2022-2023學年江蘇省南京師大附中高二（下）期末數學試卷一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（5分）復數3+iiA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）設集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）?0}，B＝{x|lgx＞0}，則A∪B＝（）A．[﹣2，3] B．[3，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞） D．（1，+∞）3．（5分）設某中學的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關關系，根據一組樣本數據（xi，yi）（i＝1，2，?，n），用最小二乘法建立的經驗回歸方程為y?=0.84x﹣86.71．若該中學女生的平均身高為160A．47.69kg B．48.69kg C．57.69kg D．58.69kg4．（5分）設a→與b→均為單位向量，它們的夾角為θ．若|aA．[0，π3) B．[0，2π3)5．（5分）設a=3A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b6．（5分）現有5名同學去3個養老院參加公益活動，每名同學只去1個養老院，每個養老院至少安排1名同學，則不同安排方案的種數為（）A．25 B．40 C．150 D．2407．（5分）設函數f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2sinx，則關于t的不等式f（t）+f（2t+1）?0的解集為（）A．（﹣∞，﹣1] B．(-∞，-13] C．[﹣1，+∞）8．（5分）設拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l，N是l與x軸的交點，M（3，0）．過此拋物線上一點P作直線l的垂線，垂足記為點Q，PF與MQ相交于點T，若TN→+TP→=A．33 B．233 C．3二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）（多選）9．（5分）甲、乙兩地四月7日至14日的最高氣溫如圖所示，下列說法中正確的是（）A．乙地在這8日內最高氣溫的極差為8°C B．甲、乙兩地12日溫差最大 C．甲地這8日平均氣溫為20°C D．甲地的75百分位數是21.5°C（多選）10．（5分）已知{an}為各項為正數的等比數列，a2=14，a5=2．記Sn是數列{an}的前nA．數列{an}的公比為2 B．S2nC．數列{log2an}為等差數列 D．數列{log2an}的前n項和為n11．（5分）若函數f(x)=cos(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)，則f（xA．單調遞增 B．單調遞減 C．有最小值，無最大值 D．有最大值，無最小值（多選）12．（5分）如圖，圓錐VAB內有一個內切球O，球O與母線VA，VB分別切于點C，D．若△VAB是邊長為2的等邊三角形，O1為圓錐底面圓的中心，MN為圓O1的一條直徑（MN與AB不重合），則下列說法正確的是（）A．球的表面積與圓錐的側面積之比為2：3 B．平面CMN截得圓錐側面的交線形狀為拋物線 C．四面體CDMN的體積的取值范圍是(0，3D．若P為球面和圓錐側面的交線上一點，則PM+PN最大值為2第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小顧5分，共20分）13．（5分）已知tan（x+π4）＝2，則tanx的值為14．（5分）(x-215．（5分）現有兩個罐子，1號罐子中裝有2個紅球、1個黑球，2號罐子中裝有3個紅球、1個黑球．現先從1號罐子中隨機取出一個球放入2號罐子，再從2號罐子中取一個球，則從2號罐子中取出的球是紅球的概率為．16．（5分）若存在實數a，b使得ea+be?a+lnb+3，則a+b的值為．四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）已知各項不為零的數列{an}滿足：a1＝1，2an+1an+an+1﹣an＝0（n∈N*）．（1）求a2，a3，并求{an}的通項公式；（2）記數列{anan+1}的前n項和為Sn，證明：Sn＜118．