專題08胡不歸與三角函數的融合“PA+k·PB”型的最值問題是近幾年中考考查的熱點更是難點。1.當k值為1時，即可轉化為“PA+PB”之和最短問題，就可用我們常見的“飲馬問題”模型來處理，即可以轉化為軸對稱問題來處理;2.當k取任意不為1的正數時，若再以常規的軸對稱思想來解決問題，則無法進行，因此必須轉換思路。此類問題的處理通常以動點P所在圖像的不同來分類，一般分為2類研究。即點P在直線上運動和點P在圓上運動。其中點P在直線上運動的類型稱之為“胡不歸”問題；模型建立：圖圖1圖圖2如圖1：P是直線BC上的一動點，求PA+k·PB的最小值。作∠CBE=α，使sinα=k,則PD=k·OP（圖2）當AD最短，AD⊥BE時，則P為要求點。(圖2)AD長即為PA+k·PB的最小值.簡記:胡不歸,根據三角函數，作個角,再作高，求出長度就可以.鑰匙：三角函數典例典例如圖，矩形ABCD中AB＝3，BC=3，E為線段AB上一動點，連接CE，則12AE+CE的最小值為思路引領：在射線AB的下方作∠MAB＝30°，過點E作ET⊥AM于T，過點C作CH⊥AM于H．易證ET=12AE，推出12AE+EC＝CE+ET≥CH答案詳解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴tan∠CAB=CB∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝23，在射線AB的下方作∠MAB＝30°，過點E作ET⊥AM于T，過點C作CH⊥AM于H．∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，∴ET=12AE∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝23，∴CH＝AC?sin6°＝23×∵12AE+EC＝CE+ET≥CH∴12AE+EC∴12AE+EC故答案為3．實戰訓練實戰訓練1．如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，點E為AC中點，D是BE上的一個動點，則CD+1A．3 B．33 C．6 D．試題分析：如圖，過點C作CF⊥AB于點F，過點D作DH⊥AB于點H，則CD+DH≥CF，先解直角三角形可求出CF，再由直角三角形的性質得DH=12BD，進而可得CD+12BD=CD答案詳解：解：如圖，過點C作CF⊥AB于點F，過點D作DH⊥AB于點H，則CD+DH≥CF，∵△ABC是等邊三角形，AB＝6，∴∠A＝∠ABC＝60°，AF＝BF＝3，∴CF＝AFtan60°=33∵點E是AC的中點，∴∠DBH＝60°÷2＝30°，在Rt△BDH中，DH=1∴CD+12BD=CD+∴CD+12BD所以答案是：B．2．如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC＝6，對角線AC、BD相交于點O，點M在線段AC上，且AM＝2，點P是線段BD上的一個動點，則MP+1A．2 B．23 C．4 D．試題分析：過點P作PE⊥BC，垂足為E，根據菱形的性質可得AB＝BC＝6，BD⊥AC，從而可得△ABC是等邊三角形，進而可求出∠ABC＝∠ACB＝60°，然后在Rt△BPE中，可得PE=12BP，從而可得MP+12PB=MP+PE，當點M，點P，點E共線時，且ME⊥BC時，MP+PE有最小值為ME答案詳解：解：過點P作PE⊥BC，垂足為E，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝6，BD⊥AC，∵AB＝AC＝6，∴AB＝AC＝BC＝6，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBC=12∠ABC＝∵∠BEP＝90°，∴PE=12∴MP+12PB=MP∴當點M，點P，點E共線時，且ME⊥BC時，MP+PE有最小值為ME，如圖：∵AC＝6，AM＝2，∴CM＝AC﹣AM＝6﹣2＝4，在Rt△CME中，∠ACB＝60°，∴ME＝CM?sin60°＝4×32=∴MP+12PB的最小值是所以選：B．3．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是邊BC的中點，P是對角線BD上的一個動點，連接AE，AP，若AP+12A．AB B．AE C．BD D．BE試題分析：由菱形的性質可得∠DBC=12∠ABC＝30°，可得PF=12BP，可得AP+12答案詳解：解：如圖，過點P作PF⊥BC于點F，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠DBC=12∠ABC＝30°，且PF⊥∴PF=12∴AP+12BP＝AP+∴當點A，點P，點F三點共線且垂直BC時，AP+PF有最小值，∴AP+12BP所以選：B．4．如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，BE⊥AC于點E，BE＝2AE，D是線段BE上的一個動點，則CD+55A．25 B．45 C．55 D．