第9講與圓有關(guān)的計(jì)算1弧長的計(jì)算弧長公式:半徑為R的圓中

360°的圓心角所對(duì)的弧長(圓的周長)公式：

n°的圓心角所對(duì)的圓的弧長公式：(弧是圓的一部分)

要點(diǎn)詮釋：

(1)對(duì)于弧長公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對(duì)的弧長是圓周長的，即；

(2)公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數(shù)，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；

(3)弧長公式所涉及的三個(gè)量：弧長、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

【例題精選】例1(2023秋?北碚區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上點(diǎn)，AO＝4，BC＝4，則劣弧的長度為（）A．π B．2π C．π D．π例2(2023?成都模擬）如圖，在⊙O中，∠C＝30°，OA＝2，則弧AB的長為（）A． B． C． D．π【隨堂練習(xí)】1．(2023?合肥二模）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝4，AC是的弦，過點(diǎn)O作OD∥AC交⊙O于點(diǎn)D，連接BC，若∠ABC＝24°，則劣弧CD的長為（）A． B． C． D．2．(2023?東莞市校級(jí)一模）如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，則的長為（）A．π B．π C．π D．π2扇形面積的計(jì)算1.扇形的定義

由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形.

2.扇形面積公式

半徑為R的圓中

360°的圓心角所對(duì)的扇形面積(圓面積)公式：

n°的圓心角所對(duì)的扇形面積公式：

要點(diǎn)詮釋：

(1)對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；

(2)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；

(4)扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：.

【例題精選】例1(2023?張家港市模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，則陰影部分的面積是（）A．2π B．π C． D．例2(2023?鎮(zhèn)江模擬）如圖所示，菱形ABCD邊長為2，∠ABC＝60°，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【隨堂練習(xí)】1．(2023?鐵西區(qū)二模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，若∠A＝45°，⊙O的半徑長為6，則陰影部分的面積為（）A．9π﹣18 B．9π C．6π D．18π﹣183圓錐的計(jì)算圓錐的側(cè)面積和全面積

連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線.

圓錐的母線長為，底面半徑為r，側(cè)面展開圖中的扇形圓心角為n°，則

圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積.

要點(diǎn)詮釋：

扇形的半徑就是圓錐的母線，扇形的弧長就是圓錐底面圓的周長.因此，要求圓錐的側(cè)面積就是求展開圖扇形面積，全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的.

【例題精選】例1(2023?湖州模擬）一個(gè)圓錐的底面半徑為4．側(cè)面展開圖是半徑為8的扇形，則該圓錐的側(cè)面積是（）A．8π B．16π C．32π D．48π例2(2023?北海模擬）如圖，一把遮陽傘撐開時(shí)母線的長是3m，底面半徑為2m，則做這把遮陽傘需用布料的面積是（）A．4πm2 B．2πm2 C．8πm2 D．6πm2【隨堂練習(xí)】1．(2023春?錫山區(qū)期中）已知圓錐的底面半徑為4cm，母線長為5cm，則圓錐的側(cè)面積是（）A．20cm2 B．20πcm2 C．10cm2 D．10πcm22．(2023?寧波模擬）將一個(gè)底面半徑為3cm，高為4cm的圓錐形紙筒沿一條母線剪開，所得的側(cè)面展開圖的面積為（）A．24πcm2 B．18πcm2 C．15πcm2 D．12πcm23．(2023?雙柏縣二模）一個(gè)圓錐的母線長是3，底面直徑是2，則這個(gè)圓錐的表面積為（）A．2π B．3π C．4π D．5π4．(2023?通州區(qū)一模）若用半徑為6，圓心角為120°的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓半徑為（）A．1 B．2 C．3 D．45．(2023?嘉祥縣一模）圓錐的側(cè)面積為8π，母線長為4，則它的底面半徑為（）A．2 B．1 C．3 D．4綜合應(yīng)用一．選擇題1．已知扇形的圓心角為120°，半徑長為3，則該扇形的面積為（）A．2π B．3π C．6π D．12π2．已知一個(gè)圓錐的底面半徑為5cm，高為cm，則這個(gè)圓錐的表面積為（）A．5πcm2 B．30πcm2 C．55πcm2 D．85πcm23．若一個(gè)圓錐的母線長為6cm，它的側(cè)面展開圖是半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．6cm4．在半徑為1的圓中，圓心角為120°所對(duì)的弧長是（）A． B． C． D．二．解答題5．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG的邊長分別是a厘米和b厘米，圖中陰影部分是由BF、BC和弧CF圍成，求陰影部分的面積．6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的圓，交AC于E點(diǎn)，交BC于D點(diǎn)．（1）若AB＝8，∠C＝60°，求陰影部分的面積；（2）當(dāng)∠A為銳角時(shí)，試說明∠A與∠CBE的關(guān)系．7．如圖，圖中圓O的周長為8π，OA＝OB＝OD，AC＝OC＝BC，角AOD為45度，求圖中陰影部分（即扇形AOD）的面積．（結(jié)果保留π）8．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝30°，CD＝，求陰影部分的面積．第9講與圓有關(guān)的計(jì)算1弧長的計(jì)算弧長公式:半徑為R的圓中

