江蘇省泰州市2025屆數學高一下期末統考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在正方體中，異面直線與所成角的大小為（）A． B． C． D．2．設，則（）A．3 B．2 C．1 D．03．甲、乙兩名同學八次數學測試成績的莖葉圖如圖所示，則甲同學成績的眾數與乙同學成績的中位數依次為（）A．85，85 B．85，86 C．85，87 D．86，864．在等比數列中，已知，那么的前4項和為（）.A．81 B．120 C．121 D．1925．如圖，在中，，是邊上的高，平面，則圖中直角三角形的個數是（）A． B． C． D．6．已知三棱錐，若平面，，，，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．7．已知Sn是等差數列{an}的前n項和，a2+a4+a6＝12，則S7＝（）A．20 B．28 C．36 D．48．已知四面體中，，分別是，的中點，若，，與所成角的度數為30°，則與所成角的度數為（）A．90° B．45° C．60° D．30°9．已知函數向左平移個單位長度后，其圖象關于軸對稱，則的最小值為()A． B． C． D．10．下列結論正確的是（）A． B．若，則C．當且時， D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知遞增數列共有項，且各項均不為零，，如果從中任取兩項，當時，仍是數列中的項，則數列的各項和_____．12．若Sn為等比數列an的前n項的和，8a13．若數列{an}滿足a1=2，a14．給出下列語句：①若為正實數，，則；②若為正實數，，則；③若，則；④當時，的最小值為，其中結論正確的是___________．15．如果奇函數f（x）在[3,7]上是增函數且最小值是5，那么f（x）在[-7,-3]上是_________.①減函數且最小值是-5；②減函數且最大值是-5；③增函數且最小值是-5；④增函數且最大值是-516．若，且，則的最小值是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數，且，.（1）求該函數的最小正周期及對稱中心坐標；（2）若方程的根為，且，求的值.18．三角比內容豐富，公式很多，若仔細觀察、大膽猜想、科學求證，你也能發現其中的一些奧秘.請你完成以下問題：（1）計算：,,；（2）根據（1）的計算結果，請你猜出一個一般的結論用數學式子加以表達，并證明你的結論，寫出推理過程.19．已知過點且斜率為的直線與圓：交于，兩點.（1）求斜率的取值范圍；（2）為坐標原點，求證：直線與的斜率之和為定值.20．已知函數.(1)求的值及f(x)的對稱軸；(2)將的圖象向左平移個單位得到函數的圖象，求的單調遞增區間.21．設一元二次不等式的解集為．（Ⅰ）當時，求；（Ⅱ）當時,求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

連接、，可證四邊形為平行四邊形，得，得（或補角）就是異面直線與所成角，由正方體的性質即可得到答案．【詳解】連接、，如下圖：在正方體中，且；四邊形為平行四邊形，則；（或補角）就是異面直線與所成角；又在正方體中，，為等邊三角形，，即異面直線與所成角的大小為；故答案選C【點睛】本題考查正方體中異面直線所成角的大小，屬于基礎題．2、B【解析】

先求內層函數，將所求值代入分段函數再次求解即可【詳解】，則故選：B【點睛】本題考查分段函數具體函數值的求法，屬于基礎題3、B【解析】

根據莖葉圖的數據，選擇對應的眾數和中位數即可.【詳解】由圖可知，甲同學成績的眾數是85；乙同學的中位數是.故選：B.【點睛】本題考查由莖葉圖計算數據的眾數和中位數，屬基礎計算題.4、B【解析】

根據求出公比，利用等比數列的前n項和公式即可求出.【詳解】,.故選：B【點睛】本題主要考查了等比數列的通項公式，等比數列的前n項和，屬于中檔題.5、C【解析】

根據線面垂直得出一些相交直線垂直，以及找出題中一些已知的相交直線垂直，由這些條件找出圖中的直角三角形．【詳解】①平面，,都是直角三角形；②是直角三角形；③是直角三角形；④由得平面，可知：也是直角三角形.綜上可知：直角三角形的個數是個，故選C．【點睛】本題考查直角三角形個數的確定，考查相交直線垂直，解題時可以充分利用直線與平面垂直的性質得到，考查推理能力，屬于中等題．6、B【解析】

根據題意畫出三棱錐的圖形，將其放入一個長方體中，容易知道三棱錐的外接球半徑，利用球的表面積公式求解即可.【詳解】根據題意畫出三棱錐如圖所示，把三棱錐放入一個長方體中，三棱錐的外接球即這個長方體的外接球，長方體的外接球半徑等于體對角線的一半，所以三棱錐的外接球半徑，三棱錐的外接球的表面積.故選：B【點睛】本題主要考查三棱錐的外接球問題，對于三棱錐三條棱有兩兩垂直的情況，可以考慮將其放入一個長方體中求解外接球半徑，屬于基礎題.7、B【解析】

由等差數列的性質計算．【詳解】由題意，，∴．故選B．【點睛】本題考查等差數列的性質，靈活運用等差數列的性質可以很快速地求解等差數列的問題．在等差數列中，正整數滿足，則，特別地若，則；．8、A【解析】

