內蒙古自治區包頭市東河區2023-2024學年九年級上學期期

末數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.全運會頒獎臺如圖所示，它的主視圖是（）

主視方向

A-1111B.

D.

2.如果關于x的一元二次方程（加-3*+3X+/_9=0,有一個解是0,那么冽的值

是（）

A.3B.-3C.±3D.0或-3

3.在平面直角坐標系xOy中，以原點O為位似中心，把人48。縮小為原來的g,得到

ACDO,則點4-4,2）的對應點C的坐標是（）

A.（-2,1）B.（-2,1）或（2,T）

C.（-8,4）D.（一8,4）或（8,-4）

4.如圖，某位同學用帶有刻度的直尺在數軸上作圖，若尸點。，點M在直

尺上，且分別與直尺上的刻度1和3對齊，在數軸上點N表示的數是10,則點尸表示的

數是（）

5.三根電線，其中只有兩根電線通電，接上小燈泡能正常發光，小明從三根電線中,

隨意選擇兩根電線，接上小燈泡的正負極，能發光的概率是（）

試卷第1頁，共6頁

6.有一個人患流感，經過兩輪傳染后共有81個人患流感，每輪傳染中平均一個人傳染

幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染x個人，可到方程為（）

A.l+2x=81B.1+%2=81C.l+x+x2=81D.(1+x)2=81

7.如圖，矩形ABCD的對角線AC,BD交于點O,AB=3,BC=4,過點0作OE_LAC,

交AD于點E,過點E作EFLBD,垂足為F,則0E+EF的值為()

6

D.

5

8.如圖，小明同學用自制的直角三角形紙板。吹測量樹的高度NB,他調整自己的位

置，設法使斜邊。下保持水平，并且邊與點8在同一直線上，已知紙板的兩條直角

邊DE=40cm,E77=20c?i,測得邊DF離地面的高度/C=1.5m,,CD=9m,則樹高48

D.6m

9.如圖，在矩形48。中，AB=6,BC=9,E是48的中點，尸是ND邊上一點（不

與4。重合），連接尸C,PE,若N￡PC=90。，則尸C的值是（）

A.3B.60或3亞C.6=或3石D.3或6

10.如圖，在中，=點。為線段3C上一動點（不與點8,C重合），連

接/D,作/4D￡=N3=40。，交線段/C于點￡.

下面是某學習小組根據題意得到的結論：

甲同學：AABD~ADCE；

試卷第2頁，共6頁

乙同學：若AD=DE,則BD=CE；

丙同學：當DE//C時，。為8C的中點.

則下列說法正確的是（）

BDC

A.只有甲同學正確B.乙和丙同學都正確

C.甲和丙同學正確D.三個同學都正確

二、填空題

。ce4

11.已知7=:=7=;,^b+d+f=9,則a+c+e=______.

bdj3

12.已知王，X2是一元二次方程f一2x-3=0的兩個根，貝＞1%+%-%丁2的值為.

13.已知反比例函數夕=匕網的圖象上兩點/（一3,%）］（-!,%）.若必＜%，則掰的取

X

值范圍是.

14.一個口袋中有6個白球和若干個紅球，這些球除顏色外都相同.將口袋中的球攪拌

均勻，從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回口袋中.不斷重復這一過程，共摸

了100次球，發現有70次摸到紅球.估計這個口袋中紅球的個數為.

15.如圖，在菱形N8CD中，4c交BD于點、O,，8C于點￡,連接OE,若NBC。=40。,

則ZOED的度數是.

16.如圖，將一副三角板按圖疊放，則會的值為

BC

試卷第3頁，共6頁

17.如圖，點A是反比例函數>="(x>0)圖象上的一點，過點A作40_Lx軸于點Z),

點。為X軸負半軸上一點且滿足OD=2OC,連接/C交》軸于點B,連接NO,若

18.如圖，在正方形N3CD中，AB=4,￡為對角線/C上與4,C不重合的一個動點,

過點￡作石尸，于點REG,3c于點G,連接DE,FG,下列結論：?DE=FG；

②NBFG=2ADE；③DE.FG；④FG的最小值為2亞.其中正確結論的

有.(填序號)

三、解答題

19.(1)解方程：2x(x+l)=x+l；

(2)已知關于x的方程x?-4x+%+2=0有兩個不相等的實數根.