10試題分析：過點D作DH⊥AB，垂足為H，過點C作CM⊥AB，垂足為M，在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE，BE的長，再證明DH=55BD，從而可得CD+55BD＝答案詳解：解：過點D作DH⊥AB，垂足為H，過點C作CM⊥AB，垂足為M，∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵BE＝2AE，AB＝10，∴AE2+BE2＝AB2，∴5AE2＝100，∴AE＝25或AE＝﹣25（舍去），∴BE＝2AE＝45，∴sin∠ABE=AE∵∠A＝∠A，∠AEB＝∠AMC＝90°，AB＝AC，∴△AEB≌△AMC（AAS），∴CM＝BE＝45，在Rt△BHD中，DH＝BDsin∠ABE=55∴CD+55BD＝CD+∵CD+DH≥CM，∴CD+55BD≥4∴CD+55BD的最小值是：4所以選：B．5．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC邊上的動點，則2AD+DC的最小值是（）A．23+6 B．6 C．3+3 D試題分析：過點C作射線CE，使∠BCE＝30°，再過動點D作DF⊥CE，垂足為點F，連接AD，在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，DF=12DC，2AD+DC＝2（AD+12DC）＝2（AD+DF）當A，D，F在同一直線上，即AF⊥CE時，AD+答案詳解：解：過點C作射線CE，使∠BCE＝30°，再過動點D作DF⊥CE，垂足為點F，連接AD，如圖所示：在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，∴DF=12∵2AD+DC＝2（AD+12＝2（AD+DF），∴當A，D，F在同一直線上，即AF⊥CE時，AD+DF的值最小，最小值等于垂線段AF的長，此時，∠B＝∠ADB＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AD＝BD＝AB＝2，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，∴BC＝4，∴DC＝2，∴DF=12DC＝∴AF＝AD+DF＝2+1＝3，∴2（AD+DF）＝2AF＝6，∴2AD+DC的最小值為6，所以選：B．6．如圖，直線y＝x﹣3分別交x軸、y軸于B、A兩點，點C（0，1）在y軸上，點P在x軸上運動，則2PC+PB的最小值為4．試題分析：過P作PD⊥AB于D，依據△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，進而得到△BDP是等腰直角三角形，故PD=22PB，當C，P，D在同一直線上時，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂線段CD的長，求得答案詳解：解：如圖所示，過P作PD⊥AB于D，∵直線y＝x﹣3分別交x軸、y軸于B、A兩點，令x＝0，則y＝﹣3；令y＝0，則x＝3，∴A（0，﹣3），B（3，0），∴AO＝BO＝3，又∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，∴△BDP是等腰直角三角形，∴PD=22∴2PC+PB=2（PC+22PB）=2（當C，P，D在同一直線上，即CD⊥AB時，PC+PD的值最小，最小值等于垂線段CD的長，此時，△ACD是等腰直角三角形，又∵點C（0，1）在y軸上，∴AC＝1+3＝4，∴CD=22AC＝2即PC+PD的最小值為22∴2PC+PB的最小值為2×22所以答案是：4．7．如圖，矩形ABCD中AB＝3，BC=3，E為線段AB上一動點，連接CE，則12AE+CE的最小值為3試題分析：在射線AB的下方作∠MAB＝30°，過點E作ET⊥AM于T，過點C作CH⊥AM于H．易證ET=12AE，推出12AE+EC＝CE+ET≥CH答案詳解：解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴tan∠CAB=CB∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝23，在射線AB的下方作∠MAB＝30°，過點E作ET⊥AM于T，過點C作CH⊥AM于H．∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，∴ET=12∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝23，∴CH＝AC?sin6°＝23×3∵12AE+EC＝CE+ET≥CH∴12AE+EC≥3∴12AE+EC的最小值為3所以答案是3．8．如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，則AM+12BM的最小值為43試題分析：如圖，過點A作AT⊥BC于T，過點M作MH⊥BC于H．證明MH=12BM，求出答案詳解：解：如圖，過點A作AT⊥BC于T，過點M作MH⊥BC于H．∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠DBC=12∠ABC＝∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°，∴MH=12∴AM+12BM＝AM+∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°，∴AT＝AB?sin60°＝43，∵AM+MH≥AT，∴AM+MH≥43，∴AM+12BM≥4∴AM+12BM的最小值為4所以答案是43．