山東省濱州市2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.設(shè)全集。={-2,—1,0』,2,3,4},集合A={尤eZplWx0},B={2,3},則

（）

A.{-2,2,3}B.{-2-1,2,3}C.^—2,—1,0,2,31D.0

2.平面。與平面夕平行的充要條件是（）

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與/平行B.a,夕垂直于同一個(gè)平面

C.a,夕平行于同一條直線D.a內(nèi)有兩條相交直線都與夕平行

3.向量。=（0,1）,6=（2,-3）,貝也在°上的投影向量為（）

A.（2,0）B.（0,2）C.（-3,0）D.（0,-3）

4.若不等式Y(jié)-辦+420對(duì)任意％W1,31恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.[0,4]B.C.1漢^D.（-co,5]

5.某學(xué)校一同學(xué)研究溫差x（單位：。C）與本校當(dāng)天新增感冒人數(shù)y（單位：人）的

關(guān)系，該同學(xué)記錄了5天的數(shù)據(jù)：

X568912

y1620252836

由上表中數(shù)據(jù)求得溫差尤與新增感冒人數(shù),滿足經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=6x+2.6,則下列結(jié)論

不正確的是（）

A.x與y有正相關(guān)關(guān)系B.經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過點(diǎn)（8,25）

C.b=2AD.x=9時(shí)，殘差為0.2

6.已知直線/：y=丘-2與圓C:.爐+產(chǎn)-6x-7=0交于A,8兩點(diǎn)，貝IJ|相|的最小值為（

A.277B.2石C.幣D.V3

7.已知Ovav—9。＜尸＜—9cos（a+/7）--,sin（a-77）--,貝叱口,二（）

22

33八5一1°

A.—B.-C.—D.—

10533

8.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三

角垛”.“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10

個(gè)球....記第〃層球的個(gè)數(shù)為與，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為（）

19

D.

10

二、多選題

9.已知復(fù)數(shù)z=l+i（i為虛數(shù)單位），則下列說法中正確的是（）

A.z的共軌復(fù)數(shù)是彳=_i+iB.|z|=V2

jr?i

C.z的輻角主值是￡D.-=l+i

4z

10.已知函數(shù)〃力=期（0尤+110>0）,下列選項(xiàng)中正確的有（）

A.若"%）的最小正周期T=2,則。=無

B.當(dāng)°=2時(shí)，函數(shù)的圖象向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度后得到g（x）=cos2x的圖

象

C.若在區(qū)間（。㈤上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是

D.若在區(qū)間（0,兀）上只有一個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是弓彳

11.已知函數(shù)y=/（x-1）的圖象關(guān)于直線X=-2對(duì)稱，且對(duì)VxeR,有

/（%）+/（-%）=6.當(dāng)xe（O,3］時(shí)，/（x）=x+3,則下列說法正確的是（）

A.10是外”的周期B.〃x+3）為偶函數(shù)

C.”2024）=1D.”可在［6,12］上單調(diào)遞減

12.拋物線的光學(xué)性質(zhì)：由焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行拋物線對(duì)稱軸的方

向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已

知拋物線C:/=4y,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于V軸的光線4從點(diǎn)尸（4,射入，經(jīng)過

C上的點(diǎn)4（石,乂）反射后，再經(jīng)過C上另一個(gè)點(diǎn)3（%,%）反射，沿直線4射出，經(jīng)過點(diǎn)

試卷第2頁，共4頁

Q,則()

A.%%=4

B.M=Y

C.延長(zhǎng)A。交直線y=-l于點(diǎn)。，則￡),B,。三點(diǎn)共線

41

D.若依平分/A3。,則機(jī)=—

三、填空題

13.曲線y=ln(3x)在點(diǎn)尸［,()］處的切線方程為.

14.+-2y丫的展開式中W的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

15.甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有10個(gè)除顏色外完全相同的球，其中甲箱中有4個(gè)紅球、3

個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有5個(gè)紅球、2個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一

球放入乙箱，分別用A、4和4表示由甲箱取出的球是紅球、白球和黑球的事件；再

從乙箱中隨機(jī)取出一球，用2表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則網(wǎng)&忸)=

16.已知直四棱柱的所有棱長(zhǎng)均為4,ZABC=6O°,以A為球心，2后

為半徑的球面與側(cè)面CDD?的交線長(zhǎng)為.

