第02講探索三角形全等的條件【學習目標】1．理解和掌握全等三角形判定方法“邊角邊”、“角邊角”、“角角邊”、“邊邊邊”“HL”定理.2．能把證明一對角或線段相等的問題，轉化為證明它們所在的兩個三角形全等.【基礎知識】一．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對應相等的兩個三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊．二．直角三角形全等的判定1、斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應該抓住“直角”這個隱含的已知條件．三．全等三角形的判定與性質（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．四．全等三角形的應用（1）全等三角形的性質與判定綜合應用用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質和判定往往是綜合在一起應用的，這需要認真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯系．（2）作輔助線構造全等三角形常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個三角形中是解決中線問題的基本規律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補短法”，這些問題經常用到全等三角形來證明．（3）全等三角形在實際問題中的應用一般方法是把實際問題先轉化為數學問題，再轉化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉化為三角形中的邊角關系是關鍵．【考點剖析】一．全等三角形的判定（共5小題）1．（真題?無錫期末）如圖，點B，F，C，E在一條直線上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加條件后，可以判定△ABC≌△DEF．2．（真題?宜興市期末）如圖，AC＝AD，∠DAC＝∠EAB，要使△ABC≌△AED，應添加的條件是．（只需寫出一個條件即可）3．（2022?長安區一模）已知：點B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求證：△ABC≌△DEF．4．（真題?蘇州期末）如圖，在四邊形ABCD中，E是對角線AC上一點，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求證：△ADE≌△CAB．5．（真題?連云港期末）如圖，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要證BC＝CD，證明中判定兩個三角形全等的依據是（）A．角角角 B．角邊角 C．邊角邊 D．角角邊二．直角三角形全等的判定（共4小題）6．（真題?姑蘇區期末）下列說法中正確的個數有（）①在同一平面內，不相交的兩條直線必平行；②同旁內角互補；③（a﹣3b）2＝a2﹣9b2；④（x﹣2）0＝1；⑤有兩邊及其一角對應相等的兩個直角三角形全等；⑥經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線垂直．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個7．（真題?郫都區期末）如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，則能直接判斷Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（）A．HL B．ASA C．SAS D．SSS8．（真題?高淳區期中）如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需補充條件，就可以根據“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．9．（2020?黑龍江）如圖，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．三．全等三角形的判定與性質（共8小題）10．（真題?蘇州期末）如圖，已知AD＝AB，∠C＝∠E，∠CDE＝55°，則∠ABE的度數為（）A．155° B．125° C．135° D．145°11．（真題?河東區期末）如圖，點D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點，連接DE并延長至F，使EF＝DE，連接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，則BD的長等于（）A．1 B．2 C．3 D．512．（真題?桐柏縣期末）如圖，已知AB⊥CD，AB＝CD，E、F是AD上的兩個點，CE⊥AD，BF⊥AD，若AD＝a，BF＝b，CE＝c，則EF的長為（）A．a+b﹣c B．b+c﹣a C．a+c﹣b D．a﹣b13．（真題?阜寧縣期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4cm，CD⊥AB，在AC上取一點E，使EC＝4cm，過點E作EF⊥AC交CD的延長線于點F．若AE＝1cm，則EF＝cm．14．（真題?濱海縣期末）如圖，一個正方形擺放在桌面上，那么這個正方形的邊長為．15．（2022?南通模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分別為D，E，BD，CE相交于點O，且∠BAE＝∠CAD．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若∠BOC＝140°，求∠OBC的度數．16．（真題?淮安區期末）如圖，已知AB＝CB，AD＝CD．求證：∠A＝∠C．17．（真題?