第第頁專題02排列組合與二項式定理及數字特征與概率統計一、單選題1．（2023·全國·高考真題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種【答案】D【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.【詳解】根據分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，根據組合公式和分步計數原理則不同的抽樣結果共有種.故選：D.2．（2022·全國·高考真題）從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由古典概型概率公式結合組合、列舉法即可得解.【詳解】從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，共有種不同的取法，若兩數不互質，不同的取法有：，共7種，故所求概率.故選：D.3．（2022·全國·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數原理即可得解【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學共有：種不同的排列方式，故選：B4．（2021·全國·高考真題）有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則（

）A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立【答案】B【分析】根據獨立事件概率關系逐一判斷【詳解】，故選：B【點睛】判斷事件是否獨立，先計算對應概率，再判斷是否成立5．（2021·全國·高考真題）某物理量的測量結果服從正態分布，下列結論中不正確的是（

）A．越小，該物理量在一次測量中在的概率越大B．該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C．該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等【答案】D【分析】由正態分布密度曲線的特征逐項判斷即可得解.【詳解】對于A，為數據的方差，所以越小，數據在附近越集中，所以測量結果落在內的概率越大，故A正確；對于B，由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為，故B正確；對于C，由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結果大于的概率與小于的概率相等，故C正確；對于D，因為該物理量一次測量結果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測量結果落在的概率與落在的概率不同，故D錯誤.故選：D.二、多選題6．（2023·全國·高考真題）有一組樣本數據，其中是最小值，是最大值，則（

）A．的平均數等于的平均數B．的中位數等于的中位數C．的標準差不小于的標準差D．的極差不大于的極差【答案】BD【分析】根據題意結合平均數、中位數、標準差以及極差的概念逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：設的平均數為，的平均數為，則，因為沒有確定的大小關系，所以無法判斷的大小，例如：，可得；例如，可得；例如，可得；故A錯誤；對于選項B：不妨設，可知的中位數等于的中位數均為，故B正確；對于選項C：因為是最小值，是最大值，則的波動性不大于的波動性，即的標準差不大于的標準差，例如：，則平均數，標準差，，則平均數，標準差，顯然，即；故C錯誤；對于選項D：不妨設，則，當且僅當時，等號成立，故D正確；故選：BD.7．（2023·全國·高考真題）在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發送1時，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發送1次，三次傳輸是指每個信號重復發送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為B．采用三次傳輸方案，若發送1，則依次收到1，0，1的概率為C．采用三次傳輸方案，若發送1，則譯碼為1的概率為D．當時，若發送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【答案】ABD【分析】利用相互獨立事件的概率公式計算判斷AB；利用相互獨立事件及互斥事件的概率計算判斷C；求出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.【詳解】對于A，依次發送1，0，1，則依次收到l，0，1的事件是發送1接收1、發送0接收0、發送1接收1的3個事件的積，它們相互獨立，所以所求概率為，A正確；對于B，三次傳輸，發送1，相當于依次發送1，1，1，則依次收到l，0，1的事件，是發送1接收1、發送1接收0、發送1接收1的3個事件的積，它們相互獨立，所以所求概率為，B正確；對于C，三次傳輸，發送1，則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它們互斥，由選項B知，所以所求的概率為，C錯誤；對于D，由選項C知，三次傳輸，發送0，則譯碼為0的概率，單次傳輸發送0，則譯碼為0的概率，而，因此，即，D正確.故選：ABD【點睛】關鍵點睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，相互獨立事件的積是解題的關鍵.8．（2021·全國·高考真題）有一組樣本數據，，…，，由這組數據得到新樣本數據，，…，，其中(為非零常數，則（

）A．兩組樣本數據的樣本平均數相同B．兩組樣本數據的樣本中位數相同C．兩組樣本數據的樣本標準差相同D．兩組樣本數據的樣本極差相同【答案】CD【分析】A、C利用兩組數據的線性關系有、，即可判斷正誤；根據中位數、極差的定義，結合已知線性關系可判斷B、D的正誤.【詳解】A：且，故平均數不相同，錯誤；B：若第一組中位數為，則第二組的中位數為，顯然不相同，錯誤；C：，故方差相同，正確；D：由極差的定義知：若第一組的極差為，則第二組的極差為，故極差相同，正確；故選：CD9．（2021·全國·高考真題）下列統計量中，能度量樣本的離散程度的是（

