北京市海淀清華附中2024年高一數學第二學期期末聯考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若,則()A． B． C． D．2．己知ΔABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若A=45°,B=30°,a=2，則bA．3-1 B．1 C．2 D．3．兩條平行直線與間的距離等于（）A． B．2 C． D．44．甲箱子里裝有個白球和個紅球，乙箱子里裝有個白球和個紅球．從這兩個箱子里分別摸出一個球，設摸出的白球的個數為，摸出的紅球的個數為，則（）A．，且 B．，且C．，且 D．，且5．各項不為零的等差數列中，，數列是等比數列，且，則（）A．4 B．8 C．16 D．646．已知變量，之間的線性回歸方程為，且變量，之間的一組相關數據如下表所示，則下列說法中錯誤的是（）681012632A．變量，之間呈現負相關關系B．的值等于5C．變量，之間的相關系數D．由表格數據知，該回歸直線必過點7．函數，則命題正確的（）A．是周期為1的奇函數 B．是周期為2的偶函數C．是周期為1的非奇非偶函數 D．是周期為2的非奇非偶函數8．法國“業余數學家之王”皮埃爾·德·費馬在1936年發現的定理：若x是一個不能被質數p整除的整數，則必能被p整除，后來人們稱為費馬小定理.按照該定理若在集合中任取兩個數，其中一個作為x，另一個作為p，則所取的兩個數符合費馬小定理的概率為（）A． B． C． D．9．等比數列的前n項和為，若，則等于()A．－3 B．5 C．33 D．－3110．已知數列的前項和為，若，對任意的正整數均成立，則（）A．162 B．54 C．32 D．16二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數列的通項公式為，的前項和為，則___________.12．已知球的表面積為4，則該球的體積為________．13．如圖，為內一點，且，延長交于點，若，則實數的值為_______.14．設是定義在上以2為周期的偶函數，已知，，則函數在上的解析式是15．已知函數，對于上的任意，，有如下條件：①；②；③；④．其中能使恒成立的條件序號是__________．16．設a＞1,b＞1．若關于x,y的方程組無解，則的取值范圍是．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖1，在直角梯形中，，，點在上，且，將沿折起，使得平面平面(如圖2).為中點(1)求證:；(2)求四棱錐的體積；(3)在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由18．土筍凍是閩南種廣受歡迎的特色傳統風味小吃某小區超市銷售一款土筍凍，進價為每個15元，售價為每個20元.銷售的方案是當天進貨，當天銷售,未售出的全部由廠家以每個10元的價格回購處理.根據該小區以往的銷售情況，得到如圖所示的頻率分布直方圖:(1)估算該小區土筍凍日需求量的平均數(同一組中的數據用該組區間的中點值代表)；(2)已知該超市某天購進了150個土筍凍，假設當天的需求量為個銷售利潤為元.(i)求關于的函數關系式;(ii)結合上述頻率分布直方圖，以額率估計概率的思想,估計當天利潤不小于650元的概率.19．已知數列的前項和為，且滿足（1）求數列的通項公式；（2）設，令，求20．如圖，在中，，D是BC邊上的一點，，，.（1）求的大小；（2）求邊的長.21．已知的三個頂點分別為，，，求：（1）邊上的高所在直線的方程；（2）的外接圓的方程．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

利用正弦定理邊化角，結合和差公式以及誘導公式，即可得到本題答案.【詳解】因為，所以，，，，，.故選：B.【點睛】本題主要考查利用正弦定理邊角轉化求角，考查計算能力，屬于基礎題.2、B【解析】

由正弦定理可得．【詳解】∵asinA=故選B．【點睛】本題考查正弦定理，解題時直接應用正弦定理可解題，本題屬于基礎題．3、C【解析】

先把直線方程中未知數的系數化為相同的，再利用兩條平行直線間的距離公式，求得結果．【詳解】解：兩條平行直線與間，即兩條平行直線與，故它們之間的距離為，故選：．【點睛】本題主要考查兩條平行直線間的距離公式應用，注意未知數的系數必需相同，屬于基礎題．4、D【解析】可取，；，，，，，故選D.5、D【解析】

根據等差數列性質可求得，再利用等比數列性質求得結果.【詳解】由等差數列性質可得：又各項不為零，即由等比數列性質可得：本題正確選項：【點睛】本題考查等差數列、等比數列性質的應用，屬于基礎題.6、C【解析】分析：根據平均數的計算公式，求得樣本中心為，代入回歸直線的方程，即可求解，得到樣本中心，再根據之間的變化趨勢，可得其負相關關系，即可得到答案.詳解：由題意，根據上表可知，即數據的樣本中心為，把樣本中心代入回歸直線的方程，可得，解得，則，即數據的樣本中心為，由上表中的數據可判定，變量之間隨著的增大，值變小，所以呈現負相關關系，由于回歸方程可知，回歸系數，而不是，所以C是錯誤的，故選C.點睛：本題主要考查了數據的平均數的計算公式，回歸直線方程的特點，以及相關關系的判定等基礎知識的應用，其中熟記回歸分析的基本知識點是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.7、B【解析】由題得函數的周期為T==2，又f(x)=sin(πx?)?1=?cosπx?1，從而得出函數f(x)為偶函數．故本題正確答案為B．8、A【解析】

