第五章教列

5o1救列基礎(chǔ)

新版課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求

1.借助教材實(shí)例了解數(shù)列的相關(guān)概

念。（教學(xué)抽象）

2o了斛教列的函教特性、教列的

1.通過(guò)日常生活和教學(xué)中的通項(xiàng)公式、數(shù)列的前n項(xiàng)和。（教

實(shí)例，了解數(shù)列的概念和表學(xué)抽象）

示方法（列裝、圖象、通項(xiàng)3o借助教材實(shí)例理斛遹推公式的

公式）含義，能根據(jù)遹推公式寫(xiě)出數(shù)列的

2。了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)前幾項(xiàng)教學(xué)運(yùn)算）

4.能根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的

通項(xiàng)公式j(luò).能利用數(shù)列的前n項(xiàng)和

求教列的通項(xiàng)公式.（教學(xué)建模）

5.1.1數(shù)列的概念

必備知詼?素養(yǎng)真基

lo數(shù)列及其相關(guān)概念

（1J定義：檢照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列。

（2）項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)教都稱為這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。項(xiàng)數(shù):組成教

列的教的個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)數(shù).

（3）通項(xiàng):ai,3L2,a3,…，a、…,簡(jiǎn)記為｛aj,其中an表示數(shù)列

的第&項(xiàng)（也稱n為an的序號(hào)，其中n為正整數(shù)，即nWN+）,稱

為數(shù)列的通項(xiàng)。

?思考

(1)如果組成兩個(gè)數(shù)列的教相同但排列次序不同，那么它們是相

同的數(shù)列嗎？

提示:從數(shù)列的定義可以看出，組成數(shù)列的數(shù)是按一定順序排列

的，如果組成數(shù)列的數(shù)相同但挑列次序不同，那么它們就不是

同一教列.

(2J同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)嗎？

提示:在數(shù)列的定義中，并沒(méi)有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同

一個(gè)教在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)。例如:1,一1,1,一1,1,…；2,2,

2,….

2.數(shù)列的分類

分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義

有劣教列項(xiàng)教有限的數(shù)列

族項(xiàng)的個(gè)教

無(wú)劣數(shù)列項(xiàng)數(shù)到民的數(shù)列

從第2項(xiàng)超,每一

遹增教列項(xiàng)都大于它的前

一項(xiàng)的數(shù)列

從第2項(xiàng)超，每一

按項(xiàng)的變化

遹減數(shù)列項(xiàng)都小于它的前

趨勢(shì)

一項(xiàng)的數(shù)列

各項(xiàng)都相等的教

常教列

列

擺動(dòng)數(shù)列隊(duì)第2項(xiàng)起，有些

項(xiàng)大于它的前一

項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它

的前一項(xiàng)的數(shù)列

3o數(shù)列的通項(xiàng)公式j(luò)：如果數(shù)列fan7的第n項(xiàng)a(!與口之間的關(guān)

系可以用包式皿_來(lái)表示，其中f(n)是關(guān)于n的不含其他未

知數(shù)的表達(dá)式，則稱上述關(guān)系式為這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

4o函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系

數(shù)列fan7可以看成定義以為正整義集的子集的集教，教列中的

教就是自變量從小到大依次取正整數(shù)值時(shí)對(duì)應(yīng)的素?cái)?shù)值,而數(shù)列

的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)函數(shù)的斛折式。

?思考

法數(shù)y=2x與數(shù)列{anJ的通項(xiàng)公式an=2n有什么區(qū)別？

提示:濟(jì)教y=2x的《變量是連續(xù)變化的，圖象是連續(xù)的直線。

an=2n的4變量是離散的，圖象是由離散的點(diǎn)構(gòu)成。

冬寮養(yǎng)小淵

lo思維辨析(對(duì)的打“，”，錯(cuò)的打"x")

(1)1,2,3,4和1,2,4,3是相同的教列。()

C2){an7與an是一樣的，都表示教列。()

(3)所有數(shù)列都能寫(xiě)出其通項(xiàng)公式且一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯

一的.()

(4J數(shù)列3,1—1,一3,-5,-10的通項(xiàng)公式為an=5—2no()

提示：C)X.兩個(gè)數(shù)列相同，每一項(xiàng)都必須相同，而且數(shù)列具有

順序性.