（12分）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2sinB，cosBcosC（1）求c；（2）求△ABC周長的最大值．19．（12分）“總要來趟南京吧!”今年一季度南京接待游客4千多萬，居全省第一．南京的旅游資源十分豐富，既有中山陵、夫子廟、玄武湖、南京博物院等傳統景區，又有科巷、三七八巷、德基廣場等新晉網紅景點．（1）如果隨機訪問了50名外地游客，所得結果如下表所示：首選傳統景區首選網紅景點總計男性2030女性1220試判斷是否有90%的把握認為是否首選網紅景點與性別有關；（2）根據互聯網調查數據顯示，外地游客來南京旅游首選傳統景區的概率是0.6，首選網紅景點的概率是0.4．如果隨機訪問3名外地游客，他們中首選網紅景點的人數記為X，求X的分布列和期望．附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（其中n＝a+b+P（χ2?k）0.1000.0100.001k2.7066.63510.82820．（12分）如圖，在四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝60°，AB＝2AA1＝2A1B1．（1）證明：BD⊥CC1；（2）點M是棱BC上靠近點C的三等分點，求二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．21．（12分）已知雙曲線C：x2a（1）求C的方程；（2）過點P作y軸的垂線，交直線l：x＝1于點M，交y軸于點N．設點A，B為雙曲線C上的兩個動點，直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，若k1+k2＝2，求S△MAB22．（12分）已知函數f（x）＝ex+ax2﹣bx+2．（1）若a＝0，討論f（x）的單調性；（2）若a=12，存在x1，x2（x1≠x2）滿足f（x1）＝f（x2），且x1+x2＝2，求

2022-2023學年江蘇省南京師大附中高二（下）期末數學試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（5分）復數3+iiA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：3+ii=1﹣3故選：D．2．（5分）設集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）?0}，B＝{x|lgx＞0}，則A∪B＝（）A．[﹣2，3] B．[3，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞） D．（1，+∞）【解答】解：∵A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝{x|x＞1}，A∪B＝（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞）．故選：C．3．（5分）設某中學的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關關系，根據一組樣本數據（xi，yi）（i＝1，2，?，n），用最小二乘法建立的經驗回歸方程為y?=0.84x﹣86.71．若該中學女生的平均身高為160A．47.69kg B．48.69kg C．57.69kg D．58.69kg【解答】解：經驗回歸方程為y?=0.84令x＝160得，y＝0.84×160﹣86.71＝47.69，所以該中學女生的平均體重的估計值是47.69kg．故選：A．4．（5分）設a→與b→均為單位向量，它們的夾角為θ．若|aA．[0，π3) B．[0，2π3)【解答】解：a→與b→均為單位向量，其夾角為θ，若|則（a→+b即有a→2+b→2+2a→?即為cosθ＞-1由0≤θ≤π，可得0≤x＜2π故選：B．5．（5分）設a=3A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵log85=lo∴c＜a＜b．故選：D．6．（5分）現有5名同學去3個養老院參加公益活動，每名同學只去1個養老院，每個養老院至少安排1名同學，則不同安排方案的種數為（）A．25 B．40 C．150 D．240【解答】解：5名同學去3個養老院參加公益活動，每名同學只去1個養老院，每個養老院至少安排1名同學，可分為1，1，3和1，2，2兩種情況：若按1，1，3分組，共有C51C41C3若按1，2，2分組，共有C51C42C2因此，不同安排方案的種數為60+90＝150種．