，沒有對(duì)公比q是否等于1進(jìn)行討論，導(dǎo)致失誤。

11

正確答案：q=-；或q=l

反思：與等差數(shù)列相比，等比數(shù)列有一些特殊性質(zhì)，如等比數(shù)列的每一項(xiàng)包括公比均不為0,等

比數(shù)列的其前n項(xiàng)和S“為分段函數(shù)，其中當(dāng)q=l時(shí)，S“=〃4o而這一點(diǎn)正是我們解題中被忽

略的。

易錯(cuò)點(diǎn)27用錯(cuò)了等差、等比數(shù)列的相關(guān)公式與性質(zhì)

【問(wèn)題］：已知等差數(shù)列｛凡｝的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,求它的前3m項(xiàng)和S3,,,。

錯(cuò)解一：170

剖析：基礎(chǔ)不實(shí)，記錯(cuò)性質(zhì)，誤以為S,“,S2?,,S3,“成等差數(shù)列。

錯(cuò)解二：130

剖析：基礎(chǔ)不實(shí)，誤以為S,“,S2m，S3M滿足邑皿=鼠+52皿。

正確答案：210

反思：等差、等比數(shù)列各自有一些重要公式和性質(zhì)（略），這些公式和性質(zhì)是解題的根本，用錯(cuò)

了公式和性質(zhì)，自然就失去了方向。解決這類問(wèn)題的一個(gè)基本出發(fā)點(diǎn)就是考慮問(wèn)題要全面，把各

種可能性都考慮進(jìn)去，認(rèn)為正確的命題給予證明，認(rèn)為不正確的命題舉出反例予以說(shuō)明。

易錯(cuò)點(diǎn)28用錯(cuò)位相減法求和時(shí)項(xiàng)數(shù)處理不當(dāng)

【問(wèn)題】：求和S“=1+3。+5/+…+（2〃-。

剖析：①考慮不全面，未對(duì)。進(jìn)行討論，丟掉a=1時(shí)的情形。

②將兩個(gè)和式錯(cuò)位相減后，成等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)弄錯(cuò)。

③將兩個(gè)和式錯(cuò)位相減后，丟掉最后一項(xiàng)。

(。=1)

正確答案:12〃(1一/

1a"(ah1)

\-a-----(1-a)2

反思：如果一個(gè)數(shù)列為一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積所得到的，那么該數(shù)列可用錯(cuò)位相

減法求和。基本方法是設(shè)這個(gè)和式為Sn，在這個(gè)和式的兩端同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比得到另一個(gè)

和式，將這兩個(gè)和式錯(cuò)位相減，得到一個(gè)新的和式，該式分三部分①原來(lái)數(shù)列的第一項(xiàng)；②一個(gè)

等比數(shù)列的前n-1項(xiàng)和；③原來(lái)數(shù)列的第n項(xiàng)乘以公比的相反數(shù)。在用錯(cuò)位相減法求和時(shí)務(wù)必要

處理好這三個(gè)部分，特別是等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，有時(shí)含原來(lái)數(shù)列的第一項(xiàng)共“項(xiàng)，有時(shí)只有“一1項(xiàng)。

另外，如果公比為字母需分類討論。

易錯(cuò)點(diǎn)29利用函數(shù)知識(shí)求解數(shù)列的最大項(xiàng)及前n項(xiàng)和最大值時(shí)易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其子集（從

1開始）

【問(wèn)題】等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)%>0,前n項(xiàng)和S“，當(dāng)時(shí)，Sm=S/。問(wèn)n為何值時(shí)S.最大？

剖析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于n的二次函數(shù)的最大值，但易忘記

此二次函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集這個(gè)限制條件】

12

解析：由題意知L=/（〃）=+a｝一一〃此函數(shù)是以n為變量的二次函數(shù)，因

為6>0,當(dāng)/wm時(shí)，s,〃=s,故dv0即此二次函數(shù)開口向下，故由/（/）=/（加）得當(dāng)x=

I+

/（x）取得最大值，但由于〃eN+,故若/+/W為偶數(shù)，當(dāng)〃=-----時(shí)，％最大。

,I+m±l

當(dāng)/+加為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)〃=--------時(shí)s“最大。