）A．樣本的標準差 B．樣本的中位數C．樣本的極差 D．樣本的平均數【答案】AC【分析】考查所給的選項哪些是考查數據的離散程度，哪些是考查數據的集中趨勢即可確定正確選項.【詳解】由標準差的定義可知，標準差考查的是數據的離散程度；由中位數的定義可知，中位數考查的是數據的集中趨勢；由極差的定義可知，極差考查的是數據的離散程度；由平均數的定義可知，平均數考查的是數據的集中趨勢；故選：AC.三、填空題10．（2023·全國·高考真題）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數字作答）．【答案】64【分析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結合組合數運算求解.【詳解】（1）當從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；（2）當從8門課中選修3門，①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；綜上所述：不同的選課方案共有種.故答案為：64.11．（2022·全國·高考真題）的展開式中的系數為（用數字作答）．【答案】-28【分析】可化為，結合二項式展開式的通項公式求解.【詳解】因為，所以的展開式中含的項為，的展開式中的系數為-28故答案為：-2812．（2022·全國·高考真題）已知隨機變量X服從正態分布，且，則．【答案】/．【分析】根據正態分布曲線的性質即可解出．【詳解】因為，所以，因此．故答案為：．四、解答題13．（2023·全國·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數為，求．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據全概率公式即可求出；（2）設，由題意可得，根據數列知識，構造等比數列即可解出；（3）先求出兩點分布的期望，再根據題中的結論以及等比數列的求和公式即可求出．【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設，依題可知，，則，即，構造等比數列，設，解得，則，又，所以是首項為，公比為的等比數列，即．（3）因為，，所以當時，，故．【點睛】本題第一問直接考查全概率公式的應用，后兩問的解題關鍵是根據題意找到遞推式，然后根據數列的基本知識求解．14．（2023·全國·高考真題）某研究小組經過研究發現某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異，經過大量調查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設數據在組內均勻分布，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率．(1)當漏診率％時，求臨界值c和誤診率；(2)設函數，當時，求的解析式，并求在區間的最小值．【答案】(1)，；(2)，最小值為．【分析】（1）根據題意由第一個圖可先求出，再根據第二個圖求出的矩形面積即可解出；（2）根據題意確定分段點，即可得出的解析式，再根據分段函數的最值求法即可解出．【詳解】（1）依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為，所以，所以，解得：，．（2）當時，；當時，,故，所以在區間的最小值為．15．（2022·全國·高考真題）一醫療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣（衛生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組），得到如下數據：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R．（ⅰ）證明：；（ⅱ）利用該調查數據，給出的估計值，并利用（ⅰ）的結果給出R的估計值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)答案見解析(2)（i）證明見解析；(ii)；【分析】(1)由所給數據結合公式求出的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異；(2)(i)根據定義結合條件概率公式即可完成證明；(ii)根據（i）結合已知數據求.【詳解】（1）由已知，又，，所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異.（2）(i)因為，所以所以，(ii)由已知，，又，，所以16．（2022·全國·高考真題）在某地區進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數據的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；(2)估計該地區一位這種疾病患者的年齡位于區間的概率；(3)已知該地區這種疾病的患病率為，該地區年齡位于區間的人口占該地區總人口的.從該地區中任選一人，若此人的年齡位于區間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數據中患者的年齡位于各區間的頻率作為患者的年齡位于該區間的概率，精確到0.0001）.【答案】(1)歲；(2)；(3)．【分析】（1）根據平均值等于各矩形的面積乘以對應區間的中點值的和即可求出；（2）設{一人患這種疾病的年齡在區間}，根據對立事件的概率公式即可解出；（3）根據條件概率公式即可求出．【詳解】（1）平均年齡

（歲）．（2）設{一人患這種疾病的年齡在區間}，所以．（3）設“任選一人年齡位于區間[40,50)”，“從該地區中任選一人患這種疾病”，則由已知得：,則由條件概率公式可得從該地區中任選一人，若此人的年齡位于區間，此人患這種疾病的概率為．17．（2021·全國·高考真題）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.【答案】（1）見解析；（2）類．【分析】（1）通過題意分析出小明累計得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）與（1）類似，找出先回答類問題的數學期望，比較兩個期望的大小即可．【詳解】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問題，記為小明的累計得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因為，所以小明應選擇先回答類問題．18．（2021·全國·高考真題）一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0代，經過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數是相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數，．（1）已知，求；（2）設p表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程：的一個最小正實根，求證：當時，，當時，；（3）根據你的理解說明（2）問結論的實際含義．【答案】（1）1；（2）見解析；（3）見解析.【分析】（1）利用公式計算可得.（2）利用導數討論函數的單調性，結合及極值點的范圍可得的最小正零點.（3）利用期望的意義及根的范圍可得相應的理解說明.【詳解】（1）.（2）設，因為，故，若，則，故.，因為，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數，在上為減函數，若，因為在為增函數且，而當時，因為在上為減函數，故，故為的一個最小正實根，若，因為且在上為減函數，故1為的一個最小正實根，綜上，若，則.若，則，故.此時，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數，在上為減函數，而，故，又，故在存在一個零點，且.所以為的一個最小正實根，此時，故當時，.（3）意義：每一個該種微生物繁殖后代的平均數不超過1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數超過1，則若干代后被滅絕的概率小于1.一、單選題1．（2024·浙江嘉興·二模）6位學生在游樂場游玩三個項目，每個人都只游玩一個項目，每個項目都有人游玩，若項目必須有偶數人游玩，則不同的游玩方式有（