⑵X.因?yàn)椋鸻nl代表一個(gè)數(shù)列，而an只是這個(gè)數(shù)列中的第n項(xiàng)，

故｛anl與an是不一樣的.

(3)Xo有的數(shù)列就沒(méi)有通項(xiàng)公式,而且有的數(shù)列的通項(xiàng)公式不

唯一。

(4)Xo第六項(xiàng)為一10,不符合an=5-2n,故an=5-2n不是此教

列的通項(xiàng)公式。

2o數(shù)列3,4,5,6,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為()

Aoan=n,n€N+Boan=n+l,n€N+

C.an=n+2,n€N+Doan=2n,n€N+

【解析】選C。這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)都比序號(hào)大2,所以，宅的一個(gè)

通項(xiàng)公式為an=n+2,n€N+.

3o已知數(shù)列｛an1的通項(xiàng)公式是an=n2+l,則122是該數(shù)列的

()

Ao第9項(xiàng)Bo第10項(xiàng)C.第11項(xiàng)D.第12項(xiàng)

【解析】選C.令n2+l=122,則n2=121,所以n=ll或n=-ll(含去)。

4.已數(shù),列「an1的項(xiàng)公式an=2n—1,則28=.

【斛折】@8=2X8—l=15o

答案：15

關(guān)鍵能力-素養(yǎng)形成

類型一數(shù)列的概念以及分類

【典例】lo下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

Ao數(shù)列4,7,3,4的首項(xiàng)是4

B.教列［an｝中，若ai=3,則從第2項(xiàng)起,各項(xiàng)均不等于3

C數(shù)列1,2,3,…就是數(shù)列{n?

Do數(shù)列中的項(xiàng)不能是三角形

2o已知下列數(shù)列：

@2011,2012,2013,2014,2015,2016;

臺(tái)123(-l)n1,n

③'3'5''2n-l''

@1,0,一1,…，silly,…；

⑤2,4,8,16,32,…；

⑥-1,---1,---1,-1O

其中，有劣數(shù)列是,無(wú)劣數(shù)列是，遹增數(shù)列是

，遹減數(shù)列是_________，常數(shù)列共_,擺動(dòng)數(shù)列是

(埴序號(hào))。

【思維?引】lo依據(jù)數(shù)列的定義逐項(xiàng)判斷.

2.依據(jù)數(shù)列分類中有關(guān)數(shù)列的定義，逐個(gè)判斷。

【斛析】1.選B。由數(shù)列的相關(guān)概念可知，數(shù)列4,7,3,4的首項(xiàng)

是4,故A正確.

同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)，故B錯(cuò)誤。

按一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，所以數(shù)列1,2,3,…就是數(shù)列

{nJ?，故C正確。

數(shù)列中的項(xiàng)必須是教，不能是其他形式，故D正確。

2.①為有劣數(shù)列且為遹增數(shù)列；②為無(wú)劣數(shù)列、遹減數(shù)列;③為

無(wú)劣教列、擺動(dòng)數(shù)列;④是擺動(dòng)教列，也是無(wú)劣數(shù)列;⑤為遹增教

列，也是無(wú)劣數(shù)列；⑥為有劣數(shù)列,也是常教列。

答案:①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④

【內(nèi)化?悟】

1.與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項(xiàng)的性質(zhì)具有鄴些特

占?

提示：門(mén))確定性：一個(gè)數(shù)是或不是某一教列中的項(xiàng)是確定的，

集合中的元素也具有確定性；

C2J可重復(fù)性：教列中的教可以重復(fù)，而集合中的元素不能重復(fù)

出現(xiàn)(即互異性)；

(3)有序性：一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“教”有關(guān)，而且與

這些數(shù)的挑列順序有關(guān)，而集合中的元素沒(méi)有順序(即無(wú)序性力

(4)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)，而集合中的元素還可以代表除教

字外的其他事物.

