第1章三角形的證明（全章復習與鞏固）（培優篇）一、單選題1．樂樂發現等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則這個等腰三角形底角的度數為（

）A．50° B．65° C．65°或25° D．50°或40°2．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，過點A作AD⊥BA交BC于點D，過點D作DE⊥BC交AC于點E，則AE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分線BE交AD于點F，AG平分∠DAC，給出下列結論：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．其中正確的結論是（

）A．②③④ B．①③④C．①②④ D．①②③4．如圖，已知點C為線段AB的中點，．按下列步驟作圖：（1）分別以點A和C為圓心，以AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點D；（2）作射線AD，并在射線AD上截取；（3）連接CE，設CE的中點為F，連接BF．則BF的長為（

）A． B． C． D．5．如圖，P是等邊三角形內的一點，且，，，以為邊在外作，連接，則以下結論中不正確的是（

）A． B． C． D．6．如圖，直線是中邊的垂直平分線，點是直線上的一動點．若，，，則周長的最小值是（

）A．9 B．10 C．10.5 D．117．如圖，將紙片沿折疊使點落在點處，且平分，平分，若，則的大小為A．44° B．41° C．88° D．82°8．如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，點E、F分別是AD、AB上的動點，若∠BAC＝50°，當BE+EF的值最小時，∠AEB的度數為（）A．105° B．115° C．120° D．130°9．如圖，一次函數的圖像與x軸、y軸分別交于點A、B，把直線繞點B順時針旋轉交x軸于點C，則線段長為（