）A．180種 B．210種 C．240種 D．360種【答案】C【分析】分A有2人和4人，結合排列組合求解即可.【詳解】若A有2人游玩，則有種；若A有4人游玩，則有種；所以共有240種，故選：C.2．（2024·浙江·二模）為了解某中學學生假期中每天自主學習的時間，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，現抽取高一學生40人，其每天學習時間均值為8小時，方差為0.5，抽取高二學生60人，其每天學習時間均值為9小時，方差為0.8，抽取高三學生100人，其每天學習時間均值為10小時，方差為1，則估計該校學生每天學習時間的方差為（

）A．1.4 B．1.45 C．1.5 D．1.55【答案】B【分析】利用分層隨機抽樣的均值與方差公式即可解決.【詳解】由題意可得，該校學生每天學習時間的均值為，該校學生每天學習時間的方差為.故選：B3．（2024·山西·二模）一個盒子里裝有5個小球，其中3個是黑球，2個是白球，現依次一個一個地往外取球（不放回），記事件表示“第次取出的球是黑球”，，則下面不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據給定條件，借助排列、組合應用問題，利用古典概率、條件概率公式逐項計算即得.【詳解】依次一個一個地往外取球（不放回）的試驗，基本事件總數是，它們等可能，對于A，表示第3次取出黑球，，A正確；對于B，表示第1次、第2次取出的球都是黑球，，B正確；對于C，，，所以，C正確；對于D，，所以，D錯誤.故選：D4．（2024·浙江·二模）展開式的常數項為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】寫出二項展開式的通項公式，令的指數為0，得出常數項的項數，即可得常數項．【詳解】展開式的通項公式為，令，解得，所以常數項為.故選：A.5．（2024·海南省直轄縣級單位·一模）英國數學家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據貝葉斯統計理論，隨機事件，存在如下關系：.若某地區一種疾病的患病率是0.05，現有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病.已知該試劑的準確率為，即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有的可能呈現陽性；該試劑的誤報率為，即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有的可能會誤報陽性.現隨機抽取該地區的一個被檢驗者，已知檢驗結果呈現陽性，則此人患病的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用條件概率，結合全概率公式與貝葉斯公式即可得解.【詳解】依題意，設用該試劑檢測呈現陽性為事件B，被檢測者患病為事件A，未患病為事件，則，，，，故，則所求概率為.故選：C.二、多選題6．（2024·全國·二模）人均可支配收入和人均消費支出是兩個非常重要的經濟和民生指標，常被用于衡量一個地區經濟發展水平和群眾生活水平.下圖為2018~2023年前三季度全國城鎮居民人均可支配收入及人均消費支出統計圖，據此進行分析，則（

）A．2018~2023年前三季度全國城鎮居民人均可支配收入逐年遞增B．2018~2023年前三季度全國城鎮居民人均消費支出逐年遞增C．2018~2023年前三季度全國城鎮居民人均可支配收入的極差比人均消費支出的極差大D．2018~2023年前三季度全國城鎮居民人均消費支出的中位數為21180元【答案】ACD【分析】根據給定的折線圖，結合統計知識逐項分析判斷得解.【詳解】對于A，由題中折線圖知人均可支配收入逐年遞增，A正確；對于B，由題中折線圖知，20182023年前三季度全國城鎮居民人均消費支出先增后減再增，B錯誤；對于C，20182023年前三季度全國城鎮居民人均可支配收入的極差為元，人均消費支出的極差為元，C正確；對于D，20182023年前三季度全國城鎮居民人均消費支出的中位數為元，D正確.故選：ACD7．（2024·廣東·二模）若是樣本數據的平均數，則（

）A．的極差等于的極差B．的平均數等于的平均數C．的中位數等于的中位數D．的標準差大于的標準差【答案】AB【分析】根據題意，依次分析兩組數據的極差、平均數、中位數和標準差是否相等，綜合可得答案．【詳解】對于A，樣本數據的平均數為，則，故的極差等于的極差，故A正確；對于B，數據的平均數，故B正確；對于C，如果是按從小到大排列，則的中位數為，不一定等于的中位數，故C錯誤；對于D，的方差，而的方差，但當時兩組數據的方差相等，其標準差也相等，故D錯誤．故選：AB．8．（2024·遼寧·一模）下圖是樣本甲與樣本乙的頻率分布直方圖，下列說法判斷正確的是（

