專題21橢圓（解答題壓軸題）①橢圓的弦長（焦點弦）問題1．（2022·湖南·長沙一中高二階段練習）已知橢圓：的左?右頂點分別為，下頂點為.(1)設點為橢圓上位于第一象限內一動點，直線與軸交于點.直線于軸交于點，求四邊形的面積；(2)設直線l與橢圓交于不同于右頂點的兩點，且，求的最大值.2．（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓．(1)若過橢圓的一個焦點引兩條相互垂直的弦、．求證：是定值；(2)若、在橢圓上且．求證：是定值．3．（2022·安徽·安慶市其次中學高二期末）已知橢圓：的左、右頂點分別為A，B，左焦點為F，，.(1)求橢圓的標準方程；(2)設點P為x軸上的點，經過F且不垂直于坐標軸的直線l與C交于M，N兩點，且.證明；.4．（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓的左焦點，長軸長與短軸長的比是．(1)求橢圓的方程；(2)過作兩直線交橢圓于四點，若，求證：為定值．5．（2022·青海·模擬預料（理））已知橢圓C：，圓O：，若圓O過橢圓C的左頂點及右焦點．(1)求橢圓C的方程；(2)過點作兩條相互垂直的直線，，分別與橢圓相交于點A，B，D，E，試求的取值范圍．6．（2022·浙江·杭師大附中模擬預料）已知橢圓與拋物線有一個相同的焦點，橢圓的長軸長為．(1)記橢圓與拋物線的公共弦為，求；(2)P為拋物線上一點，為橢圓的左焦點，直線交橢圓于A，B兩點，直線與拋物線交于P，Q兩點，求的最大值．7．（2022·重慶八中高三階段練習）已知橢圓與直線有且只有一個交點，點P為橢圓C上任一點，，，若的最小值為．(1)求橢圓C的標準方程；(2)設直線與橢圓C交于不同兩點A，B，點O為坐標原點，且，當的面積S最大時，求．8．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓（a>b>0）的左、右焦點分別為F1（-c，0），F2（c，0）.已知（1，e）和都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率.A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P.（1）求橢圓的方程∶（2）若，求直線AF1的斜率；（3）求證∶是定值.②橢圓的中點弦問題1．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓C：的右頂點恰好為圓A：的圓心，且圓A上的點到直線：的距離的最大值為．(1)求C的方程；(2)過點（3，0）的直線與C相交于P，Q兩點，點M在C上，且，弦PQ的長度不超過，求實數λ的取值范圍．2．（2022·上海·高三階段練習）我們把橢圓和稱為“相像橢圓”“相像橢圓”具有許多奇妙的性質．過橢圓上隨意一點P作橢圓的兩條切線，切點分別為A、B，切線、與橢圓另一個交點分別為Q、R．(1)設，證明:直線是過A的橢圓的切線；(2)求證：點A是線段的中點；(3)是否存在常數，使得對于橢圓上的隨意一點P，線段的中點M都在橢圓上，若存在，懇求出的值；若不存在，請說明理由．3．（2022·全國·高三專題練習）已知的兩個頂點坐標分別為，該三角形的內切圓與邊分別相切于P，Q，S三點，且，設的頂點A的軌跡為曲線E．(1)求E的方程；(2)直線交E于R，V兩點．在線段上任取一點T，過T作直線與E交于M，N兩點，并使得T是線段的中點，試比較與的大小并加以證明．4．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，過左焦點且與軸垂直的弦長為．（1）求橢圓的方程；（2）已知，為橢圓上兩點，為坐標原點，斜率為的直線經過點，若，關于對稱，且，求的方程．5．（2022·全國·高二課時練習）設點和分別是橢圓上不同的兩點，線段最長為4．（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線過點，且，線段的中點為，求直線的斜率的取值范圍．6．（2022·湖南·長郡中學高二期末）已知橢圓的右焦點為，順次連接橢圓E的四個頂點恰好構成一個邊長為的菱形.（1）求橢圓的標準方程；（2）設，為坐標原點，、是橢圓上兩點，且的中點在線段（不含端點、）上，求面積的取值范圍.③橢圓中的最值問題1．（2022·湖南·長沙一中高三階段練習）已知橢圓過點，點為其左頂點，且的斜率為.(1)求的方程；(2)為橢圓上兩個動點，且直線與的斜率之積為，，為垂足，求的最大值.2．（2022·四川成都·高三階段練習（理））已知橢圓的離心率為，短軸長為4．(1)求橢圓C的方程；(2)若過點的直線交橢圓C于A，B兩點，求的取值范圍．3．（2022·湖北·荊州中學高三階段練習）設橢圓：，，是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，點在橢圓外，且．(1)求橢圓的方程；(2)若，點為橢圓上橫坐標大于1的一點，過點的直線與橢圓有且僅有一個交點，并與直線，交于M，N兩點，為坐標原點，記，的面積分別為，，求的最小值．4．