專題09圓中的最值模型之阿氏圓模型最值問題在中考數學常以壓軸題的形式考查，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，主要考查轉化與化歸等的數學思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的阿氏圓問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握?！灸Ｐ捅尘啊恳阎矫嫔蟽牲cA、B，則所有滿足PA=k·PB（k≠1）的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最早由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱“阿氏圓”。【模型解讀】如圖1所示，⊙O的半徑為r，點A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB，連接PA、PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉化為“PA+PC”的最小值，其中與A與C為定點，P為動點，故當A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小。如圖3所示：注意區分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“k·PA+PB”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當P點軌跡變為圓時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．【最值原理】兩點之間線段最短及垂線段最短解題。例1．（2023·山西·九年級專題練習）如圖，在中，，以點B為圓心作圓B與相切，點P為圓B上任一動點，則的最小值是___________．例2．（2022·四川成都·模擬預測）如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個動點，則的最大值為_______．例3．（2023·廣東·九年級專題練習）如圖，菱形的邊長為2，銳角大小為，與相切于點E，在上任取一點P，則的最小值為___________．例4.（2023·北京·九年級專題練習）如圖，邊長為4的正方形，內切圓記為⊙O，P是⊙O上一動點，則PA＋PB的最小值為________．例5．（2023·浙江·一模）問題提出：如圖1，在等邊△ABC中，AB＝9，⊙C半徑為3，P為圓上一動點，連結AP，BP，求AP+BP的最小值(1)嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路，通過構造一對相似三角形，將BP轉化為某一條線段長，具體方法如下：(請把下面的過程填寫完整)如圖2，連結CP，在CB上取點D，使CD＝1，則有又∵∠PCD＝∠△∽△∴∴PD＝BP∴AP+BP＝AP+PD∴當A，P，D三點共線時，AP+PD取到最小值請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為．(2)自主探索：如圖3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P為矩形內部一點，且PB＝4，則AP+PC的最小值為．(請在圖3中添加相應的輔助線)(3)拓展延伸：如圖4，在扇形COD中，O為圓心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，點P是上一點，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程．例6．（2022·湖北·九年級專題練習）（1）如圖1，已知正方形的邊長為4，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求的最小值，的最小值，的最大值．（2）如圖2，已知正方形的邊長為9，圓B的半徑為6，點P是圓B上的一個動點，求的最小值，的最大值，的最小值．（3）如圖3，已知菱形的邊長為4，，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求的最小值和的最大值．的最小值例7．（2022·廣東·廣州市九年級階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(5，3)，點P是第一象限內一動點，且，則4PD+2PC的最小值為_______．課后專項訓練1．（2023·江蘇蘇州·蘇州市二模）如圖，在中，點A、點在上，，，點在上，且，點是的中點，點是劣弧上的動點，則的最小值為．2．（2022·四川瀘州·?？家荒＃┤鐖D，為的直徑，，點C與點D在的同側，且，，，，點P是上的一動點，則的最小值為．3．（2023秋·浙江溫州·九年級?？计谀┤鐖D，在邊長為4的正方形ABCD內有一動點P，且BP＝．連接CP，將線段PC繞點P逆時針旋轉90°得到線段PQ．連接CQ、DQ，則DQ+CQ的最小值為．4．（2022·廣東·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點C為圓心，6為半徑的圓上有一個動點D.連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是.