鼓樓區校級期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求證：∠ABD＝∠ACE．四．全等三角形的應用（共4小題）18．（真題?武城縣期末）如圖所示，某同學把一塊三角形的玻璃不小心打碎成了三塊，現在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶（）去．A．① B．② C．③ D．①和②19．（真題?沛縣期末）如圖，小明用“X”型轉動鉗測量圓柱形小口容器壁的厚度．已知OA＝OD，OB＝OC，AB＝6cm，EF＝8cm，則該容器壁的厚度為cm．20．（2019秋?邗江區校級月考）如圖，要測量河兩岸相對兩點A、B間的距離，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延長線于點E，垂足為點D．（DE≠CD）（1）線段的長度就是A、B兩點間的距離（2）請說明（1）成立的理由．21．（真題?陳倉區期末）為了解學生對所學知識的應用能力，某校老師在七年級數學興趣小組活動中，設置了這樣的問題：因為池塘兩端A，B的距離無法直接測量，請同學們設計方案測量A，B的距離．甲、乙兩位同學分別設計出了如下兩種方案：甲：如圖①，先在平地上取一個可以直接到達點A，B的點O，連接AO并延長到點C，連接BO并延長到點D，使CO＝AO，DO＝BO，連接DC，測出DC的長即可．乙：如圖②，先確定直線AB，過點B作直線BE，在直線BE上找可以直接到達點A的一點D，連接DA，作DC＝DA，交直線AB于點C，最后測量BC的長即可．（1）甲、乙兩同學的方案哪個可行？（2）請說明方案可行的理由．【過關檢測】一、單選題1．（2021·江蘇無錫·八年級期末）下列條件中，能判斷兩個直角三角形全等的是（）A．有兩條邊分別相等 B．有一個銳角和一條邊相等C．有一條斜邊相等 D．有一直角邊和斜邊上的高分別相等2．（2021·江蘇南京·八年級期末）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝8，下列條件能得到△ABC≌△DEF的是（）A．∠D＝60°，∠E＝50°，DF＝8 B．∠D＝60°，∠F＝50°，DE＝8C．∠E＝50°，∠F＝70°，DE＝8 D．∠D＝60°，∠F＝70°，EF＝83．（2020·江蘇八年級月考）如圖，，，如果根據“”判定，那么需要補充的條件是（）A． B． C． D．4．（2020·江蘇泰州中學附屬初中八年級月考）如圖，OC平分∠AOB，D、E、F分別是OC、OA、OB上的點，則添加下列哪個條件不能使△ODE與△ODF全等（）A．DE=DF B．OE=OF C．∠ODE=∠ODF D．∠AED=∠BFD5．（2021·江蘇八年級期末）如圖，已知AC＝BD，添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△BAD的是（）A．∠ABC＝∠BAD B．∠C＝∠D＝90° C．∠CAB＝∠DBA D．CB＝DA6．（2020·南京市溧水區和鳳初級中學八年級月考）用直尺和圓規作一個角等于已知角，如圖，能得出的依據是（）A． B． C． D．二、填空題7．（2021·江蘇八年級月考）如圖，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，點C的坐標為（﹣2，0），點B的坐標為（1，5），則A點的坐標是_____．8．（2021·江蘇八年級專題練習）如圖，△ABC≌△DEF，BE＝5，BF＝1，則CF＝_____．9．（2021·江蘇南京·八年級期末）如圖，△ACD是等邊三角形，若AB＝DE，BC＝AE，∠E＝115°，則∠BAE＝_____°．10．（2021·江蘇）如圖，，點、、、在同一條直線上，、交于點，，則的度數是______°．11．（2019·常熟市第一中學八年級月考）如圖，已知，平分，且于點D，則________．12．（2019·江蘇八年級月考）如圖所示，點O為AC的中點，也是BD的中點，那么AB與CD的關系是________．13．（2019·江蘇八年級月考）在△ABC和△DEF，給出下列四組條件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的條件共有__________組14．（2019·江蘇八年級月考）如圖所示，AD是△ABC中BC邊上的中線，若AB=2，AC=6，則AD的取值范圍是__________三、解答題15．（2020·宜興市樹人中學八年級月考）已知和位置如圖所示，，，．（1）試說明：；（2）試說明：．16．（2021·江蘇八年級期中）如圖，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．求證：AF＝DE．17．（2020·蘇州市吳江區青云實驗中學八年級月考）如圖①，平分，可得．（1）如圖②，平分，參照圖①，過點D作于點交的延長線于點F，求證：；（2）如圖③，在四邊形中，，過點D作，垂足為點E，若，則的值是多少？（用含a的代數式表示）18．（2019·江蘇八年級月考）如圖（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E．（1）求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．（2）當直線MN繞點C旋轉到圖（2）的位置時，DE、AD、BE又怎樣的關系？并加以證明．19．（2021·江蘇八年級專題練習）如圖，，、分別平分、，與交于點O．（1）求的度數；（2）說明的理由．20．（2019·江蘇八年級月考）在中，，點D是直線BC上一點（不與重合），以AD為一邊在AD的右側作，使，連接CE．（1）如圖1，當點在線段上，如果，則_______度；（2）設，．①如圖2，當點在線段上移動，則之間有怎樣的數量關系？請說明理由；②當點在直線上移動，則之間有怎樣的數量關系？請直接寫出你的結論．第02講探索三角形全等的條件【學習目標】1．理解和掌握全等三角形判定方法“邊角邊”、“角邊角”、“角角邊”、“邊邊邊”“HL”定理.2．