）A． B． C． D．10．如圖，在直角三角形中，，的角平分線相交于點O，過點O作交的延長線于點F，交于點G，下列結論：①；②；③；④．其中正確的結論是（

）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④二、填空題11．a，b，c為直角三角形的三邊，且c為斜邊，h為斜邊上的高．下列說法中：①能組成三角形；②能組成三角形；③c+h，a+b，h能組成直角三角形；④能組成直角三角形；正確的序號是_________．12．如圖，過邊長為2的等邊的邊上一點，作于點，為延長線上一點，當時，連接交邊于點，則的長為______.13．在直角坐標系中，已知，在的邊上取兩點(點是不同于點的點)，若以為頂點的三角形與全等，則符合條件的點的坐標為________．14．如圖，△ACE中，AC＝AE，延長EC至點B，BD⊥AE交EA的延長線于點D，若∠BAD＝∠CAE，AB＝6，AE＝2，則AD的長為________.15．如圖，在中，平分，則______．16．如圖，長方形中，，點是射線上一點，將沿折疊得到，點恰好落在的垂直平分線上（直線也是的垂直平分線），線段的長為___________．17．如圖，在長方形中，，，點在上，連接．當時，的長為___________；在點的運動過程中，的最小值為___________．18．如圖：在中，，，，是的角平分線．（1）則______；（2）若點是線段上的一個動點，從點以每秒的速度向運動______秒鐘后是直角三角形．三、解答題19．如圖，點P是的外角的平分線上的一點，垂直平分，，求證：．20．在等腰直角中，，P是線段上一點（與點B、C不重合），連接，延長至點Q，使得，過點Q作于點H，交于點M．(1)求證：；(2)若，求的長；(3)用等式表示線段與之間的數量關系，并證明．21．已知：在中，點在上，連接，點在上，且點為與邊垂直平分線的交點．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，過點作于點，，若，，求的面積？22．已知：如圖，在中，，于點，是上的一動點，點在直線上，且．(1)求證：．(2)如圖1，求證：．(3)如圖2，如果，，，當正好平分時，直接寫出的面積為___________．23．如圖，在中，，，，過點作交延長線于，若是的倍．(1)求證：；(2)探究和的數量關系并證明；(3)求出的值（用含的式子表示）．24．已知點是平面直角坐標系中第一象限的點，點，分別是軸負半軸和軸正半軸上的點，連接，，．如圖①，若，，且，，在同一條直線上，求的值；如圖②，當，時，求的值；如圖③，點、、在一條直線上，點是上一點，．若，直接寫出的值為______．參考答案1．C【分析】在等腰△ABC中，AB=AC，BD為腰AC上的高，∠ABD=40°，討論：當BD在ABC內部時，如圖1，先計算出∠BAD=50°，再根據等腰三角形的性質和三角形內角和可計算出∠ACB；當BD在△ABC外部時，如圖2，先計算出∠BAD=50°，再根據等腰三角形的性質和三角形外角性質可計算出∠ACB.解：在等腰△ABC中，AB=AC，BD為腰AC上的高，∠ABD=40°，當BD在△ABC內部時，如圖1，∵BD是高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°-40°=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=(180°-50°)=65°；當BD在△ABC外部時，如圖2，∵BD是高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°-40°=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠BAD=∠ABC+∠ACB,∴∠ACB=∠BAD=25°，綜上，這個等腰三角形底角的度數為65°或25°.故選：C.【點撥】此題考查等腰三角形的性質，三角形內角和定理，解題中注意討論思想的運用，這是解此題的關鍵.2．B【分析】根據等腰三角形的性質可得，根據含角的直角三角形的性質可得的長，再求出的長，即可確定的長．解：，，，，，設，則，根據勾股定理，可得，解得或（舍去），，，，，，，設，則，根據勾股定理，得，或（舍去），，，故選：B．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質，勾股定理、直角三角形的性質，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．3．C【分析】①根據同角的余角相等求出∠BAD＝∠C；②再根據等角的余角相等可以求出∠AEF＝∠AFE；③只有∠C＝30°時∠EBC＝∠C；④根據等腰三角形三線合一的性質求出AG⊥EF．解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠C＋∠ABC＝90°，∠BAD＋∠ABC＝90°，∴∠BAD＝∠C，故①正確；∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠ABE＋∠AEF＝90°，∠CBE＋∠BFD＝90°，∴∠AEF＝∠BFD，又∵∠AFE＝∠BFD（對頂角相等），∴∠AEF＝∠AFE，故②正確；∵∠ABE＝∠CBE，∴只有∠C＝30°時∠EBC＝∠C，故③錯誤；∵∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∵AG平分∠DAC，∴AG⊥EF，故④正確．綜上所述，正確的結論是①②④．故選：C．