①求m的取值范圍；

②若加為滿足條件的最大整數，求方程的根.

20.甲、乙兩人玩如圖所示的轉盤游戲，游戲規則是：轉盤被平均分為3個區域，顏色

分別為黑、白、紅，轉動轉盤時，指針指向的顏色，即為轉出的顏色(如果指針指在兩

區域的分界線上，則重轉一次).兩人參與游戲，一人轉動兩次轉盤，另一人對轉出的

顏色進行猜測.若轉出的顏色與猜測的人描述的特征相符，則猜測的人獲勝；否則，轉

動轉盤的人獲勝.猜測的方法從下面三種方案中選一種.

A.猜“顏色相同”；

B.猜“一定有黑色”；

C.猜“沒有黑色”.

試卷第4頁，共6頁

黑ri

'紅

請利用所學的概率知識回答下列問題：

(1)用畫樹狀圖或列表的方法列出所有可能的結果；

(2)如果你是猜測的人，你將選擇哪種猜測方案，才能使自己獲勝的可能性最大？為什

么？

21.2023年杭州亞運會吉祥物一經開售，就深受大家的喜愛，某商店以每件45元的價

格購進某款亞運會吉祥物，以每件68元的價格出售，經統計，2023年5月份的銷售量

為256件，2023年7月份的銷售量為400件.

(1)求該款吉祥物2023年5月份到7月份銷售量的月平均增長率.

(2)從7月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經試驗，發現該款吉祥物每降

價1元，月銷售量就會增加20件，當該款吉祥物降價多少元時，月銷售利潤達8400元？

22.某社區兩條平行的小道之間有一塊三角形空地.如圖，這兩條小道加、〃之間的距離

為9米，。表示這塊空地，3c=36米.現要在空地內劃出一個矩形。GHE區域建造

花壇，使它的一邊在3C上，其余兩個頂點分別在邊、AC±.

m____J__嬖/____

BGHC

⑴如果矩形花壇的邊DG:DE=1:2,求出這時矩形花壇的兩條鄰邊的長；

(2)矩形花壇的面積能否占空地面積的g?請作出判斷并說明理由.

23.如圖所示的一張矩形紙片/BCD將紙片折疊一次，使點/與C重合,

(1)求證：四邊形/FCE是菱形(用兩種方法證明);

(2)過E點作E尸〃CD交/C于點P,試探究/八AP、/C的關系并說明理由(請同學們

將圖補充完整之后再答題)；

試卷第5頁，共6頁

⑶在(2)的條件下，若A8=JLBC=3,連接P尸，求尸尸的長.

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.C

【分析】主視圖是從前面先后看得到的圖形，根據主視圖對各選項一一分析即可.

【詳解】解：主視圖是從前面先后看得到的圖形，是C.

故選C.

【點睛】本題考查主視圖，掌握三視圖的特征是解題關鍵.

2.B

【分析】把x=0代入方程（加-3）x2+3x+m2-9=0中，解關于m的一元二次方程，注意m的取

值不能使原方程對二次項系數為0.

【詳解】解：把x=0代入方程（加-3）/+3%+加2.9=0中，得

冽2-9=0,

解得加=-3或3,

當冽=3時，原方程二次項系數冽-3=0,舍去，

m=-3

故選：B.

【點睛】本題考查的是一元二次方程解的定義，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含義

是解題的關鍵.

3.B

【分析】以原點O為位似中心，把A/8。縮小為原來的即位似比是根據位似的性質

即可求解.