能把證明一對角或線段相等的問題，轉化為證明它們所在的兩個三角形全等.【基礎知識】一．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對應相等的兩個三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊．二．直角三角形全等的判定1、斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應該抓住“直角”這個隱含的已知條件．三．全等三角形的判定與性質（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．四．全等三角形的應用（1）全等三角形的性質與判定綜合應用用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質和判定往往是綜合在一起應用的，這需要認真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯系．（2）作輔助線構造全等三角形常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個三角形中是解決中線問題的基本規律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補短法”，這些問題經常用到全等三角形來證明．（3）全等三角形在實際問題中的應用一般方法是把實際問題先轉化為數學問題，再轉化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉化為三角形中的邊角關系是關鍵．【考點剖析】一．全等三角形的判定（共5小題）1．（真題?無錫期末）如圖，點B，F，C，E在一條直線上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加條件BC＝EF或BF＝EC或AB＝DE或AC＝DF后，可以判定△ABC≌△DEF．【分析】先根據平行線的性質得到∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，然后根據全等三角形的判定方法添加條件．【解答】解：∵AB∥ED，∴∠B＝∠E，∵AC∥FD，∴∠ACB＝∠DFE，∴當添加BC＝EF（或BF＝EC）時，根據“ASA”可判定△ABC≌△DEF；當添加AB＝DE（或AC＝DF）時，根據“AAS”可判定△ABC≌△DEF；綜上所述，當添加條件BC＝EF或BF＝EC或AB＝DE或AC＝DF后，可以判定△ABC≌△DEF．故答案為：BC＝EF或BF＝EC或AB＝DE或AC＝DF．【點評】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關鍵．選用哪一種判定方法，取決于題目中的已知條件．2．（真題?宜興市期末）如圖，AC＝AD，∠DAC＝∠EAB，要使△ABC≌△AED，應添加的條件是AB＝AE（或∠B＝∠E或∠C＝∠D）．（只需寫出一個條件即可）【分析】先證明∠BAC＝∠EAD，由于AC＝AD，則根據全等三角形的判定方法可添加條件．【解答】解：∵∠DAC＝∠EAB，∴∠DAC+BAD＝∠EAB+∠BAD，即∠BAC＝∠EAD，∵AC＝AD，∴當添加AB＝AE時，根據“SAS”可判斷△ABC≌△AED；當添加∠B＝∠E時，根據“AAS”可判斷△ABC≌△AED；當添加∠C＝∠D時，根據“ASA”可判斷△ABC≌△AED，∴要使△ABC≌△AED，應添加的條件是AB＝AE（或∠B＝∠E或∠C＝∠D）．故答案為：AB＝AE（或∠B＝∠E或∠C＝∠D）．【點評】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關鍵．選用哪一種判定方法，取決于題目中的已知條件．3．（2022?長安區一模）已知：點B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求證：△ABC≌△DEF．【分析】先利用平行線的性質得到∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，再證明BC＝EF，然后根據“ASA”可判斷△ABC≌△DEF．【解答】證明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）．【點評】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關鍵．選用哪一種判定方法，取決于題目中的已知條件．4．（真題?蘇州期末）如圖，在四邊形ABCD中，E是對角線AC上一點，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求證：△ADE≌△CAB．【分析】由等角對等邊可得AC＝AD，再由平行線的性質可得∠DAE＝∠ACB，由∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，得∠AED＝∠B，從而利用AAS可判定△ADE≌△CAB．【解答】證明：∵∠ADC＝∠ACD，∴AD＝AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∵∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠B，在△ADE與△CAB中，，∴△ADE≌△CAB（AAS）．【點評】本題主要考查全等三角形的判定，解答的關鍵是由已知條件得出相應的角或邊的關系．5．（真題?連云港期末）如圖，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要證BC＝CD，證明中判定兩個三角形全等的依據是（）A．角角角 B．角邊角 C．邊角邊 D．角角邊【分析】已知兩角對應相等，且有一公共邊，利用全等三角形的判定定理進行推理即可．【解答】解：在△ABC與△ADC中，，則△ABC≌△ADC（ASA）．∴BC＝CD．