專題04二次根式專題專題綜述課程要求初中對于二次根式的學(xué)習(xí)，主要集中在基礎(chǔ)的“數(shù)”的運算，對于二次根式里含代數(shù)式的問題設(shè)計較少。相較于初中的二次根式的學(xué)習(xí)，高中更多的是研究二次根式內(nèi)含代數(shù)式的問題，主要利用二次根式內(nèi)的數(shù)（式）的非負(fù)性。課程要求課程要求《初中課程要求》1、了解二次根式的概念；2、知道被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)；3、能運營二次根式的性質(zhì)解決實際問題?！陡咧姓n程要求》1、在掌握二次根式的基礎(chǔ)方法上進(jìn)一步熟悉二次根式的運算方法；2、能夠進(jìn)行二次根式的分子、分母有理化；3、會使用“夾逼”的方法推出被開放數(shù)為零。知識精講知識精講初中知識儲備：利用公式因式分解初中知識儲備：利用公式因式分解備：絕對值一般地，形如a(a≥0)的代數(shù)式叫做二次根式．根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式.例如a+b，x2+2x+3等是無理式，而a1．分母（子）有理化把分母（子）中的根式化去，叫做分母（子）有理化．為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式。分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母（子）的有理化因式，化去分母（子）中的根號的過程；例如1a,我們可以這樣有理化：1a=aa?a=aa；而對于1a?2．二次根式a2a典例剖析典例剖析例題1．實踐與探索（1）填空：________；________．（2）觀察第（1）的結(jié)果填空：當(dāng)時，________；當(dāng)時，________．（3）利用你總結(jié)的規(guī)律計算：，其中x的取值范圍在數(shù)軸上表示為．變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1.用※定義一種新運算：對于任意實數(shù)m和n，規(guī)定m※n，如：1※2．（1）求（﹣2）※；（2）若3※m＜－6，化簡．能力提升能力提升1.有一道題“已知，求的值”，小明在解答時，沒有直接帶代入，而是這樣分析的：因為，所以，所以，．所以，故．請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：若，求的值．對點精練對點精練1．二次根式中字母a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≠﹣1 B．a(chǎn)＞﹣1 C．a(chǎn)≥﹣1 D．a(chǎn)≤﹣12．實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡的結(jié)果為（）A． B． C．8 D．無法確定3．已知：a＝，b＝，則a與b的關(guān)系是（）A．a(chǎn)－b＝0 B．a(chǎn)＋b＝0 C．a(chǎn)b＝1 D．a(chǎn)2＝b24．設(shè)的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則的值是（）A．6 B． C．12 D．5．若，則代數(shù)式的值為（）A．7 B．4 C．3 D．6．設(shè)a，b，c是△ABC的三邊的長，化簡+|b﹣a﹣c|的結(jié)果是________．7．已知有意義，如果關(guān)于的方程沒有實數(shù)根，那么的取值范圍是__．8．________．9．已知y＝1＋＋，則2x＋3y的算術(shù)平方根為_____．10．在學(xué)習(xí)二次根式的過程中，小騰發(fā)現(xiàn)有一些特殊無理數(shù)之間具有互為倒數(shù)的關(guān)系例如：由（＋1）（﹣1）＝1，可得＋1與﹣1互為倒數(shù)，即＝﹣1，＝＋1，類似地，＝﹣，＝＋；＝2﹣，＝2＋；?．根據(jù)小騰發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決下列問題：（1）＝___，＝___；（n為正整數(shù)）（2）若＝2﹣m，則m＝___；（3）計算：＝___．11．計算．（1）；（2）．12．計算：．13．小穎利用平方差公式，自已探究出一種解某一類根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的過程．解：設(shè)﹣＝m，與原方程相乘得：（＋）×（）＝5m，x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，∴﹣＝1，與原方程相加得：（＋）+（）＝5＋1，2＝6，解之得，x＝11，經(jīng)檢驗，x＝11是原方程的根．學(xué)習(xí)借鑒解法，解方程﹣＝1．14．閱讀下列材料．然后回答問題：在進(jìn)行二次根式的化簡與運算時我們有時會碰上如，，一樣的式子，其實我們還可以將其進(jìn)一步化簡：＝＝①；＝＝②；＝＝＝③；以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡：＝＝＝＝﹣1④；（1）請用不同的方法化簡：參照③式求；參照④求；（2）化簡：++…+．15．先閱讀下面的解題過程，然后再解答：形如的化簡，只要我們找到兩個數(shù)，，使，，即，，則有：．（1）根據(jù)上述方法化簡：①；②．（2）已知，則______．專題04二次根式專題專題綜述課程要求初中對于二次根式的學(xué)習(xí)，主要集中在基礎(chǔ)的“數(shù)”的運算，對于二次根式里含代數(shù)式的問題設(shè)計較少。相較于初中的二次根式的學(xué)習(xí)，高中更多的是研究二次根式內(nèi)含代數(shù)式的問題，主要利用二次根式內(nèi)的數(shù)（式）的非負(fù)性。