（2022·全國·清華附中朝陽學校模擬預料）如圖所示，、分別為橢圓的左、右頂點，離心率為.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點作兩條相互垂直的直線，與橢圓交于，兩點，求面積的最大值.5．（2022·上海·華師大二附中高三開學考試）設有橢圓方程，直線，下端點為，左?右焦點分別為在上.(1)若中點在軸上，求點的坐標；(2)直線與軸交于，直線經過右焦點，且，求；(3)在橢圓上存在一點到距離為，使，當改變時，求的最小值.6．（2022·山東青島·高三開學考試）在平面直角坐標系中，動圓與圓內切，且與圓外切，記動圓的圓心的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)不過圓心且與軸垂直的直線交軌跡于兩個不同的點，連接交軌跡于點.（i）若直線交軸于點，證明：為一個定點；（ii）若過圓心的直線交軌跡于兩個不同的點，且，求四邊形面積的最小值.7．（2022·河北·三河市第三中學高三階段練習）已知橢圓的離心率為，且C的左、右焦點與短軸的兩個端點構成的四邊形的面積為．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與x軸交于點M，與橢圓C交于P，Q兩點，過點P與x軸垂直的直線與橢圓C的另一個交點為N，求面積的最大值．8．（2022·廣東茂名·高二期末）已知橢圓E：（）的離心率為，且點在橢圓E上.(1)求橢圓E的方程；(2)過橢圓E的右焦點F作不與兩坐標軸重合的直線l，與E交于不同的兩點Ｍ，N，線段的中垂線與y軸相交于點T，求（O為原點）的最小值，并求此時直線l的方程.9．（2022·上海虹口·高二期末）已知橢圓的兩個頂點，，且其離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)設過橢圓的右焦點的直線與其相交于，兩點，若（為坐標原點），求直線的方程；(3)設為橢圓上的一個異于，的動點，直線，分別與直線相交于點，，試求的最小值10．（2022·河南安陽·模擬預料（理））已知橢圓的離心率為，且過點．(1)求E的方程；(2)設E的左、右頂點分別為A，B，點C，D為E上與A，B不重合的兩點，且．①證明：直線CD恒過定點；②求面積的最大值．④橢圓中定點、定值、定直線問題1．（2022·北京市第四十四中學高三階段練習）已知橢圓的一個焦點為，過點且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點.(1)若線段中點的橫坐標為，求直線的方程；(2)設直線與直線交于點，點滿意軸，軸，試求直線的斜率與直線的斜率的比值.2．（2022·江西·高二階段練習）已知橢圓的離心率為，左頂點為A，右頂點為B，上頂點為C，的內切圓的半徑為．(1)求橢圓E的標準方程；(2)點M為直線上隨意一點，直線AM，BM分別交橢圓E于不同的兩點P，Q．求證：直線PQ恒過定點，并求出定點坐標．3．（2022·四川·成都七中高二階段練習（文））已知橢圓：，，點在橢圓上．(1)求橢圓的方程；(2)若過點且不與軸垂直的直線與橢圓交于，兩點，，證明，斜率之積為定值．4．（2022·河南·南陽市其次完全學校高級中學高二階段練習）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，離心率為，過作直線l交橢圓C于M，N兩點，的周長為．(1)求橢圓C的方程；(2)在軸上是否存在異于點的定點Q，使得直線l改變時，直線與的斜率之和為0？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．5．（2022·湖南岳陽·高三階段練習）已知橢圓的左右焦點分別為，，左右頂點分別為為垂直于軸的動直線.(1)當時，設直線交橢圓于兩點，直線的斜率之積為，且的周長最大值為，求橢圓方程；(2)在第（1）問條件下，將直線移動至處，為上一點，以為圓心，為半徑的圓交于兩點，直線分別交橢圓于點，摸索究直線是否經過定點，若是，懇求出該定點，若不是，請說明理由.6．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓上一點與它的左、右兩個焦點，的距離之和為，且它的離心率與雙曲線的離心率互為倒數．(1)求橢圓的方程；(2)如圖，點A為橢圓上一動點（非長軸端點），的延長線與橢圓交于點B，AO的延長線與橢圓交于點C．①當直線AB的斜率存在時，求證：直線AB與BC的斜率之積為定值；②求△ABC面積的最大值，并求此時直線AB的方程．7．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓，直線l與W相交于M，N兩點，l與x軸，y軸分別相交于C，D兩點，O為坐標原點．(1)若直線l的方程為，求外接圓的方程；(2)推斷是否存在直線l，使得C，D是線段MN的兩個三等分點，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．8．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓上的點到它的兩個焦點的距離之和為4，以橢圓C的短軸為直徑的圓O經過這兩個焦點，點A，B分別是橢圓C的左、右頂點.