故選：B．【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．二．直角三角形全等的判定（共4小題）6．（真題?姑蘇區期末）下列說法中正確的個數有（）①在同一平面內，不相交的兩條直線必平行；②同旁內角互補；③（a﹣3b）2＝a2﹣9b2；④（x﹣2）0＝1；⑤有兩邊及其一角對應相等的兩個直角三角形全等；⑥經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線垂直．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】（1）根據平行線的定義解答；（2）根據平行線的性質解答；（3）根據完全平方公式解答；（4）根據零次冪的意義解答；（5）根據全等三角形的判定解答；（6）根據垂線公理解答．【解答】解：根據平行線的定義①正確；②錯，兩直線平行，同旁內角互補；③錯，（a﹣3b）2＝a2﹣6ab+9b2；④錯，當x﹣2≠0時，（x﹣2）0＝1；⑤正確，有兩邊及其一角對應相等的兩個直角三角形全等；⑥正確，根經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線垂直．故選：D．【點評】本題是一個概念判斷題，根據概念定義可以判斷．7．（真題?郫都區期末）如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，則能直接判斷Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（）A．HL B．ASA C．SAS D．SSS【分析】由“HL”可證Rt△ABD和Rt△CDB．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中，，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），故選：A．【點評】本題考查了直角三角形全等的判定，掌握直角三角形的判定方法是本題的關鍵．8．（真題?高淳區期中）如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需補充條件AB＝DE，就可以根據“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．【分析】根據直角三角形全等的判定方法解決此題．【解答】解：補充條件：AB＝DE．在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．故答案為：AB＝DE．【點評】本題主要考查直角三角形全等的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解決本題的關鍵．9．（2020?黑龍江）如圖，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件AB＝ED（答案不唯一），使Rt△ABC和Rt△EDF全等．【分析】根據全等三角形的判定解答即可．【解答】解：∵Rt△ABC和Rt△EDF中，∴∠BAC＝∠DEF＝90°，∵BC∥DF，∴∠DFE＝∠BCA，∴添加AB＝ED，在Rt△ABC和Rt△EDF中，∴Rt△ABC≌Rt△EDF（AAS），故答案為：AB＝ED（答案不唯一）．【點評】此題考查全等三角形的判定，關鍵是根據全等三角形的判定方法解答．三．全等三角形的判定與性質（共8小題）10．（真題?蘇州期末）如圖，已知AD＝AB，∠C＝∠E，∠CDE＝55°，則∠ABE的度數為（）A．155° B．125° C．135° D．145°【分析】利用AAS證明△ACD≌△AEB即可得出答案．【解答】解：在△ACD和△AEB中，，∴△ACD≌△AEB（AAS），∴∠ABE＝∠ADC，∵∠CDE＝55°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝180°﹣55°＝125°，∴∠ABE＝∠ADC＝125°，故選：B．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．11．（真題?河東區期末）如圖，點D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點，連接DE并延長至F，使EF＝DE，連接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，則BD的長等于（）A．1 B．2 C．3 D．5【分析】由FC∥AB得，∠DAE＝∠FCE，再利用AAS證明△DAE≌△FCE，得AD＝CF，從而解決問題．【解答】解：∵FC∥AB，∴∠DAE＝∠FCE，在△DAE與△FCE中，，∴△DAE≌△FCE（AAS），∴AD＝CF，∵CF＝3，∴AD＝CF＝3，又∵AB＝5，∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，故選：B．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，平行線的性質等知識，證明△DAE≌△FCE是解題的關鍵．12．（真題?桐柏縣期末）如圖，已知AB⊥CD，AB＝CD，E、F是AD上的兩個點，CE⊥AD，BF⊥AD，若AD＝a，BF＝b，CE＝c，則EF的長為（）A．a+b﹣c B．b+c﹣a C．a+c﹣b D．a﹣b【分析】由題意可證△ABF≌△CDE（AAS），可得BF＝DE＝b，CE＝AF＝c，可求EF的長．【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠C+∠D＝90°，∠A+∠D＝90°，∴∠A＝∠C，且AB＝CD，∠AFB＝∠CED，∴△ABF≌△CDE（AAS），∴BF＝DE＝b，CE＝AF＝c，∵AE＝AD﹣DE＝a﹣b，∴EF＝AF﹣AE＝c﹣（a﹣b）＝c﹣a+b，故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，熟練運用全等三角形的判定是本題的關鍵．