第五節

樣條插值法插值法樣條插值的研究背景樣條函數的力學意義三次樣條插值多項式的構造一般的插值問題拉格朗日(Lagrange)插值多項式，是插值基函數的線性組合，形式簡單，結構對稱，便于理論分析。一、拉格朗日(Lagrange)插值樣條插值的研究背景牛頓(Newton)插值引入了差商的概念，在增加新的節點時，只是增加一項，前面結果可再利用。二、牛頓(Newton)插值樣條插值的研究背景稱為龍格Runge現象。三、分段插值樣條插值的研究背景取等距節點做n次Lagrange插值多項式。當節點無限加密時，插值多項式出現振蕩現象。

xjxj-1xj+1x0xn分段線性插值分段線性插值（低次多項式插值），誤差小，整體逼近效果好，但曲線光滑性差。三、分段插值帶導數的插值插值問題的較高要求：

保持插值曲線在節點處有切線（光滑），使插值函數和被插函數的密和程度更好。

Hermite插值四、Hermite插值但實際問題中，導數值往往很難獲得！插值函數在子區間的端點(銜接處)不光滑,從而導數不連續。而一些實際問題,不但要求一階導數連續,

而且要求二階導數連續。所以一般插值往往不不能滿足實際需要。一般插值函數的不足

(1)

S(x)在每個子區間[xi,xi+1](i=0,1,2,

,n-1)上是次數不超過m的多項式;

(2)S(x)在區間[a,b]上有m-1階連續導數;

則稱S(x)是定義在[a,b]上的m次樣條函數。x0，x1，x2,

稱為樣條結點,其中x1,

,xn-1稱為內結點,x0,xn

稱為邊界結點。當m=3時,便成為最常用的三次樣條函數設S(x)是區間[a,b]上的函數,在區間[a,b]上給定一組節點:a=x0<x1<x2<

<xn=b若S(x)滿足條件一、樣條函數的概念Spline樣條插值取插值函數為樣條函數的插值稱為樣條插值

所謂“樣條”(Spline)是工程繪圖中的一種工具,它是有彈性的細長木條,繪圖時,用細木條連接相近的幾個結點,然后再進行拼接,連接全部結點,使之成為一條光滑曲線,且在結點處具有連續的曲率。樣條函數就是對這樣的曲線進行數學模擬得到的。它除了要求給出各個結點處的函數值外,只需提供兩個邊界點處導數信息,便可滿足對光滑性的不同要求。樣條插值

設y=f(x)在點

x0，x1，x2,

xn的值為y0，y1，y2,

yn，若函數S(x)滿足下列條件（1）S(xi)=f(xi)=yi

,i=0,1,2,

,n(1.1)（2）在每個子區間[xi,xi+1](i=0,1,2,

,n-1)上S(x)是三次多項式，記為（3）S(x)在[a,b]上二階連續可微。

則稱S(x)為函數f(x)的三次樣條插值函數,簡稱三次樣條。二、三次樣條函數的概念

以節點處的二階導數M為參數的三次樣條插值函數三、三次樣條插值函數的構造再次積分得：三次樣條插值函數的構造化簡得：三次樣條插值函數的構造由上式可解出：代入：得：三次樣條插值函數的構造第j個區間上的三次樣條插值函數三次樣條插值函數的構造

因此，只要能求出所有的{Mi}，就能求出樣條插值函數S(x).下面考慮Mi的求法由S(x)在節點的一階導數的連續性

三次樣條插值函數的構造化簡得再化簡得三次樣條插值函數的構造n+1個方程n－1個未知量！稱為三次樣條的M關系式特點：n+1個未知數，n-1個方程稱為三彎矩方程可得：三次樣條插值函數的構造三次樣條插值函數的構造

上面的方程組有n-1個方程，但有n+1個變量Mi，故還需兩個方程才能求唯一解，為此引入下列邊界條件第二型邊界條件：已知f(x)在兩端點的二階導數

要求

S″(a)=M0=f″(a),S″(b)=Mn=f″(b)

