第一講分解質因數

（2課時）

【學習導航】

一個自然數的因數中，為質數的因數叫做這個數的質因數。

把一個合數，用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。例如：24=2X2X2X3,

75=3X5X5。

分解質因數，是為數學課本上介紹的求最大公約數和最小公倍數服務的。其實，把一個

自然數分解成幾個質因數相乘的形式，能啟發我們尋找解答許多難題的突破口，從而有助于

我們順利解題。

一個質數的因數只有兩個：1和它本身。1既不是質數，也不是合數。2是最小的質數，

同時也是一個偶數。注意：在所有的質數中，只有一個偶數，那就是2,正因為如此，兩個

質數之和不一定是偶數，兩個質數之積不一定是奇數，這個特性經常成為解題的突破口。

例1

有168顆糖，平均分成若干份，每份不得少于10顆，也不能多于50顆。共有多少種分

法？

【思路導航】先把168分解質因數，168=2X2X2X3X7,由于每份不得少于10顆，也

不能多于50顆，所以，

從這5個質因數中任選1個,不符合要求；

從這5個質因數中任選2個:每份有2X7=14顆，3X7=21顆；

從這5個質因數中任選3個,每份有2X2X3=12顆，2X2X7=28顆，2X3X7=42顆;

從這5個質因數中任選4個,每份有2X2X2X3=24顆；

從這5個質因數中任選5個,不符合栗求；

故共有6種分法。

試一試

把462名學生分成人數相等的若干組去參加課外活動小組，每小組人數在10至25人之

間，求每組的人數及分成的組數。

例2

將下面八個數平均分成兩組，使這兩組數的乘積相等。

2、5、14、24、27、55、56、99

【思路導航】14=2X755=5X11

1

24=2X2X2X356=2X2X2X7

27=3X3X399=3X3X11

可以看出，這八個數中，共含有八個2,六個3,二個5,二個7和二個11。因為栗把這

八個數分成兩組，且積相等，所以，每組數中應含有四個2,三個3,一個5,一個7和一個

11o故分成的兩組為（5、99、24、14）和（55、27、56、2）。

試一試

下面四張小紙片各蓋住一個數字，如果這四個數字是連續的偶數，請寫出這個完整的算

式。

□□><□□=1288

例3

王老師帶領一班同學去植樹，學生恰好分成4組。如果王老師和學生每人植樹一樣多，

那么他們一共植了539棵。這個班有多少個學生？每人植樹多少棵？

【思路導航】根據每人植樹棵數X人數=539棵，把539分解質因數。539=7X7X11,如

果每人植7棵，這個班就有7X11—1=76人；如果每人植樹11棵，這個班共有7X7—1=48

人。

試一試

3月12日是植樹節，李老師帶領同學們排成兩路人數相等的縱隊去植樹。已知李老師和

同學們每人植樹的棵數相等，一共植了111棵樹，求有多少個學生。

例4

下面的算式里，□里數字各不相同，求這四個數字的和。

□□xnn=i995

【思路導航】要使兩個兩位數的積等于1995,那么，這兩個數的積應和1995有相同的

質因數。1995=3X5X7X19,可以有35X57=1995和21X95=1995。因為栗滿足''數字各不

相同”的條件，所以取21X95=1995,這四個數字的和是：2+1+9+5=17。

2

試一試

在下面算式的框內，各填入一個數字，使算式成立，要求寫出所有的情況。

□□□X0=1995

例5

三個質數的和是80,這三個數的積最大可以是多少？

【思路導航】三個質數相加的和是偶數，必有一個質數是2O80-2=78,剩下兩個質數

的和是78,而且要使它們的積最大，只能是41和37。因此，這三個質數是2、37和41。

最大積是2X37X41=3034

問題：兩個自然數的和一定，這兩個自然數滿足什么關系時，乘積最大？

試一試

有三個質數，它們的乘積是1001,這三個質數各是多少？

例6

長方形的面積是375平方米，已知它的寬比長少10米，長和寬的和是多少米？

【思路導航】這道題如果用方程來解會比較麻煩，我們可以把375分解質因數看一看。

375=5X5X5X3,因為5X5比5X3正好多10,所以，此長方形的長是5X5=25米，寬是5

X3=15米，它們的和是40米。

試一試

237除以一個兩位數，所得的余數是6,請寫出適合于這個條件的所有兩位數。

3

例7

某班同學在班主任老師帶領下去種樹，學生恰好平均分成三組，如果師生每人種樹一樣

多，一共種了1073棵，那么，平均每人種了多少棵？

【思路導航】根據每人種樹棵數X參加人數=1073,把1073分解質因數：1073=29X37,

再根據學生恰好平均分成三組可知：參加種樹的人數是3的倍數多1,由于只有37比3的倍

數多1,所以有37人，平均每人種29棵。

問題：對于一個比較大的自然數，如何判斷它是質數還是合數呢？

依次用2,3,5等質數去除，當所得的商比除數小，且余數不為零，它一定是質數

對于此題，顯然1073是合數，而且1073=總人數X每人所種棵數，這兩個因數的個位要么是

1、3,要么是7、9,然后進行估算，這樣就容易得出正確的結果。

試一試

一個長方體的長、寬、高是三個連續的自然數。已知這個長方體的體積是9240立方厘

米，那么，這個長方體的表面積是多少？

例8(等接觸分數之后再學這一部分)