2

反思：數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可視為定義域?yàn)檎麛?shù)集或其子集（從1開始）上的函數(shù)，因此在解

題過(guò)程中要樹立函數(shù)思想及觀點(diǎn)應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題。特別的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)

且沒有常數(shù)項(xiàng)，反之滿足形如,=。〃2+。〃所對(duì)應(yīng)的數(shù)列也必然是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。此時(shí)由

&知數(shù)列中的點(diǎn)是同一直線上，這也是一個(gè)很重要的結(jié)論。此外形如前n項(xiàng)和

=ca"-c所對(duì)應(yīng)的數(shù)列必為-等比數(shù)列的前.n項(xiàng)和。

【練】設(shè)｛《,｝是等差數(shù)列，S,是前n項(xiàng)和，且$5<$6，$6=$7>$8,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A、J<0B、%=°C、％>$5口、$6和57均為的最大值。

答案：C（提示利用二次函數(shù)的知識(shí)得等差數(shù)列前n項(xiàng)和關(guān)于n的二次函數(shù)的對(duì)稱軸再結(jié)合單調(diào)性解答）

易錯(cuò)點(diǎn)30解答數(shù)列問(wèn)題時(shí)沒有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解答過(guò)程繁瑣。

【問(wèn)題】已知關(guān)于的方程12—3了+〃=0和％2—3%+人=0的四個(gè)根組成首項(xiàng)為一的等差數(shù)列，求a+h

的值。

剖析：注意到兩方程的兩根之和相等這個(gè)隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項(xiàng)是如何排列的。

解析：不妨設(shè)一是方程d-3x+a=0的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數(shù)列的性質(zhì)知方程

4

x2-3x+a=0的另一根是此等差數(shù)列的第四項(xiàng)，而方程X?-3x+b=0的兩根是等差數(shù)列的中間兩項(xiàng)，

3579273531

根據(jù)等差數(shù)列知識(shí)易知此等差數(shù)列為：一,----,一故a=—,b——從而ci+b=—?

44,4416168

反思：等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列知識(shí)的一個(gè)重要方面，有解題中充分運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)往往起到事半功

倍的效果。例如對(duì)于笠差數(shù)列｛a“｝,若n+m=p+q,則+am=ap+aq；對(duì)于等比數(shù)列｛a.｝,若

n+m^u+v,則a“=a“?/；若數(shù)列｛a“｝是等比數(shù)列，S”是其前n項(xiàng)的和，kwN*,那么S*,

s2k-sk,S3*-$2”成等比數(shù)列；若數(shù)列｛&“｝是等差數(shù)列，S”是其前n項(xiàng)的和，kwN*,那么S*，

13

S2k-S*，S3*-s2k成等差數(shù)列等性質(zhì)要熟練和靈活應(yīng)用。

,,1

【練14］已知方程》2-2%+m=0和*2-2x+〃=0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為一的等差數(shù)列，則

4

313

=()A、1B、二C、一D、一

11428

答案:c

易錯(cuò)點(diǎn)31數(shù)列中的最值錯(cuò)誤

【問(wèn)題】：在等差數(shù)列｛4｝中，q=25,59=Sl6,求此數(shù)列的前幾項(xiàng)和最大。

剖析：①解題不細(xì)心，在用等差數(shù)列前n和求解時(shí)，解得n=12.5,誤認(rèn)為n=12.5。

②考慮不全面，在用等差數(shù)列性質(zhì)求解得出“3=0時(shí)，誤認(rèn)為只有工3最大。

正確答案：《2或外

反思：數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式都是關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，要善于用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)和理

解數(shù)列問(wèn)題。但是考生很容易忽視n為正整數(shù)的特點(diǎn)，有時(shí)即使考慮了n為正整數(shù)，但對(duì)于n

為何值時(shí)，能夠取到最值求解出錯(cuò)。在關(guān)于正整數(shù)n的二次函數(shù)中其取最值的點(diǎn)要根據(jù)正整數(shù)距

離二次函數(shù)的對(duì)稱軸遠(yuǎn)近而定。

四、三角函數(shù)

易錯(cuò)點(diǎn)32求解時(shí)忽略角的范圍

35

【問(wèn)題】1：在AA8C中，sinA=-,cosB=—,求cosA,sinB的值。

513

412

錯(cuò)解：cosA=±—,sinB=±—

513

剖析：基礎(chǔ)不實(shí)，忽視開方時(shí)符號(hào)的選取。

4I?