13．（真題?阜寧縣期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4cm，CD⊥AB，在AC上取一點E，使EC＝4cm，過點E作EF⊥AC交CD的延長線于點F．若AE＝1cm，則EF＝5cm．【分析】由CD⊥AB，EF⊥AC就可以得出∠FEC＝∠ADC＝90°，就有∠A＝∠F，就可以得出△ABC≌△FCE，就有EF＝AC而求出結論．【解答】解：∵CD⊥AB，EF⊥AC，∴∠FEC＝∠ADC＝∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠A＝∠ACD+∠F＝90°，∴∠A＝∠F，∵BC＝EC＝4cm，在△ABC和△FCE中，，∴△ABC≌△FCE（AAS），∴AC＝FE，∵AC＝AE+EC，∴FE＝AE+EC，∵EC＝4cm，AE＝1cm，∴FE＝4+1＝5cm．故答案為：5．【點評】本題考查了垂直的性質的運用，直角三角形的性質的運用，全等三角形的判定與性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．14．（真題?濱海縣期末）如圖，一個正方形擺放在桌面上，那么這個正方形的邊長為．【分析】標注字母，根據正方形的性質可得AB＝AD，∠BAD＝90°，再根據同角的余角相等求出∠1＝∠3，然后利用“角角邊”字母△ABE和△DAF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE＝DF，再利用勾股定理列式計算即可得解．【解答】解：如圖，由正方形性質可得，AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，∵BE⊥AE，DF⊥AF，∴∠AEB＝90°，∠DFA＝90°，∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°，∴∠1＝∠3，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AE＝DF＝1，在Rt△ABE中，AB，即正方形的邊長為，故答案為：．【點評】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，利用三角形全等，把長度為1、2的邊轉化為一個直角三角形的兩直角邊是解題的關鍵．15．（2022?南通模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分別為D，E，BD，CE相交于點O，且∠BAE＝∠CAD．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若∠BOC＝140°，求∠OBC的度數．【分析】（1）由“AAS”可證△ABD≌△ACE；（2）由全等三角形的性質可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性質可得∠ABC＝∠ACB，即可求解．【解答】（1）證明：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∵AD⊥BD，AE⊥EC，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BOC＝140°，∴∠OBC＝∠OBC＝20°．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．16．（真題?淮安區期末）如圖，已知AB＝CB，AD＝CD．求證：∠A＝∠C．【分析】連接BD，利用邊邊邊證明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性質即可求解．【解答】證明：連接BD，在△ABD與△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠A＝∠C．【點評】此題主要考查了全等三角形的性質與判定，此題主要利用邊邊邊判定三角形全等．17．（真題?鼓樓區校級期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求證：∠ABD＝∠ACE．【分析】由“SAS”可證△ABD≌△ACE，可得結論．【解答】證明：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，證明三角形全等是解題的關鍵．四．全等三角形的應用（共4小題）18．（真題?武城縣期末）如圖所示，某同學把一塊三角形的玻璃不小心打碎成了三塊，現在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶（）去．A．① B．② C．③ D．①和②【分析】此題可以采用排除法進行分析從而確定最后的答案．【解答】解：第一塊，僅保留了原三角形的一個角和部分邊，不符合任何判定方法；第二塊，僅保留了原三角形的一部分邊，所以該塊不行；第三塊，不但保留了原三角形的兩個角還保留了其中一個邊，所以符合ASA判定，所以應該拿這塊去．故選：C．【點評】此題主要考查學生對全等三角形的判定方法的靈活運用，要求對常用的幾種方法熟練掌握．19．（真題?沛縣期末）如圖，小明用“X”型轉動鉗測量圓柱形小口容器壁的厚度．已知OA＝OD，OB＝OC，AB＝6cm，EF＝8cm，則該容器壁的厚度為1cm．【分析】只要證明△AOB≌△DOC，可得AB＝CD，即可解決問題．【解答】解：在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS），∴AB＝CD＝6cm，∵EF＝8cm，∴圓柱形容器的壁厚是（8﹣6）＝1（cm），故答案為：1．【點評】本題考查全等三角形的應用，解題的關鍵是利用全等三角形的性質解決實際問題．20．（2019秋?邗江區校級月考）如圖，要測量河兩岸相對兩點A、B間的距離，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延長線于點E，垂足為點D．