《高等數學》課件(第十章第一節)多重積分

第十章（Multipleintegral）《高等數學》課件(第十章第一節)在本章中,我們將一元函數的定積分推廣到多元函數的重積分.

內容包括：

10.1二重積分的概念

10.2二重積分的計算

10.3三重積分《高等數學》課件(第十章第一節)10.1二重積分的概念（theconceptionofdoubleintegral）

曲頂柱體

:以平面上的有界閉區域D為底,連續函數z

f

(x,y)((x,y)

D,f(x,

y)0)形成的曲面S為頂,區域D的邊界曲線C作準線,母線平行于z軸的柱面為側面形成的立體.

10.1.1二重積分的定義

1曲頂柱體的體積z

f(x,y)DzyOCx《高等數學》課件(第十章第一節)求曲頂柱體的體積V

.用曲線網將區域D劃分為n個小區域:

1,

2,,

n,

i

也同時表示相應區域的面積.記

max{

i

的直徑:i

1,2,,n}.

yxzOS:z

f(x,y)f(

i,

i)

iD(

i,

i)《高等數學》課件(第十章第一節)在每一個小區域

i

中任取一點Pi

(

i,

i),以fi

(

i,

i)

作為

i上的小曲頂柱體高度的近似值.則

i

上的小曲頂柱體體積的近似值為于是,曲頂柱體體積的精確值為以各小區域的邊界為準線,作母線平行z軸的柱面把曲頂柱體分為n個小曲頂柱體.

從而整個曲頂柱體體積V的近似值為yxzOS:z

f(x,y)f(

i,

i)

iD(

i,

i)《高等數學》課件(第十章第一節)

2二重積分的定義

定義10-1

設二元函數z

f(x,y)為定義在有界閉區域D上的有界函數,用一組曲線網將區域D任意劃分為n個小區域:

1,

2,,

n,記

max{

i

的直徑:i

1,2,,n}.

任取

(

i,

i)

i,作和

《高等數學》課件(第十章第一節)其中f(x,y)為被積函數,f(x,y)d

為積分表達式,d

為面積元素(或面積微元),x,y是積分變量,D是積分區域.

令

0,若In

的極限存在,且極限值與對區域D的劃分法以及點(

i,

i)的選取無關,則稱f(x,y)在區域D上(Riemman)可積,并稱極限值I為f(x,y)在區域D上的二重積分,記為即《高等數學》課件(第十章第一節)幾何上,二重積分表示曲頂柱體的體積的代數和.

當f(x,y)1時,表示區域D

的面積.在直角坐標系下,用平行于坐標軸的直線網劃分D,則面積微元d

dx

dy,

其中dx

dy

為直角坐標系下的面積元素.

所以《高等數學》課件(第十章第一節)

3平面薄片的質量取(x,y)D,并取(x,y)處的面積微元d

,則質量微元dM

(x,y)d

,于是平面薄片的質量為

設平面薄片占有xOy

平面上的有界閉區域D,在點(x,y)

D處的面密度為

(x,y),

(x,y)>0,且在D上連續,求此平面薄片的質量.《高等數學》課件(第十章第一節)

4二重積分的存在定理

定理10-1

若二元函數f(x,y)在平面有界閉區域D上連續,則f(x,y)在D上可積.

10.1.2二重積分的性質由于二重積分與一重積分一樣都是黎曼（Riemman）積分，因此它們有類似的性質.這些性質容易根據重積分的定義來證明.《高等數學》課件(第十章第一節)

2.(區域可加性)若f(x,y)在有界閉區域D1

和D2

上均可積,其中D1

和D2除邊界外沒有公共部分,則f(x,y)在D

1

D

2上也可積,且有

1.(線性性)若f1(x,y),f2(x,y)在有界閉區域D上可積,則對任何常數k1,k2,有《高等數學》課件(第十章第一節)

3.(單調性)若f(x,y)和g(x,y)在有界閉區域D上均可積,且在D上恒有f(x,y)

g(x,y),則

推論1

若在區域D上f(x,y)0,則

推論2因為故《高等數學》課件(第十章第一節)

4.(積分中值定理)設f(x,y)在有界閉區域D上連續,則存在點(

,

)D,使得

推論3

若在區域D上,m

f(x,y)M,則其中A(D)是D的面積.

f(x,y)在區域D上的平均值定義為則在在上取得最大值和最小值，使得因函數

在

上連續，證故由連續函數的介值定理知，存在使得從而《高等數學》課件(第十章第一節)

例1

估計二重積分

解在D

上ln2

ln(1x2

y2)ln3,的值,其中D

{(x,y)|1x2