5．（2020·廣西·中考真題）如圖，在Rt中，AB＝AC＝4，點E，F分別是AB，AC的中點，點P是扇形AEF的上任意一點，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是．6．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，在中，，以點B為圓心作圓B與相切，點P為圓B上任一動點，則的最小值是．7．（2023·重慶·九年級專題練習）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，點P是⊙B上的一個動點，則PD﹣PC的最大值為．8．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E為邊AD上一個動點，點F在邊CD上，且線段EF＝4，點G為線段EF的中點，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為．9．如圖，扇形中，，，是的中點，是上一點，，是上一動點，則的最小值為．10．（2023·四川成都·九年級專題練習）在中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半徑為6，P是上一動點，連接PB，PC，則的最小值_____________的最小值_______16．（2023·江蘇揚州·校聯考二模）請認真閱讀下列材料：如圖①，給定一個以點O為圓心，r為半徑的圓，設點A是不同于點O的任意一點，則點A的反演點定義為射線上一點，滿足．顯然點A也是點的反演點．即點A與點互為反演點，點O為反演中心，r稱為反演半徑．這種從點A到點的變換或從點到點A的變換稱為反演變換．例如：如圖②，在平面直角坐標系中，點，以點O為圓心，為半徑的圓，交y軸的正半軸于點B；C為線段的中點，P是上任意一點，點D的坐標為；若C關于的反演點分別為．（1）求點的坐標；（2）連接、，求的最小值．解：（1）由反演變換的定義知：，其中，．∴，故點的坐標為；（2）如圖③，連接、，由反演變換知，即，而，∴．∴，即．∴．故的最小值為13.請根據上面的閱讀材料，解決下列問題：如圖④，在平面直角坐標系中，點，以點O為圓心，為半徑畫圓，交y軸的正半軸于點B，C為線段的中點，P是上任意一點，點D的坐標為．（1）點D關于的反演點的坐標為________；（2）連接、，求的最小值；（3）如圖⑤，以為直徑作，那么上所有的點（點O除外）關于的反演點組成的圖形具有的特征是__________________．17．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點P為圓上一動點，連接AP，BP，求：①，②，③，④的最小值．18．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C為頂點的正方形CDEF（C、D、E、F四個頂點按逆時針方向排列）可以繞點C自由轉動，且CD＝，連接AF，BD（1）求證：△BDC≌△AFC（2）當正方形CDEF有頂點在線段AB上時，直接寫出BD＋AD的值；（3）直接寫出正方形CDEF旋轉過程中，BD＋AD的最小值．19．（2022·廣東·統考二模）（1）初步研究：如圖1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q為AB上一點且AQ=1，證明：PB=2PQ；（2）結論運用：如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推廣：如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，∠A=60°，⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC?PB的最大值．

專題09圓中的最值模型之阿氏圓模型最值問題在中考數學常以壓軸題的形式考查，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，主要考查轉化與化歸等的數學思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的阿氏圓問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。【模型背景】已知平面上兩點A、B，則所有滿足PA=k·PB（k≠1）的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最早由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱“阿氏圓”?！灸Ｐ徒庾x】如圖1所示，⊙O的半徑為r，點A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB，連接PA、PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉化為“PA+PC”的最小值，其中與A與C為定點，P為動點，故當A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小。