（DE≠CD）（1）線段DE的長度就是A、B兩點間的距離（2）請說明（1）成立的理由．【分析】（1）根據題意確定DE＝AB；（2）根據已知條件得到兩個三角形全等，利用全等三角形的性質得到結論即可．【解答】解：（1）線段DE的長度就是A、B兩點間的距離；故答案為：DE；（2）∵AB⊥BC，DE⊥BD∴∠ABC＝∠EDC＝90°又∵∠ACB＝∠DCE，BC＝CD∴△ABC≌△CDE（ASA）∴AB＝DE．【點評】本題考查了全等三角形的應用，是基礎題，熟練掌握全等三角形的判定方法并確定出全等三角形是解題的關鍵．21．（真題?陳倉區期末）為了解學生對所學知識的應用能力，某校老師在七年級數學興趣小組活動中，設置了這樣的問題：因為池塘兩端A，B的距離無法直接測量，請同學們設計方案測量A，B的距離．甲、乙兩位同學分別設計出了如下兩種方案：甲：如圖①，先在平地上取一個可以直接到達點A，B的點O，連接AO并延長到點C，連接BO并延長到點D，使CO＝AO，DO＝BO，連接DC，測出DC的長即可．乙：如圖②，先確定直線AB，過點B作直線BE，在直線BE上找可以直接到達點A的一點D，連接DA，作DC＝DA，交直線AB于點C，最后測量BC的長即可．（1）甲、乙兩同學的方案哪個可行？（2）請說明方案可行的理由．【分析】（1）甲同學作出的是全等三角形，然后根據全等三角形對應邊相等測量的，所以是可行的；（2）甲同學利用的是“邊角邊”，乙同學的方案只能知道兩三角形的兩邊相等，不能判定△ABD與△CBD全等，故方案不可行．【解答】解：（1）甲同學的方案可行；（2）甲同學方案：在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB＝CD；乙同學方案：在△ABD和△CBD中，只能知道DC＝DA，DB＝DB，不能判定△ABD與△CBD全等，故方案不可行．【點評】本題主要考查了全等三角形的應用，熟練掌握全等三角形判定的“SAS”定理是解決問題的關鍵．【過關檢測】一、單選題1．（2021·江蘇無錫·八年級期末）下列條件中，能判斷兩個直角三角形全等的是（）A．有兩條邊分別相等 B．有一個銳角和一條邊相等C．有一條斜邊相等 D．有一直角邊和斜邊上的高分別相等【答案】D【分析】根據全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL對4個選項逐個分析，然后即可得出答案．【詳解】A、兩邊分別相等，但是不一定是對應邊，不能判定兩直角三角形全等，故此選項不符合題意；B、一條邊和一銳角對應相等，不能判定兩直角三角形全等，故此選項不符合題意；C、有一條斜邊相等，兩直角邊不一定對應相等，不能判定兩直角三角形全等，故此選項不符合題意；D、有一條直角邊和斜邊上的高對應相等的兩個直角三角形全等，故此選項符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了直角三角形的判定，熟練掌握判定定理是解題關鍵．2．（2021·江蘇南京·八年級期末）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝8，下列條件能得到△ABC≌△DEF的是（）A．∠D＝60°，∠E＝50°，DF＝8 B．∠D＝60°，∠F＝50°，DE＝8C．∠E＝50°，∠F＝70°，DE＝8 D．∠D＝60°，∠F＝70°，EF＝8【答案】C【分析】顯然題中使用ASA證明三角形全等，，需要保證，可以根據三角形內角和定理確定∠F．【詳解】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠E＝50°，∠A＝∠D＝60°，AB＝DE＝8，∴∠F＝180°﹣∠E﹣∠D＝70°，故選C．【點睛】這道題考查的是全等三角形的對應邊和對應角分別相等．清楚三角形全等判定的含義是解題的關鍵．3．（2020·江蘇八年級月考）如圖，，，如果根據“”判定，那么需要補充的條件是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用全等三角形的判定方法，“SAS”即邊角邊對應相等，只需找出一對對應邊相等即可，進而得出答案．【詳解】解：需要補充的條件是BF=CE，∴BF+FC=CE+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．故選：D．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，不能添加，根據已知結合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關健．4．（2020·江蘇泰州中學附屬初中八年級月考）如圖，OC平分∠AOB，D、E、F分別是OC、OA、OB上的點，則添加下列哪個條件不能使△ODE與△ODF全等（）A．DE=DF B．OE=OF C．∠ODE=∠ODF D．∠AED=∠BFD【答案】A【分析】根據三角形全等的判定方法對各選項分析判斷即可得解．【詳解】解：∵OP是∠AOB的平分線，∴∠AOP=∠BOP，而OP是公共邊，A：添加DE=DF符合“邊邊角”，不能判定△ODE≌ODF；B：添加OE=OF，可以利用“SAS”判定△ODE≌ODF；C：添加∠ODE=∠ODF，可以利用“ASA”判定△ODE≌ODF；D：∠AED=∠BFD，可知∠OED=∠OFD，可以利用“AAS”判定△ODE≌ODF；故選：A．【點睛】本題考查了角平分線的定義，全等三角形的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵．5．（2021·江蘇八年級期末）如圖，已知AC＝BD，添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△BAD的是（）A．∠ABC＝∠BAD B．∠C＝∠D＝90° C．∠CAB＝∠DBA D．