2025屆四省名校數學高一下期末學業水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，其中，則（）A． B． C． D．2．函數的對稱中心是（）A． B． C． D．3．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．4．在直角坐標系中，直線的傾斜角是A． B． C． D．5．的直觀圖如圖所示，其中，則在原圖中邊的長為（）A． B． C．2 D．6．某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的外接球表面積為（）A． B． C． D．7．把函數的圖象上的所有點的橫坐標縮小到原來的一半（縱坐標不變），然后把圖象向左平移個單位，則所得圖形對應的函數解析式為（）A． B．C． D．8．已知曲線C的方程為x2+y2＝2（x+|y|），直線x＝my+4與曲線C有兩個交點，則m的取值范圍是（）A．m＞1或m＜﹣1 B．m＞7或m＜﹣7C．m＞7或m＜﹣1 D．m＞1或m＜﹣79．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積是（）A． B． C． D．10．《九章算術》中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步，問其內切圓的直徑為多少步？”現若向此三角形內隨機投一粒豆子，則豆子落在其內切圓外的概率是()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，角A，B，C的對邊分別為，若,則此三角形的最大內角的度數等于________．12．如圖，已知扇形和，為的中點.若扇形的面積為1，則扇形的面積為______.13．在中，角、、所對應邊分別為、、，，的平分線交于點，且，則的最小值為______14．已知向量，則________15．如圖，矩形中，，，是的中點，將沿折起，使折起后平面平面，則異面直線和所成的角的余弦值為__________．16．從1，2，3，4，5中任意取出兩個不同的數，其和為5的概率為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數.（1）若函數的周期，且滿足，求及的遞增區間；（2）若，在上的最小值為，求的最小值.18．已知數列中，，．（1）證明數列為等比數列，并求的通項公式；（2）數列滿足，數列的前項和為，求證．19．設數列的前項和為，且．（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和．20．如果定義在上的函數，對任意的，都有，則稱該函數是“函數”．（I）分別判斷下列函數：①；②；③，是否為“函數”？（直接寫出結論）（II）若函數是“函數”，求實數的取值范圍．（III）已知是“函數”，且在上單調遞增，求所有可能的集合與21．設函數，且(1)求的值；(2)試判斷在上的單調性，并用定義加以證明；(3)若求值域；

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

先根據同角三角函數關系求得,再根據二倍角正切公式得結果.【詳解】因為，且，所以，因為，所以，因此，從而，，選D.【點睛】本題考查同角三角函數關系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.2、C【解析】，設是奇函數，其圖象關于原點對稱，而函數的圖象可由的圖象向右平移一個單位，向下平移兩個單位得到，所以函數的圖象關于點對稱，故選C.3、A【解析】

觀察可知，這個幾何體由兩部分構成,：一個半圓柱體，底面圓的半徑為1，高為2；一個半球體，半徑為1，按公式計算可得體積。【詳解】設半圓柱體體積為，半球體體積為，由題得幾何體體積為，故選A。【點睛】本題通過三視圖考察空間識圖的能力，屬于基礎題。4、A【解析】

先根據直線的方程，求出它的斜率，可得它的傾斜角．【詳解】在直角坐標系中，直線的斜率為，等于傾斜角的正切值，故直線的傾斜角是，故選．【點睛】本題主要考查直線的傾斜角和斜率的求法．5、D【解析】

由直觀圖確定原圖形中三角形邊的關系及長度，然后計算．【詳解】在原圖形中，，，∴．故選：D.【點睛】本題考查直觀圖，考查由直觀圖還原原平面圖形.掌握斜二測畫法的規則是解題關鍵.6、D【解析】

根據三視圖還原幾何體，由三棱錐的幾何特征即可求出其外接球表面積．【詳解】根據三視圖可知，該幾何體如圖所示：所以該幾何體的外接球，即是長方體的外接球．因為，所以外接球直徑．故該三棱錐的外接球表面積為．故選：D．【點睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體，并計算其外接球的表面積，意在考查學生的直觀想象能力和數學運算能力，屬于基礎題．7、D【解析】

函數的圖象上的所有點的橫坐標縮小到原來的一半（縱坐標不變），的系數變為原來的2倍，即為2，然后根據平移求出函數的解析式．【詳解】函數的圖象上的所有點的橫坐標縮小到原來的一半（縱坐標不變），得到，把圖象向左平移個單位，得到故選：．【點睛】本題考查函數的圖象變換．準確理解變換規則是關鍵，屬于中檔題．8、A【解析】

先畫出曲線的圖象，再求出直線與相切時的，最后結合圖象可得的取值范圍，得到答案．【詳解】如圖所示，曲線的圖象是兩個圓的一部分，由圖可知：當直線與曲線相切時，只有一個交點，此時，結合圖象可得或．故選：A．【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系的應用，其中解答中熟練應有直線與圓的位置關系，合理結合圖象求解是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題．9、B【解析】

由三視圖還原幾何體，可知該幾何體是由邊長為的正方體切割得到的四棱錐，可知所求外接球即為正方體的外接球，通過求解正方體外接球半徑，代入球的表面積公式可得到結果.【詳解】由三視圖可知，幾何體為如下圖所示的四棱錐：由上圖可知：四棱錐可由邊長為的正方體切割得到該正方體的外接球即為四棱錐的外接球四棱錐的外接球半徑外接球的表面積故選：【點睛】本題考查棱錐外接球表面積的求解問題，關鍵是能夠通過三視圖還原幾何體，并將幾何體放入正方體中，通過求解正方體的外接球表面積得到結果；需明確正方體外接球表面積為其體對角線長的一半.10、C【解析】