正確答案：cosA=—,sinB=—

513

【問(wèn)題】2：在AWC中，A、5為銳角，月.sinA=亞,sin8=X10,求A+3的值。

510

錯(cuò)解：先求出sin(A+B)=---,A+5G(0,TC),?*.A+B=—或—

244

剖析：知識(shí)殘缺，由于A、8為銳角，所以A+6G(0,TT)O又由于正弦函數(shù)在(0,萬(wàn))上不是

單調(diào)函數(shù)，所以本題不宜求sin(A+3),宜改求cos(A+3)或tan(A+3)。

TT

正確答案：A+B=-

4

【問(wèn)題】1：在AABC中，已知a=&,b=百,B=±，求角A

3

錯(cuò)解：用正弦定理求得sinA=A=27T或衛(wèi)2)

244

14

剖析：基礎(chǔ)不牢，忽視隱含條件b2。出錯(cuò)。

jr

正確答案：A=—

4

反思：三角函數(shù)中的平方關(guān)系是三角變換的核心，也是易錯(cuò)點(diǎn)之一。解題時(shí).，務(wù)必重視"根據(jù)已

知角的范圍和三角函數(shù)的取值，精確確定未知角的范圍，并進(jìn)行定號(hào)”。

易錯(cuò)點(diǎn)33求關(guān)于sinx,cosx最值時(shí)忽視正、余弦函數(shù)值域

【問(wèn)題］：已知sinx+siny=g,求siny-cos?x的最大值。

?2

錯(cuò)解：令￡=sinx,得sincos?x=r2-r--（-l<r<l）,通過(guò)配方、作圖解得siny-cos?x

的最大值為上4

3

剖析：本題雖注意到sinx的值域，但未考慮到sinx與siny相互制約，即由于-ksinySL

-l<sinx<l

二sinx必須同時(shí)滿足<1。

-1<——sinx<1

I3

4

正確答案：一

9

反思：求關(guān)于sinx,cosx最值的常規(guī)方法是通過(guò)令r=sinx（或cosx）將三角函數(shù)的最值問(wèn)題

轉(zhuǎn)化為關(guān)于f的二次函數(shù)問(wèn)題求解。但由于正、余弦函數(shù)值域限制，f只能在某一特定范圍內(nèi)取

值，解題時(shí)務(wù)必要注意此點(diǎn)。

易錯(cuò)點(diǎn)34三角函數(shù)單調(diào)性判斷錯(cuò)誤

【問(wèn)題】：已知函數(shù)y=cos（：-2x）,求它的單調(diào)減區(qū)間。

TT

錯(cuò)解：2卜兀4——2x42勿T+1

4

剖析：概念混淆，錯(cuò)因在于把復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與基本函數(shù)的單調(diào)性概念相混淆。應(yīng)化成

y=cos（2x-±）求解正確答案：（％乃+2,人乃+―^）（ZeZ）

488

反思:對(duì)于函數(shù)丁=Asin（5+Q）來(lái)說(shuō)，當(dāng)。>0時(shí)，由于內(nèi)層函數(shù)〃是單調(diào)遞增的，

所以函數(shù)丁=45皿5+9）的單調(diào)性與函數(shù)丁=5山》的單調(diào)性相同，故可完全按照函數(shù)

y=sinx的單調(diào)性來(lái)解決；但當(dāng)。<0時(shí)，，內(nèi)層函數(shù)”是單調(diào)遞減的，所以函數(shù)

y=Asin（tur+°）的單調(diào)性與函數(shù)y=sinx的單調(diào)性正好相反，就不能按照函數(shù)y=sinx的單

調(diào)性來(lái)解決。一般來(lái)說(shuō)，應(yīng)根據(jù)誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)化為正數(shù)加以解決，對(duì)于帶有絕對(duì)值的三角

函數(shù)宜根據(jù)圖象從直觀上加以解決。

易錯(cuò)點(diǎn)35圖象變換的方向把握不準(zhǔn)