四、解答題

17.已知等比數(shù)列｛q｝的公比為2,且％是％與%-8的等差中項(xiàng).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

「方:iWr

⑵設(shè)4=偽偶數(shù)求數(shù)列間的前方項(xiàng)和立.

18.記ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,ABC的面積為S,已知

a2+c2-b2=^^-S,a=2.

3

(1)求角3；

(2)若2cos2A+cos2A-l=0,求S的值.

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，尸平面A5CD,R4=3,四邊形A3CD為直角梯

形，XBAD=9Q,AB//CD,AB=3,CD=AD=1,點(diǎn)M在線段P￡)上，且PM=2也，

點(diǎn)N在線段PB上，旦PB=3PN.

DC

⑴求證：CN〃平面PAD；

(2)求平面CZW與平面DNM夾角的余弦值.

20.杭州亞運(yùn)會(huì)的三個(gè)吉祥物是琮琮、宸宸和蓮蓮，他們分別代表了世界遺產(chǎn)良渚古城

遺址、京杭大運(yùn)河和西湖，分別展現(xiàn)了不屈不撓、堅(jiān)強(qiáng)剛毅的拼搏精神，海納百川的時(shí)

代精神和精致和諧的人文精神.某經(jīng)銷商提供如下兩種方式購(gòu)買吉祥物，方式一：以盲

盒方式購(gòu)買，每個(gè)盲盒20元，盲盒外觀完全相同，內(nèi)部隨機(jī)放有琮琮、宸宸和蓮蓮三

款中的一款或者為空盒，只有拆開才會(huì)知道購(gòu)買情況，買到各種盲盒是等可能的；方式

二：直接購(gòu)買吉祥物，每個(gè)30元.

(1)小明若以方式一購(gòu)買吉祥物，每次購(gòu)買一個(gè)盲盒并拆開.求小明第3次購(gòu)買時(shí)恰好首

次出現(xiàn)與已買到的吉祥物款式相同的概率；

(2)為了集齊三款吉祥物，現(xiàn)有兩套方案待選，方案一：先購(gòu)買一個(gè)盲盒，再直接購(gòu)買剩

余的吉祥物；方案二：先購(gòu)買兩個(gè)盲盒，再直接購(gòu)買剩余吉祥物.若以所需費(fèi)用的期望

值為決策依據(jù)，小明應(yīng)選擇哪套方案？

21.已知A，為兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,-2),(0,2),直線尸4，P4相交于點(diǎn)尸，且它們

的斜率之積為-g,設(shè)點(diǎn)尸的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

⑵設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為直線尸產(chǎn)與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,與x軸的交點(diǎn)為

若MP=2PF，=歹，試問幾+〃是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出結(jié)果，若不是

定值，請(qǐng)說明理由.

22.已知函數(shù)/(3)=(2-。一空)e*.

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若a=l,求證：/(x)+e*ln(x+l)Wx+1.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.A

【分析】根據(jù)集合的運(yùn)算即可求解.

【詳解】A={-1,0,1,2,3,4},所以⑥A)DB={-22{2,3}={—2,2,3},

故選：A

2.D

【分析】根據(jù)面面平行的判定定理逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,a內(nèi)有無數(shù)條直線與夕平行，可得a與4相交或￡//月；

對(duì)于B,a與尸垂直于同一個(gè)平面，可得a與4相交或c〃6；

對(duì)于C,a與夕平行于同一條直線，可得a與夕相交或a〃￡；

對(duì)于D,。內(nèi)有兩條相交直線平行于夕，結(jié)合面面平行的判定定理可得1//月，

故選：D.

3.D

【分析】直接由投影向量公式求解即可.

【詳解】6在。上的投影向量為.普告=3=(0,-3)

故選：D.

4.B

【分析】根據(jù)給定條件，分離參數(shù)再利用基本不等式求出最小值即得.

【詳解】不等式丁-依+420對(duì)任意可恒成立，則Vx?l,3],a4x+]成立，

4I44

而x+—?—=4,當(dāng)且僅當(dāng)％=—,即％=2時(shí)取等號(hào)，因此〃W4,

xyxx

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-8,4].