(1)求圓O和橢圓C的方程；(2)已知P，Q分別是橢圓C和圓O上的動點（P，Q位于y軸兩側），且直線PQ與x軸平行，直線AP，BP分別與y軸交于點M，N.求證：為定值.9．（2022·全國·高三專題練習）已知直線l經過橢圓C：（a＞b＞0）的右焦點（1，0），交橢圓C于點A，B，點F為橢圓C的左焦點，△ABF的周長為8．(1)求橢圓C的標準方程；(2)若直線m與直線l的傾斜角互補，且交橢圓C于點M，N，，求證：直線m與直線l的交點P在定直線上．10．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓：（）的左右焦點分別為，，分別為左右頂點，直線：與橢圓交于兩點，當時，是橢圓的上頂點，且的周長為．(1)求橢圓的方程；(2)設直線交于點，證明：點在定直線上．(3)設直線的斜率分別為，證明：為定值．11．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓：（）過點，且離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)記橢圓的上下頂點分別為，過點斜率為的直線與橢圓交于兩點，證明：直線與的交點在定直線上，并求出該定直線的方程．12．（2022·全國·哈師大附中模擬預料（文））已知橢圓的左、右頂點分別為，，且，離心率為，過點的直線l與橢圓C順次交于點Q，P．(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在定直線與直線交于點G，使，G，Q共線．13．（2022·山東師范高校附中模擬預料）已知橢圓的右焦點為，上頂點為，直線的斜率為，且原點到直線的距離為．(1)求橢圓的標準方程，(2)設橢圓的左、右頂點分別為、，過點的動直線交橢圓于、兩點，直線、相交于點，證明：點在定直線上．⑤橢圓中向量問題1．（2022·江蘇·海安縣試驗中學高二階段練習）已知兩圓，動圓在圓內部且和圓內切，和圓外切.(1)求動圓圓心的軌跡方程；(2)是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的隨意一條切線與軌跡方程恒有兩個交點，且滿意若存在，求出該圓的方程，若不存在，說明理由.2．（2022·吉林·長春市其次試驗中學高三階段練習）已知橢圓的左?右焦點分別為，下頂點為，直線與的另一個交點為，連接，若的周長為，且的面積為.(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線與橢圓交于兩點，當為何值時，恒成立？3．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓是左、右焦點．設是直線上的一個動點，連結，交橢圓于．直線與軸的交點為，且不與重合．(1)若的坐標為，求四邊形的面積；(2)若與橢圓相切于且，求的值；(3)作關于原點的對稱點，是否存在直線，使得上的任一點到的距離為，若存在，求出直線的方程和的坐標，若不存在，請說明理由．4．（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點F到其準線的距離為4，橢圓經過拋物線的焦點F．(1)求拋物線的方程及a；(2)已知O為坐標原點，過點的直線l與橢圓相交于A，B兩點，若，點N滿意，且最小值為，求橢圓的離心率．5．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓過點離心率，左、右焦點分別為，P，Q是橢圓C上位于x軸上方的兩點．(1)若，求直線的方程；(2)延長分別交橢圓C于點M，N，設，求的最小值．6．（2022·天津·南開中學模擬預料）已知從橢圓上一點向軸作垂線，垂足恰為左焦點，設橢圓的離心率為，左、右頂點分別為，，且，.(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓右焦點且斜率為的直線與橢圓交于，兩點.若，求的值.7．（2022·內蒙古呼倫貝爾·二模（文））已知橢圓：（）的短軸長為，是橢圓上一點．(1)求橢圓的方程；(2)過點（為常數，且）的直線與橢圓交于不同的兩點，，與軸相交于點，已知，，證明：．⑥橢圓綜合問題1．（2022·四川·樹德中學高三階段練習（理））在平面直角坐標系xOy中，動圓P與圓：內切，且與圓：外切，記動圓P的圓心的軌跡為E．(1)求軌跡E的方程；(2)過圓心的直線交軌跡E于A，B兩個不同的點，過圓心的直線交軌跡E于D，G兩個不同的點，且，求四邊形ADBG面積的最小值．2．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓C的方程為，離心率，點P(2，3)在橢圓上．(1)求橢圓C的方程(2)求過點P的橢圓C的切線方程(3)若從橢圓一個焦點發出的光線照到點P被橢圓反射，證明：反射光線經過另一個焦點．3．（2022·上海·華師大二附中高三階段練習）已知曲線的左?右焦點分別為，直線經過且與相交于兩點.(1)