【點撥】本題考查了直角三角形的性質，等腰三角形三線合一的性質，同角的余角相等的性質以及等角的余角相等的性質，熟記各性質并準確識圖理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵．4．C【分析】根據作圖可知，為等邊三角形，再結合可計算，即可判斷，然后在和中，由勾股定理依次計算CE、BF的長即可．解：如下圖，連接CD，∵C為線段AB的中點，，∴，∵以點A和C為圓心，以AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，∴，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴在中，，，，∵F為CE的中點，∴，∴在中，．故選：C．【點撥】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、勾股定理等知識，理解題意并綜合運用相關知識是解題關鍵．5．C【分析】根據△ABC是等邊三角形，得出∠ABC=60°，根據△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判斷A；根據勾股定理的逆定理即可判斷B；根據△BPQ是等邊三角形，△PCQ是直角三角形即可判斷D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判斷C．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，所以A正確，不符合題意；PQ=PB=4，PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，所以B正確，不符合題意；∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，∴△BPQ是等邊三角形，∴∠BPQ=60°，∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，所以D正確，不符合題意；∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，∵PC=5，QC=PA=3,∴PC≠2QC，∵∠PQC=90°，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以C不正確，符合題意．故選：C．【點撥】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質、等邊三角形的性質、勾股定理的逆定理，解決本題的關鍵是綜合應用以上知識．6．A【分析】根據垂直平分線的性質，所以周長.解：∵直線m是中邊的垂直平分線,∴∴周長∵兩點之間線段最短∴∴的周長∵，∴周長最小為故選：A【點撥】本題主要考查線段垂直平分線的性質定理，以及兩點之間線段最短.做本題的關鍵是能得出，做此類題的關鍵在于能根據題設中的已知條件，聯系相關定理得出結論，再根據結論進行推論．7．C【分析】由題意得，那么．如圖，連接．根據三角形外角的性質，得，，那么．欲求，需求．由三角形內角和定理得．由平分，平分，得，，那么．由，得，從而解決此題．解：如圖，連接．，．平分，平分，，．．．由題意得：．．，，．故選：C．【點撥】本題主要考查三角形內角和定理、角平分線的定義、圖形折疊的性質，三角形外角的性質，熟練掌握三角形內角和定理、角平分線的定義、圖形折疊的性質，三角形外角的性質是解決本題的關鍵．8．B【分析】過點B作BB′⊥AD于點G，交AC于點B′，過點B′作B′F′⊥AB于點F′，與AD交于點E′，連接BE′，證明AD垂直平分BB′，推出BE＝BE′，由三角形三邊關系可知，，即BE+EF的值最小為，通過證明△ABE′≌△AB′E′，推出∠AE′B＝AE′B′，因此利用三角形外角的性質求出AE′B′即可．解：過點B作BB′⊥AD于點G，交AC于點B′，過點B′作B′F′⊥AB于點F′，與AD交于點E′，連接BE′，如圖：此時BE+EF最小．∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC＝50°，∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，∵BB′⊥AD，∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，在△ABG和△AB′G中，，∴△ABG≌△AB′G（ASA），∴BG＝B′G，AB＝AB′，∴AD垂直平分BB′，∴BE＝BE′，在△ABE′和△AB′E′中，，∴△ABE′≌△AB′E′（SSS），∴∠AE′B＝AE′B′，∵AE′B′＝∠BAD+AF′E′＝25°+90°=115°，∴∠AE′B＝115°．即當BE+EF的值最小時，∠AEB的度數為115°．故選B．【點撥】本題考查垂直平分線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的定義，三角形外角的性質，三角形三邊關系等知識點，解題的關鍵是找出BE+EF取最小值時點E的位置．9．A【分析】根據一次函數表達式求出點A和點B坐標，得到△OAB為等腰直角三角形和AB的長，過點C作CD⊥AB，垂足為D，證明△ACD為等腰直角三角形，設CD=AD=x，結合旋轉的度數，用兩種方法表示出BD，得到關于x的方程，解之即可．