）

A．樣本乙的極差一定大于樣本甲的極差B．樣本乙的眾數一定大于樣本甲的眾數C．樣本甲的方差一定大于樣本乙的方差D．樣本甲的中位數一定小于樣本乙的中位數【答案】BCD【分析】根據數據分布的最小值和最大值可判斷極差，從而判斷A；根據眾數、方差、中位數的概念，并結合圖象可判斷BCD.【詳解】對于選項A：甲的數據介于[1.5,7.5]之間，極差小于或等于6；乙的數據分布于[2.5,8.5]，極差小于或等于6；從而甲和乙的極差可能相等，故A錯誤；對于選項B：根據頻率分布直方圖可知，甲的眾數介于[2.5,5.5)之間，乙的眾數介于(5.5,6.5]，故乙的眾數大于甲的眾數，B正確；對于選項C：甲的數據平均分布，乙的數據分布在中間集中，故甲的方差大于乙的方差，故C正確；對于選項D：對于甲，各組頻率依次為：，因為前兩組頻率之和，前三組頻率之和，故中位數位于[3.5,4.5)之間；同理，對于乙，各組頻率依次為：，前三組頻率之和，前四組頻率之和，故中位數位于[5.5,6.5)之間，所以乙的中位數大于甲的中位數.故D正確.故選：BCD.9．（2024·廣東廣州·一模）甲箱中有個紅球和個白球，乙箱中有個紅球和個白球（兩箱中的球除顏色外沒有其他區別），先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別用事件和表示從甲箱中取出的球是紅球和白球；再從乙箱中隨機取出兩球，用事件表示從乙箱中取出的兩球都是紅球，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據條件概率的概率公式及全概率的概率公式計算可得.【詳解】依題意可得，，，，所以，故A正確、B正確、C錯誤；，故D正確.故選：ABD10．（2024·山西朔州·一模）在信道內傳輸信號，信號的傳輸相互獨立，發送某一信號時，收到的信號字母不變的概率為，收到其他兩個信號的概率均為．若輸入四個相同的信號的概率分別為，且．記事件分別表示“輸入”“輸入”“輸入”，事件表示“依次輸出”，則（