故選：C．7．（5分）設函數f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2sinx，則關于t的不等式f（t）+f（2t+1）?0的解集為（）A．（﹣∞，﹣1] B．(-∞，-13] C．[﹣1，+∞）【解答】解：∵f′（x）＝ex+e﹣x﹣2cosx≥2﹣2cosx≥0，當且僅當x＝0時取等號，∴f（x）在R上單調遞增，且f（﹣x）＝﹣f（x），∴由f（t）+f（2t+1）≥0得，f（t）≥f（﹣2t﹣1），∴t≥﹣2t﹣1，解得t≥-1∴原不等式的解集為[-1故選：D．8．（5分）設拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l，N是l與x軸的交點，M（3，0）．過此拋物線上一點P作直線l的垂線，垂足記為點Q，PF與MQ相交于點T，若TN→+TP→=A．33 B．233 C．3【解答】解：由題意，作圖如下：由TN→+TP→=又因為F（1，0）為M（3，0），N（﹣1，0）的中點，所以TM→+TN→=所以T為PF的三等分點，且TP＝2TF，又因為PQ∥MF，所以△TMF與△TQP相似，且MFQP所以QP＝2MF＝4，不妨設P（x0，y0），且在第一象限，QP=x0+p2=因為點P（x0，y0）在拋物線上，所以y0＝23，所以根據相似關系可得yT=1故選：B．二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）（多選）9．（5分）甲、乙兩地四月7日至14日的最高氣溫如圖所示，下列說法中正確的是（）A．乙地在這8日內最高氣溫的極差為8°C B．甲、乙兩地12日溫差最大 C．甲地這8日平均氣溫為20°C D．甲地的75百分位數是21.5°C【解答】解：A：乙地在這8日內最高氣溫的極差為23°C﹣16°C＝7°C，故A錯誤；B：甲地12日氣溫最高，乙地12日氣溫最低，所以甲乙兩地12日的溫差最大，故B正確；C：甲地這8日平均氣溫為19+17+18+21+22+24+19+208=20°C，故D：甲地這8日的氣溫從小到大排列為：17，18，19，19，20，21，22，24，則8×75%＝6，所以甲地的75百分位數是21+222=21.5°C，故故選：BCD．（多選）10．（5分）已知{an}為各項為正數的等比數列，a2=14，a5=2．記Sn是數列{an}的前nA．數列{an}的公比為2 B．S2nC．數列{log2an}為等差數列 D．數列{log2an}的前n項和為n【解答】解：對于A：已知數列{an}為各項為正數的等比數列，a2所以a5=a2q對于B：由條件得：an=2×2故S2n=18×(22n對于C：由于log2an+1對于D：log2an=log22n-4=n-4故選：ABC．11．（5分）若函數f(x)=cos(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)，則f（xA．單調遞增 B．單調遞減 C．有最小值，無最大值 D．有最大值，無最小值【解答】解：因為ω＞0，0＜x＜π2，所以0＜ωx又因為0＜φ＜π所以0＜ωx+φ＜(1+ω)π令t＝ωx+φ，則0＜t＜(1+ω)π因為y＝cost在（2kπ，2kπ+π），k∈Z上單調遞減，所以當(1+ω)π2≤π，即0＜y＝cost在（0，(1+ω)π2即f（x）＝cos（ωx+φ）在（0，(1+ω)π2）上單調遞減，故B因為y＝cost在（0，(1+ω)π2即f（x）＝cos（ωx+φ）在（0，(1+ω)π2）上不可能單調遞增，故A當(1+ω)π2＞π時，函數有最小值﹣1，故當(1+ω)π2＞2π時，函數有最大值1，故故選：B．（多選）12．（5分）如圖，圓錐VAB內有一個內切球O，球O與母線VA，VB分別切于點C，D．若△VAB是邊長為2的等邊三角形，O1為圓錐底面圓的中心，MN為圓O1的一條直徑（MN與AB不重合），則下列說法正確的是（）A．球的表面積與圓錐的側面積之比為2：3 B．平面CMN截得圓錐側面的交線形狀為拋物線 C．四面體CDMN的體積的取值范圍是(0，3D．若P為球面和圓錐側面的交線上一點，則PM+PN最大值為2【解答】解：依題意，動點P的軌跡是圓，所在平面與圓錐底面平行，令其圓心為E，連接VO1，如圖，正△VAB內切圓即為球O的截面大圓，球心O在線段VO1上，VO1=3則球O的半徑OO1=33，所以球O的表面積S＝4πr2＝4π圓錐的側面積S′=12×2π×2＝2π由題意可得點C，D是邊AV，BV的中點，∴CO1∥VB，∵CO1?平面CMN，VB?