簡單復合函數的導數年級：高二（下）學科：數學（人教版）

問題引入分析：①能否通過導數定義求解？②能否通過基本初等函數導數公式求解？③是幾個基本初等函數和（或差、積、商）結構嗎？能否用導數的四則運算法則求解？

分析：若設

，則.從而

可以看成是由和

經過“復合”得到的，即y可以通過中間量

u

表示為自變量x的函數.如果把y與u的關系記作y=f(u),u與x的關系記作u=g(x),那么這個“復合”過程可表示為探索新知新知11．復合函數的概念

一般地，對于兩個函數y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函數y＝f(u)和u＝g(x)的復合函數（compositefunction)，記作__________．y＝f(g(x))例如：復合復合例1.指出下列函數的復合關系：應用舉例

解：函數

可以看作函數

和

的復合函數，

解：函數

可以看作函數

和

的復合函數，例1.指出下列函數的復合關系：應用舉例

解：函數

可以看作函數

和

的復合函數，

解：函數

可以看作函數

，

和

的復合函數，反思小結明確函數的復合關系的策略

復合函數是因變量通過中間變量表示為自變量的函數的過程，在分析時可以從外到內，先根據外層的主體函數結構找出y=f(u)；再根據內層的主體函數結構找出函數u=g(x),函數y=f(u)和u=g(x)復合而成y=f(g(x)).易錯提醒:

對于復合函數，中間變量應選擇簡單初等函數，判定一個函數是簡單初等函數的標準是存在求導公式，即能直接求導.探索新知探究2：如何求復合函數的導數呢？研究

的導數為例：復合思路探索1：函數

的導數與函數

，

的導數相關嗎？探索新知思路探索1：函數

的導數與函數

，

的導數相關嗎？以

表示y對x的導數，以

表示y對u的導數，以

表示u對x的導數，探究2：如何求復合函數的導數呢？研究

的導數為例：

一般地，對于由函數

和

復合而成的函數,它的導數與函數

的導數間的關系為

新知2即

y

對x

的導數等于

y對

u的導數與

u

對

x

的導數的乘積.2．復合函數的導數例2.求下列函數的導數應用舉例

解：函數

可以看作函數

和

的復合函數，根據復合函數的求導法則有例2.求下列函數的導數應用舉例

解：函數

可以看作函數

和

的復合函數，根據復合函數的求導法則有例2.求下列函數的導數應用舉例

解：函數

可以看作函數

和

的復合函數，根據復合函數的求導法則有反思小結思路探索2：復合函數求導的關鍵是什么？

復合函數求導的關鍵是選擇中間變量，必須正確分析復合函數是由哪些基本初等函數經過怎樣的順序復合而成的，分清其間的復合關系，要善于把一部分量或式子暫時當成一個整體，這個暫時的整體就是中間量.反思小結求復合函數的導數的步驟變量回代把中間變量u回代，轉化為自變量

x的函數易錯提醒:

(1)內、外層函數通常為基本初等函數.(2)求每層函數的導數時，要注意分清是對哪個變量求導.分層選擇中間變量u，寫成構成它的內、外層函數相乘把上述求導的結果相乘分別求導求各層函數對相應變量的導數跟蹤訓練1求下列函數的導數：應用舉例提醒：復合函數的求導熟練后，中間步驟可以省略，即不必再寫出函數的復合過程，直接運用公式，從外層開始由外及內逐層求導．復合

解：設

所以

解：設

所以

所以

解C：函數

可化簡為提醒：在對函數求導時，應仔細觀察及分析函數的結構特征，緊扣求導法則，聯系學過的求導公式，對不易用求導法則求導的函數，可適當地進行等價變形，以達到化異求同、化繁為簡的目的．

應用舉例

解：因為

所以

即

復合應用舉例

解：函數

可以看作函數

和

的復合函數，根據復合函數的求導法則有它表示當t=3s時，彈簧振子的瞬時速度為0mm/s.在t=3時，目標：通過具體的函數實例，理解復合函數的概念，明確函數的復合關系，發展數學抽象素養.1.復合函數的概念．2.復合函數的求導法則..目標：掌握復合函數的求導法則，能夠利用求導法則求復合函數

的導數，提升數學運算的素養.歸納總結課后作業拓廣探索：

3.設曲線

在點（0，1）處與直線2x-y+1=0垂直，求a的值基礎訓練：1.求下列函數的導數：