【問(wèn)題］：要得到函數(shù)y=sinx的圖象，只需將函數(shù)y=cos（x—1）的圖象（）

15

TTITTTIT

A向右平移上個(gè)單位B向右平移乙個(gè)單位C向左平移上個(gè)單位D向左平移七個(gè)單位

6336

錯(cuò)解一：C

剖析：知識(shí)殘缺，未將函數(shù)化成同名函數(shù)。

錯(cuò)解二：D

剖析：基礎(chǔ)不牢，弄錯(cuò)了平移方向。

正確答案：A

反思：圖像的平移變換，伸縮變換因先后順序不同平移的量不同，

y=sinxfy=sin(x+°)(卬>0)平移的量為|同，

\（p\

y=sinxfy=siny=sin（wx+夕）（卬>0）平移的量為二。

w

易錯(cuò)點(diǎn)36設(shè)有挖掘題目中的確隱含條件，忽視對(duì)角的范圍的限制而造成增解現(xiàn)象。|

7

例、已知ae((),乃)，sin二+cosa=百求tana的值。

剖析：本題可依據(jù)條件sina+cosa=—,利用sina-cosa=±J1-2sinacosa可解得

13

sina-cosa的值，再通過(guò)解方程組的方法即可解得sina、cosa的值。但在解題過(guò)程中易忽視

sinacosaV。這個(gè)隱含條件來(lái)確定角a范圍，主:觀認(rèn)為sina-cosa的值可正可負(fù)從而造成增解。

7120

解析：據(jù)已知sina+cosa=—(1)有2sinacosa=------<0,又由于。￡(0,九)，故有

1316917

.____________*

sincr>0,cosa<0,從而sina-cosa>0即sina-cos。=Jl-2sinacosa=一(2)聯(lián)立

13

,?12512

(1)(2)可得sina=—,cosa--，可得tana=一?

13135

反思：在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值過(guò)程中，角的范圍的確定一直是其重點(diǎn)和難點(diǎn)，在解題過(guò)程中要注意在已有條件

的基礎(chǔ)上挖掘隱含條件如：結(jié)合角的三角函數(shù)值的符號(hào)、三角形中各內(nèi)角均在((),〃)區(qū)間內(nèi)、與己知角的三角

函數(shù)值的大小比較結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性等。本題中實(shí)際上由單位圓中的三角函數(shù)線可知若ae

加。

有sina+cosa>1,故必有ae

【練】已知sine+cose='，ee（0,7r）,

貝ijcote的值是

3

答案：一一

4

易錯(cuò)點(diǎn)37由圖象求函數(shù)解析式忽略細(xì)節(jié)

16

【問(wèn)題】：如圖，某地一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)

y=Asin(<yx+°)+B(A>0,iw>0).

（1）求這段時(shí)間的最大溫差.

⑵寫出這段曲線的函數(shù)解析式。

剖析：解此類題前兩步一般不會(huì)錯(cuò)。但在求。時(shí)，多數(shù)學(xué)生由于點(diǎn)的位置取得不當(dāng)，致使求得的

夕值不好取舍。

7T37r

正確答案：(1)20C(2)j=10sin(-x+—)+20

反思：由三角函數(shù)圖象求y=Asin（m+°）（A>0,（y>0）的解析式一般分三個(gè)步驟：①由函

數(shù)的最大（小）值求振幅A；②由函數(shù)的周期求③由曲線上的最高（最低）點(diǎn)求初相夕的

一般解，但。有范圍限制時(shí)一定要注意在指定的范圍內(nèi)求解。

易錯(cuò)點(diǎn)38：對(duì)正弦型函數(shù)y=Asin（<wx+°）及余弦型函數(shù)y=Acos（ox+°）的性質(zhì)：如圖象、對(duì)稱軸、

對(duì)稱中心易遺忘或沒有深刻理解其意義.

.c八冗

例、如果函數(shù)丁=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x=■對(duì)稱，那么a等于（）

A.B.—C.1D.-1

剖析：數(shù)>=Asin（GX+。）的對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)圖象的波峰頂或波谷底，且與y軸平行，而對(duì)稱中心是圖象

71

與x軸的交點(diǎn)，學(xué)生對(duì)函數(shù)的對(duì)稱性不理解誤認(rèn)為當(dāng)了=一一時(shí)，y=0,導(dǎo)致解答出錯(cuò)。

8

解析：（法一）函數(shù)的解析式可化為y=J