平面CMN，∴VB∥平面CMN，∴平面CMN截得圓錐側面的交線形狀為拋物線，故B正確；由題意可得四面體CDMN被平面VAB截成體積相等的兩部分，設M到平面VAB的距離為d（0＜d≤1），即VCDMN＝2VM-CDO1=2×13S△CO1D×由題意可得EP=12O1B=12，EO1=32，∴O1則有PO1＝MO1＝NO1＝1，即PM⊥PN，因此PM2+PN2＝MN2＝4，由均值不等式得：PM+PN2≤PM2+PN當且僅當PM＝PN時取“＝”，故D正確．故選：ABD．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小顧5分，共20分）13．（5分）已知tan（x+π4）＝2，則tanx的值為1【解答】解：∵已知tan（x+π4）＝2，∴tanx+11-tanx=故答案為：1314．（5分）(x-2【解答】解：(x-令3-3r2=0故展開式的常數項為T3＝（﹣2）2C62＝60故答案為60．15．（5分）現有兩個罐子，1號罐子中裝有2個紅球、1個黑球，2號罐子中裝有3個紅球、1個黑球．現先從1號罐子中隨機取出一個球放入2號罐子，再從2號罐子中取一個球，則從2號罐子中取出的球是紅球的概率為1115【解答】解：設事件A表示“從2號罐子中取出的球是紅球”，事件B1表示“從1號罐子中取出的是紅球”，事件B2表示“從1號罐子中取出的是黑球”，則P（B1）=23，P（B2）=13，P（A|B1）=45，P（A所以P（A）＝P（A|B1）?P（B1）+P（A|B2）?，P（B2）=4故答案為：111516．（5分）若存在實數a，b使得ea+be?a+lnb+3，則a+b的值為1e【解答】解：令f（x）＝ex﹣x﹣1，x∈R，則f'（x）＝ex﹣1，由f'（x）＝0得x＝0，由f'（x）＞0得x＞0，由f'（x）＜0得x＜0，∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增，在（﹣∞，0）上單調遞減，∴當x＝0時，f（x）取得極小值也是最小值，即f（x）≥f（0）＝0，∴ex≥x+1在x∈R上恒成立，∴ea≥a+1①，eln（be）≥ln（be）+1＝lnb+2②，由①+②得ea+be≥a+lnb+3，當且僅當a＝0，ln（be）＝0，即a＝0，b=1又存在實數a，b使得ea+be?a+lnb+3，故當a＝0，b=1e時使得ea+be?a+lnb+3成立，此時a+b故答案為：1e四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）已知各項不為零的數列{an}滿足：a1＝1，2an+1an+an+1﹣an＝0（n∈N*）．（1）求a2，a3，并求{an}的通項公式；（2）記數列{anan+1}的前n項和為Sn，證明：Sn＜1【解答】解：（1）因為2an+1an+an+1﹣an＝0，a1＝1，所以an≠0，所以1a所以數列{1所以1a所以an故a2=1證明：（2）由（1）得：a所以Sn＝a1a2+a2a3+?+an+1an=1所以Sn18．（12分）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2sinB，cosBcosC（1）求c；（2）求△ABC周長的最大值．【解答】解：（1）由cosBcosC結合正弦定理可得cosBcosC整理得sinCcosB+sinBcosC＝2sinAcosC，所以sin（B+C）＝2sinAcosC，因為A+B+C＝π，所以sinA＝2sinAcosC，因為A∈（0，π），所以sinA＞0，所以cosC=1又因為C∈（0，π），所以C=π又bsinB=c（2）由余弦定理，得cosC=a所以a2+b2＝ab+c2＝ab+3，則(a+b)所以a+b?23，當且僅當“a=b=所以△ABC周長a+b+c的最大值為3319．（12分）“總要來趟南京吧!”今年一季度南京接待游客4千多萬，居全省第一．南京的旅游資源十分豐富，既有中山陵、夫子廟、玄武湖、南京博物院等傳統景區，又有科巷、三七八巷、德基廣場等新晉網紅景點．（1）如果隨機訪問了50名外地游客，所得結果如下表所示：首選傳統景區首選網紅景點總計男性2030女性1220試判斷是否有90%的把握認為是否首選網紅景點與性別有關；（2）根據互聯網調查數據顯示，外地游客來南京旅游首選傳統景區的概率是0.6，首選網紅景點的概率是0.4．如果隨機訪問3名外地游客，他們中首選網紅景點的人數記為X，求X的分布列和期望．