.155,221“八

把1-----守口---約27。

186187

【思路導航】這兩個分數的分子和分母都比較大，不能一眼看出分子和分母的公約數。

我們可以先求出分子與分母的差，如果差是質數，就直接用這個質數去約分；如果差是合數,

就把這個合數分解質因數，然后用其中的一個質數去約分。

(1)186-155=31,31是質數，用31約分得：—=-；

1866

22113

(2)221-187=34,34=2X17,用17約分得：——o

18711

試一試

請用上面的方法把下面的幾個分數約分。

46143247161

69117323253

4

例9

小明用2.16元買了一種畫片若干張，如果每張畫片的價錢便宜1分錢，那么他還能多買

3張。小明買了多少張畫片？

【思路導航】根據題意可知：畫片的單價X張數=216分，它們的積分解成的質因數與216

的質因數相同。我們可以先把216分解質因數，再寫成兩數相乘的形式分析：216=2X2X2

X3X3X3=8X27=9X24,顯然，216分可以買8分的畫片27張，也可以買9分的畫片24張。

所以，小明買了24張畫片，符合題意。

試一試

求2310的約數中，除它本身以外最大的約數是多少？

練習題

1、甲數比乙數大9,兩個數的積是792,求甲、乙兩數分別是多少。

2、把1、2、3、4、5、6、7、8、9九張卡片分給甲、乙、丙三人，每人各3張。甲說：“我

的三個數的積是48。”乙說：“我的三個數的和是16。”丙說：“我的三個數的積是63。”甲、

乙、丙各拿了哪幾張卡片？

5

3、有三個自然數a、b、c,已知aXb=30,bXc=35,cXa=42,求aXbXc的積是多少？

4、把40、44、45、63、65、78、99、105這八個數平分成兩組，使兩組四個數的乘積相等。

5、小青去看電影，他買的票的排數與座位號數的積是391,而且排數比座位號數大6。小青

買的電影票是幾排幾座？

6、把一籃蘋果分給4人，使四人的蘋果數一個比一個多2,且他們的蘋果個數之積是1920,

這籃蘋果共有多少個？

7、有一個長方體，它的長、寬、高是三個連續的自然數，且體積是39270立方厘米，求這個

長方體的表面積。

6

8、有三個自然數a,b,c,已知aXb=35,bXc=55,aXc=77,求三個數之積是多少？

9、張明是個初中生，有一次，他參加數學競賽后，所得的名次、分數和他的年齡三者的積是

2910o求張明的成績、名次和年齡分別是多少？

10、寫出若干個連續的自然數，使它們的積是15120。

11、有4個孩子，恰好一個比一個大1歲，4人的年齡積是3024,這4個孩子中最大的幾歲？

12、有一塊長方形的場地，它是由319塊1平方分米的水泥方磚鋪成的，求這塊長方形場地

的周長。

7

13、老師用216元買一種鋼筆若干支，如果每支鋼筆便宜1元錢，那么他就能多買3支。每

支鋼筆原價多少元？

14、王老師帶同學們擦玻璃，同學們恰好平均分成3組。如果師生每人擦的塊數同樣多，一

共擦111塊，那么，平均每人擦了多少塊？

15、自然數a乘以2376,所得的積正好是自然數b的平方（也就是bXb）,求a最小是多少？

16、將750元獎金平均分給若干個獲獎者，如果每人所得的錢數化成角為單位的數就正好是

獲獎者人數的12倍，求獲獎人數和每人分得的獎金數。

8

第二講“牛吃草，，問題

（2課時）

【學習導航】

牛吃草問題是牛頓最先提出來的，因此也被人們稱為“牛頓問題”。“一堆草可供10頭牛

吃3天，供6頭牛吃幾天？”這題很簡單，用3X10+6=5（天），如果把“一堆草”換成“一

片正在生長的草地”，問題就不那么簡單了。因為草每天都在生長，草的數量在不斷變化。這

類工作總量不固定（均勻變化）的問題就是“牛吃草”問題。

解答這類題的關鍵是要想辦法從變化中找到不變的量。牧場上原有的草是不變的，新長

出的草雖然在變化，因為是勻速生長，所以每天新長出的草是不變的。正確計算草地上原有

的草及每天長出的草，問題就容易解決了。

例1

一片青草地，每天都勻速長出青草，這片青草可供27頭牛吃6周或23頭牛吃9周，那

么這片草地可供21頭牛吃幾周？

【思路導航】這片草地上的草的數量每天都在變化，解題的關鍵應找到不變量——即原

來的草的數量。因為總草量可以分成兩部分：原有的草與新長出的草。新長出的草雖然在變，

但應注意到是勻速生長，因而這片草地每天新長出的草的數量也是不變的。

假設1頭牛一周吃的草的數量為1份，那么27頭牛6周需要吃27X6=162（份），此時

新草與原有的草均被吃完；23頭牛9周需吃23X9=207（份），此時新草與原有的草也均被吃

完。而162份是原有的草的數量與6周新長出的草的數量的總和；207份是原有的草的數量

與9周新長出的草的數量的總和，因此每周新長出的草的份數為：（207-162）4-（9-6）=15

（份），所以，原有草的數量為：16275X6=72（份）。這片草地每周新長草15份相當于可安

排15頭牛專吃新長出來的草，于是這片草地可供21頭牛吃72：（21-15）=12（周）

試一試

一片草地，每天都勻速長出青草，如果可供24頭牛吃6天，20頭牛吃10天，那么可供

19頭牛吃幾天？

例2

由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不生長，反而以固定速度在減少。已知某塊草地

上的草可供20頭牛吃5天或可供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃10天？