【詳解】解：根據題意得，位似比是且位似比是|■的三角形有兩個，4-4,2）,

???①A乘以;得，（-2,1）；②A乘以一g得，（2,-1）,

故選：B.

【點睛】本題主要考查位似的性質，理解和掌握位似的性質是解題的關鍵.

4.C

【分析】利用平行線分線段成比例定理求解.

【詳解】解：：尸。〃MV,

.OP=OQJ

"ON~OM~3'

'：ON=10,

答案第1頁，共16頁

故選：c.

【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，數軸，平行線的性質等知識，解題的關鍵是掌握平行線

分線段成比例定理.

5.B

【分析】設三根電線分別為。，b,c,當接上a,6時，小燈泡正常發光，根據題意列出所

有的可能，然后利用概率公式求解即可.

【詳解】解：設三根電線分別為a，b,c,當接上a,6時，小燈泡正常發光，

從三根電線中，隨意選擇兩根電線，共有a,b；a,c；6,c三種可能，

其中滿足題意的只有一種，

,能發光的概率是:，

故選：B.

【點睛】題目主要考查利用列舉法求概率，理解題意是解題關鍵.

6.D

【詳解】解：x+l+(x+l)x=81,

整理得，(1+X)2=81.

故選：D.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，關鍵是得到兩輪傳染數量關系，從而可列方程求

解.

7.C

【分析】依據矩形的性質即可得到^AOD的面積為12,再根據SAAOD=SAAOE+SADOE,即可

得至I」OE+EF的值.

【詳解】解：；AB=3,BC=4,

矩形ABCD的面積為12,AC=sjAB-+BC2=A/32+42=5，

15

，AO=DO=<AC=—,

22

:對角線AC,BD交于點O,

AAAOD的面積為3,

VEOXAO,EFXDO,

答案第2頁，共16頁

**?SAAOD=SAAOE+SADOE>3=yAOxEO+yDOxEF,

.1551

??3=77x—xEOH—x—xEF,

2222

???5(EO+EF)=12,

?12

.\EO+EF=y,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質，熟練掌握矩形性質是解答此題的關鍵.

8.D

【分析】先判定△。斯,然后根據相似三角形對應邊成比例求出BC的長，再加上/C

即可求解.

【詳解】解：/DEF=/DCB,

.△DEFs^DBC,

.DECD

口口409

即——---，

20BC

解得：BC=4.5,

AC=1.5m,

AB=AC+5C=1.5+4.5=6(m),

即樹高6m.

故選：D.

【點睛】本題考查了相似三角形的應用，主要利用了相似三角形對應邊成比例的性質，比較

簡單，判定出S斯和△Q5C相似是解題的關鍵.

9.C

【分析】首先根據題意證明△P4￡s^CZ)p,然后根據相似三角形的性質列方程求解即可.

【詳解】解：:在矩形/5C。中，AB=6,BC=9,￡是/5的中點，

??.AE=BE」AB=3,CD=AB=6,AD=BC=9,

2

??,四邊形力BCD是矩形，

/A=/D=90°,

又???NEPC=90。,

：.ZAEP+ZAPE=90°f/DPC+ZAPE=90。,

答案第3頁，共16頁

：.ZAEP=ZDPCf

：./\PAEs&CDP,

:a=理，即二3

CDPD6PD

整理得，PD2-9PD+18=0,

解得尸。=3或尸。=6,

當產。=3時，pc7?S=3下，

當PD=6時,PC=-\/62+62=6A/2>

故選：C.

