第1頁（共1頁）2024年湖南省長沙市湖南師大附中教育集團中考三模考試數學試題一.選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）﹣2024的絕對值是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（3分）新時代十年來，我國建成世界上規模最大的社會保障體系，其中基本醫療保險的參保人數由5.4億增加到13.6億，參保率穩定在95%．將數據13.6億用科學記數法表示為（）A．13.6×108 B．1.36×108 C．1.36×109 D．13.6×1093．（3分）下面幾何體中，主視圖是矩形的是（）A． B． C． D．4．（3分）下列計算正確的是（）A．a3?a4＝a12 B．（a3）4＝a12 C．（﹣2a4）3＝﹣6a12 D．a3÷a3＝a5．（3分）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠BAC＝52°，連結OB，OC，則∠BOC的度數為（）A．26° B．70° C．104° D．128°6．（3分）點（﹣2，3）關于原點的對稱點的坐標為（）A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）7．（3分）下列各組長度的三條線段能組成三角形的是（）A．1，2，3 B．1，1，2 C．1，2，2 D．1，5，78．（3分）唐代初期數學家王孝通撰寫的《緝古算經》中記載：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍幾何？”大意為：今有50只鹿進圈舍，小圈舍可以容納4頭鹿，大圈舍可以容納6頭鹿，若每個圈舍都住滿，求需要多少圈舍？設需要小圈舍x間，大圈舍y間，根據題意可列方程為（）A．4y+6x＝50 B．50+4x＝6y C．4x+6y＝50 D．50+6y＝4x9．（3分）一次函數y＝﹣3x﹣2的圖象大致是（）A． B． C． D．10．（3分）如圖，烷烴中甲烷的化學式是CH4，乙烷的化學式是C2H6，丙烷的化學式是C3H8，…，按照此規律．設碳原子（C）的數目為n（n為正整數），則它們的化學式都可以用下列哪個式子來表示（）A．?nH2n+2 B．?nH2n C．?nH2n﹣2 D．?nHn+3二.填空題（共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）要使式子有意義，則x的取值范圍是．12．（3分）甲、乙兩人各進行10次射擊比賽，平均成績均為9環，方差分別是：S甲2＝2，S乙2＝4，則射擊成績較穩定的是（選填“甲”或“乙”）．13．（3分）分解因式：m2﹣16＝．14．（3分）如圖，直線CD，EF被射線OA，OB所截，CD∥EF，若∠1＝105°，則∠2的度數為．15．（3分）已知扇形的圓心角度數為120°，半徑是2，則該扇形的面積為．16．（3分）在一次游戲活動中，鐘老師將三個顏色不同的小球分發給小雅、小培和小粹三個同學，其中有一個小球顏色是紅色．小雅說：“紅色球在我手上”；小培說：“紅色球不在我手上”；小粹說：“紅色球肯定不在小雅手上”．三個同學只有一個說對了，則紅色球在的手上．三.解答題（共9小題，第17、18、19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題9分，第24、25題每題10分，共72分）17．（6分）計算：．18．（6分）先化簡，再求值：（a﹣b）2﹣（b2﹣3ab），其中a＝﹣1，b＝2．19．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分別以A、B為圓心，大于AB長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N，作直線MN，與AB交于點D，與BC交于點E，連接AE．（1）由作圖可知：直線MN是線段AB的；（2）AEBE（填“＞、＜、＝”）；（3）當AC＝3，AB＝5時，求△ACE的周長．20．（8分）某校為落實“雙減”工作，增強課后服務的吸引力，充分用好課后服務時間，為學有余力的學生拓展學習空間，成立了5個活動小組（每位學生只能參加一個活動小組）：A．音樂；B．體育；C．美術；D．閱讀；E．人工智能．為了解學生對以上活動的參與情況，隨機抽取部分學生進行了調查統計，并根據統計結果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統計圖．