課程要求課程要求《初中課程要求》1、了解二次根式的概念；2、知道被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)；3、能運營二次根式的性質(zhì)解決實際問題。《高中課程要求》1、在掌握二次根式的基礎(chǔ)方法上進(jìn)一步熟悉二次根式的運算方法；2、能夠進(jìn)行二次根式的分子、分母有理化；3、會使用“夾逼”的方法推出被開放數(shù)為零。知識精講知識精講初中知識儲備：利用公式因式分解初中知識儲備：利用公式因式分解備：絕對值一般地，形如a(a≥0)的代數(shù)式叫做二次根式．根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式.例如a+b，x2+2x+3等是無理式，而a1．分母（子）有理化把分母（子）中的根式化去，叫做分母（子）有理化．為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式。分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母（子）的有理化因式，化去分母（子）中的根號的過程；例如1a,我們可以這樣有理化：1a=aa?a=aa；而對于1a?2．二次根式a2a典例剖析典例剖析例題1．實踐與探索（1）填空：________；________．（2）觀察第（1）的結(jié)果填空：當(dāng)時，________；當(dāng)時，________．（3）利用你總結(jié)的規(guī)律計算：，其中x的取值范圍在數(shù)軸上表示為．【答案】（1）3，5；（2）a，；（3）2【分析】（1）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡求出答案；（2）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡求出答案；（3）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡求出答案．【詳解】解：（1）3；

=5；故答案為：3，5；（2）當(dāng)a≥0時a；當(dāng)a＜0時，-a；故答案為：a，-a；（3）由數(shù)軸可得x的取值范圍為，∴x-2＞0、x-4＜0，∴=2．【點睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1.用※定義一種新運算：對于任意實數(shù)m和n，規(guī)定m※n，如：1※2．（1）求（﹣2）※；（2）若3※m＜－6，化簡．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)新定義規(guī)定的運算法則列式，再由有理數(shù)的運算法則計算可得；（2）根據(jù)新定義列出關(guān)于m的不等式，解不等式得到m的取值范圍即可得到最終答案．【詳解】解：（1）；（2）由已知可得：3m<-6，解之可得：m<-2，即-m>2，∴2-m>4>0，-m-2>0，∴．【點睛】本題考查實數(shù)運算的綜合應(yīng)用，熟練掌握新定義運算的解題方法、一元一次不等式的求解及二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．能力提升能力提升1.有一道題“已知，求的值”，小明在解答時，沒有直接帶代入，而是這樣分析的：因為，所以，所以，．所以，故．請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：若，求的值．【答案】-4【分析】先把分母有理化，得出a的表達(dá)式，最后代入中即可．【詳解】解：∵，∴，∴，即，∴，∴【點睛】此題考查的是求代數(shù)式的值，涉及完全平方公式，分母有理化等知識，讀懂題意，掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．對點精練對點精練1．二次根式中字母a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≠﹣1 B．a(chǎn)＞﹣1 C．a(chǎn)≥﹣1 D．a(chǎn)≤﹣1【答案】C【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式計算即可得解．【詳解】解：由題意得，a+1≥0，解得a≥-1．故選：C．【點睛】本題考查的知識點為：二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，比較簡單．2．實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡的結(jié)果為（）A． B． C．8 D．無法確定【答案】C【分析】從數(shù)軸上可以看出，，所以，進(jìn)一步根據(jù)絕對值的意義和二次根式的運算化簡即可．【詳解】解：由數(shù)軸可知：∴．故選：C．【點睛】此題考查二次根式的化簡與絕對值的意義，注意字母的取值范圍是解題的關(guān)鍵．3．已知：a＝，b＝，則a與b的關(guān)系是（）A．a(chǎn)－b＝0 B．a(chǎn)＋b＝0 C．a(chǎn)b＝1 D．a(chǎn)2＝b2【答案】C【分析】先分母有理化求出a、b，再分別代入求出ab、a+b、a-b、a2、b2各個式子的值，即可得出選項．【詳解】解：分母有理化，可得a=2+，b=2-，∴a-b=（2+）-（2-）=2，故A選項錯誤，不符合題意；a+b=（2+）+（2-）=4，故B選項錯誤，不符合題意；ab=（2+）×（2-）=4-3=1，故C選項正確，符合題意；∵a2=（2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2-）2=4-4+3=7-4，∴a2≠b2，故D選項錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了分母有理化的應(yīng)用，能求出每個式子的值是解此題的關(guān)鍵．4．設(shè)的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則的值是（）A．