【點睛】此題考查了矩形的性質，相似三角形的性質和判定，解一元二次方程，勾股定理等

知識，解題的關鍵是證明△尸

10.D

【分析】在“3C中，依據三角形外角及已知可得/A4D=NCD￡,結合等腰三角形易證

AABD~ADCE；結合易證△/助也得到助="；當DE/4C時，

結合已知求得NEDC=50。，易證/O/3C,依據等腰三角形“三線合一”得3。=CD

【詳解】解：在“3C中，

AB=AC,

/./C=/B=40°,

ZB+ABAD=ZCDE+ZADE,ZADE=NB=40。,

/.ABAD=ZCDE,

.,.KABD~AZ)C￡,

甲同學正確；

???NC=NB,ABAD=ZCDE,AD=DE,

:AABD沿小DCE,

BD=CE,

乙同學正確；

當。￡14。時，

/OEC=90。，

ZEDC=90°-ZC=50°,

ZADC=/ADE+/EDC=90°,

答案第4頁，共16頁

ADIBC,

AB=AC,

BD=CD,

。為8C的中點，

丙同學正確；

綜上所述：三個同學都正確

故選：D.

【點睛】本題考查了三角形外角、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性質、等腰三角

形的性質；解題的關鍵是通過“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和”得到

ABAD=NCDE.

11.12

【分析】根據等比性質，可得答案.

。「p4

【詳解】解：Tb=Jd=j3

所以o+c+e=12.

故答案為：12.

【點睛】本題主要考查了等比性質，即如果：=三=--=%(6+4+…+"0),貝I]

ban

廣廣…+刃=7.解題關鍵是掌握并運用等比性質.

b+a1-nb

12.5

【分析】本題考查了根與系數的關系：若毛，巧是一元二次方程*2+法+。=0(。*0)的兩

bc

根時，x+x=—,xx=—.根據根與系數的關系得到石+々=2,xx=—3,然后利用

x2ax2ax2

整體代入的方法計算，即可解題.

【詳解】解：,.,再，巧是一元二次方程V-2x-3=0的兩個根，

?.再+/=2,x1x2=-3,

/.xi+x2-xi-x2=2+3=5.

故答案為：5.

答案第5頁，共16頁

1

13.m>-

3

［分析］根據反比例函數的性質，可以得到關于m的不等式，從而可以求得m的取值范圍.本

題考查反比例函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用反比例函數的性

質解答.

【詳解】解：：反比例函數尸匕占的圖象上兩點/（-3,必）,8（-!,%），且一3<-1,y,<y2,

.??反比例函數圖象在第二、四象限，

1-3m<0,

解得，m〉；,

故答案為：

14.14

【分析】本題主要考查用頻率估計概率，根據題意得到摸到紅球的頻率，再得到到摸到白球

的頻率，利用白球的個數求出口袋中球的總數，即可解題.

【詳解】解：估計這個口袋中球的數量為：6+1-=6+5=20（個），

估計這個口袋中紅球的個數為：20-6=14（個），

故答案為：14.

15.200/20度

【分析】本題考查了菱形的性質、等腰三角形的性質、直角三角形斜邊上的中線性質等知識,

熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵.

由菱形的性質得=CD=BC,再由等腰三角形的性質和三角形內角和定理得

ZCBD=NCDB=10°,進而由直角三角形斜邊上的中線性質得=,然后由等

腰三角形的性質得/OEB=NO8￡=70。,即可得出結論.

【詳解】解：???四邊形/BCD是菱形，

/.OB=OD,CD=BC,

：.ZCBD=ZCDB=1（180°-Z5CD）=；（180。-40。）=70°,

DEIBC,

：.ABED=90°,

:.OE=1BD=OB,

2

答案第6頁，共16頁

???ZOEB=ZOBE=10°f

：.ZOED=90°-ZOEB=90°-70°=20°.

故答案為：20°.

16.—

3

【分析】本題考查了相似三角形的性質與判定，勾股定理，直角三角形的特征；根據三角板

的角度可得力3C是等腰直角三角形，設/8=a,則8C=。，根據含30。的直角三角形的性

質，勾股定理可得C。，進而根據N3〃C。，得出根據相似三角形的性

質，即可求解；熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵.