如圖3所示：注意區分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“k·PA+PB”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當P點軌跡變為圓時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．【最值原理】兩點之間線段最短及垂線段最短解題。例1．（2023·山西·九年級專題練習）如圖，在中，，以點B為圓心作圓B與相切，點P為圓B上任一動點，則的最小值是___________．【答案】【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中點D，連接PD，如圖，根據切線的性質得BH為⊙B的半徑，再根據等腰直角三角形的性質得到BHAC，接著證明△BPD∽△BCP得到PDPC，所以PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（當且僅當A、P、D共線時取等號），從而計算出AD得到PA的最小值．【詳解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中點D，連接PD，如圖，∵AC為切線，∴BH為⊙B的半徑，∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，∴ACBA＝2，∴BHAC，∴BP，∵，，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP，∴，∴PDPC，∴PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（當且僅當A、P、D共線時取等號），而AD，∴PA+PD的最小值為，即PA的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．解決問題的關鍵是利用相似比確定線段PDPC．也考查了等腰直角三角形的性質．例2．（2022·四川成都·模擬預測）如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個動點，則的最大值為_______．【答案】【分析】如圖，連接，在上取一點，使得，進而證明,則在點P運動的任意時刻，均有PM=，從而將問題轉化為求PD-PM的最大值．連接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故當D、M、P共線時，PD-PM=DM為最大值，勾股定理即可求得．【詳解】如圖，連接，在上取一點，使得，，在△PDM中，PD-PM＜DM，當D、M、P共線時，PD-PM=DM為最大值，四邊形是正方形在中，故答案為：．【點睛】本題考查了圓的性質，相似三角形的性質與判定，勾股定理，構造是解題的關鍵．例3．（2023·廣東·九年級專題練習）如圖，菱形的邊長為2，銳角大小為，與相切于點E，在上任取一點P，則的最小值為___________．【答案】．【分析】在AD上截取AH=1.5，根據題意可知，AP=，可得，證△APH∽△ADP，可知PH=，當B、P、H共線時，的最小，求BH即可．【詳解】解：在AD上截取AH=1.5，連接PH、AE，過點B作BF⊥DA延長線，垂足為F，∵AB=2，∠ABC=60°，∴BE=AF=1，AE=BF=，∴，∵∠PAD=∠PAH，∴△ADP∽△APH，∴，∴PH=，當B、P、H共線時，的最小，最小值為BH長，BH=；故答案為：．【點睛】本題考查了阿氏圓，解題關鍵是構造子母相似，利用兩點之間，線段最短解決問題．例4.（2023·北京·九年級專題練習）如圖，邊長為4的正方形，內切圓記為⊙O，P是⊙O上一動點，則PA＋PB的最小值為________．【答案】【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形構造PB即可解答．【詳解】解：設⊙O半徑為r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中點I，連接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP＋PB＝AP＋PI，∴當A、P、I在一條直線上時，AP＋PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB?BE＝3，∴AI＝，∴AP＋PB最小值＝AI＝，∵PA＋PB＝（PA＋PB），∴PA＋PB的最小值是AI＝．故答案是．【點睛】本題是“阿氏圓”問題，解決問題的關鍵是構造相似三角形．例5．（2023·浙江·一模）問題提出：如圖1，在等邊△ABC中，AB＝9，⊙C半徑為3，P為圓上一動點，連結AP，BP，求AP+BP的最小值(1)嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路，通過構造一對相似三角形，將BP轉化為某一條線段長，具體方法如下：(請把下面的過程填寫完整)如圖2，連結CP，在CB上取點D，使CD＝1，則有又∵∠PCD＝∠△∽△∴∴PD＝BP∴AP+BP＝AP+PD∴當A，P，D三點共線時，AP+PD取到最小值請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為．