【思路導航】與例1不同的是，不僅沒有新長出的草，而且原有的草還在減少，但是，

我們同樣可以利用與例1類似的方法求出每天減少的草和原來的草的總量。

設1頭牛1天吃的草為1份，20頭牛5天吃100份，這100份草等于牧場上原有草的數

9

量減去5天減少的量；15頭牛6天吃90份，這90份草等于牧場上原有草的數量減去6天減

少的量，說明寒冷的天氣使牧場1天減少青草10份。由“草地上的草可供20頭牛吃5天”，

再加上寒冷導致的每天減少的10份草量，所以原有草量有（20+10）X5=150（份），10天要

損失100份，可供吃的只有50份，而一頭牛10天要吃10份草，故只能供5頭牛吃10天。

試一試

由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草每天以均勻的速度在減少。經計算，牧場上的草可供

20頭牛吃5天或可供16頭牛吃6天。那么，可供11頭牛吃幾天？

例3

自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘

走20級臺階，女孩每分鐘走15級臺階，結果男孩用5分鐘到達樓上，女孩用了6分鐘到達

樓上。問：該扶梯共有多少級臺階？

【思路導航】與前兩個題比較，“總的草量”變成了“扶梯的臺階總數”，“草”變成了“臺

階”，“牛”變成了“人”，也可以看成是牛吃草問題。

上樓的速度可以分為兩部分：一部分是男孩、女孩自己的速度，另一部分是自動扶梯的

速度，因此上樓走的臺階數也可分為兩部分：男孩5分鐘走的20X5=100（級）加上自動扶

梯5分鐘走的級數等于總的臺階數，女孩6分鐘走的15X6=90（級）加上自動扶梯6分鐘走

的級數也等于總的臺階數。女孩比男孩少走了100—90=10（級），多用了6—5=1（分鐘），說

明電梯1分鐘走10級。因男孩5分鐘到達樓上，他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之

和。所以，扶梯共有（20+10）X5=150（級）

試一試

自動扶梯以均勻速度行駛著，渺小明和小紅從扶梯上樓。已知小明每分鐘走25級臺階，

小紅每分鐘走20級臺階，結果小明用5分鐘，小紅用了6分鐘分別到達樓上。該扶梯共有多

少級臺階？

10

例4

一艘船有一個漏洞，水以均勻的速度進入船內，發現漏洞時已經進了一些水。如果用12

人舀水，3小時舀完。如果只有5個人舀水，要10小時才能舀完。現在要想2小時舀完，需

要多少人？

【思路導航】設一個人1小時可舀水1份，12個人3小時可舀水36份，這36份水是由

原來的水加上3小時漏進來的水組成的，5個人10小時可舀水50份，這50份水是由原來的

水加上10小時漏進來的水組成的，我們發現多漏進7（10-3=7）小時，就可多漏進14（50-36=14）

份水，這說明每小時可漏進2份水，那么原來就有5X10-2X10=30份水。

如果要2小時舀完，這時共舀水30+2X2=34份，而一個人2小時可舀水2份，故只需栗

342=17（人）即可在2小時內舀完。

試一試

有一水池，池底有泉水不斷涌出。用10部抽水機20小時可以把水抽干，用15部相同的

抽水機10小時可以把水抽干。那么用25部這樣的抽水機多少小時可以把水抽干？

例5

有三塊草地，面積分別為5,6,和8公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一

塊草地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。問第三塊草地可供19頭牛吃

多少天？

【思路導航】前面我們接觸的是在同一塊草地上，同一個水池中，現在是三塊面積不同

的草地。為了解決這個問題，只需將三塊草地的面積統一起來。即[5,6,8]=120

這樣，第一塊5公頃可供11頭牛吃10天，120:5=24,變為120公頃草地可供11X24=264

（頭）牛吃10天

第二塊6公頃可供12頭牛吃14天，120:6=20,變為120公頃草地可供12X20=240（頭）

牛吃14天。

120+8=15。問題變成：120公頃草地可供19X15=285（頭）牛吃幾天？

因為草地面積相同，可忽略具體公頃數，原題可變為：一塊草地勻速生長，可供264頭

牛吃10天或供240頭牛吃14天，那么可供285頭牛吃幾天？即：

每天新長出的草：（240X14—264X10）4-（14—10）=180（份）

草地原有草：（264—180）X10=840（份）

可供285頭牛吃的時間：8404-（285—180）=8（天）

答：第三塊草地可供19頭牛吃8天。

11

試一試

某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數一樣多。從開始檢票到等候

檢票的隊伍消失，同時開4個檢票口需30分鐘，同時開5個檢票口需20分鐘。如果同時打

開7個檢票口，那么需多少分鐘？

練習題

1、牧場上一片草地，每天牧草都勻速生長，這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭

牛吃10天，問可供25頭牛吃幾天？

2、牧場上的青草每天都在勻速生長，這片青草可供27頭牛吃6周或23頭牛吃9周，那么這

片草地可供21頭牛吃幾周？

3、由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草以固定速度在減少。已知牧場上的草可供33頭牛吃5