）A．若輸入信號，則輸出的信號只有兩個的概率為B．C．D．【答案】BCD【分析】由獨立事件的乘法公式可得A錯誤；由條件概率公式可得BC正確；全概率的應用，先求出，再根據和化簡得到D正確.【詳解】A：因為發送某一信號時，收到的信號字母不變的概率為，收到其他兩個信號的概率均為，即收到的信號字母變的概率為，且信號的傳輸相互獨立，所以輸入信號，則輸出的信號只有兩個的概率為，故A錯誤；B：因為，故B正確；C：，故C正確；D：因為，而，所以，故D正確；故選：BCD.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用獨立事件的條件概率公式和全概率公式.三、填空題11．（2024·浙江·二模）某中學的A?B兩個班級有相同的語文?數學?英語教師，現對此2個班級某天上午的5節課進行排課，2節語文課，2節數學課，1節英語課，要求每個班級的2節語文課連在一起，2節數學課連在一起，則共有種不同的排課方式.（用數字作答）【答案】8【分析】由表示數學課，表示語文課，表示英語課，按上午的第1、2、3、4、5節課順序，列出所有可能情況可得答案.【詳解】由表示數學課，表示語文課，表示英語課，按上午的第1、2、3、4、5節課排列，可得若班排課為，則班排課為，若班排課為，則班排課為，若班排課為，則班排課為，或班排課為，若班排課為，則班排課為，或班排課為，若班排課為，則班排課為，若班排課為，則班排課為，則共有8種不同的排課方式.故答案為：8.12．（2024·廣東佛山·二模）甲、乙、丙3人在公交總站上了同一輛公交車，已知3人都將在第4站至第8站的某一公交站點下車，且在每一個公交站點最多只有兩人同時下車，從同一公交站點下車的兩人不區分下車的順序，則甲、乙、丙3人下車的不同方法總數是．【答案】120【分析】分3人都在第4站至第8站的某一公交站點1人獨自出下車和3人中有2人在同一公交站點下車，另人在另外一公交站點下車，兩種情況討論即可，【詳解】由題意，3人都在第4站至第8站的某一公交站點1人獨自出下車，共有種，3人中有2人在同一公交站點下車，另1人在另外一公交站點下車，共有種，故甲、乙、丙3人下車的不同方法總數是種.故答案為：120.13．（2024·廣東·一模）隨機變量，若且，則隨機變量的第80百分位數是.【答案】88【分析】根據給定條件，利用正態分布的對稱性求出，再求出時的即可.【詳解】隨機變量，又，則，因此，則，所以隨機變量的第80百分位數是88.故答案為：8814．（2024·安徽蕪湖·二模）從某工廠生產的零件中隨機抽取11個，其尺寸值為43，45，45，45，49，50，50，51，51，53，57（單位：mm），現從這11個零件中任取3個，則3個零件的尺寸剛好為這11個零件尺寸的平均數、第六十百分位數、眾數的概率為．【答案】【分析】分別求出11個零件的平均數49、第六十百分位數50，眾數45，然后分別求出取出3個零件有165種，3個零件符合平均數、第六十百分位數、眾數有6種情況，再利用古典概率從而可求解.【詳解】由題意知11個零件的平均數為，第六十百分位數的位置為，即取第7位數50，故第六十百分位數為50，由題可知眾數為45，所以當從11中取出3個零件共有種情況，則3個數分別為平均數49、第六十百分位數50，眾數45共有種情況，所以其概率為，故答案為：.15．（2024·山東棗莊·一模）的展開式中的系數為．（用數字作答）【答案】【分析】由，再寫出展開式的通項，即可求出展開式中的系數.【詳解】因為，其中展開式的通項為，所以的展開式含的項為，即的展開式中的系數為.故答案為：四、解答題16．（2024·河北滄州·一模）某商場舉辦摸球贏購物券活動．現有完全相同的甲?乙兩個小盒，每盒中有除顏色外形狀和大小完全相同的10個小球，其中甲盒中有8個黑球和2個白球，乙盒中有3個黑球和7個白球．參加活動者首次摸球，可從這兩個盒子中隨機選擇一個盒子，再從選中的盒子中隨機摸出一個球，若摸出黑球，則結束摸球，得300元購物券；若摸出的是白球，則將摸出的白球放回原來盒子中，再進行第二次摸球．第二次摸球有如下兩種方案：方案一，從原來盒子中隨機摸出一個球；方案二，從另外一個盒子中隨機摸出一個球．若第二次摸出黑球，則結束摸球，得200元購物券；若摸出的是白球，也結束摸球，得100元購物券．用X表示一位參加活動者所得購物券的金額．(1)在第一次摸出白球的條件下，求選中的盒子為甲盒的概率．(2)①在第一次摸出白球的條件下，通過計算，說明選擇哪個方案第二次摸到黑球的概率更大；②依據以上分析，求隨機變量的數學期望的最大值.【答案】(1)(2)①方案二中取到黑球的概率更大；②【分析】（1）利用全概率公式和概率的乘法公式計算；（2）①利用全概率公式和條件概率公式計算，根據數據下結論；②兩種方案分別求出期望，根據數據下結論.【詳解】（1）設試驗一次，“取到甲盒”為事件，“取到乙盒”為事件，“第一次摸出黑球”為事件，“第一次摸出白球”為事件，，所以，所以選中的盒子為甲盒的概率為.（2）①，所以方案一中取到黑球的概率為：，方案二中取到黑球的概率為：，因為，所以方案二中取到黑球的概率更大.②隨機變量的值為，依據以上分析，若采用方案一：，，，，若采用方案二：，，，，所以隨機變量的數學期望的最大值.17．（2024·湖南常德·三模）某市組織宣傳小分隊進行法律法規宣傳，某宣傳小分隊記錄了前9天每天普及的人數，得到下表：時間（天）123456789每天普及的人數y8098129150203190258292310(1)從這9天的數據中任選4天的數據，以表示4天中每天普及人數不少于240人的天數，求的分布列和數學期望；(2)由于統計人員的疏忽，第5天的數據統計有誤，如果去掉第5天的數據，試用剩下的數據求出每天普及的人數y關于天數的線性回歸方程.（參考數據：，附：對于一組數據，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：）.【答案】(1)分布列見解析，(2)【分析】（1）利用超幾何分布與數學期望公式即可得解；（2）利用平均數的定義結合參考數據求得新的樣本點，結合的計算公式進行轉化整理求得其值，從而得解.【詳解】（1）每天普及人數不少于240人的天數為3天，則的所有可能取值為，，，，，故的分布列為0123.（2）設原來數據的樣本中心點為，去掉第5天的數據后樣本中心點為，，，故，，所以.18．（2024·江蘇·一模）我國無人機發展迅猛，在全球具有領先優勢，已經成為“中國制造”一張靚麗的新名片，并廣泛用于森林消防?搶險救災?環境監測等領域.某森林消防支隊在一次消防演練中利用無人機進行投彈滅火試驗，消防員甲操控無人機對同一目標起火點進行了三次投彈試驗，已知無人機每次投彈時擊中目標的概率都為，每次投彈是否擊中目標相互獨立.無人機擊中目標一次起火點被撲滅的概率為，擊中目標兩次起火點被撲滅的概率為，擊中目標三次起火點必定被撲滅.(1)求起火點被無人機擊中次數的分布列及數學期望；(2)求起火點被無人機擊中且被撲滅的概率.【答案】(1)分布列見解析，(2)【分析】（1）由二項分布概率公式求概率即可得分布列，再由二項分布期望公式可得；（2）根據條件概率以及全概率公式求解可得【詳解】（1）起火點被無人機擊中次數的所有可能取值為，.的分布列如下：0123.（2）擊中一次被撲滅的概率為擊中兩次被火撲滅的概率為擊中三次被火撲滅的概率為所求概率.19．（2024·山東濰坊·一模）若，是樣本空間上的兩個離散型隨機變量，則稱是上的二維離散型隨機變量或二維隨機向量．設的一切可能取值為，，記表示在中出現的概率，其中．(1)將三個相同的小球等可能地放入編號為1，2，3的三個盒子中，記1號盒子中的小球個數為，2號盒子中的小球個數為，則是一個二維隨機變量．①寫出該二維離散型隨機變量的所有可能取值；②若是①中的值，求（結果用，表示）；(2)稱為二維離散型隨機變量關于的邊緣分布律或邊際分布律，求證：．【答案】(1)①；②；(2)證明見解析.【分析】（1）①根據題意直接寫出所有可能取值；②利用獨立重復試驗的概率、條件概率公式及獨立事件的概率公式列式化簡即得.（2）利用全概率公式及互斥事件的加法公式推理即可.【詳解】（1）①該二維離散型隨機變量的所有可能取值為：.②依題意，，，顯然，則，所以.（2）由定義及全概率公式知，.【點睛】關鍵點睛：利用全概率公式求隨機事件B的概率問題，把事件B分拆成兩個互斥事件與的和，再利用條件概率公式計算是解決問題的關鍵.20．（2024·浙江·二模）甲、乙兩人進行知識問答比賽，共有道搶答題，甲、乙搶題的成功率相同.假設每題甲乙答題正確的概率分別為和，各題答題相互獨立.規則為：初始雙方均為0分，答對一題得1分，答錯一題得﹣1分，未搶到題得0分，最后累計總分多的人獲勝.(1)若，，求甲獲勝的概率；(2)若，設甲第題的得分為隨機變量，一次比賽中得到的一組觀測值，如下表.現利用統計方法來估計的值：①設隨機變量，若以觀測值的均值作為的數學期望，請以此求出的估計值；②設隨機變量取到觀測值的概率為，即；在一次抽樣中獲得這一組特殊觀測值的概率應該最大，隨著的變化，用使得達到最大時的取值作為參數的一個估計值.求.題目12345678910得分100﹣111﹣1000題目11121314151617181920得分﹣1011﹣100010表1：甲得分的一組觀測值.附：若隨機變量，的期望，都存在，則.【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據甲搶到題目數，分類討論利用條件概率和全概率公式求解.（2）①由公式計算的數學期望與觀測值的均值相等，可求出的估計值；②由概率的表達式，利用導數求取最大值時時的取值.【詳解】（1）記甲獲勝為事件，甲搶到3道題為事件，甲搶到2道題為事件，甲搶到1道題為事件，甲搶到0道題為事件，則，，，，而，，，，所以.（2）①，，，所以；因為，由表中數據可知，所以，.②因為取值相互獨立，所以，所以；令得，又，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；即當時取到最大值，從而.【點睛】方法點睛：正確提取題干中的新概念、新公式、新性質、新模式等信息，確定新定義的名稱或符號、概念、法則等，并進行信息再加工，尋求相近知識點，明確它們的共同點和不同點，探求解決方法，在此基礎上進行知識轉換，有效輸出，合理歸納，結合相關的數學技巧與方法來分析與解決!一、單選題1．（2024·全國·模擬預測）二項式的展開式中所有項的系數和為243．則展開式中含項的二項式系數為（