6 B． C．12 D．【答案】A【分析】首先根據(jù)的整數(shù)部分可確定的值，進(jìn)而確定的值，然后將與的值代入計算即可得到所求代數(shù)式的值．【詳解】∵，∴，∴的整數(shù)部分，∴小數(shù)部分，∴．故選：．【點睛】本題考查了二次根式的運算，正確確定的整數(shù)部分與小數(shù)部分的值是解題關(guān)鍵．5．若，則代數(shù)式的值為（）A．7 B．4 C．3 D．【答案】C【分析】先將代數(shù)式變形為，再代入即可求解．【詳解】解：．故選：C【點睛】本題考查了求代數(shù)式的值，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵，也可將x的值直接代入計算．6．設(shè)a，b，c是△ABC的三邊的長，化簡+|b﹣a﹣c|的結(jié)果是________．【答案】2a+2c【分析】根據(jù)三角形三邊長關(guān)系，可得a+c＞b，結(jié)合二次根式和絕對值的性質(zhì)，即可化簡．【詳解】解：∵a，b，c是△ABC的三邊的長，∴a+c＞b，a+b+c＞0，∴b﹣a﹣c＜0，∴+|b﹣a﹣c|=|a+b+c|+|b﹣a﹣c|=a+b+c+a+c-b=2a+2c．故答案是：2a+2c．【點睛】本題主要考查三角形三邊長關(guān)系以及二次根式的性質(zhì)，掌握二次根式的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．7．已知有意義，如果關(guān)于的方程沒有實數(shù)根，那么的取值范圍是__．【答案】．【分析】把方程變形為，根據(jù)方程沒有實數(shù)根可得，解不等式即可．【詳解】解：由得，有意義，且，方程沒有實數(shù)根，即，，故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用二次根式的非負(fù)性確定的取值范圍．8．________．【答案】【分析】分別根據(jù)絕對值的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值和負(fù)整指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行計算，再算加減即可．【詳解】，故填：．【點睛】本題考查了實數(shù)的綜合運算能力，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握負(fù)整指數(shù)冪、二次根式、絕對值和特殊角的三角函數(shù)的運算．9．已知y＝1＋＋，則2x＋3y的算術(shù)平方根為_____．【答案】2【分析】根據(jù)二次根式的非負(fù)性求出，代入計算得到，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義解答．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴2x＋3y的算術(shù)平方根為2，故答案為：2．【點睛】此題考查二次根式的非負(fù)性，算術(shù)平方根的定義，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．在學(xué)習(xí)二次根式的過程中，小騰發(fā)現(xiàn)有一些特殊無理數(shù)之間具有互為倒數(shù)的關(guān)系例如：由（＋1）（﹣1）＝1，可得＋1與﹣1互為倒數(shù)，即＝﹣1，＝＋1，類似地，＝﹣，＝＋；＝2﹣，＝2＋；?．根據(jù)小騰發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決下列問題：（1）＝___，＝___；（n為正整數(shù)）（2）若＝2﹣m，則m＝___；（3）計算：＝___．【答案】9【分析】（1）根據(jù)題目示例可得規(guī)律；（2）根據(jù)（1）得到的規(guī)律即可求解；（3）根據(jù)（1）的規(guī)律化簡每個根式后再合并．【詳解】解：（1）因為，所以＝；因為，所以；（2）∵＝2﹣m，∴，∴，∴，∴，∴；（3）．故答案為：（1）；；（2）；（3）9．【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值、分母有理化，掌握二次根式的混合運算法則、平方差公式是解題的關(guān)鍵.11．計算．（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先化簡各二次根式，再合并同類二次根式即可得到答案；（2）利用完全平方公式和平方差公式把括號展開，和二次根式的除法運算，最后合并即可得到答案．【詳解】解：（1）（2）【點睛】此題主要考查了二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則和乘法公式是解答此題的關(guān)鍵．12．計算：．【答案】3【分析】根據(jù)零指數(shù)冪，化解絕對值，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，二次根式分母有理化等運算法則計算即可．【詳解】解：原式＝，，，．【點睛】本題主要考查零指數(shù)冪，化解絕對值，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，二次根式分母有理化等知識點，掌握以上知識點的運算法則是解題關(guān)鍵．13．小穎利用平方差公式，自已探究出一種解某一類根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的過程．解：設(shè)﹣＝m，與原方程相乘得：（＋）×（）＝5m，x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，∴﹣＝1，與原方程相加得：（＋）+（）＝5＋1，2＝6，解之得，x＝11，經(jīng)檢驗，x＝11是原方程的根．學(xué)習(xí)借鑒解法，解方程﹣＝1．【答案】x＝7【分析】根據(jù)借鑒題中的方法，即可計算求解．【詳解】