天或可供24頭牛吃6天。照此計算，這個牧場可供多少頭牛吃10天？

12

4、經測算，地球上的資源可供100億人生活100年，或可供80億人生活300年。假設地球

新生成的資源增長速度是一樣的，那么，為滿足人類不斷發展的需要，地球最多能養活多少

億人？

5、兩個頑皮的孩子逆著自動扶梯的方向行走。在20秒鐘里，男孩可走27級臺階，女孩可走

24級臺階，男孩走了2分鐘到達另一端，女孩走了3分鐘到達另一端，該扶梯共有多少級臺

階？

6、兩只蝸牛由于受不了陽光的照射，從井頂逃向井底。白天往下爬，兩只蝸牛白天爬行的速

度是不同的。一只每天白天爬20分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，兩只蝸牛滑行的

速度卻是相同的。結果一只蝸牛恰好用了5個晝夜到達井底，另一只蝸牛恰好用了6個晝夜

到達井底。那么，井深多少米？

7、有一個長方形的水箱，上面有一個注水孔，底面有一個出水孔，兩孔同時打開后，如果每

小時注水30立方分米，7小時可以注滿水箱；如果每小時注水45立方分米，注滿水箱可少

用2.5小時。那么每小時由底面小孔排出多少立方分米的水（設每小時排水量相同）？

13

8、有一水井，連續不段涌出泉水，每分鐘涌出的水量相等。如果用3臺抽水機來抽水，36

分鐘可以抽完；如果使用5臺抽水機，20分鐘抽完。現在12分鐘內栗抽完井水，需栗抽水

機多少臺？

9、快、中、慢三車同時從A地出發，追趕一輛正在行駛的自行車，三車的速度分別是嵋小時

24千米、20千米、19千米。快車追上自行車用了6小時，中車追上自行車用了10小時，慢

車追上自行車用多少小時？

10、一個牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供17頭牛吃30天，或供19頭牛吃24

天。現有一群牛吃了6天后賣掉4頭，余下的牛又吃了2天將草吃完。這群牛原來有多少頭？

14

第三講長方體和正方體（一）

（2課時）

【學習導航】

在數學競賽中，有許多有關長方體、正方體的問題。解答稍復雜的立體圖形問題要注意

幾點：

1.必須以基本概念和方法為基礎，同時把構成幾何圖形的諸多條件溝通起來；

2.依賴已經積累的空間觀念，觀察經過割、補后物體的表面積或體積所發生的變化；

3.求一些不規則的物體體積時，可以通過變形的方法來解決；

4.需栗有一定的空間想象能力；

5.栗看清單位，注意單位的換算。

例1

一個零件形狀大小如下圖：算一算，它的體積是多

少立方厘米？表面積是多少平方厘米？（單位：厘米）

【思路導航】（1）可以把零件沿虛線分成兩部分來

求它的體積，左邊的長方體體積是10X4X2=80（立方

厘米），右邊的長方體的體積是10X（6-2）X2=80（立

方厘米），整個零件的體積是80X2=160（立方厘米）；

（2）求這個零件的表面積，看起來比較復雜，其實，朝上的兩個面的面積和正好與朝

下的一個面的面積相等；朝右的兩個面的面積和正好與朝左的一個面的面積相等。因此，此

零件的表面積就是（10X6+10X4+2X2X4）X2=232（平方厘米）。

想一想：你還能用別的方法來計算它的體積嗎?

試一試

一個長5厘米，寬1厘米，高3厘米的長方體，被切去一個小長方體后（如圖），剩下部

分的表面積和體積各是多少?

15

例2

有一個長方體形狀的零件，中間挖去一個正方體的孔（如

圖），你能算出它的體積和表面積嗎？（單位：厘米）

【思路導航】（1）先求出長方體的體積，8X5X6=240（立

方厘米），由于挖去了一個孔，所以體積減少了2X2X2=8（立

方厘米），這個零件的體積是240—8=232（立方厘米）；

（2）長方體完整的表面積是（8X5+8X6+6X5）X2=236

（平方厘米），但由于挖去了一個孔，它的表面積減少了一個（2X2）平方厘米的面，同時又

增加了凹進去的5個（2X2）平方厘米的面，因此，這個零件的表面積是236+2X2X4=252

（平方厘米）。

試一試

有一個形狀如下圖的零件，求它的體積和表面積。（單位：厘米）。

例3

一■個正方體和一■個長方體拼成了一■個新的長方

體，拼成的長方體的表面積比原來的長方體的表面積

增加了50平方厘米。原正方體的表面積是多少平方厘

米？

【思路導航】一個正方體和一個長方體拼成新的長方體，其表面積比原來的長方體增加

了4塊正方形的面積，每塊正方形的面積是50+4=12.5（平方厘米）。正方體有6個這樣的

面，所以，原來正方體的表面積是12.5X6=75（平方厘米）。

試一試

把兩個完全一樣的長方體木塊粘成一個大長方體，這個大長方體的表面積比原來兩個長

方體的表面積的和減少了46平方厘米，而長是原來長方體的2倍。如果拼成的長方體的長是

24厘米，那么它的體積是多少立方厘米？

16

例4（這題有難度，現在不要講）

把11塊相同的長方體磚拼成一個大長方體。已知每塊磚的體積是288立方厘米，求大長

方體的表面積。

【思路導航】要求大長方體的表面積，必須知道它

的長、寬和高。我們用a、b、h分別表示小長方體的長、

1?