(2)自主探索：如圖3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P為矩形內部一點，且PB＝4，則AP+PC的最小值為．(請在圖3中添加相應的輔助線)(3)拓展延伸：如圖4，在扇形COD中，O為圓心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，點P是上一點，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程．【答案】（1）BCP，PCD，BCP，；（2）2；（3）作圖與求解過程見解析，2PA+PB的最小值為．【分析】(1)連結AD，過點A作AF⊥CB于點F，AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，AP+AD最小，當點A，P，D在同一條直線時，AP+AD最小，即可求解；(2)在AB上截取BF＝2，連接PF，PC，AB＝8，PB＝4，BF＝2，證明△ABP∽△PBF，當點F，點P，點C三點共線時，AP+PC的值最小，即可求解；(3)延長OC，使CF＝4，連接BF，OP，PF，過點F作FB⊥OD于點M，確定，且∠AOP＝∠AOP，△AOP∽△POF，當點F，點P，點B三點共線時，2AP+PB的值最小，即可求解．【詳解】解：(1)如圖1，連結AD，過點A作AF⊥CB于點F，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，當點A，P，D在同一條直線時，AP+AD最小，即：AP+BP最小值為AD，∵AC＝9，AF⊥BC，∠ACB＝60°∴CF＝3，AF＝；∴DF＝CF﹣CD＝3﹣1＝2，∴AD＝，∴AP+BP的最小值為；故答案為：；(2)如圖2，在AB上截取BF＝2，連接PF，PC，∵AB＝8，PB＝4，BF＝2，∴，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴，∴PF＝AP，∴AP+PC＝PF+PC，∴當點F，點P，點C三點共線時，AP+PC的值最小，∴CF＝，∴AP+PC的值最小值為2，故答案為：2；(3)如圖3，延長OC，使CF＝4，連接BF，OP，PF，過點F作FB⊥OD于點M，∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，∴，且∠AOP＝∠AOP∴△AOP∽△POF∴，∴PF＝2AP∴2PA+PB＝PF+PB，∴當點F，點P，點B三點共線時，2AP+PB的值最小，∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM∴OM＝4，FM＝4，∴MB＝OM+OB＝4+3＝7∴FB＝，∴2PA+PB的最小值為．【點睛】本題主要考查了圓的有關知識，勾股定理，相似三角形的判定和性質，解本題的關鍵是根據材料中的思路構造出相似三角形..例6．（2022·湖北·九年級專題練習）（1）如圖1，已知正方形的邊長為4，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求的最小值，的最小值，的最大值．（2）如圖2，已知正方形的邊長為9，圓B的半徑為6，點P是圓B上的一個動點，求的最小值，的最大值，的最小值．（3）如圖3，已知菱形的邊長為4，，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求的最小值和的最大值．的最小值【答案】見詳解【分析】（1）如圖1中，在BC上取一點G，使得BG=1．由△PBG∽△CBP，推出，推出PG=PC，推出PD+PC=DP+PG，由DP+PG≥DG，當D、G、P共線時，PD+PC的值最小，最小值為DG==5．由PD-PC=PD-PG≤DG，當點P在DG的延長線上時，PD-PC的值最大（如圖2中），最大值為DG=5；可以把轉化為4（），這樣只需求出的最小值，問題即可解決。（2）如圖3中，在BC上取一點G，使得BG=4．解法類似（1）；（3）如圖4中，在BC上取一點G，使得BG=4，作DF⊥BC于F．解法類似（1）；【詳解】（1）如圖1中，在BC上取一點G，使得BG=1．∴△PBG∽△CBP，∵DP+PG≥DG，∴當D、G、P共線時，的值最小，最小值為DG==5．當點P在DG的延長線上時，的值最大（如圖2中），最大值為DG=5．如圖，連接BD，在BD上取一點F，使得BF=，作EF⊥BC∵∴△PBF∽△PBD，∴PF=PD，∴當C、F、P三點共線時會有FP+CP的最小值即PD+PC，由圖可知，△BEF為等腰直角三角形，∴BF=，BE=EF=，∴最小值為FC===∴的最小值為：．（2）如圖3中，在BC上取一點G，使得BG=4．∴△PBG∽△CBP，∵DP+PG≥DG，∴當D、G、P共線時，的值最小，最小值為DG==．當點P在DG的延長線上時，的值最大，最大值為DG=．（3）如圖4中，在BC上取一點G，使得BG=1，作DF⊥BC于F．∴△PBG∽△CBP，∵DP+PG≥DG，∴當D、G、P共線時，的值最小，最小值為DG．