故選：B

5.C

【分析】根據(jù)X和y的變化規(guī)律，即可判斷A；計(jì)算(元》)，即可判斷B；將樣本點(diǎn)中心代

入回歸直線方程，即可求E，即可判斷C；根據(jù)回歸直線方程計(jì)算x=9時(shí)的3,計(jì)算了-3

即可判斷D.

【詳解】由表格可知，x越大，y越大，所以x與y有正相關(guān)關(guān)系，故A正確；

答案第1頁，共14頁

_5+6+8+9+12_16+20+25+28+36”

x=--------------------=Xo,y=----------------------------=25,

55

樣本點(diǎn)中心為（8,25）,經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過點(diǎn)（8,25）,故B正確；

將樣本點(diǎn)中心代入直線方程，得25=筋+2.6,所以3=2.8,故C錯(cuò)誤；

夕=2.8x+2.6,當(dāng)％=9時(shí)，9=27.8,y-y=28-27.8=0.2,故D正確.

故選：C

6.B

【分析】/：y="-2過定點(diǎn)。（0,-2）,當(dāng)8與A3垂直時(shí)，同最小，由垂徑定理得到最

小值.

【詳解】（7:/+/-6%-7=0變形為（％-3）2+/=16,

圓心為C（3,0）,半徑為4,

/:y=依-2過定點(diǎn)。（0,-2）,當(dāng)8與AB垂直時(shí)，最小,

由垂徑定理得，最小值為2,16_|呵=2,16一［（3一Op+（0+2『］=2上.

故選：B

7.C

【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)求解即可.

TTTTTTTT

【詳解】因?yàn)?<^<|,所以0<a+尸<兀，-^<a-f3<~,

又因?yàn)閏os（o+'）=1,sin（a—夕）=（,所以sin（a+用）=^1-cos2（6Z+/J）=[

14

所以sinacosP-cosasin,M①,sinacos（3+cosasin,=《②，

3

①+②得2sinacos0=1,②■①得2sin夕cos。二]，

2sincosB15,

,,,,,--------------,tanac5

上述兩式相除即可得2sin/cosa33,則布布二§

故選：C.

8.C

【分析】根據(jù)已知條件中的規(guī)律，利用累加法求出數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得

—=2|--一利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列-M的前20項(xiàng)和即可.

a,n+1）

答案第2頁，共14頁

【詳解】根據(jù)已知條件有g(shù)=1,

當(dāng)〃22時(shí)，％—％=2,a3-a2=3,a4-a3=4,L,an-an_x=n,

以上各式累加得：-4=2+3+4+L+〃,

又％=1,所以%=l+2+3+4++〃/(,)經(jīng)驗(yàn)證q=1符合上式,

所以僅eN*)；所以,=-7二

2、)a〃n[n-

的前〃項(xiàng)和為S"

所以%=2一2(=4等0

故選：C

9.BCD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和運(yùn)算直接得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閦=l+i,所以三=l_i，故A錯(cuò)誤；

|z|=7T+l=V2,故B正確；

z=01cos：+is加：)，故C正確；

2i2i2i(l-i)+右八七儂

—=-----=-----------=1+1,故D正確.

z1+i2

故選：BCD

10.ACD

【分析】利用最小正周期公式可得。，可判斷A；利用三角函數(shù)圖象的平移可得g(x),可

判斷B；利用余弦函數(shù)的減區(qū)間列不等式組求。的取值范圍，可判斷C；結(jié)合y=cosx在區(qū)

間(0㈤上只有一個(gè)零點(diǎn)，列不等式組可求。的取值范圍，可判斷D.

/、2兀c

【詳解】對(duì)于A：由/(%)的最小正周期7=2可得時(shí)=2,又。＞0,解得/=兀，故A正

確；

對(duì)于B：當(dāng)0=2時(shí)，/(x)=cos^2x+j^將其圖象向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度后，得

答案第3頁，共14頁

于C:由％￡（0,兀）~<CDX+—<6971+—令+]=/,

則y=COS，在區(qū)間,<2>7l+—j上單調(diào)遞減,

af>0

2（z2n

于是｛71，解得0<G4；，即?！?，Z,故c正確;

a）Ti+—<7i3I3

13

對(duì)于D：因?yàn)?(%)在區(qū)間(0㈤上只有一個(gè)零點(diǎn),

所以y=cos,在區(qū)間(三,°兀+gj只有一個(gè)零點(diǎn),

。>0

十口兀兀解得17即問(1西7

于是產(chǎn),T9故D正確.