360°的圓心角所對(duì)的弧長(圓的周長)公式：

n°的圓心角所對(duì)的圓的弧長公式：(弧是圓的一部分)

要點(diǎn)詮釋：

(1)對(duì)于弧長公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對(duì)的弧長是圓周長的，即；

(2)公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數(shù)，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；

(3)弧長公式所涉及的三個(gè)量：弧長、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

【例題精選】例1(2023秋?北碚區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上點(diǎn)，AO＝4，BC＝4，則劣弧的長度為（）A．π B．2π C．π D．π分析：連接OC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到∠A＝60°，求得∠BOC＝2∠A＝120°，由弧長公式即可得到結(jié)論．【解答】解：連接OC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AO＝4，∴AB＝8，∵BC＝4，∴sinA＝＝＝，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°，∴劣弧的長度＝＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧長的計(jì)算，圓周角定理，三角函數(shù)的定義，熟練掌握弧長的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．例2(2023?成都模擬）如圖，在⊙O中，∠C＝30°，OA＝2，則弧AB的長為（）A． B． C． D．π分析：根據(jù)圓周角定理求出圓心角∠AOB的度數(shù)，然后根據(jù)弧長公式求解即可．【解答】解：∵∠C＝30°，根據(jù)圓周角定理可知：∠AOB＝60°，∵OA＝2，∴l(xiāng)＝＝，∴弧AB的長為π．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查弧長的計(jì)算，掌握弧長的計(jì)算公式l＝（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為r）是解題關(guān)鍵，難度一般．【隨堂練習(xí)】1．(2023?合肥二模）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝4，AC是的弦，過點(diǎn)O作OD∥AC交⊙O于點(diǎn)D，連接BC，若∠ABC＝24°，則劣弧CD的長為（）A． B． C． D．【解答】解：連接OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝24°，∴∠A＝90°﹣24°＝66°，∴∠BOC＝2×66°＝132°，∵AC∥OD，∴∠BOD＝∠A＝66°，∴∠COD＝132°﹣66°＝66°，∵AB＝4，∴劣弧CD的長＝＝；故選：B．2．(2023?東莞市校級(jí)一模）如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，則的長為（）A．π B．π C．π D．π【解答】解：∵∠B＝45°，∴∠AOC＝90°，∵⊙O的半徑為1，∴的長＝＝＝π，故選：C．2扇形面積的計(jì)算1.扇形的定義

由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形.

2.扇形面積公式

半徑為R的圓中

360°的圓心角所對(duì)的扇形面積(圓面積)公式：

n°的圓心角所對(duì)的扇形面積公式：

要點(diǎn)詮釋：

(1)對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；

(2)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；

(4)扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：.

【例題精選】例1(2023?張家港市模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，則陰影部分的面積是（）A．2π B．π C． D．分析：先根據(jù)圓周角定理得到∠BOD＝60°，然后根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算陰影部分的面積．【解答】解：∵∠BCD＝30°，∴∠BOD＝2∠BCD＝60°，∴陰影部分的面積＝＝π．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形面積計(jì)算，圓周角定理，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．例2(2023?鎮(zhèn)江模擬）如圖所示，菱形ABCD邊長為2，∠ABC＝60°，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．分析：連接BD，AC交于O，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC＝2AO，BD＝2BO，AC⊥BD，解直角三角形得到AC＝2，BD＝2，于是得到結(jié)論．【解答】解：連接BD，AC交于O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC＝2AO，BD＝2BO，AC⊥BD，∵∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°，∵AB＝2，∴AO＝AB＝1，BO＝AB＝，∴AC＝2，BD＝2，∴陰影部分的面積＝S菱形ABCD﹣S扇形ABC＝2×2﹣＝2﹣π故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形的面積的計(jì)算，菱形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．【隨堂練習(xí)】1．(2023?鐵西區(qū)二模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，若∠A＝45°，⊙O的半徑長為6，則陰影部分的面積為（）A．9π﹣18 B．9π C．6π D．18π﹣18【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圓，∠A＝45°，⊙O的半徑長為6，∴∠COB＝90°，OA＝OB＝6，∴陰影部分的面積是：＝9π﹣18，故選：A．3圓錐的計(jì)算圓錐的側(cè)面積和全面積

連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線.