在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD?sin60°=，CF=2，在Rt△GDF中，DG==PC=PD-PG≤DG，當點P在DG的延長線上時，的值最大（如圖2中），最大值為DG=【點睛】本題考查圓綜合題、正方形的性質、菱形的性質、相似三角形的判定和性質、兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是學會構建相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，把問題轉化為兩點之間線段最短解決，題目比較難，屬于中考壓軸題．例7．（2022·廣東·廣州市九年級階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(5，3)，點P是第一象限內一動點，且，則4PD+2PC的最小值為_______．【答案】【分析】取一點，連接OP，PT，TD，首先利用四點共圓證明，再利用相似三角形的性質證明，推出，根據，過點D作交OC于點E，即可求出DT的最小值，即可得．【詳解】解：如圖所示，取一點，連接OP，PT，TD，∵A（2，0），B（0，2），C（4，0），∴OA=OB=2，OC=4，以O為圓心，OA為半徑作，在優弧AB上取一點Q，連接QB，QA，∵，，∴，∴A，P，B，Q四點共圓，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，過點D作交OC于點E，∵D的坐標為（5，3），∴點E的坐標為（5，0），TE=4，∴∵，∴，∴的最小值是，故答案為：．【點睛】本題考查了四點共圓，相似三角形，勾股定理，三角形三邊關系，解題的關鍵是掌握這些知識點．課后專項訓練1．（2023·江蘇蘇州·蘇州市二模）如圖，在中，點A、點在上，，，點在上，且，點是的中點，點是劣弧上的動點，則的最小值為．【答案】【分析】延長到，使得，連接，，利用相似三角形的性質證明，求的最小值問題轉化為求的最小值．求出即可判斷．【詳解】解：延長到，使得，連接，．，，，，，，，，，，又在中，，，，，，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題．2．（2022·四川瀘州·?？家荒＃┤鐖D，為的直徑，，點C與點D在的同側，且，，，，點P是上的一動點，則的最小值為．【答案】【分析】連接，先利用勾股定理求得，，在上截取，過作于，于，求得，，，進而求得，證明求得，利用兩點之間線段最短得到，當共線時取等號，即可求解．【詳解】解：連接，∵為的直徑，，∴，∵在中，，∴，，在上截取，過作于，于，連接、，∴四邊形是矩形，，∴，，∴，在中，，∵，是公共角，∴，∴，則，∴，當共線時取等號，故的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質、勾股定理、圓的基本概念、相似三角形的判定與性質、兩點之間線段最短等知識，解答的關鍵是截取在上截取，構造相似三角形求得是關鍵．3．（2023秋·浙江溫州·九年級校考期末）如圖，在邊長為4的正方形ABCD內有一動點P，且BP＝．連接CP，將線段PC繞點P逆時針旋轉90°得到線段PQ．連接CQ、DQ，則DQ+CQ的最小值為．【答案】5【分析】連接AC、AQ，先證明△BCP∽△ACQ得即AQ＝2，在AD上取AE＝1，證明△QAE∽△DAQ得EQ＝QD，故DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，求出CE即可．【詳解】解：如圖，連接AC、AQ，∵四邊形ABCD是正方形，PC繞點P逆時針旋轉90°得到線段PQ，∴∠ACB＝∠PCQ＝45°，∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝，cos∠PCQ＝，∴∠ACB=∠PCO，∴△BCP∽△ACQ，∴∵BP＝，∴AQ＝2，∴Q在以A為圓心，AQ為半徑的圓上，在AD上取AE＝1，∵，，∠QAE＝∠DAQ，∴△QAE∽△DAQ，∴即EQ＝QD，∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，連接CE，∴，∴DQ+CQ的最小值為5．故答案為：5．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，旋轉的性質，相似三角形的性質與判定，三角函數，解題的關鍵在于能夠連接AC、AQ，證明兩對相似三角形求解.4．（2022·廣東·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點C為圓心，6為半徑的圓上有一個動點D.連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是.

【答案】【分析】如下圖，在CA上取一點E，使得CE=4，先證△DCE∽△ACD，將轉化為DE，從而求得的最小距離，進而得出2AD+3BD的最小值．【詳解】如下圖，在CA上取一點E，使得CE=4∵AC=9，CD=6，CE=4∴