CB＝DA【答案】A【分析】根據全等三角形的判定方法即可一一判斷；【詳解】在△ABC與△BAD中，AC＝BD，AB＝BA，A、SSA無法判斷三角形全等，故本選項符合題意；B、根據HL即可判斷三角形全等，故本選項不符合題意；C、根據SAS即可判斷三角形全等，故本選項不符合題意；D、根據SSS即可判斷三角形全等，故本選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，關鍵在于熟練靈活的使用各個判定方法；6．（2020·南京市溧水區和鳳初級中學八年級月考）用直尺和圓規作一個角等于已知角，如圖，能得出的依據是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】我們可以通過其作圖的步驟來進行分析，作圖時滿足了三條邊對應相等，于是我們可以判定是運用SSS，答案可得．【詳解】解：作圖的步驟：①以O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點D、C；②任意作一點O′，作射線O′B′，以O′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′B′于點C′；③以C′為圓心，CD長為半徑畫弧，交前弧于點D′；④過點D′作射線O′A′．所以∠A′O′B′就是與∠AOB相等的角；作圖完畢．在△OCD與△O′C′D′，，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB，顯然運用的判定方法是SSS．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質；由全等得到角相等是用的全等三角形的性質，熟練掌握三角形全等的性質是正確解答本題的關鍵．二、填空題7．（2021·江蘇八年級月考）如圖，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，點C的坐標為（﹣2，0），點B的坐標為（1，5），則A點的坐標是_____．【答案】（-7，3）【分析】先作輔助線、，通過導角證明，再證明，得到AD的長度(A的縱坐標長度)、DC長度(加上OC得到A橫坐標長度)，根據A點所在象限的符號，確定A點坐標．【詳解】如圖，過點A作于點D，過點B作于點E點C的坐標為(-2，0)，點B的坐標為(1，5)OC=2，OE=1，BE=5在和中，A點的坐標是(-7，3)．【點睛】本題考查了全等三角形的證明(在兩個三角形中，如果有兩組對應角，和其中一組對應角的對邊分別相等，那么這兩個三角形全等)．8．（2021·江蘇八年級專題練習）如圖，△ABC≌△DEF，BE＝5，BF＝1，則CF＝_____．【答案】3【分析】先利用線段和差求EF＝BE﹣BF＝4，根據全等三角形的性質BC=EF，再結合線段和差求出FC可得答案．【詳解】解：∵BE＝5，BF＝1，∴EF＝BE﹣BF＝4，∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝4，∴CF＝BC﹣BF＝4-1=3，故答案為：3．【點睛】本題考查全等三角形的性質，線段和差,解題的關鍵是根據全等三角形的性質得出BC=EF．9．（2021·江蘇南京·八年級期末）如圖，△ACD是等邊三角形，若AB＝DE，BC＝AE，∠E＝115°，則∠BAE＝_____°．【答案】125【分析】先證明，得到，再根據三角形內角和得到所求角中兩角的和，最后與等邊三角形內角相加就得到結果．【詳解】解：是等邊三角形，，在與中，故答案為125．【點睛】這道題考察的是等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形內角和的概念．解題的關鍵在于熟練掌握這些相關知識點．10．（2021·江蘇）如圖，，點、、、在同一條直線上，、交于點，，則的度數是______°．【答案】60【分析】根據全等三角形的性質得到∠DFE=∠ACB=30°，根據三角形的外角性質計算，得到答案．【詳解】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠DFE=∠ACB=30°，∵∠AMF是△MFC的一個外角，∴∠AMF=∠DFE+∠ACB=60°，故答案為：60．【點睛】本題考查的是全等三角形的性質、三角形的外角性質，掌握全等三角形的對應角相等是解題的關鍵．11．（2019·常熟市第一中學八年級月考）如圖，已知，平分，且于點D，則________．【答案】12【分析】如圖，延長BD交AC于點E，根據已知證得，則得，由三角形的面積公式得，，即可證明，從而可以解答本題．【詳解】解：如圖，延長BD交AC于點E，∵平分，，∴，．∵，∴．∴．∴，．∴．即．∵，∴．故答案為：12．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質，明確題意，利用三角形全等證明是解答此題的關鍵．12．（2019·江蘇八年級月考）如圖所示，點O為AC的中點，也是BD的中點，那么AB與CD的關系是________．【答案】平行且相等【分析】只需要證明△AOB≌△COD，根據全等三角形的性質和平行線的判定定理即可得出結論．【詳解】解：∵點O為AC的中點，也是BD的中點，∴AO=OC，BO=OD，又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△COD（SAS）∴AB=CD，∠A=∠C，∴AB//CD,即AB與CD的關系是平行且相等，故答案為：平行且相等．【點睛】本題考查全等三角形的性質和判定，平行線的判定定理．掌握全等三角形的判定定理是解題關鍵．13．（2019·江蘇八年級月考）在△ABC和△DEF，給出下列四組條件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的條件共有__________組【答案】3【分析】根據全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL結合選項進行判定．