本題首先可以根據直角三角形的三邊長求出三角形的內切圓半徑，然后分別計算出內切圓和三角形的面積，最后通過幾何概型的概率計算公式即可得出答案.【詳解】如圖所示，直角三角形的斜邊長為，設內切圓的半徑為，則，解得.所以內切圓的面積為，所以豆子落在內切圓外部的概率，故選C．【點睛】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關的幾何概型問題關鍵是計算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導致錯誤；（2）基本事件對應的區域測度把握不準導致錯誤；（3）利用幾何概型的概率公式時,忽視驗證事件是否等可能性導致錯誤．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據大角對大邊，利用余弦定理直接計算得到答案.【詳解】在中，角A，B，C的對邊分別為，若不妨設三邊分別為：3,5,7根據大角對大邊：角C最大故答案為【點睛】本題考查了余弦定理，屬于簡單題.12、1【解析】

設，在扇形中，利用扇形的面積公式可求，根據已知，在扇形中，利用扇形的面積公式即可計算得解．【詳解】解：設，扇形的面積為1，即：，解得：，為的中點，，在扇形中，．故答案為：1．【點睛】本題主要考查了扇形的面積公式的應用，考查了數形結合思想和轉化思想，屬于基礎題．13、18【解析】

根據三角形面積公式找到的關系，結合基本不等式即可求得最小值.【詳解】根據題意，，因為的平分線交于點，且，所以而所以，化簡得則當且僅當，即，時取等號，即最小值為.故答案為：【點睛】本題考查三角形面積公式和基本不等式，考查計算能力，屬于中等題型14、2【解析】

由向量的模長公式，計算得到答案.【詳解】因為向量，所以，所以答案為.【點睛】本題考查向量的模長公式，屬于簡單題.15、【解析】

取中點為，中點為，連接，則異面直線和所成角為.在中，利用邊長關系得到余弦值.【詳解】由題意，取中點，連接，則，可得直線和所成角的平面角為，（如圖）過作垂直于，平面⊥平面，，平面，，且，結合平面圖形可得：,,,又=,∴=,∴在中，=,∴△DFC是直角三角形且，可得．【點睛】本題考查了異面直線的夾角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.16、0.2【解析】從1,2,3,4,5中任意取兩個不同的數共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)10種.其中和為5的有(1,4),(2,3)2種.由古典概型概率公式知所求概率為=.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）2.【解析】

（1）由函數的性質知，關于直線對稱，又函數的周期，兩個條件兩個未知數，列兩個方程，所以可以求出，進而得到的解析式，求出的遞增區間；（2）求出的所有解，再解不等式，即可求出的最小值．【詳解】（1），由知，∴對稱軸∴，又，,由，得，函數遞增區間為；（2）由于，在上的最小值為，所以，即，所以，所以.【點睛】本題主要考查三角函數解析式、單調區間以及最值的求法，特別注意用代入法求單調區間時，要考慮復合函數的單調性，以免求錯．18、（1）證明見解析；；（2）【解析】

（1）先證明數列是以3為公比，以為首項的等比數列，從而，由此能求出的通項公式；（2）由（1）推導出，從而，利用錯位相減法求和，利用放縮法證明．【詳解】由，，得，，數列是以3為公比，以為首項的等比數列，從而，數列滿足，，，，兩式相減得：，，，【點睛】本題主要考查等比數列的定義、通項公式與求和公式，以及錯位相減法的應用，是中檔題．一般地，如果數列是等差數列，是等比數列，求數列的前項和時，可采用“錯位相減法”求和，一般是和式兩邊同乘以等比數列的公比，然后作差求解,在寫出“”與“”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“”的表達式.19、（1）；（2）【解析】

(1)由，且，可得當也適合，；(2)∵20、（I）①、②是“函數”，③不是“函數”;（II）的取值范圍為;（III），【解析】試題分析：（1）根據“β函數”的定義判定．①、②是“β函數”，③不是“β函數”；（2）由題意，對任意的x∈R，f（﹣x）+f（x）≠0，故f（﹣x）+f（x）=2cosx+2a由題意，對任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠﹣cosx即可得實數a的取值范圍（3）對任意的x≠0，分（a）若x∈A且﹣x∈A，（b）若x∈B且﹣x∈B，驗證。（I）①、②是“函數”，③不是“函數”．（II）由題意，對任意的，，即．因為，所以．故．由題意，對任意的，，即．故實數的取值范圍為．（Ⅲ）（）對任意的（a）若且，則，，這與在上單調遞增矛盾，（舍），（b）若且，則，這與是“函數”矛盾，（舍）．此時，由的定義域為，故對任意的，與恰有一個屬于，另一個屬于．（）假設存在，使得，則由，故．（a）若，則，矛盾，（b）若，則，矛盾．綜上，對任意的，，故，即，則．（）假設，則，矛盾．故故，．經檢驗，．符合題意點睛：此題是新定義的題目，根據已知的新概念，新信息來馬上應用到題型中，根據函數的定義即函數沒有關于原點對稱的部分即可，故可以從