附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（其中n＝a+b+P（χ2?k）0.1000.0100.001k2.7066.63510.828【解答】解：（1）假設H0：是否選擇網紅景點與性別沒有關系．由題意，補全2×2列聯表如下：首選傳統景區首選網紅景區合計男性201030女性81220合計282250根據獨立性檢驗公式可知，χ2因為當H0成立時，χ2?2.706的概率約為0.1，所以有90%的把握認為，是否首選網紅景點與性別有關．（2）由題意知，隨機變量X服從二項分布B（3，0.4）．P(X=k)=CP（X＝0）＝0.216，P（X＝1）＝0.432，P（X＝2）＝0.288，P（X＝3）＝0.064，故X的分布列為：X0123P0.2160.4320.2880.064所以X的期望值E（X）＝np＝3×0.4＝1.2．20．（12分）如圖，在四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝60°，AB＝2AA1＝2A1B1．（1）證明：BD⊥CC1；（2）點M是棱BC上靠近點C的三等分點，求二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．【解答】解：（1）證明：四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1，CC1延長后交于一點，故A，C，C1，A1共面，因為AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，故AA1⊥BD，連接AC，因為底面四邊形ABCD為菱形，故AC⊥BD，又AA1∩AC＝A，AA1，AC?平面ACC1A1，故BD⊥平面ACC1A1，因為CC1?平面ACC1A1，所以BD⊥CC1；（2）過點A作BC的垂線交BC于點N，以AN→方向作為x軸，以AD→，方向為y軸，以AA不妨設A1B1＝1，則AB＝2AA1＝2A1B1＝2，∵∠ABC＝60°，∴BN=1，AN=3∵點M是棱BC上靠近點C的三等分點，∴BM=4則A(0，0，0)，D則AD記平面AMD1的法向量為n→=(x，y，z)，則即y+z=03x+13y=0，令y平面ADD1的法向量可取為m→由圖知二面角M﹣AD1﹣D為銳二面角，故二面角M﹣AD1﹣D的余弦值為|cos?n21．（12分）已知雙曲線C：x2a（1）求C的方程；（2）過點P作y軸的垂線，交直線l：x＝1于點M，交y軸于點N．設點A，B為雙曲線C上的兩個動點，直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，若k1+k2＝2，求S△MAB【解答】解：（1）∵離心率為2，∴ca=2，即c＝2a，則a2+b2＝c2＝4a即b2＝3a2，則雙曲線方程為x∵雙曲線經過點P（4，6），∴16a2-36∴C的方程為x2（2）由題意，點M坐標為（1，6），點N坐標為（0，6），設A（x1，y1），B（x2，y2）．法一：①若直線AB斜率存在，設直線AB方程為y＝kx+m，x24-y212=1y=kx+m，消去y可得（3﹣k2）則3﹣k2≠0且Δ＝12（m2﹣4k2+12）＞0，且x1k1整理可得（m﹣4k+2）（x1+x2）+（2k﹣2）x1x2﹣8m+16＝0，即(m-4k+2)?2km化簡得m2﹣12m﹣8k2﹣12k+2km+36＝0，即（m﹣2k﹣6）（m+4k﹣6）＝0，因為直線AB不過點P（4，6），所以m+4k﹣6≠0，所以m﹣2k﹣6＝0，所以直線AB的方程為y＝k（x+2）+6，恒過定點Q（﹣2，6）．②若直線AB斜率不存在，則x1＝x2，y1+y2＝0．則k1解得x1＝x2＝﹣2，所以直線AB的方程為x＝﹣2，過定點Q（﹣2，6）．綜上，直線AB恒過定點Q（﹣2，6）．法二：∵直線AB不過點P（4，6），∴可設直線AB方程為m（x﹣4）+n（y﹣6）＝1．由x24-即（y﹣6）2﹣3（x﹣4）2+12（y﹣6）﹣24（x﹣4）＝0，即（y﹣6）2﹣3（x﹣4）2+[12（y﹣6）﹣24（x﹣4）]?[m（x﹣4）+n（y﹣6）]＝0，得（12n+1）（y﹣6）2+（12m﹣24n）（x﹣4）（y﹣6）﹣（24m+3）（x﹣4）2＝0，等式左右兩邊同時除以（x﹣4）2得(12n+1)(Δ＝（12m﹣24n）2+4（12n+1）（24m+3）＞0，k1+k所以直線AB方程為-16?(x-4)+n(y-6)=1設點M到直線AB的距離為d1，點N到直線AB的距離為d2，S△MAB22．（12分）已知函數f（x）＝ex+ax2﹣bx+2．（1）若a＝0，討論f（x）的單調性；（2）若a=12，存