兀，3兀

（071+—<——

32

故選：ACD.

11.BC

【分析】分析函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)和周期性得到有關(guān)結(jié)論.

【詳解】函數(shù)y=/(x-l)的圖象由y=/(x)向右平移1個(gè)單位得到，且其對(duì)稱軸為x=-2,

所以函數(shù)y=/(x)的對(duì)稱軸為x=—3,即/(—3+x)=/(-3—x)或/(X)=/(-6T)；

又/(x)+/(r)=6,所以函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(0,3)對(duì)稱.

所以/(力=6_/(_司=6_/(-6+司=6_[6_〃6_切=〃6一切

=『(-6-(6-切=/(%-12),

所以函數(shù)/(x)為周期函數(shù)，且周期為12,故A錯(cuò)誤；

因?yàn)?(x)=/(6-%),故函數(shù)圖象關(guān)于x=3對(duì)稱，把函數(shù)圖象向左平移3個(gè)單位，得函數(shù)

y=/(x+3),圖象關(guān)于>軸對(duì)稱，所以/(x+3)為偶函數(shù)，故B正確；

/(2024)=/(168xl2+8)=/(8)=/(6-8)=/(-2)=6-/(2)=6-5=l,故C正確；

又/⑻=1，/(11)=/(-1)=6-/(1)=6-4=2,/(8)</(11),故D錯(cuò)誤.

答案第4頁，共14頁

故選：BC

12.BCD

【分析】設(shè)出直線轉(zhuǎn)方程，聯(lián)立后得出兩點(diǎn)縱坐標(biāo)關(guān)系后可判斷A；由選項(xiàng)A求出點(diǎn)8可

得|4同=亍可判斷B；結(jié)合題意求得。(-由的橫坐標(biāo)相同得三點(diǎn)共線

可判斷C；由尸3平分/ABQ,根據(jù)平面幾何的知識(shí)可證得|R4|=|AB|,可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由題意點(diǎn)4=與=4芯=4%=16,解得力=4,即點(diǎn)4(4,4),

拋物線焦點(diǎn)—0,1),

4-13

所以直線AF的方程為、-1=7丁無，即y==x+l,

4-04

將其代入C:/=4y可得4y2—17y+4=0,

由韋達(dá)定理可得到y(tǒng)g=1，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由知＞訪=1，因?yàn)椋?4,所以%=:，

代入y=：x+l可得;=：%+1,解得：X2=-1,所以

所以|的=J[4一(一1)『+14-；|2=方=個(gè)，故B正確；

對(duì)于C,易得AO的方程為＞=*,聯(lián)立=故

又3Q〃y軸，所以。,瓦。三點(diǎn)的橫坐標(biāo)都相同，則D8,。三點(diǎn)共線，故C正確；

對(duì)于D,若PB平分NAB。，所以乙45尸=/尸5。，

又因?yàn)镻A〃y軸，BQ//y軸,所以PA〃B。，故=

所以4出8=乙鉆尸，則以|=|明，故阿|=1，照=根-4=亍，

41

則機(jī)=一,故D正確.

4

答案第5頁，共14頁

13.3x-y-l=0

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，結(jié)合切點(diǎn)求方程即可.

【詳解】定義域?yàn)閤e(0,+8),且己知切點(diǎn)為pg,o],則y'=j

設(shè)切線斜率為左，當(dāng)x時(shí)，k=y，=3,故切線方程為3彳-，-1=0.

故答案為：3x-y-l=0

14.-40

【分析】由二項(xiàng)式定理得到(x-2y)6的通項(xiàng)公式，結(jié)合2+J,得到4，豈，得到丁丁的系數(shù).

【詳解】(x-2y)6的通項(xiàng)公式為J=C"6T(-2y)'=q(-2)\6-y,

令r=2得,T；=Cl(-2fx4y2=60x4y2,此時(shí)60公洛2=120丁尸,

令r=3得，7；=C^(-2)3x3/=-160x3y3,此時(shí)-160丁丁.q=_160/丁，

故xV的系數(shù)為12O—16O=TO

故答案為：-40

15.—

18

【分析】由題設(shè)求出尸(4)=歷4，P(A)=-3,P(A)=35,利用全概率公式、條件概率公式

進(jìn)行求解即可.