）A． B． C．5 D．10【答案】C【分析】令求得所有項系數和，從而解得，再由二項展開式定理求得含的項是第幾項，從而可得其二項式系數．【詳解】展開式所有項的系數和為243，所以令得，解得，所以展開式的通項公式為，由，得，所以含項的二項式系數為．故選：C．2．（2024·廣東·模擬預測）現有隨機事件件A，B，其中，則下列說法不正確的是（

）A．事件A，B不相互獨立 B．C．可能等于 D．【答案】C【分析】利用獨立事件的乘法公式、條件概率公式、和事件的概率公式計算即可.【詳解】易知，所以事件A，B不相互獨立，即A正確；由條件概率公式可知，，故B正確，C錯誤；由和事件的概率公式可知，故D正確；故選：C3．（2024·安徽池州·模擬預測）2024年1月27日國家統計局發布的2023年各月累計利潤率與每百元營業收入中的成本數據如圖所示，則（

）A．從每百元營業收入中的成本中，剔除最大與最小2個數據后的中位數與剔除前的數據的中位數不相同B．2023年各月累計利潤率的60%分位數為5.455%C．每百元營業收入中的成本與各月累計利潤率是同步增大或減少的D．每百元營業收入中的成本月份的比月份的大【答案】D【分析】利用中位數、百分位數的定義及圖象一一判定選項即可.【詳解】對A，將每百元營業收入中的成本數據從小到大排列，第6個數據為中位數，剔除最大與最小2個數據后的中位數不改變，故A錯誤；對B，2023年各月累計利潤率共有11個數據，所以，所以分位數為，故B錯誤；對C，2023年1-6月份的累計利潤率為，1-7月份的累計利潤率為，1-8月份的累計利潤率為，但1-6月份的每百元營業收入中的成本為85.23元，1-7月份的每百元營業收入中的成本為85.22元，1-8月份的每百元營業收入中的成本為85.17元，所以不是同步，故C錯誤；對D，由圖數據可知，顯然D正確．故選：D4．（2024·廣東佛山·模擬預測）在《周易》中，長橫“”表示陽爻，兩個短橫“”表示陰爻.有放回地取陽爻和陰爻三次合成一卦，共有種組合方法，這便是《系辭傳》所說“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”.有放回地取陽爻和陰爻一次有2種不同的情況，有放回地取陽爻和陰爻兩次有四種情況，有放回地取陽爻和陰爻三次，八種情況.所謂的“算卦”，就是兩個八卦的疊合，即共有放回地取陽爻和陰爻六次，得到六爻，然后對應不同的解析.在一次所謂“算卦”中得到六爻，這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率是（