寬、高，顯然，a=4h,即卜=—a;2a=3b,即b=—a,

43

211i

磚的體積是abh=aX—aX—a=—a>由一a?=288可

3466

知，a=12,b=8,h=3o

大長方體的長是12X2=24厘米，寬12厘米，高是8+3=11厘米；

因此表面積=（24X12+24X11+12X11）X2=（你算對了嗎？）

試一試

一塊小正方體的表面積是6平方厘米，那么，由1000個這樣的小正方體所組成的大正方

體的表面積是多少平方厘米？

例5

一個長方體，前面和上面的面積之和是209平方厘米，這個長方體的長、寬、高以厘為

為單位的數都是質數。這個長方體的體積和表面積各是多少？

【思路導航】長方體的前面和上面的面積是長X寬+長X高=長X（寬+高），由于此長

方體的長、寬、高用厘米為單位的數都是質數，所以有209=11X19=11X（17+2）,即長、

寬、高分別為11、17、2厘米。知道了長、寬、高求體積和表面積就容易了。

試一試

有一個長方體，它的前面和上面的面積和是88平方厘米，且長、寬、高都是質數，那么

這個長方體的體積是多少？

17

練習題

1、把一根長2米的長方體木料鋸成1米長的兩段，表面積增加了2平方分米，求這根木料原

來的體積。

2、有一個長8厘米，寬1厘米，高3厘米的長方體木塊，在它的左右兩角各切掉一個正方體

（如圖），求切掉正方體后的表面積和體積各是多少？

3、有一個棱長是4厘米的正方體，從它的一個頂點處挖去一個棱長是1厘米的正方體后，剩

下物體的體積和表面積各是多少？

4、如果把上題中挖下的小正方體粘在另一個面上（如圖），那么得到的物體的體積和表面積

各是多少？

18

5、一根長80厘米，寬和高都是12厘米的長方體鋼材，從鋼材的一端鋸下一個最大的正方體

后，它的表面積減少了多少平方厘米？

6、把4塊棱長都是2分米的正方體粘成一個長方體，它們的表面積最多會減少多少平方分米?