根據圖中信息，解答下列問題：（1）①此次調查一共隨機抽取了名學生；②扇形統計圖中圓心角α＝度；（2）若該校有2800名學生，估計該校參加D組（閱讀）的學生人數；（3）學校計劃從E組（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位學生中隨機抽取兩人參加市青少年機器人競賽，請用樹狀圖法或列表法求出恰好抽中甲、乙兩人的概率．21．（8分）長沙電視塔位于岳麓山頂峰，其功能集廣播電視信號發射與旅游觀光于一身．某校數學社團的同學對長沙電視塔的高度進行了測量，如圖，他們在A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進104m至B處，測得仰角為60°．（參考數據：≈1.7）（1）求證：AB＝DB；（2）若學生的身高忽略不計，求該塔CD的高度？（結果精確到1m）22．（9分）某單位響應綠色環保倡議，提出要節約用紙，逐步走向“無紙化”辦公．據統計，單位2月份A4紙的用紙量為1000張，到了4月份A4紙的用紙量降到了640張．（1）求單位A4紙的用紙量月平均降低率；（2）根據（1）的結果，估算5月份單位A4紙的用紙量．23．（9分）如圖，菱形ABCD中AC、BD相交于點O，延長AD至點E使得DE＝OD，連接EO并延長交CB的延長線于點F．（1）求證：△DOE≌△BOF；（2）若BF＝5，OA＝12，求線段AE的長和菱形ABCD的面積．24．（10分）定義：我們把一次函數y＝kx+b（k≠0）與正比例函數y＝x的交點稱為一次函數y＝kx+b（k≠0）的“不動點”．例如求y＝2x﹣1的“不動點”：聯立方程，解得，則y＝2x﹣1的“不動點”為（1，1）．（1）由定義可知，一次函數y＝3x+2的“不動點”為；（2）若一次函數y＝mx+n的“不動點”為（2，n﹣1），求m、n的值；（3）若直線y＝kx﹣3（k≠0）與x軸交于點A，與y軸交于點B，且直線y＝kx﹣3上沒有“不動點”，若P點為x軸上一個動點，使得S△ABP＝3S△ABO，求滿足條件的P點坐標．25．（10分）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD于點E，AB＝10，CD＝6，點P是CD延長線上異于點D的一個動點，連結AP交⊙O于點Q，連結CQ交AB于點F，則點F的位置隨著點P位置的改變而改變．（1）如圖1，當DP＝4時，求tan∠P的值；（2）如圖2，連結AC，DQ，在點P運動過程中，設DP＝x，．①求證：∠ACQ＝∠CPA；②求y與x之間的函數關系式．參考答案與試題解析一.選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）﹣2024的絕對值是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【解答】解：﹣2024的絕對值是2024．故選：A．2．（3分）新時代十年來，我國建成世界上規模最大的社會保障體系，其中基本醫療保險的參保人數由5.4億增加到13.6億，參保率穩定在95%．將數據13.6億用科學記數法表示為（）A．13.6×108 B．1.36×108 C．1.36×109 D．13.6×109【解答】解：∵13.6億＝1360000000，∴13.6億用科學記數法表示為1.36×109．故選：C．3．（3分）下面幾何體中，主視圖是矩形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．圓錐體的主視圖是等腰三角形，因此選項A不符合題意；B．球的主視圖是圓，因此選項B不符合題意；C．圓臺的主視圖是等腰梯形，因此選項C不符合題意；D．圓柱的主視圖是矩形，因此選項D符合題意．故選：D．4．（3分）下列計算正確的是（）A．a3?a4＝a12 B．（a3）4＝a12 C．（﹣2a4）3＝﹣6a12 D．a3÷a3＝a【解答】解：a3?a4＝a7，故選項A不合題意；（a3）4＝a12，正確，故選項B符合題意；（﹣2a4）3＝﹣8a12，故選項C不合題意；a3÷a3＝1，故選項D不合題意．故選：B．5．（3分）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠BAC＝52°，連結OB，OC，則∠BOC的度數為（）A．26° B．70° C．104° D．128°【解答】解：∵∠BAC＝∠BOC，∠BAC＝52°，∴∠BOC＝2×52°＝104°．故選：C．6．（3分）點（﹣2，3）關于原點的對稱點的坐標為（）A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）【解答】解：點（﹣2，3）關于原點的對稱點的坐標為（2，﹣3）．故選：D．7．