9．如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于A、B兩點，過B的直線交拋物線于E，且tan∠EBA=43，有一只螞蟻從A出發，先以1單位/s的速度爬到線段BE上的點D處，再以1.25單位/s的速度沿著DE爬到E點處覓食，則螞蟻從A到E的最短時間是649試題分析：過點E作x軸的平行線，再過D點作y軸的平行線，兩線相交于點H，如圖，利用平行線的性質和三角函數的定義得到tan∠HED＝tan∠EBA=DHEH=43，設DH＝4m，EH＝3m，則DE＝5m，則可判斷螞蟻從D爬到E點所用的時間等于從D爬到H點所用的時間相等，于是得到螞蟻從A出發，先以1單位/s的速度爬到線段BE上的點D處，再以1.25單位/s的速度沿著DE爬到E點所用時間等于它從A以1單位/s的速度爬到D點，再從D點以1單位/s速度爬到H點的時間，利用兩點之間線段最短得到AD+DH的最小值為AG的長，接著求出A點和B點坐標，再利用待定系數法求出BE的解析式，然后解由直線答案詳解：解：過點E作x軸的平行線，再過D點作y軸的平行線，兩線相交于點H，如圖，∵EH∥AB，∴∠HEB＝∠ABE，∴tan∠HED＝tan∠EBA=DH設DH＝4m，EH＝3m，則DE＝5m，∴螞蟻從D爬到E點的時間=5x1.25=4若設螞蟻從D爬到H點的速度為1單位/s，則螞蟻從D爬到H點的時間=4m1=4∴螞蟻從D爬到E點所用的時間等于從D爬到H點所用的時間相等，∴螞蟻從A出發，先以1單位/s的速度爬到線段BE上的點D處，再以1.25單位/s的速度沿著DE爬到E點所用時間等于它從A以1單位/s的速度爬到D點，再從D點以1單位/s速度爬到H點的時間，作AG⊥EH于G，則AD+DH≥AH≥AG，∴AD+DH的最小值為AG的長，當y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，則A（﹣1，0），B（3，0），直線BE交y軸于C點，如圖，在Rt△OBC中，∵tan∠CBO=CO∴OC＝4，則C（0，4），設直線BE的解析式為y＝kx+b，把B（3，0），C（0，4）代入得3k+b=0b=4，解得k=∴直線BE的解析式為y=-43解方程組y=x2-2x-3y=-43x+4得x=3y=0或∴AG=64∴螞蟻從A爬到G點的時間=6491即螞蟻從A到E的最短時間為649s所以答案是64910．已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，C為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸交x軸于點D，連接AC，BC，且tan∠CBD=4（1）求拋物線的解析式；（2）設P是拋物線的對稱軸上的一個動點．①過點P作x軸的平行線交線段BC于點E，過點E作EF⊥PE交拋物線于點F，連接FB、FC，求△BCF的面積的最大值；②連接PB，求35PC+PB試題分析：（1）設拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣5），可得對稱軸為直線x＝2，由銳角三角函數可求點C坐標，代入解析式可求解析式；（2）①先求出直線BC解析式，設P（2，t），可得點E（5-34t，t），點F(5-②根據圖形的對稱性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，過點P作PG⊥AC于G，可得PG=35PC，可得35PC+PB=PG+PB，過點B作BH⊥AC于點H，則PG+PB≥BH，即BH是3答案詳解：解：（1）根據題意，可設拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣5），∵拋物線的對稱軸為直線x＝2，∴D（2，0），又∵tan∠∴CD＝BD?tan∠CBD＝4，即C（2，4），代入拋物線的解析式，得4＝a（2+1）（2﹣5），解得a=-∴二次函數的解析式為y=-49(x+1)(x-5)=-（2）①設P（2，t），其中0＜t＜4，設直線BC的解析式為y＝kx+b，∴0=5k+b，解得k=即直線BC的解析式為y=-令y＝t，得：x=5-∴點E（5-34t，把x=5-34t代入y=即F(5-∴EF=(2t-∴△BCF的面積=12×EF×BD=32（∴當t＝2時，△BCF的面積最大，且最大值為32②如圖，據圖形的對稱性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，∴sin∠過點P作PG⊥AC于G，則在Rt△PCG中，PG=PC?∴35過點B作BH⊥AC于點H，則PG+PB≥BH，∴線段BH的長就是35∵S△ABC又∵S△ABC∴52即BH=24∴35PC+PB的最小值為11．如圖，頂點為M的拋物線y＝mx2﹣2mx+n與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸的正半軸交于點C，已知A（﹣2，0），∠ACO＝30°．