7、一個長方體的體積是385立方厘米，且長、寬、高都是質數，求這個長方體的表面積。

8、有24個正方體，每個正方體的體積都是1立方厘米，用這些正方體可以拼成幾種不同的

長方體？用圖畫出來。

9、一個長方體的長、寬、高是三個連續偶數，體積是960立方厘米，求它的表面積。

10、一個長方體和一個正方體的棱長之長相等，已知長方體長、寬、高分別是6分米、4分

米、2分米，求正方體體積。

19

第四講長方體和正方體（二）

（2課時）

【學習導航】

在長方體、正方體問題中，我們還會常常遇到這樣一些情況：把一個物體變形為另一種

形狀的物體；把兩個物體熔化后鑄成一個物體；把一個物體浸入水中，物體在水中會占領一

部分的體積。

解答上述問題，必須掌握這樣幾點：

1、將一個物體變形為另一種形狀的物體（不計損耗），體積不變；

2、兩個物體熔化成一?個物體后，新物體的體積是原來物體體積的和；

3、物體浸沒水中，排開的水的體積等于物體的體積。

4、要看清單位，注意單位的換算。

例1

有兩個無蓋的長方體水箱，甲水箱里有水，乙水箱空著。從里面量，甲水箱長40厘米，

寬32厘米，水面高20厘米；乙水箱長30厘米，寬24厘米，深25厘米。將甲水箱中部分水

倒入乙水箱，使兩箱水面高度一樣，現在水面高多少厘米？

【思路導航】由于后來兩個水箱里的水面的高度一樣，我們可以這樣思考：把兩個水箱

并靠在一起，水的體積就是（甲水箱的底面積+乙水箱的底面）X水面的高度。這樣，我們只

要先求出原來甲水箱中水的體積：40X32X20=25600（立方厘米），再除以兩只水箱的底面積

和：40X32+30X24=2000（平方厘米），就能得到后來水面的高度。現在你能計算出來嗎？

試一試

有兩個水池，甲水池長8分米、寬6分米、水深3分米，乙水池空著，它長6分米、寬

和高都是4分米。現在要從甲水池中抽一部分水到乙水池，使兩個水池中水面同樣高。問水

面高多少？

例2

將表面積分別為54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三個鐵質正方體熔成一個

大正方體（不計損耗），求這個大正方體的體積。

【思路導航】因為正方體的六個面都相等，而54=6X9=6X（3X3）,所以這個正方體的

棱是3厘米。用同樣的方法求出另兩個正方體的棱長：96=6X（4X4）,棱長是4厘米；150=6

X（5X5）,棱長是5厘米。知道了棱長就可以分別算出它們的體積，這個大正方體的體積就

等于它們的體積和。現在你能計算出來嗎？

20

試一試

有三個正方體鐵塊，它們的表面積分別是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。

現將三塊鐵熔成一個大正方體，求這個大正方體的體積。

例3

有一個長方體容器，從里面量長5分米、寬4分米、高6分米，里面注有水，水深3分

米。如果把一塊邊長2分米的正方體鐵塊浸入水中，水面上升多少分米？

【思路導航】鐵塊的體積是2X2X2=8（立方分米），把它浸入水中后，它就占了8立方

分米的空間，因此，水上升的體積也就是8立方分米，用這個體積除以底面積（5X4）就能

得到水上升的高度了。現在你能計算出來嗎？

試一試

有一個小金魚缸，長4分米、寬3分米、水深2分米。把一塊假山石浸入水中后，水面

上升0.8分米。這塊假山石的體積是多少立方分米？

例4

有一個長方體容器（如下圖），長30厘米、寬20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。