）A． B． C． D． E．均不是【答案】B【分析】由題意，基本事件的總數為，這六爻恰好有三個陽爻包含基本事件數為，由此能求出這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率.【詳解】在一次所謂“算卦”中得到六爻，基本事件的總數為，這六爻恰好有三個陽爻包含的基本事件數為，所以這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率是.故選：B.5．（2024·湖北武漢·模擬預測）隨機事件A發生的概率為，隨機事件B發生的概率為，則事件A，B同時發生的概率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據給定條件，利用概率的基本性質及概率的取值范圍求解即得.【詳解】依題意，，由，得，又，則當時，，所以事件A，B同時發生的概率的取值范圍是.故選：C6．（2024·全國·模擬預測）神舟十五號飛行任務是中國載人航天工程2022年的第六次飛行任務，也是中國空間站建造階段最后一次飛行任務，航天員乘組將在軌工作生活6個月.某校為了培養學生們的航天精神，特意舉辦了關于航天知識的知識競賽，競賽一共包含兩輪.高三（9）班派出了和兩位同學代表班級參加比賽，每輪競賽和兩位同學各答1題.已知同學每輪答對的概率是，同學每輪答對的概率是，每輪競賽中和兩位同學答對與否互不影響，每輪結果亦互不影響，則和兩位同學至少答對3道題的概率為（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出答對4道題，答對3道題的概率，再求和事件的概率即可.【詳解】若和兩位同學答對4道題，則其概率為；若和兩位同學答對3道題，則其概率為；故和兩位同學至少答對3道題的概率為.故選：D.7．（2024·廣東佛山·模擬預測）小明爬樓梯每一步走1級臺階或2級臺階是隨機的，且走1級臺階的概率為，走2級臺階的概率為．小明從樓梯底部開始往上爬，在小明爬到第4級臺階的條件下，他走了3步的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意，設事件A為“小明爬到第4級臺階”，事件B為“小明走了3步爬到第4級臺階”，求出，，進而計算可得答案【詳解】根據題意，設事件A為“小明爬到第4級臺階”，事件B為“小明走了3步爬到第4級臺階”，事件A包含3中情況，①走了4次1級臺階，其概率②走了2次1級臺階，1次2級臺階，其概率，即,③走了2次2級臺階，其概率，故小明爬到第4級臺階概率在小明爬到第4級臺階的條件下，他走了3步的概率,故選：D二、多選題8．（2024·湖南·模擬預測）玻璃缸中裝有2個黑球和4個白球，現從中先后無放回地取2個球．記“第一次取得黑球”為，“第一次取得白球”為，“第二次取得黑球”為，“第二次取得白球”為，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】結合古典概型，條件概型的計算公式，分別求出有關事件的概率，再進行判斷.【詳解】對A，由題意，第一次取得黑球的概率，第一次取得白球的概率，第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率，第一次取得白球、第二次取得白球的概率，則，所以A錯誤；對B，第一次取得黑球、第二次取得白球的概率，第一次取得白球、第二次取得黑球的概率，則，所以B正確；對C，由，得，所以C正確；對D，由，得，所以D正確．故選：BCD．9．（2024·全國·模擬預測）2023年10月26日，神舟十七號載人飛船成功發射，我國在航天事業中取得舉世矚目的成就．為了普及航天知識，某校舉行了航天知識競賽，競賽中設置了多選題目（每題4個選項中有2個或3個正確選項），每題全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．已知某一道多選題甲完全不會，他隨機選擇2個或3個選項，該題有2個正確選項的概率為．記表示甲的得分，則（