取的中點,利用三角形中位線定理,可以得到,與所成角為，運用三角形中位線定理和正弦定理，可以求出的大小，也就能求出與所成角的度數.【詳解】取的中點連接，如下圖所示：因為，分別是，的中點，所以有，因為與所成角的度數為30°，所以，與所成角的大小等于的度數.在中，，故本題選A.【點睛】本題考查了異面直線所成角的求法，考查了正弦定理，取中點利用三角形中位線定理是解題的關鍵.9、A【解析】

根據函數的圖象變換規律，三角函數的圖象關于軸對稱,即為偶函數.，求得的最小值．【詳解】把函數向左平移個單位長度后.可得的圖象.再根據所得圖象關于軸對稱,即為偶函數.所以即，當時，的值最小.所以的最小值為：故選：A【點睛】本題主要考查函數的圖象變換規律，三角函數的圖象的對稱性，屬于基礎題．10、D【解析】

利用不等式的性質進行分析，對錯誤的命題可以舉反例說明．【詳解】當時，A不正確；，則，B錯誤；當時，，，C錯誤；由不等式的性質正確．故選：D.【點睛】本題考查不等式的性質，掌握不等式性質是解題關鍵．可通過反例說明命題錯誤．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

∵當時，仍是數列中的項，而數列是遞增數列，∴，所以必有，，利用累加法可得：，故，得，故答案為.點睛：本題主要考查了數列的求和，解題的關鍵是單調性的利用以及累加法的運用，有一定難度；根據題中條件從中任取兩項，當時，仍是數列中的項，結合遞增數列必有，，利用累加法可得結果.12、-7【解析】設公比為q，則8a1q=-a113、2×【解析】

判斷數列是等比數列，然后求出通項公式．【詳解】數列{an}中，a可得數列是等比數列，等比為3，an故答案為：2×3【點睛】本題考查等比數列的判斷以及通項公式的求法，考查計算能力．14、①③.【解析】

利用作差法可判斷出①正確；通過反例可排除②；根據不等式的性質可知③正確；根據的范圍可求得的范圍，根據對號函數圖象可知④錯誤.【詳解】①，為正實數，，即，可知①正確；②若，，，則，可知②錯誤；③若，可知，則，即，可知③正確；④當時，，由對號函數圖象可知：，可知④錯誤.本題正確結果：①③【點睛】本題考查不等式性質的應用、作差法比較大小問題、利用對號函數求解最值的問題，屬于常規題型.15、④【解析】

由題意結合奇函數的對稱性和所給函數的性質即可求得最終結果．【詳解】奇函數的函數圖象關于坐標原點中心對稱，則若奇函數f（x）在區間[3，7]上是增函數且最小值為1，那么f（x）在區間[﹣7，﹣3]上是增函數且最大值為﹣1．故答案為：④．【點睛】本題考查了奇函數的性質，函數的對稱性及其應用等，重點考查學生對基礎概念的理解和計算能力，屬于中等題．16、8【解析】

利用的代換，將寫成，然后根據基本不等式求解最小值.【詳解】因為（即取等號），所以最小值為.【點睛】已知，求解（）的最小值的處理方法：利用，得到，展開后利用基本不等式求解，注意取等號的條件.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)最小正周期為.對稱中心坐標為；(2)-1【解析】

（1）由題意兩未知數列兩方程即可求出、的值，再進行三角變換，可得的解析式，再利用正弦函數的周期公式、圖象的對稱性，即可得出結論．（2）先由條件求得的值，可得的值．【詳解】（1）由，得：，解得：，，，即函數的最小正周期為.由得：函數的對稱中心坐標為；（2）由題意得：，即，或，則或，由知：，.【點睛】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的周期性、圖象的對稱性，以及三角函數求值．18、（1），，；（2）.【解析】

（1）依據誘導公式以及兩角和的正弦公式即可計算出；（2）觀察（1）中角度的關系，合情推理出一般結論，然后利用兩角和的正弦公式即可證明．【詳解】（1）同理可得，，．（2）由（1）知，可以猜出：．證明如下：．【點睛】本題主要考查學生合情推理論證能力，以及誘導公式和兩角和的正弦公式的應用，意在考查學生的數學抽象素養和邏輯推理能力．19、（1）（2）見解析【解析】

（1）根據圓心到直線的距離小于半徑得到答案.（2）聯立直線與圓方程：.韋達定理得計算，化簡得到答案.【詳解】解：（1）直線的方程為：即.由得圓心，半徑.直線與圓相交得，即.解得.所以斜率的取值范圍為.（2）聯立直線與圓方程：.消去整理得.設，，根據韋達定理得.則.∴直線與的斜率之和為定值1.【點睛】本題考查了斜率的取值范圍，圓錐曲線的定值問題，意在考查學生的計算能力.20、（1），；（2）。【解析】

（1）求得函數，代入即可求解的值，令，即可求得函數的對稱軸的方程；（2）由（1），結合三角函數的圖象變換，求得，再根據三角函數的性質，即可求解.【詳解】（1）由函數，則，令，解得，即函數的對稱軸的方程為（2）由（1）可知函數的圖象向左平移個單位得到函數的圖象，可得的圖象，令，解得，所以函數的單調遞增區間為.【點睛】本題主