圓錐的母線長為，底面半徑為r，側(cè)面展開圖中的扇形圓心角為n°，則

圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積.

要點(diǎn)詮釋：

扇形的半徑就是圓錐的母線，扇形的弧長就是圓錐底面圓的周長.因此，要求圓錐的側(cè)面積就是求展開圖扇形面積，全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的.

【例題精選】例1(2023?湖州模擬）一個(gè)圓錐的底面半徑為4．側(cè)面展開圖是半徑為8的扇形，則該圓錐的側(cè)面積是（）A．8π B．16π C．32π D．48π分析：首先求得扇形的弧長，然后利用扇形的面積公式求得圓錐的側(cè)面展開扇形的面積即可．【解答】解：∵圓錐的底面半徑為4，∴圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長為8π，∵側(cè)面展開扇形的半徑為8，∴該圓錐的側(cè)面積為lr＝×8×8π＝32π，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟記扇形的面積公式，難度不大．例2(2023?北海模擬）如圖，一把遮陽傘撐開時(shí)母線的長是3m，底面半徑為2m，則做這把遮陽傘需用布料的面積是（）A．4πm2 B．2πm2 C．8πm2 D．6πm2分析：由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，所以通過計(jì)算圓側(cè)的面積可得到做這把遮陽傘需用布料的面積．【解答】解：做這把遮陽傘需用布料的面積＝×2π×2×3＝6π（m2）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．【隨堂練習(xí)】1．(2023春?錫山區(qū)期中）已知圓錐的底面半徑為4cm，母線長為5cm，則圓錐的側(cè)面積是（）A．20cm2 B．20πcm2 C．10cm2 D．10πcm2【解答】解：這個(gè)圓錐的側(cè)面積＝×2π×4×5＝20π（cm2）．故選：B．2．(2023?寧波模擬）將一個(gè)底面半徑為3cm，高為4cm的圓錐形紙筒沿一條母線剪開，所得的側(cè)面展開圖的面積為（）A．24πcm2 B．18πcm2 C．15πcm2 D．12πcm2【解答】解：圓錐的母線長＝＝5，所以圓錐的側(cè)面積＝×2π×3×5＝15π（cm2）．故選：C．3．(2023?雙柏縣二模）一個(gè)圓錐的母線長是3，底面直徑是2，則這個(gè)圓錐的表面積為（）A．2π B．3π C．4π D．5π【解答】解：這個(gè)圓錐的表面積＝π?12+×2π×1×3＝4π．故選：C．4．(2023?通州區(qū)一模）若用半徑為6，圓心角為120°的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓半徑為（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：扇形的弧長＝＝4π，∴圓錐的底面圓的周長＝4π，∴圓錐的底面圓半徑＝＝2，故選：B．5．(2023?嘉祥縣一模）圓錐的側(cè)面積為8π，母線長為4，則它的底面半徑為（）A．2 B．1 C．3 D．4【解答】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)題意得×2πr×4＝8π，解得r＝2．故選：A．綜合應(yīng)用一．選擇題1．已知扇形的圓心角為120°，半徑長為3，則該扇形的面積為（）A．2π B．3π C．6π D．12π【解答】解：S扇形＝＝3π，故選：B．2．已知一個(gè)圓錐的底面半徑為5cm，高為cm，則這個(gè)圓錐的表面積為（）A．5πcm2 B．30πcm2 C．55πcm2 D．85πcm2【解答】解：底面周長是2×5π＝10πcm，底面積是：52π＝25πcm2．母線長是：＝6（cm），則圓錐的側(cè)面積是：×10π×6＝30π（cm2），則圓錐的表面積為25π+30π＝55π（cm2）．故選：C．3．若一個(gè)圓錐的母線長為6cm，它的側(cè)面展開圖是半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．6cm【解答】解：設(shè)圓錐底面半徑為rcm，那么圓錐底面圓周長為2πrcm，所以側(cè)面展開圖的弧長為2πrcm，S圓錐側(cè)面積＝×2πr×6＝，解得：r＝3，故選：C．4．在半徑為1的圓中，圓心角為120°所對(duì)的弧長是（）A． B． C． D．【解答】解：120°的圓心角所對(duì)的弧長＝＝．故選：A．二．解答題5．如圖，正方形ABCD