如果把這個容器蓋緊，再朝左豎起來，里面的水深應該是多少厘米？

【思路導航】首先求出水的體積：30X20X6=3600

（立方厘米）。當容器豎起來以后，水流動了，但體積沒

有變，這時水的形狀是一個底面積是20X10=200平方厘

米的長方體。只要用體積除以底面積就知道現在水的深度

了。現在你能計算出來嗎？

21

試一試

有兩個長方體水缸，甲缸長3分米，寬和高都是2分米；乙缸長4分米、寬2分米，里

面的水深1.5分米。現把乙缸中的水倒進甲缸，水在甲缸里深幾分米？

例5

長方體不同的三個面的面積分別為10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。這個長方

體的體積是多少立方厘米？

【思路導航】長方體不同的三個面的面積分別是長X寬、長X高、寬X高得來的。因此，

15X10X6=（長X寬X高）X（長義寬X高），而15X10X6=900=30X30。所以，這個長方

體的體積是30立方厘米。

試一試

一個長方體，不同的三個面的面積分別是25平方厘米、18平方厘米和8平方厘米，這

個長方體的體積是多少立方厘米？

練習題

1、在一個長15分米、寬12分米的長方體水箱中，有10分米深的水。如果在水中沉入一個

棱長為30厘米的正方體的鐵塊，那么，水箱中水深多少分米？

22

2、一段鋼材長15分米，橫截面面積是1.2平方分米。如果把它燃燒成一橫截面面積是0.1

平方分米的鋼筋，求這根鋼筋的長。

3、將表面積分別為216平方厘米和384平方厘米的兩個正方體鐵塊熔成一個長方體，已知這

個長方體的長是13厘米，寬7厘米，求它的高。

4、把8塊邊長是1分米的正方體鐵塊熔成一個大正方體，這個大正方體的表面積是多少平方

分米？

5、有一個正方體容器，邊長是24厘米，里面注滿了水。有一根長50厘米，橫截面是12平

方厘米的長方形的鐵棒，現將鐵棒垂直插入水中。問：會溢出多少立方厘米的水？

6、有一塊邊長是5厘米的正方體鐵塊，浸沒在一個長方體容器里的水中。取出鐵塊后，水面

下降了0.5厘米。這個長方體容器的底面積是多少平方厘米？

23

7、有一塊邊長2分米的正方體鐵塊，現把它燃造成一根長方體，這長方體的截面是一個長4

厘米、寬2厘米的長方形，求該長方體的高。

8、一個長方體，不同的三個面的面積分別是35平方厘米、21平方厘米和15平方厘米，且

長、寬、高都是質數，這個長方體的體積是多少立方厘米？

9、一個長方體的體積是48立方厘米，并且長、寬、高是三個連續的偶數。這個長方體的表

面積是多少平方厘米？

10、一個長方體容器內裝滿水，現在有大中小三個鐵球。第一次把小球沉入水中；第二次把

小球取出，把中球沉入水中；第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水中。已知每次從

容器中溢出的水量情況是：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2.5倍。問：大球的

體積是小球的多少倍？

24

第五講長方體和正方體（三）

（2課時）

【學習導航】

解答有關長方體和正方體的拼、切問題，除了要切實掌握長方體、正方體的特征，熟悉

計算方法，仔細分析每一步操作后表面積、體積的變化情況外，還必須知道：把一個長方體

或正方體沿水平方向或垂直方向切割成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。

此外，對于長方體、正方體的涂色問題也是競賽中的常見題型。