特別當

S″(a)=S″(b)=0時，S(x)稱為自然三次樣條

第一型邊界條件：

已知f(x)在兩端點的導數,要求三次樣條插值函數的構造

第三型邊界條件：

已知f(x)是以b

-a為周期的周期函數，要求S(x)滿足周期條件三次樣條插值函數的構造化簡得三次樣條插值函數的構造聯立方程組：三次樣條插值函數的構造三次樣條插值問題的解是存在且唯一的。

（在線性方程組數值解法中講述）三次樣條插值函數的構造說明三次樣條插值函數的構造

已知函數f(x)的數值表如下：

x 2 4 6

f(x) 3 7 13

f′(x)1 -1 試求f(x)

在[2,6]上的三次樣條插值函數

解：這是第一類邊界條件的問題，n=2,hi=h=2,由公式知α2=β0=1，例5.1三次樣條插值函數的構造

得方程組

2M0+M1=30.5M0+2M1+0.5M2=1.5M1+2M2=-12解得：M0=0.25,M1=2.5M2=-7.25三次樣條插值函數的構造故所求的三次樣條插值函數三次樣條插值函數的構造三次樣條插值函數的構造Maths程序如下：Clear[x,y,a,b,c,n,M]x[i_]:=2i;y[1]=3;y[2]=7;y[3]=13;B=Table[{x[i],y[i]},{i,1,3}];y'[1]=1;y'[3]=-1;h[j_]:=2;a[j_]:=h[j-1]/(h[j-1]+h[j]);a[3]=1;b[1]=1;b[j_]:=1-a[j];c[1]=6/h[1]((y[2]-y[1])/h[1]-y'[1]);c[j_]:=6((y[j+1]-y[j])/h[j]-(y[j]-y[j-1])/h[j-1])/(h[j-1]+h[j]);c[3]=6/h[3-1](y'[3]-(y[3]-y[3-1])/h[3-1]);三次樣條插值函數的構造不能單獨用cA=Table[Switch[i-j,-1,b[j-1],0,2,1,a[j+1],_,0],{i,1,3},{j,1,3}];MatrixForm[%]CC=Table[c[j],{j,1,3}];MatrixForm[%]LinearSolve[A,CC];MatrixForm[%];M[j_]:=LinearSolve[A,CC][[j]]Table[M[j],{j,1,3}]S[j_]:=M[j+1](x-x[j])^3/(6h[j])-M[j](x-x[j+1])^3/(6h[j])+(y[j+1]-M[j+1]h[j]^2/6)(x-x[j])/h[j]-(y[j]-M[j]h[j]^2/6)(x-x[j+1])/h[j]Table[S[j],{j,1,2}];Expand[%];MatrixForm[%]注意它的含義到此求出三彎矩方程的系數矩陣解方程求出M[I]構造三次樣條插值函數三次樣條插值函數的構造g1=Plot[%[[1]],{x,2,4}]g2=Plot[%%[[2]],{x,4,6}]g3=ListPlot[B,Prolog->AbsolutePointSize[15]]Show[g1,g2,g3,Prolog->AbsolutePointSize[15]]注：三對角矩陣的構造A=Table[Switch[i-j,-1,a,0,b,1,c,_,0],{i,1,m},{j,1,n}];MatrixForm[%]行標減列標=-1時為對角線上方元素。作圖觀察效果三次樣條插值函數的構造三次樣條插值函數的構造程序運行結果如下：系數矩陣常數項求得的彎矩值M樣條函數樣條插值圖形三次樣條插值函數的構造2、若滿足S″(a)=M0=f″(a),S″(b)=Mn=f″(b），則事實上只有n-1個未知數，其矩陣形式為：三次樣條插值函數的構造三次樣條插值函數的構造總結以上論述，可得求三次樣條的步驟為：（1）確定邊界條件，判定是第幾類插值問題；（2）根據所確定的條件計算各值，形成方程組(**)；（3）解三對角方程組(**)，求得M0,M1,M2,,

Mn；（4）將求得的Mi值代回S(x)的表達式中，從而可求得函數y=f(x)在任一點的近似值S(x)。三次樣條插值函數的構造例2．已知f(x)在若干點處的值為f(0)=0,f(1)=1,f(2)=1,f(3)=0,試求f(x)滿足條件（1）f′(0)=1,f′(3)=2（2）f”(0)=1,f”(3)=2