命題點4三角形中的“三線”問題例4（1）[2023合肥六中5月模擬]在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若ccosA＋acosC＝2，AC邊上的高為3，則∠ABC的最大值為（B）A.π6 B.π3 C.π2 解析由射影定理得ccosA＋acosC＝b＝2.∵AC邊上的高為3，∴S△ABC＝12×2×3＝12acsin∠ABC，即ac＝23sin∠ABC.∵cos∠ABC＝a2＋c2－b22ac≥2ac－b22ac＝1－2ac，當且僅當a＝c時等號成立.∴cos∠ABC≥1－33sin∠ABC，即3sin∠ABC＋3cos∠ABC≥3，則sin（∠ABC＋π3）≥32.∵∠ABC∈（0，π），∴∠ABC＋π3∈（π3，4π3），則∠ABC＋π3∈（π（2）[2023全國卷甲]在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝6，∠BAC的角平分線交BC于D，則AD＝2.解析在△ABC中，由余弦定理得cos60°＝AC2+4－62×2AC，整理得AC2－2AC－2＝0，得AC＝1＋3.又S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以12×2ACsin60°＝12×2ADsin30°＋12AC例5[2023新高考卷Ⅱ]記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC面積為3，D為BC的中點，且AD＝1.（1）若∠ADC＝π3，求tanB（2）若b2＋c2＝8，求b，c.解析（1）因為D為BC的中點，所以S△ABC＝2S△ADC＝2×12×AD×DCsin∠ADC＝2×12×1×DC×32解得DC＝2，所以BD＝DC＝2，a＝4.因為∠ADC＝π3，所以∠ADB＝2π3，所以B∈（0，在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝7.在△ABD中，由正弦定理，得csin∠ADB＝所以sinB＝ADsin∠ADBc所以cosB＝1－sin2所以tanB＝sinBcos（2）因為D為BC的中點，所以BD＝DC.因為∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADB＝－cos∠ADC，則在△ABD與△ADC中，由余弦定理，得AD2＋BD2－c22AD·－（1＋BD2－b2），所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝3，所以a＝23.在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC＝b2＋c2－所以S△ABC＝12bcsin∠BAC＝12bc1－cos2∠BAC＝12bc1則由bc=4，b2＋c2方法技巧如圖，在△ABC中，1.若AD為BC邊上的中線，則：（1）AD＝12（AB＋AC），兩邊平方之后解題；（2）S△ABD＝S△ACD2.若AD為∠BAC的角平分線，則：（1）S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，利用三角形面積公式綻開得到邊的關系；（2）cos∠BAD＝cos∠CAD，利用余弦定理列方程；（3）S△ABDS△ACD3.若AD為BC邊上的高線，則：（1）可得到Rt△ADB及Rt△ADC，利用勾股定理及三角函數解題；（2）S△ABC＝12AD·BC留意（1）利用相等角的余弦值相等，從而結合余弦定理列方程是解三角形中的常用方法；（2）在已知條件中見到面積時，要考慮到三角形的高線.訓練4（1）[2023沈陽市三檢]在△ABC中，AD為∠BAC的角平分線，AB＝5，AC＝3，cos∠ABC＝1314，則BC＝7或167；若AB＜BC，則AD＝15解析因為AB＝5，AC＝3，cos∠ABC＝1314，所以在△ABC中，由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，得9＝25＋BC2－657BC，即BC2－657BC＋16＝0，解得BC＝7或BC若AB＜BC，則BC＝7，因為AD為∠BAC的角平分線，所以BDDC＝ABAC＝53，所以BD＝58×7＝358，在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos∠ABC＝52＋（358）2－2×5×358×13（2）如圖，△ABC的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c.已知a2＋c2＝b2＋ac，則B＝π3.若線段AC的垂直平分線交AC于點D，交AB于點E，且BC＝4，DE＝6，則△BCE的面積為23.解析由余弦定理知cosB＝a2又a2＋c2＝b2＋ac，∴cosB＝12∵0＜B＜π，∴B＝π3在△BCE中，設∠CEB＝θ，則CEsinπ3＝BCsinθ∵線