例1

一個棱長為6厘米的正方體木塊，如果把它鋸成棱長為2厘米的正方體若干塊，表面積

增加多少厘米？

【思路導航】把棱長為6厘米的正方體鋸成棱長為2厘米的正方

體，可以按下圖中的線共鋸6次，每鋸一次就增加2個6X6=36平方

厘米的面，鋸6次共增加36X2X6=432平方厘米的面積。因此，鋸

好后表面積增加432平方厘米。

你還有其它方法嗎？

試一試

把27塊棱長是1厘米的小正方體堆成一個大正方體，這個大正方體的表面積比原來所有

的小正方體的表面積之和少多少平方厘米？

例2

有一個正方體木塊，把它分成兩個長方體后，表面積增加了24平方厘米，這個正方體木

塊原來的表面積是多少平方厘米？

【思路導航】把正方體分成兩個長方體后，增加了兩個面，每個面的面積是24:2=12平

方厘米，而正方體有6個這樣的面。所以原正方體的表面積是12X6=72平方厘米。

試一試

把三個棱長都是2厘米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的表面積是多少平方厘

米？

25

例3

有一個正方體，棱長是3分米。如果按下圖把它切成棱長是1分米的小正方體，這些小

正方體的表面積的和是多少？

【思路導航】在切的過程中，每切一刀，就會增加兩個3X3平方

分米的面，你能用這種思路來計算所求問題嗎？///X\/

試一試

用棱長是1厘米的小正方體擺成一個稍大一些的正方體，至少需栗多少個小正方體？如

果要擺一個棱長是6厘米的正方體，需要多少個小正方體？

例4

一個正方體的表面涂滿了紅色，然后如下圖切開，切開的小正

方體中：

(1)三個面涂有紅色的有幾個？

(2)二個面涂有紅色的有幾個？

(3)一個面涂有紅色的有幾個？

(4)六個面都沒有涂色的有幾個？

【思路導航】按題中的要求切，切成的小正方體一共有3X3X3=27個。

(1)三個面涂有紅色的小正方體在大正方體的頂點處，共有8個；

(2)二個面涂有紅色的小正方體在大正方體的棱上，共有1X12=12個；

(3)一個面涂有紅色的小正方體在大正方體的六個面上，共有1X6=6個;

(4)六個面都沒有涂色的在大正方體的中間，有27—(8+12+6)=1個。

涂色問題總結一下：

對于一個nXnXn的正方體，涂色情況如下:

三面涂色的塊數：8塊

兩面涂色的塊數：(n-2)X12塊

26

一面涂色的塊數：(n-2)X(n-2)X6塊

沒有涂色的塊數：(n-2)X(n-2)X(n-2)塊

對于一個aXbXc的長方體，涂色情況如下：

三面涂色的塊數：8塊

兩面涂色的塊數：(a-2+b-2+c-2)X4塊

一面涂色的塊數：[(a-2)X(b-2)+(a-2)X(c-2)+(b-2)X(c-2)]X2塊

沒有涂色的塊數：(a-2)X(b-2)X(c-2)塊

試一試

把一個棱長是5厘米的正方體的六個面涂滿紅色，然后切成1立方厘米的小正方體，這

些小正方體中，一面涂紅色的、二面涂紅色的、三面涂紅色的以及六個面都沒有涂色的各有

多少個？

例5

一個長方體的長、寬、高分別是6厘米、5厘米和4厘米，若把它切割成三個體積相等

的小長方體，這三個小長方體表面積的和最大是多少平方厘米？

【思路導航】這個長方體原來的表面積是(6X5+6X4+5X4)X2=148平方厘米，每

切割一刀，增加2個面。切成三個體積相等的小長方體栗切2刀，一共增加2X2=4個面。要

求表面積和最大，應該增加4個6X5=30平方厘米的面。所以，三個小長方體表面積和最大

是148+6X5X4=268平方厘米。

試一試

有三