∵∠ECD=∠ACD∴△DCE∽△ACD∴∴ED=在△EDB中，ED+DB≥EB∴ED+DB最小為EB，即ED+DB=EB∴在Rt△ECB中，EB=∴∴2AD+3DB=故答案為：．【點睛】本題考查求最值問題，解題關鍵是構造出△DCE∽△ACD．5．（2020·廣西·中考真題）如圖，在Rt中，AB＝AC＝4，點E，F分別是AB，AC的中點，點P是扇形AEF的上任意一點，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是．【答案】．【分析】在AB上取一點T，使得AT＝1，連接PT，PA，CT．證明，推出＝＝，推出PT＝PB，推出PB+CP＝CP+PT，根據PC+PT≥TC，求出CT即可解決問題．【詳解】解：在AB上取一點T，使得AT＝1，連接PT，PA，CT．∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝AT?AB，∴＝，∵∠PAT＝∠PAB，∴，∴＝＝，∴PT＝PB，∴PB+CP＝CP+PT，∵PC+PT≥TC，在Rt中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，∴CT＝＝，∴PB+PC≥，∴PB+PC的最小值為．故答案為．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質，三角形相似的判定與性質，勾股定理的應用，三角形的三邊關系，圓的基本性質，掌握以上知識是解題的關鍵．6．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，在中，，以點B為圓心作圓B與相切，點P為圓B上任一動點，則的最小值是．【答案】【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中點D，連接PD，如圖，根據切線的性質得BH為⊙B的半徑，再根據等腰直角三角形的性質得到BHAC，接著證明△BPD∽△BCP得到PDPC，所以PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（當且僅當A、P、D共線時取等號），從而計算出AD得到PA的最小值．【詳解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中點D，連接PD，如圖，∵AC為切線，∴BH為⊙B的半徑，∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，∴ACBA＝2，∴BHAC，∴BP，∵，，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP，∴，∴PDPC，∴PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（當且僅當A、P、D共線時取等號），而AD，∴PA+PD的最小值為，即PA的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．解決問題的關鍵是利用相似比確定線段PDPC．也考查了等腰直角三角形的性質．7．（2023·重慶·九年級專題練習）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，點P是⊙B上的一個動點，則PD﹣PC的最大值為．【答案】5【詳解】分析:由PD?PC＝PD?PG≤DG，當點P在DG的延長線上時，PD?PC的值最大，最大值為DG＝5．詳解:在BC上取一點G，使得BG＝1，如圖，∵，，∴，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC，當點P在DG的延長線上時，PD?PC的值最大，最大值為DG＝＝5．故答案為5點睛:本題考查圓綜合題、正方形的性質、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會構建相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，把問題轉化為兩點之間線段最短解決，題目比較難，屬于中考壓軸題．8．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E為邊AD上一個動點，點F在邊CD上，且線段EF＝4，點G為線段EF的中點，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為．【答案】5【分析】因為DG＝EF＝2，所以G在以D為圓心，2為半徑圓上運動，取DI＝1，可證△GDI∽△CDG，從而得出GI＝CG，然后根據三角形三邊關系，得出BI是其最小值【詳解】解：如圖，在Rt△DEF中，G是EF的中點，∴DG＝，∴點G在以D為圓心，2為半徑的圓上運動，在CD上截取DI＝1，連接GI，∴＝＝，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，∴＝，∴IG＝，∴BG+＝BG+IG≥BI，∴當B、G、I共線時，BG+CG最?。紹I，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，圓的概念，求得點的運動軌跡是解題的關鍵．9．如圖，扇形中，，，是的中點，是上一點，，是上一動點，則的最小值為．解：如圖，延長使，連接，，，，，分別是，的中點，，，，，且，，，當點，點，點三點共線時，的值最小，，，的最小值為13，的值最小值為．故答案為：．10．（2023·四川成都·九年級專題練習）在中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半徑為6，P是上一動點，連接PB，PC，則的最小值_____________的最小值_______【答案】