【詳解】由題意得尸(4)=歷,尸(&)=",?⑷系，

答案第6頁，共14頁

若A發(fā)生，此時(shí)乙箱中有6個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，則P(8]A)=A，

先&發(fā)生，此時(shí)乙箱中有5個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球，則尸(為4)=:,

先A3發(fā)生，此時(shí)乙箱中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和4個(gè)黑球，則尸(切4)=：.

5315

尸(4切=尸網(wǎng)Am)=-x-=—,

±

P(B)=P(BIA)P(4)+^(BI4)^(A)+^IA)P(A)=^]|^=^；

44M==3="二

v7P(B)5418,

故答案為：—

lo

16.血無

【分析】由題設(shè)知圓弧即為球面與側(cè)面CD。。的交線，根據(jù)題設(shè)由直棱柱的性質(zhì)求弧長(zhǎng)即

可.

【詳解】如圖：取CC1,r>R,CD的中點(diǎn)及GG,連接AC,AG,AE,ARFG,EG,

結(jié)合題意：易得ACD為等邊三角形，

因?yàn)镚為C。的中點(diǎn)，所以AGLCD

因?yàn)樵谥彼睦庵鵄BCD-A4GA中有CG，面ABCD,且AGu面ABC。，

所以AG，CG，又因?yàn)镃GCD=C，且Cq,CDU面CQDD,

所以4G，面CGOR,結(jié)合球的性質(zhì)可知G為該截面圓的圓心，

因?yàn)橹彼睦庵鵄BC。-A46A的所有棱長(zhǎng)均為4,ZABC=60°,

所以ZEGF=90°,AG=2石，AE=AF=26EG=2叵,

故以A為球心，2石為半徑的球面與側(cè)面CDDG的交線為：以G為圓心，20為半徑的圓所

成的圓弧砂.

所以EF=1x2兀r=LX27IX20=0TT.

44

故答案為：血兀.

答案第7頁，共14頁

17.d)??=2"

/y2n+lr\

_—+2n2+;7

3

【分析】（1）先利用等差中項(xiàng)公式可得4=2,再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求。“即可；

（2）采用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得答案.

【詳解】（1）由題意，得2%=%+%-8.

又?jǐn)?shù)列｛4｝的公比為2,所以16%=4%+16q-8,解得q=2,所以a“=2x=2”.

[（2〃為奇數(shù)

（2）因?yàn)?=2；-]〃為偶數(shù)，所以乙，瓦，也I是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，

打，“，也〃是以3為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列.

rjrri/、/、2x（1—4"）〃x（3+4〃-l）

所以S2“=（4+4++%T）+（H+&++&）=-"-----2-----

2.4"-2c22M-2-2

=-------卜2幾+n=-------1-2〃+n.

33

7C

18.⑴3=耳

⑵3+退

【分析】（1）根據(jù)余弦定理和面積公式得到tan2=岔，結(jié)合0<3<兀得到答案；

（2）根據(jù)半角公式得到cos2A=0,得到4=：,由正弦定理得到。=#，利用面積公式和

正弦和角公式求出答案.

答案第8頁，共14頁

【詳解】(1)因?yàn)椤?+02-62=延5,所以/+02-62=逑*工℃5m8,

332

4^/31.R同

所以〃2+。2-/_3X2acsm,BPcosB=——sinB,于是tanB=J5.

2aclac

IT

又0<_8<兀，所以3=耳.

(2)2cos2A-l=cos2A,

因?yàn)?cos2A+cos2A—1=0,所以2cos2A=0,故cos2A=0,

因?yàn)?<A<=,所以A=J.

34

2_b

由正弦定理得.兀.兀，解得b=n.

sin—sin—

43

所以S=^absinC=x2x^6sin^7i--y=A/6sin+y

[T(.717171.7lAr；(^21y/23+^3

=\b\sin—cos—+cos—sin——x—H-------x——=---------.

(4343jI2222I2

19.(1)證明見解析

)55

【分析】(1)在以上取一點(diǎn)E,使PE=；PA,證明四邊形DCNE為平行四邊形，得CN//DE,

可證CN//平面PAD；.

(2)以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求平面CDN與平面QMW的法向量，利用向量法求

兩個(gè)平面夾角的余弦值.