解：∵一次函數的圖像與x軸、y軸分別交于點A、B，令x=0，則y=，令y=0，則x=，則A（，0），B（0，），則△OAB為等腰直角三角形，∠ABO=45°，∴AB==2，過點C作CD⊥AB，垂足為D，∵∠CAD=∠OAB=45°，∴△ACD為等腰直角三角形，設CD=AD=x，∴AC==x，∵旋轉，∴∠ABC=30°，∴BC=2CD=2x，∴BD==x，又BD=AB+AD=2+x，∴2+x=x，解得：x=+1，∴AC=x=（+1）=，故選A．【點撥】本題考查了一次函數與坐標軸的交點問題，等腰直角三角形的判定和性質，直角三角形的性質，勾股定理，二次根式的混合運算，知識點較多，解題的關鍵是作出輔助線，構造特殊三角形．10．A【分析】根據角平分線的定義、三角形外角的性質與直角三角形性質可以判斷①是否正確；延長交于H，通過證明，，利用全等的性質來判斷②是否正確；通過證明，利用性質判斷③是否正確；根據同高的兩個三角形的面積比等于它們的底邊長之比，直接判斷④是否正確；從而得解．解：的角平分線相交于點O，，，===故①正確；延長交于H，如圖所示：，又，，，，，，，，故②正確；，，，，，，又，，，，，故③錯誤；同高的兩個三角形面積之比等于底邊長之比，，故④正確；因此正確的有：①②④；故選A．【點撥】此題是直角三角形的綜合題，主要考查了直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形外角的性質、同高的兩個三角形面積之比等于底邊長之比等知識，熟練運用這些性質進行推理是解題的關鍵．11．②③##③②【分析】根據勾股定理的逆定理和三角形的三邊關系進行逐個分析即可．解：，，是的三邊，且，是斜邊上的高，①，不符合三角形的兩邊之和大于第三邊；∴不能組成三角形，①錯誤；②∵，；又、、能組成三角形，，；，，，組成三角形（這里明顯是最長邊）；，，能組成三角形，②正確；③，（直角三角形面積兩直角邊乘積的一半斜邊和斜邊上的高乘積的一半），，，，，，，、、能組成直角三角形；③正確；④不符合三角形的兩邊之和大于第三邊；，，不能組成直角三角形，④錯誤．正確的序號是②③．故答案為：②③．【點撥】本題考查了勾股定理的逆定理，能熟記勾股定理的逆定理的內容是解此題的關鍵，注意：如果一個三角形的三邊、、滿足，那么這個三角形是直角三角形．先求出兩小邊的平方和，再求出最長邊的平方，看看是否相等即可．12．1【分析】過點P作交于點F，根據題意可證是等邊三角形，根據等腰三角形三線合一證明，根據全等三角形判定定理可證，，進而證明，計算求值即可．解：過點P作交于點F，如圖，∴，，是等邊三角形，∴，∵，∴；∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴；∴，，∵，，∴，∵，故答案為：【點撥】本題考查了平行線性質、等邊三角形性質、全等三角形判定與性質，掌握全等三角形判定定理是解題關鍵．13．或或或【分析】根據全等三角形的性質，分四種情況討論，①如圖1，過點作，交于點，；②如圖2，由①可知，點位置互換，亦滿足題意，此時，，③如圖3，作的平分線交于點，在上截取，連接，；④如圖4，在上截取，取的中點，則，由得出的坐標．解：①如圖1，過點作，交于點，過點作，垂足為，連接，此時，∵，∴是的中位線，∴，∴，②如圖2，由①可知，點位置互換，亦滿足題意，此時，，③如圖3，作的平分線交于點，在上截取，連接，此時，過點作，垂足為，垂足為，則，由三角形面積公式得，，即，，∴，∴點，④如圖4，在上截取，取的中點，則，過點作，垂足為，在中，，，∴，∴點，故答案為：或或或．【點撥】本題考查了全等三角形的性質，坐標與圖形，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理，分類討論是解題的關鍵．14．2【分析】延長AD至點G，使得AD=DG，連接BG，即有BD垂直平分AG，則有AB=BG，∠BAD=∠BGD；再證明，則有∠GBE=∠ACE，根據AC=AE，有∠ACE=∠AEC，進而有∠GBE=∠AEC，則BG=GE，即可求解．解：延長AD至點G，使得AD=DG，連接BG，如圖，∵BD⊥AG，AD=DG，∴BD垂直平分AG，∴AB=BG，∵AB=6，∴BG=6，∴∠BAD=∠BGD，∵∠BAD=∠CAE，∴∠CAE=∠BGD，∴，∴∠GBE=∠ACE，∵AC=AE，∴∠ACE=∠AEC，∴∠GBE=∠AEC，∴在△GBE中，有BG=GE，∵BG=6，∴GE=6，∵AE=2，AD=DG，GD+AD+AE=GE，∴AD=2，故答案為：2．【點撥】本題考查了垂直平分線的性質、平行的判定與性質、等角對等邊以及等邊對等角的知識，構造輔助線BG，證明BG=GE是解答本題的關鍵．15．【分析】作出如圖的輔助線，證明，推出，，再證明是垂直平分線，利用勾股定理和面積法求得和，再求得的長，再利用面積法求得，據此求解即可．解：在上取點E，使，作于點F，連接交于點G，如圖，∵平分，∴又∵，∴，∴，，∴，∴，即，∴，∵，∴，∵平分，，∴是的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∵平分，∴點D到和邊上的距離相等，∴，即，∴．故答案為：．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用面積法解決問題．16．或15【分析】設直線與交于點，分兩種情況討論：當點在線段上時，設，設；當點在射線上時，設，分別利用勾股定理求解即可．解：根據題意，四邊形為長方形，直線是、的垂直平分線，則，，設直線與交于點，可分兩種情況討論：①如下圖，當點在線段上時，設，在中，∵，，，∴，∵，∴，∴在中，可有，即有，解得，即；②如下圖，當點在射線上時，設，在中，∵，，，∴，∵，∴，∴在中，可有，即有，解得，即．綜上所述，線段的長為或15．故答案為：或15．【點撥】本題主要考查了折疊的性質、垂直平分線、勾股定理等知識，解題關鍵是熟練運用分類討論的思想分析問題．17．