【詳解】解：①AB=DE，BC=EF，AC=DF，可根據SSS判定△ABC≌△DEF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，可根據SAS判定△ABC≌△DEF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，可根據ASA判定△ABC≌△DEF；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，不能判定△ABC≌△DEF；能使△ABC≌△DEF的條件共有3個，故答案為：3．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．14．（2019·江蘇八年級月考）如圖所示，AD是△ABC中BC邊上的中線，若AB=2，AC=6，則AD的取值范圍是__________【答案】2＜AD＜4【分析】此題要倍長中線，再連接，構造全等三角形．根據三角形的三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．即可求解．【詳解】解：延長AD到E，使AD=DE，連接BE，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△ADC與△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB=AC，根據三角形的三邊關系定理：6-2＜AE＜6+2，∴2＜AD＜4，故AD的取值范圍為2＜AD＜4．【點睛】本題主要考查對全等三角形的性質和判定，三角形的三邊關系定理等知識點的理解和掌握，能推出6-2＜AE＜6+2是解此題的關鍵．三、解答題15．（2020·宜興市樹人中學八年級月考）已知和位置如圖所示，，，．（1）試說明：；（2）試說明：．【分析】（1）根據題意利用SAS可證明△ABD≌△ACE，即可證明結論；（2）根據△ABD≌△ACE可知∠B=∠C，然后由等量代換得出∠BAN=∠CAM，從而利用ASA可證明△ABN≌△ACM，從而利用全等三角形的性質即可得出答案．【詳解】解：（1）在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE；（2）∵，∴，∵△ADB≌△AEC，∴，∴，即．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質，掌握全等三角形的判定及性質是解題的關鍵．16．（2021·江蘇八年級期中）如圖，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．求證：AF＝DE．【分析】根據平行的性質可得∠B＝∠C，再結合已知條件運用“ASA”證得△ABF≌△DCE，最后運用全等三角形的性質即可證明結論．【詳解】證明：∵AB//CD，∴∠B＝∠C，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（ASA），∴AF＝DE．【點睛】本題主要考查了平行線的性質、全等三角形的判定和性質等知識點，根據題意證得△ABF≌△DCE是解答本題的關鍵．17．（2020·蘇州市吳江區青云實驗中學八年級月考）如圖①，平分，可得．（1）如圖②，平分，參照圖①，過點D作于點交的延長線于點F，求證：；（2）如圖③，在四邊形中，，過點D作，垂足為點E，若，則的值是多少？（用含a的代數式表示）【答案】（1）見解析；（2）2a【分析】（1）證明△DFC≌△DEB，可得DB=DC；（2）連接AD，作DF⊥AC于F，證明△DFC≌△DEB，得到DF=DE，CF=BE，再證明Rt△ADF≌Rt△ADE，得到AF=AE，再根據線段的和差可得AB=AC．【詳解】解：（1）作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如圖2所示，∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴∠ABD=∠FCD，在△DFC和△DEB中，，∴△DFC≌△DEB（AAS），∴DB=DC；（2）連接AD，作DF⊥AC于F，如圖3所示，∵∠ACD=135°,∴∠FCD=180°-∠ACD=45°，∴∠B=45°，∴∠FCD=∠B，在△DFC和△DEB中，，∴△DFC≌△DEB（AAS），∴DF=DE，CF=BE，在Rt△ADF和Rt△ADE中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），∴AF=AE，∴AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，∴AB-AC=2BE=2a．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質、角平分線的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形，屬于中考常考題型．18．（2019·江蘇八年級月考）如圖（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E．（1）求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．（2）當直線MN繞點C旋轉到圖（2）的位置時，DE、AD、BE又怎樣的關系？并加以證明．【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）DE=AD-BE，證明見解析．【分析】（1）①由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因為∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根據AAS即可得到答案；②由①得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；（2）與（1）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案．【詳解】解：（1）①證明：∵AD⊥DE，BE⊥D