【詳解】解：由于將一副三角板按圖疊放，

ZABC=NBCD=90°,

ZABC+ZBCD=180°,

AB//CD,

.△ABOs&CDO,

.AOAB

*CO-c5,

設=a,貝ljBC=a,

/.BD=la,

：.CD=yjBD2-BC2

=J（2a）2

=y/3a，

.AOAB

'~CO~~CD

_a

y/3a

_V3

——,

3

故答案為：息.

3

17.12

【分析】本題考查了反比例函數的比例系數人的幾何意義，相似三角形的判定與性質，先求

得/。=3或,即可求得SU8=3S“OB=6,然后利用反比例函數系數人的幾何意義即可求

答案第7頁，共16頁

得左的值，得到關于左的方程是解題的關鍵.

【詳解】解：?.?QD=2OC,

:?CD=3OC,

???4D_Lx軸于點。,

二.軸，

:ACOBS公CDA,

.OBCO

…而一而一丁

/.30B=AD,

?，-SAAOD=3s“Q3=6,

???S"o0=5左,

：.k=n.

故答案為：12.

18.①②③④

【分析】連接5萬，交尸G于點0,由題意得/及咕=ZEG5=90。，即可得四邊形￡F5G為矩

形，得FG=BE,OB=OF=OE=OG,用SAS即可得,即可判斷①；根據

全等三角形的性質和等腰三角形的性質得=即可判斷②，延長。￡,交尸G于

M,交FB于點、H,由①得，ZABE=ZADE,根據題意和角之間的關系得FG,即可

判斷③，根據垂線段最短得當。時，。石最小，根據勾股定理得力。=4后，即可得尸G

的最小值為2收，即可判斷④.

【詳解】解：如圖所示，連接BE,交尸G于點。，

EFLAB,EGLBC,

：.NEFB=NEGB=9U。,

ZABC=90°,

???四邊形皿咕G為矩形，

答案第8頁，共16頁

FG=BE,OB=OF=OE=OG,

???四邊形45CD為正方形，

/.AB=AD,NBAC=NDAC=45。,

在和V4DE中，

'AE=AE

<ABAC=ADAC

AB=AD

：.AABE—ADE(SAS),

：.BE=DE,

：.DE=FG,

即①正確；

AABE-ADE

：.ZABE=ZADE,

9：OB=OF

：.ZOFB=ZABE,

ZBFG=/ADE,

即②正確，

延長。E,交FG于M,交FB于點、H,

AD

F

H

BGC

由①得，ZABE=ZADE,

OB=OF,

：.ZOFB=/ABE,

ZOFB=NADE,

/氏40=90。,

ZADE+ZAHD=90°,

???ZOFB+ZAHD=90°,

答案第9頁，共16頁

即ZFMH=90°,

：.DE~FG,

即③正確；

,:E為對角線NC上的一個動點，

.?.當DE//C時，最小，

VAD=CD=4,ZADC=90°,

?*-AC=^AD2+CD2=472，

：.DE=-AC=?.y[?.,

2

由①知，FG=DE,

FG的最小值為20，

即④正確，

綜上，①②③④正確，

故答案為：①②③④.

【點睛】本題考查了正方形的性質，矩形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，通

過作輔助線構造全等三角形和直角三角形是解題的關鍵.

19.(1)國=一1,%2=；(2)①加<2；②玉=1,%=3

【分析】此題主要考查了根的判別式以及一元二次方程的解法：

(1)先移項得到2x(x+l)-(x+l)=0,然后利用因式分解法解方程；

(2)①直接禾U用A=62-4ac=16-4(機+2)>0,進而得出加的取值范圍；②利用①中所求

得出小的值，再代入解方程即可；

正確求解是解題的關鍵.

【詳解】解：(1)2x(x+l)-(x+l)=0,

(尤+1)(2尤-1)=0,

x+1=02x—1=0,

解得：西=-1,%=3；

(2)①..?關于x的方程V一以+加+2=0有兩個不相等的實數根，

A=b2-4ac=16-4(〃?+2)>0,

答案第10頁，共16頁

解得：m<2；

②：m<2,

的最大整數值為：1,

當7〃=1時，

x2-4x+3=0,

=0,

解得：無i=l,3=3.