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##【分析】當時在中，由勾股定理列出的方程便可求得；在線段下方作，過點E作于點F，連接，求出此時的的長度便可．解：∵四邊形是矩形，，，∴，，，∴，當時，則，∵，∴，∴；在線段下方作，過點E作于點F，連接，∴，∴，當D、E、F三點共線時，的值最小，此時，∴，∴，，∴，∴的最小值為：，∴的最小值為．故答案為：；．【點撥】本題考查了長方形的性質，勾股定理，等腰直角三角形的性質與判定，垂線段最短性質，關鍵是作輔助線構造的最小值．18．

6或【分析】（1）過點作于，利用角平分線的性質得，再根據面積法可得答案；（2）分或兩種情形，分別畫出圖形，利用勾股定理可得答案．解：（1）如圖，過點作于，在中，由勾股定理得，，，，是的角平分線，，設，則，解得，即，故答案為：；（2）如圖，當時，則，，，，設秒后是直角三角形，則，在中，由勾股定理得，，解得，當時，由（1）得，，，，，故答案為：6或．【點撥】本題主要考查了角平分線的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質等知識，運用分類討論思想是解題的關鍵．19．見分析【分析】作于點H，由角平分線的性質得，由線段的垂直平分線的性質得，即可證明得即可．解：證明：如圖：作于點H，∵是的平分線，，∴，∵垂直平分，∴，在和中，，∴，∴．【點撥】本題主要考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等、線段的垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等、全等三角形的判定與性質等知識，正確作出輔助線是解題的關鍵．20．(1)見分析 (2) (3)，證明見分析【分析】（1）由直角三角形兩個銳角互余即可得出，，從而得出；（2）連接，．由題意易得出為線段的垂直平分線，即得出，，，從而由勾股定理可求出．進而易證，得出，再根據勾股定理可求出．又易證，即得出，從而由求解即可；（3）作于點E，易證，即得出．再根據是等腰直角三角形，即得出，從而得出．解：（1）∵，，∴，，∴；（2）如圖，連接，．∵，，∴為線段的垂直平分線，∴，，，∴．又∵，，∴，∴，∴．∵，，∴，∴，∴；（3）．證明如下，如圖，作于點E，由（2）可知，又∵，∴，∴．∵是等腰直角三角形，∴．∵，∴，∴．【點撥】本題考查等腰三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理．正確作出輔助線是解題的關鍵．21．(1)見詳解 (2)的面積為5【分析】（1）連接、，由題意易得，則有，，，然后根據三角形內角和及角的和差關系可求證；（2）作，使，點M在直線上，過點D作于點N，則，先根據得到和，再結合（1）的結論證明，進一步證明以及，最后根據“”證明，然后問題可求解．解：（1）證明：連接、，如圖所示：∵點為與邊垂直平分線的交點，∴，∴，，，在中，，∴，即，∴，∵，∴；（2）解：作，使，點M在直線上，過點D作于點N，則，如圖所示：∵，∴，∴，由（1）得，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點撥】本題主要考查等腰三角形的性質與判定、線段垂直平分線的性質及全等三角形的性質與判定，熟練掌握等腰三角形的性質與判定、線段垂直平分線的性質及全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．22．(1)見分析 (2)見分析 (3)8【分析】（1）根據等腰三角形的性質，得出，根據，得出，根據三角形的外角性質得出，即可證明結論；（2）根據已知條件先證明，得出，證明，根據，得出，得出，即可證明結論；（3）過點E作于點G，連接，