2.如何判斷兩個(gè)數(shù)列是相同數(shù)列？

提示:組成數(shù)列的數(shù)相同，且挑列次序也相同的兩個(gè)數(shù)列才是相

同的數(shù)列.

【類題?通】

數(shù)列概念的三個(gè)注意點(diǎn)

(1J數(shù)列｛an1表示數(shù)列ai,a2,as,…，…，不是表示一個(gè)集

合,與集合表示有本質(zhì)的區(qū)別。

(2)從數(shù)列的定義可以看出，如果組成數(shù)列的數(shù)相同而挑列次序

不同，那么它們就是不同的數(shù)列；在定義中，并沒(méi)有規(guī)定數(shù)列中

的教必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)。

(3)數(shù)列中各項(xiàng)的次序揭示了數(shù)列的規(guī)律性，是理斛、加握數(shù)列

的關(guān)鍵.

【習(xí)練?破】

下列數(shù)列中,既是無(wú)劣數(shù)列又是遹增數(shù)列的是()

,IT,2n?3TU?4n

Bosin—,sin—,sin—,sin___???

13131313’

C-1------...

'‘2'3’"

Do1,2,3,4,…，30

【解析】選C.數(shù)列1,I，2PW…是無(wú)劣數(shù)列，但它不是遹增

教列，而是遹減數(shù)列;數(shù)列sin—,sin—,sin—,sin處，…是無(wú)為教

13131313

列，但它既不是遹增數(shù)列，又不是遹減教列；數(shù)列一1,

二,…是無(wú)劣數(shù)列，也是遹增數(shù)列;教列1,2,3,4,…,30是遹增數(shù)列，

4

但不是無(wú)劣數(shù)列。

【加練,固】

下列數(shù)列

⑴1,2,2523,…,263;

(2J0,10,20,30,…,1000;

(3)2,4,6,8,10,…；

(4)一1,1,一,…；

(5)7,7,7,7,…；

其中有劣數(shù)列是，無(wú)劣數(shù)列是，超增數(shù)列是

，的戒數(shù)列是，擺動(dòng)數(shù)列是，常數(shù)列是

O(填序號(hào))

【解析】根據(jù)數(shù)列的概念知有求教列是(1)(2),無(wú)窮數(shù)列是(3)

(4J(5)(6),遹增教列是(1)(2)(3),遹減數(shù)列是(6),攫動(dòng)數(shù)列

是(4J,常數(shù)列是C5JO

答案:⑴⑵(3J(4)(5)(6)fljC2)⑶(6)(4)(5)

類型二觀察法寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式

【典例】1.(2020?徐州嵩一檢測(cè))數(shù)列3,6,11,20,…的一個(gè)通

項(xiàng)公式為()

Aoan=3nB.an=n(n+2J

n

C.an=n+2D.an=2n+1

2.寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：

Cl)p2,衿，…;

(2)1,—3,5,—7,9,…；

(3J9,99,999,9999,…;

⑷22-13^-2々土…

'1'3'5'7，'

(5)—,A—,…；

1X22X33X44X5

(6)4,0,4,0,4,0,….

【思維?引】1.根據(jù)特點(diǎn),觀察、分析，尋找數(shù)列的每一項(xiàng)與其所

在項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)乳歸納出一個(gè)通項(xiàng)公式I即可.

2o首先要熟悉一些常見(jiàn)教列的通項(xiàng)公式，然后對(duì)于復(fù)雜數(shù)列的

通項(xiàng)公式，其項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系不家易發(fā)現(xiàn)，要將數(shù)列各項(xiàng)的

結(jié)構(gòu)形式加以變形,將數(shù)列的各項(xiàng)分解成若干個(gè)常見(jiàn)數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)

的“和”“差”“積一商”后再進(jìn)行歸納。

［解析］1.選Co依題意，ai=3=l+21；a2=6=2+22；

a3=11=3+23;a4=20=4+24;…，

n

所以an=n+2.