）A．甲得2分的概率為 B．若甲選擇2個選項，則C．若甲選擇3個選項，則 D．甲得5分的概率為【答案】ACD【分析】根據給定條件，可得該題有3個正確選項的概率為，結合離散型隨機變量的期望計算方法逐項分析判斷即可.【詳解】由該題有2個正確選項的概率為，得該題有3個正確選項的概率為，對于A，若甲得2分，則該題有3個正確選項，甲選擇了2個正確選項，概率為，因此甲得2分的概率，A正確；對于B，若甲選擇2個選項，則的可能取值為，則，，則，B錯誤；對于C，若甲選擇3個選項，則的可能取值為0，5，則，，因此，C正確；對于D，由選項BC知，甲得5分的概率為，D正確．故選：ACD三、填空題10．（2024·重慶·模擬預測）重慶位于中國西南部、長江上游地區，地跨青藏高原與長江中下游平原的過渡地帶．東鄰湖北、湖南，南靠貴州，西接四川，北連陜西．現用4種顏色標注6個省份的地圖區域，相鄰省份地圖顏色不相同，則共有種涂色方式．【答案】【分析】根據題意，得到這4中顏色全部都用上，其中必有兩個不相鄰的地區涂同一中顏色，利用窮舉法，結合排列數公式，即可求解.【詳解】根據題意，用4種顏色標注6個省份的地圖區域，相鄰省份地圖顏色不相同，則這4中顏色全部都用上，其中必有兩個不相鄰的地區涂同一中顏色，共有：{“四川和湖南”且“貴州和湖北”}、{“四川和湖南”且“貴州和陜西”}、{“四川和湖北”且“貴州和陜西”、{“四川和湖北”且“湖南和陜西”、{“貴州和湖北”且“湖南和陜西”，共有5種情況，所以不同的涂色共有種.故答案為：.四、解答題11．（2024·湖北武漢·模擬預測）某校為了豐富課余活動，同時訓練學生的邏輯思維能力，在高中三個年級舉辦中國象棋盲棋比賽，經過各年級初賽，高一、高二、高三分別有3人，4人，5人進入決賽，決賽采取單循環方式，即每名隊員與其他隊員都要進行1場比賽（每場比賽都采取5局3勝制，初賽、決賽的賽制相同，記分方式相同），最后根據積分選出冠軍，積分規則如下：比賽中以3∶0或3∶1取勝的隊員積3分，失敗的隊員積0分；而在比賽中以3∶2取勝的隊員積2分，失敗的隊員積1分．(1)從進入決賽的12人中隨機抽取2人進行表演賽，這2人恰好來自不同年級的概率是多少？(2)初賽時，高三甲、乙兩同學對局，設每局比賽甲取勝的概率均為，記甲以取勝的概率為，當最大時，甲處于最佳競技狀態．在決賽階段甲、乙對局，而且甲的競技狀態最好，求甲所得積分的分布列及期望．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用古典概型計算即可；（2）先計算甲以取勝的概率，利用導數確定其單調性得時甲處于最佳狀態，再利用離散型隨機變量的分布列，期望公式計算即可.【詳解】（1）由題意可知這2人恰好來自不同年級的概率是；（2）由題意可知，所以，顯然時，，即單調遞減；時，，即單調遞增；則時，取得最大值，由題意可知的可能取值為，則，，，，則其分布列為：X0123P所以.12．（2024·全國·模擬預測）近期一個被網友戲稱為“科目三”的魔性舞蹈橫空出世，歡快的場景、強烈的節奏加上夸張、土味的肢體動作，成為年輕人爭相模仿學習的舞蹈新寵.然而任何事物都有其兩面性，絲滑魔性的舞蹈動作在吸引人模仿的同時，腳踝的循環內翻、外翻這個動作，如果平衡節奏把握不當，就容易引起腳踝處的損傷：為了解小學生是否知道“科目三”舞蹈會帶來損傷，志愿者隨機走訪了90名小學生，得到相關數據如下：知道不知道總計低年齡段142640高年齡段351550總計494190(1)根據統計數據，依據小概率值的獨立性檢驗，分析“知道‘科目三’舞蹈會帶來損傷”與“學生的年齡段”是否有關；(2)為了解小學生們對待新鮮事物的態度，按低年齡段、高年齡段進行分層，用分層隨機抽樣的方式從上述走訪的知道“科目三”舞蹈會帶來損傷的學生中邀請了7名學生，從這7名學生中隨機抽取3名填寫調查表，記X為這3名學生中為高年齡段的人數，求X的分布列和數學期望.附表及公式：0.10.050.010.050.0012.7063.8416.6357.87910.828，其中.【答案】(1)有關；(2)分布列見解析，【分析】（1）根據列聯表中的數據，計算的值，與比較可得結果.（2）先求出隨機變量的取值及對應的概率，再利用分布列的定義寫出分布列，利用數學期望公式求解期望即可.【詳解】（1）提出零假設：“知道‘科目三’舞蹈會帶來損傷”與“學生的年齡段”無關，根據列聯表中的數據，得.根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為“知道‘科目三’舞蹈會帶來損傷”與“學生的年齡段”有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.（2）由題意數據知：知道‘科目三’舞蹈會帶來損傷同學中，低年齡段的人數和高年齡段的人數比為，故邀請的7名學生中，低年齡段的有2人，高年齡段的有5人，所以X的所有可能取值為1，2，3，可得，，，所以隨機變量X的分布列為X123P.13．（2024·廣東深圳·模擬預測）某中外合作辦學學院為了統計學院往屆畢業生薪酬情況，面向學院部分畢業生發放問卷統計了其薪資情況，共有200名畢業生進行了問卷填寫．畢業生年薪（單位：萬元），以，，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖所示，年薪在的畢業生人數比年薪在的畢業生人數多22人．(1)求直方圖中x，y的值；(2)①用樣本估計總體，比較學院畢業生與同類型合作辦學