（1）求拋物線的解析式和M的坐標；（2）若點N是拋物線的對稱軸上的一個動點，且滿足△CAN是直角三角形，直接寫出點N的坐標；（3）已知點G是y軸上的一點，直接寫出GC+2GB的最小值，以及此時點G的坐標．試題分析：（1）根據點A的坐標和直角三角形含30°角的性質可得AC的長，由勾股定理可得OC的長，確定C的坐標可得n＝23，再將點A的坐標代入拋物線的解析式可得結論；（2）解法一：設N（1，y），根據兩點的距離公式可得：AC2＝22+（23）2＝16，CN2＝12+（y﹣23）2，AN2＝（1+2）2+y2＝9+y2，當△CAN是直角三角形時，分三種情況，根據勾股定理列方程可得結論；解法二：構建相似三角形，列比例式，可得結論；（3）如圖2，過點B作BF⊥AC于F，交y軸于點G，則BF最短，此時CG+BG最小，計算可得CG+2BG的最小值為2BF的長，并計算OG的長，可得點G的坐標．答案詳解：解：（1）把A（﹣2，0）代入拋物線y＝mx2﹣2mx+n中得：4m+4m+n＝0，∴OA＝2，Rt△AOC中，∵∠ACO＝30°，∴AC＝2OA＝4，OC＝23，∴C（0，23），∴n＝23，∴8m+23=0∴m=-∴拋物線的解析式為：y=-34x∵y=-34x2+32x+23∴頂點M（1，93（2）解法一：由（1）知拋物線的對稱軸是：x＝1，設N（1，y），∵A（﹣2，0），C（0，23），∴AC2＝22+（23）2＝16，CN2＝12+（y﹣23）2，AN2＝（1+2）2+y2＝9+y2，當△CAN是直角三角形時，分三種情況：①當∠ACN＝90°時，AC2+CN2＝AN2，即16+1+（y﹣23）2＝9+y2，解得：y=5∴N（1，53②當∠CAN＝90°時，AC2+AN2＝CN2，即16+9+y2＝1+（y﹣23）2，解得：y=-∴N（1，-3③當∠ANC＝90°時，AN2+CN2＝AC2，即9+y2+1+（y﹣23）2＝16，解得：y1＝y2=3∴N（1，3）；綜上，點N的坐標為（1，533）或（1，-3）或（1解法二：由（1）知拋物線的對稱軸是：x＝1，設N（1，y），∵A（﹣2，0），C（0，23），當△CAN是直角三角形時，分三種情況：①當∠ACN＝90°時，如圖1，過點C作ED∥x軸，交MN于D，過A作AE⊥ED于E，∴△ACE∽△CND，∴AECD=EC解得：y=5∴（1，53②當∠ANC＝90°時，如圖2，過點C作CD⊥MN于D，同理得：△CDN∽△NPA，∴CDPN=DN解得：y1＝y2=3∴P（1，3）；③當∠CAN＝90°時，如圖5，同理得：N（1，3）；綜上，點N的坐標為（1，533）或（1，-3）或（1（3）如圖2，過點B作BF⊥AC于F，交y軸于點G，則BF最短，此時CG+BG最小，∵∠ACO＝30°，BF⊥AC，∴FG=12∵FG+BG＝BF，∴12CG+BG＝BF即CG+2BG＝2BF，∵BF最小，∴CG+2BG的最小值為2BF的長，∵A（﹣2，0），拋物線對稱軸是：x＝1，∴B（4，0），∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，Rt△AFB中，∠ABF＝∠ACO＝30°，∴AF=12AB＝3，BF=3AF＝∴CG+2BG的最小值為63，Rt△BOG中，∵OB＝4，∠OBG＝30°，∴OG=4∴G（0，4312．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣1，0），B（0，-3），C（2，0），其對稱軸與x軸交于點D（1）求二次函數的表達式及其頂點坐標；（2）點M為拋物線的對稱軸上的一個動點，若平面內存在點N，使得以A，B，M，N為頂點的四邊形為菱形，求點M的坐標；（3）若P為y軸上的一個動點，連接PD，求12PB+PD試題分析：（1）將A、B、C三點的坐標代入y＝ax2+bx+c，利用待定系數法即可求出二次函數的表達式，進而得到其頂點坐標；（2）當以A，B，M，N為頂點的四邊形為菱形時，分三種情況：①以A為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點，此時AM＝AB；②以B為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點，此時BM＝AB；③線段AB的垂直平分線與對稱軸有一個交點，此時AM＝BM，分別列出方程，求解即可；（3）連接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此時12PB+PD最小．最小值就是線段DH，求出DH答案詳解：解：（1）由題意a-b+c=0c=-3∴拋物線解析式為y=32x2-3∵y=32x2-32x-3=3∴頂點坐標（12，-（2）設點M的坐標為（12，y∵A（﹣1，0），B（0，-3∴AB2＝1+3＝4．①以A為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點，此時AM＝AB，則（12+1）2+y2＝4，解得y＝±即此時點M的坐標為（12，72）或（12②以B為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點，此時BM＝AB，則（12）2+（y+3）2＝4，解得y=-3即此時點M的坐標為（12，-3+152③線段AB的垂直平分線與對稱軸有一個交點，此時AM＝BM，則（12+1）2+y2＝（12）2+（y+3）2即