【詳解】(1)證明：在上4上取一點(diǎn)E,使尸E=連接OE,EN.

因?yàn)镻E=』PA,PN=-PB,所以EN//AB,S.EN=-AB=1.

333

又因?yàn)镃D〃AB,且CD=1,所以EN//CD,且EN=CD.

所以，四邊形DCNE為平行四邊形.所以CN//DE.

又因?yàn)镺Eu平面PAD,CN<Z平面PAD,所以CN〃平面PAD.

答案第9頁，共14頁

DC

(2)以A為原點(diǎn)，分別以AD,AB,AP所在直線為x軸，＞軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖所示.

則陪,0,1）,￡＞（1,0,0）,C（l,l,0）,N（0,l,2）,

所以，nc=（0,1,0）,DN=（-U,2）,=I

”加=0,即7i=0,

令平面C￡W的法向量4=(xl,y1,z1),則

%?DN=0,一再+%+2Z]=0,

取4=1,則西=2,%=0,即4=（2,0,1）.

[八Arr\~x+y+2z=0,

n°DN=0,?2/29?2

ZMW

令平面的法向量為％=(x2,y2,z2),則即1n

—

n2-DM=0,—+z2二°，

?。?3,則z?=l,y2=l,即%=（3,1,1）.

設(shè)平面CON與平面DNM夾角為6,則cos9=|cos(%,%)=.

所以，平面CDN與平面DNM夾角的余弦值為秒1.

55

答案第10頁，共14頁

9

20.(1)—

32

(2)小明應(yīng)該選擇方案一

【分析】(1)根據(jù)古典概型求取概率;

(2)分別分析兩種方案的分布，然后求取期望值比較;

【詳解】(1)設(shè)小明第3次購(gòu)買是恰好首次出現(xiàn)與己買到的吉祥物款式相同的概率為尸,

則分為有空盒和無空盒兩種情況，p/xC；+C；xC；xC；=2.

4x4x432

(2)方案一：令小明集齊3款吉祥物所需要的總費(fèi)用為X.

X的可能取值為80,110.

C13

貝iJP(X=80)=/=；,

尸(x=uo)=.

31175

所以E(X)=80x[+110xa=；-.

方案二：令小明集齊3款吉祥物所需要的總費(fèi)用為F.

依題意，y的可能取值為70,100,130,

C；xC；63

貝|」尸(丫=70)=

4x416~8

C；xC；+C；9

p(y=ioo)=

-4^4-16

1

p(y=130)=——

''4x416

所以E(y)=70x—+100x—+130x—-—

1616168

中.175,725

因?yàn)槎。级?

2o

所以小明應(yīng)該選擇方案一.

22

21.(1)^-+—=1(%0)

Q

(2)4+〃為定值一§

【分析】(1)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(％y),結(jié)合兩點(diǎn)之間的斜率公式即可得答案，注意xwo,也

就是斜率不存在的情況;

答案第11頁，共14頁

(2)設(shè)尸產(chǎn)：>=依-1,則/((()],再聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算以

及韋達(dá)定理化簡(jiǎn)可得彳+〃為定值.

【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則直線PA的斜率為怎&=19(xwo),

直線尸&的斜率為kP.=g(xW0).

X

由已知，=--(x#0),

xx3'

22

化簡(jiǎn)，得點(diǎn)尸的軌跡C的方程為乙+土=l(x#o).

43v7

Q

(2)幾+〃為定值理由如下：

根據(jù)題意可知直線尸尸的斜率一定存在且不為0,設(shè)PF：y=履-1,則

y=kx-1

聯(lián)立產(chǎn)尤2_,消去y,得(4+3%2卜2-6履-9=0.

143

貝I]A=36k2+36(4+3尸)=144父+144>0恒成立，

設(shè)W/X)，Q(^2,y2),則x+X2=Jj2,占.9=UH.

又因?yàn)?PF=(-^,-l-y1),且=

所以X=-l+J-.同理〃=T+；.

峪kx2

.1.1x,+x

所以4+4=—1+---1+——=-2+——+—=—2+——-——-2

'kxxkx2kI%x2JkXyX2

6k

_O,14+3/_o,16k_8

——ZH------------------——Zn----------------

k.9k-93

4+3〃