20.（1）列表見解析，共有9種等可能的結果：（黑，黑），（黑，白），（黑，紅），（白，黑），（白,

白），（白，紅），（紅，黑），（紅，白），（紅，紅）

（2）選方案2,才能使自己獲勝的可能性最大，理由見解析

【分析】本題考查的知識點是概率的應用，列表法求概率；

（1）列舉出所有情況，分別得到相應的概率，比較即可；

（2）應選擇獲勝概率最大的游戲進而得出答案.

（2）選方案3.理由如下：

3154

；尸（/方案）=：=；，P（B方案）=’,尸（C方案）=:

.?.P（B）>尸（C）>尸⑷.

選方案8,才能使自己獲勝的可能性最大.

21.（1）該款吉祥物2023年5月份到7月份銷售量的月平均增長率為25%

（2）當該款吉祥物降價8元時，月銷售利潤達8400元

答案第11頁，共16頁

【分析】（1）設該款吉祥物2023年5月份到7月份銷售量的月平均增長率為x,根據增長

率問題的等量關系列方程求解即可；

（2）設該款吉祥物降價加元，則每件的利潤為（68-45-"）元，月銷售量為（400+20機）件,

根據月銷售利潤為8400元列方程求解即可.

【詳解】（1）解：設該款吉祥物2023年5月份到7月份銷售量的月平均增長率為x,

根據題意得：256（l+x）2=400,

解得：X=0.25=25%,X2=-2.25（不符合題意，舍去），

答：該款吉祥物2023年5月份到7月份銷售量的月平均增長率為25%；

（2）解：設該款吉祥物降價加元，則每件的利潤為（68-45-〃。元，月銷售量為（400+20機）

件，

根據題意得：（68-45-m）（400+20m）=8400,

整理得：加2-3加-40=0,

解得：叫=8,m2=-5（不符合題意，舍去），

答：當該款吉祥物降價8元時，月銷售利潤達8400元.

22.（1）這時矩形花壇的兩條鄰邊的長分別為6米和12米

（2）不能，理由見解析

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質以及二次函數的應用，正確理解題意、熟練掌

握相似三角形的性質是解題的關鍵.

（1）過點A作/尸，BC于點P,交DE于點、Q,設。G=尤，則DE=2x,AQ=9-x,易證

得"DEsAABC,由相似三角形的性質可得第=爺，即可得到答案；

（2）設DE=a,由（1）知A4DEsAABC,得第=爺，并用。表示出DG,由矩形的

面積公式得到關于。的二次函數，根據二次函數的性質求得矩形。GHE面積的最大值，與空

地面積的g相比較，即可得到結論.

【詳解】（1）解：如圖，過點A作于點尸，交。￡于點。，

答案第12頁，共16頁

n-乙—----_L_\—

BGPHC

設。G=x,則。￡=2x,AQ=9-x,

DE//BC,

:"DEs-BC,

DE_AQ

'~BC~~AP'

2x9-x

一記一9，

解得：x=6,

\DG=6,DE=2x6=12,

「?這時矩形花壇的兩條鄰邊的長分別為6米和12米.

(2)解：不能，理由如下：

設DE=a,

由(1)知

DE_AQ

.aJQ

■'36-9'

解得：AQ=^,

DG=9--,

4

矩形DG/TE1的面積為。ExDG=。(9-4=-6+9“=--fe-18)+81,

<4744

.?.矩形花壇的面積最大為81m2,

又：空地面積的，為=；x36x9x：=90(m2),81<90,

故矩形花壇的面積不能占空地面積的I.

23.(1)見解析

(2)2AF2=AC-AP,見解析

(3)PF=|V3.

答案第13頁，共16頁

【分析】(1)求出04=OC,NAOE=/COF=90°,AEAO=ZFCO,證A/OE/ACOF(AS