2.門(mén))數(shù)列的項(xiàng)有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可先將各項(xiàng)都統(tǒng)一成

分?jǐn)?shù)再觀察：竺，至，…,所以，七的一個(gè)通項(xiàng)公式為2Ln=~~0

222222

(2；數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值分別為1,3,5,7,9,…是連續(xù)的正奇數(shù)，其

通項(xiàng)公式為2n—l;考慮Jl)n+i具有轉(zhuǎn)換符號(hào)的作用，所以教列

的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=C-l)n+1(2n—1；.

⑶各項(xiàng)加1后，分別變?yōu)?0,100,1000,10000,…此數(shù)列的通

n

項(xiàng)公式為105可得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=10-l.

(4J數(shù)列中每一項(xiàng)均由三部分組成，分母是從1開(kāi)始的奇數(shù)列，

其通項(xiàng)公式為2n一1;分子的前一部分是從2開(kāi)始的自然教的平

方，分子的后一部分是減去一個(gè)從1開(kāi)始的自然教，綜合得原教

列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-；D「二九:+“：］。

2n-l2n-l

(5)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒

教，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶教項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an二

1

(——1Jn(n+l)

C6J由于該數(shù)列中，奇教項(xiàng)全部都是4,偶數(shù)項(xiàng)全部都是0,因

4,九為奇數(shù),

此可用分段函數(shù)的形式表示通項(xiàng)公式，即an二

0,n為偶數(shù).

又因?yàn)閿?shù)列可改寫(xiě)為2+2,2—2,2+2,2—2,2+2,2-2,…，因此

n+1

其通項(xiàng)公式又可表示為an=2+2x(—l).

【素養(yǎng)，探】

在與現(xiàn)察法寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式有關(guān)的問(wèn)題中，經(jīng)常利用核心素

養(yǎng)中的近春推理，通過(guò)研究數(shù)列的前幾項(xiàng)與項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)

京，歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式。

將本例2(6)的數(shù)列改為“3,5,3,5,3,5,…”，如何寫(xiě)出其通項(xiàng)

公式I?

【解析】此數(shù)列的奇教項(xiàng)為3,偶數(shù)項(xiàng)為5,故通項(xiàng)公式可寫(xiě)為

an=13S為奇數(shù))，此數(shù)列兩項(xiàng)§與5的平均數(shù)為絲=4,

15(九為偶數(shù)).2

奇數(shù)項(xiàng)為4-1,偶數(shù)項(xiàng)為4+1,

n

故通項(xiàng)公式還可寫(xiě)為an=4+(-l).

【類題?通】

(1)用觀察法求教列通項(xiàng)公式的策略

(2)對(duì)于符號(hào)交警出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對(duì)值，再用C-l)k

處理符號(hào)問(wèn)題。

(3)對(duì)于周期出現(xiàn)的數(shù)列，可考慮拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列和的形式，

或者利用周期的教，如三角函教等。

【習(xí)練?破】

寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：

CU0,3,8,15,24,…；

(2)1-,2-,3-,4-,…；

(3)1,11,111,1111,….

【解析】(1)觀察數(shù)列中的教，可以看到0=1-1,3=4-1,8=9—

1,15=16-1,24=25—1,…，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=i)2-l

(n€NJ.

(2)此數(shù)列的委教部分1,2,3,4,…恰好是序號(hào)n,分?jǐn)?shù)部分與

序號(hào)n的關(guān)系為二故所求的教列的一個(gè)通項(xiàng)公式為

n+1

,nn2+2n廠\

a『十左大⑺z€NJ.