（3分）下列各組長度的三條線段能組成三角形的是（）A．1，2，3 B．1，1，2 C．1，2，2 D．1，5，7【解答】解：A.1+2＝3，不能構成三角形，不合題意；B.1+1＝2，不能構成三角形，不合題意；C..1+2＞2，能構成三角形，符合題意；D.1+5＜7，不能構成三角形，不合題意．故選：C．8．（3分）唐代初期數學家王孝通撰寫的《緝古算經》中記載：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍幾何？”大意為：今有50只鹿進圈舍，小圈舍可以容納4頭鹿，大圈舍可以容納6頭鹿，若每個圈舍都住滿，求需要多少圈舍？設需要小圈舍x間，大圈舍y間，根據題意可列方程為（）A．4y+6x＝50 B．50+4x＝6y C．4x+6y＝50 D．50+6y＝4x【解答】解：設需要小圈舍x間，大圈舍y間，根據題意可列方程為：4x+6y＝50，故選：C．9．（3分）一次函數y＝﹣3x﹣2的圖象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：∵k＝﹣3＜0，b＝﹣2＜0，∴一次函數的圖象過第二，三，四象限，故選：B．10．（3分）如圖，烷烴中甲烷的化學式是CH4，乙烷的化學式是C2H6，丙烷的化學式是C3H8，…，按照此規律．設碳原子（C）的數目為n（n為正整數），則它們的化學式都可以用下列哪個式子來表示（）A．?nH2n+2 B．?nH2n C．?nH2n﹣2 D．?nHn+3【解答】解：設碳原子的數目為n（n為正整數）時，氫原子的數目為an，觀察，發現規律：a1＝4＝2×1+2，a2＝6＝2×2+2，a3＝8＝2×3+2，…，∴an＝2n+2．∴碳原子的數目為n（n為正整數）時，它的化學式為?nH2n+2．故選：A．二.填空題（共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）要使式子有意義，則x的取值范圍是x≥5．【解答】解：∵式子有意義，∴x﹣5≥0，∴x≥5．故答案為：x≥5．12．（3分）甲、乙兩人各進行10次射擊比賽，平均成績均為9環，方差分別是：S甲2＝2，S乙2＝4，則射擊成績較穩定的是甲（選填“甲”或“乙”）．【解答】解：因為甲的方差最小，所以射擊成績較穩定的是甲；故答案為：甲13．（3分）分解因式：m2﹣16＝（m+4）（m﹣4）．【解答】解：原式＝（m+4）（m﹣4），故答案為：（m+4）（m﹣4）14．（3分）如圖，直線CD，EF被射線OA，OB所截，CD∥EF，若∠1＝105°，則∠2的度數為75°．【解答】解：∵CD∥EF，∴∠2+∠3＝180°，∵∠3＝∠1＝105°，∴∠2＝75°．故答案為：75°．15．（3分）已知扇形的圓心角度數為120°，半徑是2，則該扇形的面積為．【解答】解：扇形的面積為，故答案為：．16．（3分）在一次游戲活動中，鐘老師將三個顏色不同的小球分發給小雅、小培和小粹三個同學，其中有一個小球顏色是紅色．小雅說：“紅色球在我手上”；小培說：“紅色球不在我手上”；小粹說：“紅色球肯定不在小雅手上”．三個同學只有一個說對了，則紅色球在小培的手上．【解答】解：假設小雅說的是真話，則紅桃A在小雅手上，所以小培說的是真話，不合題意，假設小培說的是真話，小雅說的是假話，則小粹說的是真話，不合題意，假設小粹說的是真話，則小雅說的是假話，則小培說的就是假話了，符合題意，所以紅桃A在小培手上．故答案為：小培．三.解答題（共9小題，第17、18、19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題9分，第24、25題每題10分，共72分）17．（6分）計算：．【解答】解：＝＝＝﹣3．18．（6分）先化簡，再求值：（a﹣b）2﹣（b2﹣3ab），其中a＝﹣1，b＝2．【解答】解：（a﹣b）2﹣（b2﹣3ab）＝a2﹣2ab+b2﹣b2+3ab＝a2+ab，當a＝﹣1，b＝2時，原式＝（﹣1）2+（﹣1）×2＝1﹣2＝﹣1．19．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分別以A、B為圓心，大于AB長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N，作直線MN，與AB交于點D，與BC交于點E，連接AE．（1）由作圖可知：直線MN是線段AB的垂直平分線；（2）AE＝BE（填“＞、＜、＝”）；（3）當AC＝3，AB＝5時，求△ACE的周長．【解答】解：（1）由作圖可知：直線MN是線段AB的垂直平分線；故答案為垂直平分線（2）∵MN垂直平分AB，∴AE＝BE；故答案為＝；（3）解：由（2）可知：△ACE的周長＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝＝4，∴△ACE的周長＝AC+BC＝3+4＝7．