【分析】①連接AP，在AB上取點Q，使AQ=4，連接CQ，利用相似三角形的判定和性質得到，推出，當三點共線時，的值最小，最小值為的長，再利用特殊角的三角函數值以及勾股定理即可求解；②在AC上取點G，使AG=，連接PG，BG，同①得到當三點共線時，的值最小，最小值為的長，再利用特殊角的三角函數值以及勾股定理即可求解．【詳解】①連接AP，在AB上取點Q，使AQ=4，連接CQ，∵⊙A的半徑為6，即AP=6，∴，又，且，∴，∴，∴，∴，當三點共線時，的值最小，最小值為的長，過C作CI⊥AB于I，∴，在Rt△CIB中，∵，BC=8，，∴，∴，，在Rt△CIQ中，，∴的最小值為；故答案為：；②連接AP，由①得：在Rt△CIA中，，在AC上取點G，使AG=，連接PG，BG，∴，∵，∴，且，∴，∴，∴，∴，當三點共線時，的值最小，最小值為的長，過G作GH⊥AB于H，∴，在Rt△CIA中，，在Rt△GAH中，，∴，∴，，在Rt△GHB中，，∴的最小值為．故答案為：．【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓的有關知識，勾股定理，相似三角形的判定和性質，解直角三角形，解本題的關鍵是構造出相似三角形，也是解本題的難點．16．（2023·江蘇揚州·校聯考二模）請認真閱讀下列材料：如圖①，給定一個以點O為圓心，r為半徑的圓，設點A是不同于點O的任意一點，則點A的反演點定義為射線上一點，滿足．顯然點A也是點的反演點．即點A與點互為反演點，點O為反演中心，r稱為反演半徑．這種從點A到點的變換或從點到點A的變換稱為反演變換．例如：如圖②，在平面直角坐標系中，點，以點O為圓心，為半徑的圓，交y軸的正半軸于點B；C為線段的中點，P是上任意一點，點D的坐標為；若C關于的反演點分別為．（1）求點的坐標；（2）連接、，求的最小值．解：（1）由反演變換的定義知：，其中，．∴，故點的坐標為；（2）如圖③，連接、，由反演變換知，即，而，∴．∴，即．∴．故的最小值為13.請根據上面的閱讀材料，解決下列問題：如圖④，在平面直角坐標系中，點，以點O為圓心，為半徑畫圓，交y軸的正半軸于點B，C為線段的中點，P是上任意一點，點D的坐標為．（1）點D關于的反演點的坐標為________；（2）連接、，求的最小值；（3）如圖⑤，以為直徑作，那么上所有的點（點O除外）關于的反演點組成的圖形具有的特征是__________________．【答案】（1）；（2）13；（3）過點A且與x軸垂直的一條直線【分析】（1）根據反演變換的定義即可求出結論；（2）連接，根據相似三角形的判定定理證出，列出比例式即可求出，然后代入所求關系式并根據兩點之間線段最短即可求出結論；（3）在上任取一點P，連接OP并延長至點P關于的反演點，連接AP和，根據相似三角形的判定定理證出，根據相似三角形的性質可得，然后根據直徑所對的圓周角是直角即可求出=90°，從而得出結論．【詳解】解：（1）由反演變換的定義知：，其中，．∴，∴點D關于的反演點的坐標為故答案為：；（2）連接，由反演變換知，即，而，∴．∴，即．∴．故的最小值13．（3）在上任取一點P，連接OP并延長至點P關于的反演點，連接AP和由反演變換知，即，而，∴，∴∵OA為的直徑∴90°∴=90°∴⊥x軸∴上所有的點（點O除外）關于的反演點組成的圖形具有的特征是過點A且與x軸垂直的一條直線故答案為：過點A且與x軸垂直的一條直線．【點睛】此題考查的是圓的綜合題型和相似三角形的判定及性質，掌握直徑所對的圓周角是直角、相似三角形的判定及性質和反演變換的定義是解題關鍵．17．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點P為圓上一動點，連接AP，BP，求：①，②，③，④的最小值．【答案】①；②；③；④．【分析】①在CB上取點D，使，連接CP、DP、AD．根據作圖結合題意易證，即可得出，從而推出，說明當A、P、D三點共線時，最小，最小值即為長．最后在中，利用勾股定理求出AD的長即可；②由，即可求出結果；③在CA上取點E，使，連接CP、EP、BE．根據作圖結合題意易證，即可得出，從而推出，說明當B、P、E三點共線時，最小，最小值即為長．最后在中，利用勾股定理求出BE的長即可；④由，即可求出結果．【詳解】解：①如圖，在CB上取點D，使，連接CP、DP、AD．∵，，，∴．又∵，∴，∴，即，∴，∴當A、P、D三點共線時，最小，最小值即為長．∵在中，．∴的最小值為；②∵，∴的最小值為；③如圖，在CA上取點E，使，連接CP、EP、BE．∵，，，∴．又∵，∴，∴，即，∴，∴當B、P、E三點共線時，最小，最小值即為長．∵在中，．∴的最小值為；④∵，∴的最小值為．【點睛】本題考查圓的基本性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理．正確的作出輔助線，并且理解三點共線時線段最短是解答本題的關鍵．18．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C為頂點的正方形CDEF（C、D、E、F四個頂點按逆時針方向排列）可以繞點C自由轉動，且CD＝，連接AF，BD（1）求證：△BDC≌△AFC（2）當正方形CDEF有頂點在線段AB上時，直接寫出BD＋AD的值；（3）直接寫出正方