(3)原數(shù)列的各項(xiàng)可變?yōu)楣9：X99,-X999,-X9999,?9

9999

易女口數(shù)列9,99,999,

9999,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=l(r—i,所以原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)

n

公式為an=i(10-l)(n€N+)o

【加練,固】

根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：

(1J3,5,7,9,11,13,…；

/C\246810

I3’15’35’63’99'‘

(3)0,1,0,1,0,1,…；

(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…；

(5)2,—6,12,-20,30,—42,…。

【解析】⑴從3開(kāi)始的奇數(shù)列,an=2n+l.

(2)分子為偶數(shù)，分母為相鄰兩旁數(shù)的積

3n-2n；

(2n-l)(2n+l)

ZQ\-1+(T)*c-71T

(3Jan=----或a=sin——TT；

2n2

(4)將數(shù)列變形為1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,

8+1,…，

1+(1)

所以an=n+~;

(5J將數(shù)列變形為1X2,-2X3,3X4,—4X5,5X6,…，

所以an=(-1)n+1n(n+lJo

類型三教列通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用

【典例】已知數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為@小2。

3n+l

門(mén))求aio.

(2)判斷高是否為該教列中的項(xiàng).若是，它為第幾項(xiàng)？若不是，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)求證：0<an<1。

【思維?引】⑴將n=10代人⑸｝的通項(xiàng)公式即可求aio。

(^2)令an=^,若n為正整數(shù)，則力是｛an｝的項(xiàng)，否則，不是｛an了的項(xiàng)。

(3)分離常數(shù)后可證.

【解析】⑴根據(jù)題意可得aio=|黑|二條

O/\XvIJ.JJL

⑵令“胃，即黑竦，解得n=3,

所以《為數(shù)列fan7中的項(xiàng)，為第3項(xiàng)。

⑶由題知a=—=13

n371+13n+l

因?yàn)閚€N+,所以3n+l〉3,所以0(品<1,

所以0<1——一<1,即0<a<lo

3n+l1n

【類題?通】

1.利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求某項(xiàng)的方法

數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第n項(xiàng)an與它的住置序號(hào)n之間的關(guān)敘

只要用序號(hào)代卷公式中的n,就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)。

2o判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)的方法

先假定它是數(shù)列中的第n項(xiàng)，然后列出關(guān)于n的方程.若方程解

為正整數(shù)則是教列的一項(xiàng)；若方程無(wú)斛或解不是正整教，則不

是該數(shù)列的I項(xiàng).

【習(xí)練?破】

數(shù)列｛a"的通項(xiàng)公式為an=30+n-n2。

(1)-60是否是｛an｝中的一項(xiàng)?

(2)當(dāng)n分別取何值時(shí),an=0,an>0,an<0?

【解析】門(mén))假設(shè)-60是｛an1中的一項(xiàng)，

貝1-60=30+n—n2.

解得n=10或n=—9(舍去)。

所以一60是｛a/的第10項(xiàng).

(2)分另“令30+n-n2=0；30+n—n2>0;

30+n-n2<0,

解得n=6；0<n<6；n>6,

即n=6時(shí),an=0；

當(dāng)0〈n<6且n€N+時(shí)，an>0；

當(dāng)n〉6且n€N+時(shí)，an<0.

【加練?固］

已知數(shù)列Ian｝的通項(xiàng)公式為a=—o

nnz+3n

(1；寫(xiě)出數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng).

(2J試問(wèn)卷是該數(shù)列的項(xiàng)嗎？若是，是第幾項(xiàng)？若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【斛折】(1)因?yàn)閍n=91,

nz+3n

所以沏=4―@6=4~—o

42+3X4762+3X627

(2)令^—=—,貝］n2+3n—40=0,

解得n=5或n=-8,注意到n€N+,

故將n=-8舍去,所以專是該數(shù)列的第5項(xiàng).

課堂檢測(cè)，素素達(dá)標(biāo)

lo有下列命題：

①數(shù)列三，三,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=，-；

3456n+1

②教列的圖象是一群孤立的點(diǎn)；

③數(shù)列1,-1,L-1,…與數(shù)列-1,1,-1,1,…是同一教列;

④數(shù)列工，…，工是遹增數(shù)列