§3不等式3．1不等式的性質【學習主題】不等式的性質【課時安排】1個課時【學習目標】1、會用作差法(或作商法)比較兩個實數或代數式值的大?。ㄖ攸c）2、掌握不等式的基本性質并且會證明這些性質．(重點)3、運用不等式的性質解決有關問題．(難點)【學習重難點】1、會用作差法(或作商法)比較兩個實數或代數式值的大?。?數學運算)2、會描述不等式的基本性質并運用基本性質證明一些簡單的不等式；（邏輯推理）【學情分析】學生的認知基礎有：第一，會比較數的大??；第二，理解等式性質并知道等式性質是解方程的依據；第三、具備“通過觀察、操作并抽象概括等活動獲得數學結論”的體會，有一定的抽象概括能力和數學建模能力和合情推理歸納能力．【學法建議】1.學習本節時注意理解記憶不等式的性質.2.掌握利用作差法、作商法及不等式的性質證明不等式一、一、課前預習，發現問題（一）要求：（1）逐字逐句閱讀教材第2426頁，思考下列問題的答案；并記錄預習發現的問題。問題引入：樓房的采光率有一種簡單的計算方法：設樓房的建筑面積為，窗戶的面積和為，則樓房的采光率為(其中y>x>0)．問題：顯而易見，如果增加窗戶的面積，樓房的采光將變好，那么如何用不等式來表示這個事實呢？(不妨設增加的窗戶面積為，其中m>0)問題1、回想初中數學中，利用什么方法比較兩個實數a、b的大?。繂栴}2、你能獨立證明教材24頁例2嗎？請思考生活中有哪些實例能用例2中的不等式解釋？問題3、證明不等式的基本性質1、性質2、性質3。問題4、判斷下列命題是否正確？并結合性質1想一想你的感悟？問題5、性質2是否是可逆的？問題6、如果a>b那么ac>bc是否成立？并結合性質3談一談你的感悟？問題7、由性質2知不等式的兩邊同時加上同一個實數不等號的方向不改變，如果加上不同的實數呢？即不等式兩邊分別加上不相等的兩個數，能得到什么不等關系呢？你有幾種方法證明你的猜想呢？證明性質4？問題8、由性質3不等式的兩邊同時乘以同一個實數，會得到新的不等關系。如果同時乘以不同的實數即不等式兩邊分別乘以不相等的兩個數，能得到什么不等關系呢？證明性質5？問題9、如果a>b>0,c>d>0，a=c,b=d，你有何新結論？問題10、實數有乘方運算，那么在不等式兩邊進行乘方運算，是否也具有保持不等號不變的特性？舉例說明？能否推廣到一般情況呢？問題11、利用反證法證明性質6問題12、由性質6的證明過程歸納出什么是反證法？反證法證明問題的一般步驟？（二）基礎知識自測1.比較實數a,b大小的依據2.不等式的性質名稱表達式性質1(傳遞性)如果a>b,且b>c,那么a____c.性質2(可加性)如果a>b,那么a+c________b+c.性質3(乘法法則)如果a>b,c>0,那么ac___bc;如果a>b,c<0,那么ac_____bc.性質4(同向不等式可加性)如果a>b,c>d,那么a+c___b+d.性質5(不等式的可乘性)如果a>b>0,c>d>0,那么ac______bd;如果a>b>0,c<d<0,那么ac______bd.乘方法則:當a>b>0時,an________bn,其中n∈N+,n≥2.性質6(開方法則)當a>b>0時,na_____nb其中n∈N+,n遷移與應用1.思考辨析(正確的畫√，錯誤的畫×)(1)不等式a≥b等價于“a不小于b”．()(2)若x－2≤0，則x<2.()(3)兩個實數a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a<b三種關系中的一種．()(4)若eq\f(a,b)>1，則a>b.()(5)a，b，c為實數，在等式中，若a＝b，則ac＝bc；在不等式中，若a>b，則ac>bc.()2．設M＝，N＝－x－1，則M與N的大小關系是()A．M>NB．M＝NC．M<ND．與x有關3.、給出下列命題：①a>b?>；②a>|b|?；③a>b?；④|a|>b?.其中正確命題的序號是________．4．若且，則下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．二、二、課中學習，合作探究【學習任務1】比較大小【例1】（1）試比較(x+1)(x+5)?（2）設，則a，b的大小關系為________（3）設a>b>0，比較與eq\f(a－b,a＋b)的大?。菊n堂評價1】1、已知x≤1，比較的大?。兪剑喊驯绢}中“x≤1”改為“x∈R”，再比較的大?。?、設x，y是不全為零的實數，試比較的大?。?、若P＝eq\r(a＋6)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋5)＋eq\r(a＋8)(a>－5)，則P，Q的大小關系為()A．P<QB．P＝QC．P>Q D．不能確定4、已知a≥1，試比較M＝eq\r(a＋1)－eq\r(a)和N＝eq\r(a)－eq\r(a－1)的大小．【課堂活動與展示】由學生分組討論，小組代表上臺講解【反思總結】：比較大小的方法？【學習任務2】不等式的性質及應用【例2】若a<b<0，則下列結論正確的是()A．B．C．eq\f(1,a)>eq\f(1,b) D．【課堂評價2】已知a，b，c∈R，那么下列命題中正確的是()A.若a>b，則B．若eq\f(a,c)>eq\f(b,c)，則a>bC．若且ab<0，則eq\f(1,a)>eq\f(1,b)D．若且ab>0，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)【課堂活動與展示】由學生分組討論，組內自行解決。【反思總結】判斷關于不等式的命題真假的方法？【學習任務3】利用不等式的性質證明不等式【例3】設a>b>c，求證：eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)>0.【課堂評價3】若a>b>0，c<d<0，e<0，求證:.【課堂活動與展示】由學生分組討論，小組代表上臺講解【反思總結】利用不等式的性質證明不等式的方法和注意事項?！緦W習任務4】利用不等式的性質求不等式的范圍【例4】（1）如果3<a<7,1<b<10,試求a+b,3a2b,ab,的取值范圍.（2）若1≤ab≤2,2≤a+b≤4,求4a2b的取值范圍.【課堂評價4】（1）已知1＜a＜4，2＜b＜8，求的取值范圍；（2）已知－6＜a＜8，2＜b＜3，求eq\f(a,b)的取值范圍．（3）已知4≤ab≤1,1≤4ab≤5,求9ab的取值范圍.（4）已知－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的取值范圍【課堂活動與展示】由學生分組討論，小組代表上臺講解【反思總結】利用不等式的性質求取值范圍的策略？【學習任務5】不等關系的實際應用【例5】有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各不相同．已知三個房間的粉刷面積(單位：m2)分別為x，y，z，且x<y<z，三種顏色涂料的粉刷費用(單位：元/m2)分別為a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的總費用(單位：元)是()A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cx D