20．（8分）某校為落實“雙減”工作，增強課后服務的吸引力，充分用好課后服務時間，為學有余力的學生拓展學習空間，成立了5個活動小組（每位學生只能參加一個活動小組）：A．音樂；B．體育；C．美術；D．閱讀；E．人工智能．為了解學生對以上活動的參與情況，隨機抽取部分學生進行了調查統計，并根據統計結果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統計圖．根據圖中信息，解答下列問題：（1）①此次調查一共隨機抽取了400名學生；②扇形統計圖中圓心角α＝54度；（2）若該校有2800名學生，估計該校參加D組（閱讀）的學生人數；（3）學校計劃從E組（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位學生中隨機抽取兩人參加市青少年機器人競賽，請用樹狀圖法或列表法求出恰好抽中甲、乙兩人的概率．【解答】（1）①調查人數：＝400（名），故答案為：400；②A組的人數：400×15%＝60（名），C組的人數：400﹣100﹣140﹣40﹣60＝60（名），扇形統計圖中圓心角α＝360°×＝54°，故答案為：54，（2），答：參加D組（閱讀）的學生人數為980人；（3）樹狀圖如下：∵共有12中等可能的結果，其中恰好抽到A，C兩人同時參賽的有兩種，∴P（恰好抽中甲、乙兩人）＝．21．（8分）長沙電視塔位于岳麓山頂峰，其功能集廣播電視信號發射與旅游觀光于一身．某校數學社團的同學對長沙電視塔的高度進行了測量，如圖，他們在A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進104m至B處，測得仰角為60°．（參考數據：≈1.7）（1）求證：AB＝DB；（2）若學生的身高忽略不計，求該塔CD的高度？（結果精確到1m）【解答】（1）證明：由題意可知，∠A＝30°，∠DBC＝60°，CD⊥AC，∴∠ADB＝∠DBC﹣∠A＝30°，∴∠ADB＝∠A＝30°，∴AB＝DB；（2）解：由題意可知，AB＝104m，由（1）可知，AB＝DB＝104m，在Rt△BCD中，sin∠DBC＝＝sin60°＝，∴CD＝BD＝×104＝52≈88（m），即該塔CD的高度約為88m．22．（9分）某單位響應綠色環保倡議，提出要節約用紙，逐步走向“無紙化”辦公．據統計，單位2月份A4紙的用紙量為1000張，到了4月份A4紙的用紙量降到了640張．（1）求單位A4紙的用紙量月平均降低率；（2）根據（1）的結果，估算5月份單位A4紙的用紙量．【解答】解：（1）設該單位A4紙的用紙量月平均降低率為x，根據題意得：1000（1﹣x）2＝640，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合題意，舍去）．答：該單位A4紙的用紙量月平均降低率為20%；（2）根據題意得：640×（1﹣20%）＝512（張）．答：預計5月份該單位A4紙的用紙量為512張．23．（9分）如圖，菱形ABCD中AC、BD相交于點O，延長AD至點E使得DE＝OD，連接EO并延長交CB的延長線于點F．（1）求證：△DOE≌△BOF；（2）若BF＝5，OA＝12，求線段AE的長和菱形ABCD的面積．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴∠E＝∠F，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF（AAS）；（2）解：由（1）得△DOE≌△BOF，∴BF＝DE＝5，∴DE＝OD＝5．∵四邊形ABCD是菱形，OA＝12，∴AC⊥BD，BD＝2OD＝10，AC＝2OA＝24．∴∠AOD＝90°，在Rt△AOD中，由勾股定理得AD＝＝13，∴AE＝AD+DE＝13+5＝18．S菱形ABCD＝AC?BD＝×24×10＝120．綜上所述，線段AE的長為18，菱形ABCD的面積為120．24．（10分）定義：我們把一次函數y＝kx+b（k≠0）與正比例函數y＝x的交點稱為一次函數y＝kx+b（k≠0）的“不動點”．例如求y＝2x﹣1的“不動點”：聯立方程，解得，則y＝2x﹣1的“不動點”為（1，1）．（1）由定義可知，一次函數y＝3x+2的“不動點”為（﹣1，﹣1）；（2）若一次函數y＝mx+n的“不動點”為（2，n﹣1），求m、n的值；（3）若直線y＝kx﹣3（k≠0）與x軸交于點A，與y軸交于點B，且直線y＝kx﹣3上沒有“不動點”，若P點為x軸上一個動點，使得S△ABP＝3