用列舉法結合古典概型概率公式計算即可得出答案.【詳解】用表示抽取的兩個數，其中第一個為，第二個為總的基本事件分別為：，，，共12種其中所取的兩個數符合費馬小定理的基本事件分別為：，，共8種則所取的兩個數符合費馬小定理的概率故選：A【點睛】本題主要考查了利用古典概型概率公式計算概率，屬于基礎題.9、C【解析】

由等比數列的求和公式結合條件求出公比，再利用等比數列求和公式可求出.【詳解】設等比數列的公比為（公比顯然不為1），則，得，因此，，故選C.【點睛】本題考查等比數列基本量計算，利用等比數列求和公式求出其公比，是解本題的關鍵，一般在求解等比數列問題時，有如下兩種方法：（1）基本量法：利用首項和公比列方程組解出這兩個基本量，然后利用等比數列的通項公式或求和公式來進行計算；（2）性質法：利用等比數列下標有關的性質進行轉化，能起到簡化計算的作用．10、B【解析】

由，得到數列表示公比為3的等比數列，求得，進而利用，即可求解.【詳解】由，可得，所以數列表示公比為3的等比數列，又由，，得，解得，所以，所以故選B.【點睛】本題主要考查了等比數列的定義，以及數列中與之間的關系，其中解答中熟記等比數列的定義和與之間的關系是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

計算出，再由可得出的值.【詳解】當時，則，當時，則，當時，.，，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查數列求和，解題的關鍵就是找出數列的規律，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.12、【解析】

先根據球的表面積公式求出半徑，再根據體積公式求解.【詳解】設球半徑為，則，解得，所以【點睛】本題考查球的面積、體積計算，屬于基礎題.13、【解析】

由，得，可得出，再利用、、三點共線的向量結論得出，可解出實數的值.【詳解】由，得，可得出，由于、、三點共線，，解得，故答案為.【點睛】本題考查三點共線問題的處理，解題的關鍵就是利用三點共線的向量等價條件的應用，考查運算求解的能力，屬于中等題.14、【解析】試題分析：根據題意，由于是定義在上以2為周期的偶函數，那么當，，可知當x,,那么利用周期性可知，在上的解析式就是將x,的圖像向右平移2個單位得到的，因此可知，答案為．考點：函數奇偶性、周期性的運用點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握函數的有關性質，即周期性，奇偶性，單調性等有關性質．15、③④【解析】∵g（x）=[（﹣x）2﹣cos（﹣x）]=[x2﹣cosx]=g（x），∴g（x）是偶函數，∴g（x）圖象關于y軸對稱，∵g′（x）=x+sinx＞0，x∈（0，]，∴g（x）在（0，]上是增函數，在[﹣，0）是減函數，故③x1＞|x2|；④時，g（x1）＞g（x2）恒成立，故答案為：③④．點睛：此題考查的是函數的單調性的應用；已知表達式，根據表達式判斷函數的單調性，和奇偶性，偶函數在對稱區間上的單調性相反，根據單調性的定義可知，增函數自變量越大函數值越大，減函數自變量越大函數值越小。16、【解析】試題分析：方程組無解等價于直線與直線平行，所以且．又，為正數，所以（），即取值范圍是．考點：方程組的思想以及基本不等式的應用．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）（3）存在，【解析】

（1）證明DG⊥AE，再根據面面垂直的性質得出DG⊥平面ABCE即可證明（2）分別計算DG和梯形ABCE的面積，即可得出棱錐的體積；（3）過點C作CF∥AE交AB于點F，過點F作FP∥AD交DB于點P，連接PC，可證平面PCF∥平面ADE，故CP∥平面ADE，根據PF∥AD計算的值．【詳解】(1)證明:因為為中點，，所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.又因為平面，故(2)在直角三角形中，易求，則所以四棱錐的體積為(3)存在點，使得平面，且=3:4過點作交于點，則.過點作交于點，連接，則.又因為平面平面，所以平面.同理平面.又因為，所以平面平面.因為平面，所以平面，由，則=3:4【點睛】本題考查了面面垂直的性質，面面平行性質，棱錐的體積計算，屬于中檔題．18、（1）（2）(i)（）；(ii)【解析】

(1)設日需求量為，直接利用頻率分布圖中的平均數公式估算該小區土筍凍日需求量的平均數；（2）(i)分類討論得（）；(ii)由（i）可知，利潤，當且僅當日需求量，再利用互斥事件的概率和公式求解.【詳解】解：（1）設日需求量為，依題意的頻率為；的頻率為；的頻率為；的頻率為．則與的頻率為．故該小區土筍凍日需求量的平均數，．（2）（i）當時，；當時，．故（）（ii）由（i）可知，利潤，當且僅當日需求量．由頻率分布直方圖可知，日需求量的頻率約為，以頻率估計概率的思想，估計當天利潤不小于元的概率為．【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖中平均數的計算和分段函數解析式的求法，考查互斥事件的概率的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題.19、（1）（2）【解析】

試題分析：(1)利用得到相鄰兩項的關系，把問題轉化為等比數列問題；(2)利用裂項相消法求和.試題解析：（1）由，得得∴是等比數列，且公比為（2）由（1）及得，20、（1）（2）【解析】

（1）在中，由余弦定理運算即可；（2）在中，由正弦定理運算即可.【詳解】解：（1）在中，，，，由余弦定理可得,又，即；（2）由（1）得，在中，，，由正弦定理可得：，即.【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理的應用，屬基礎題.21、（1）2x+y-2=0；（2）x2+y2+2x+2y-8=0