構建力學知識體系構建力學知識體系——淺談高一力學復習談起高中物理，不管是在讀學生，還是從高中時代過來的成人們，普遍反映：物理難學，高一的力學尤其難學。翻開高一課本，新的概念、規律接踵而至。剛開始幾個如力、位移、速度是比較直觀的概念，加速度稍難理解點，但物體速度可以變化是事實，這個描述速度變化快慢的加速度還是可以接受的，所以運動學公式、牛頓第二定律相對來講還是比較容易接受和掌握的，這個階段學生感覺困難的是把物體所受的全部力不多不少正確無誤地分析出來。接著是曲線運動、圓周運動知識，由直線運動到曲線運動，這個彎轉得比較大，其中向心力、向心加速度這些概念尤其難以理解，學生極易有向心力是物體做圓周運動時專門受到的、大小為mrω2的特殊類型的力的錯覺，而與物體實際的受力相脫離，所以有的學生在遇到求某個具體的什么力時，動不動就將算出來的向心力當作這個力，實在是他們弄不清向心力和這些具體受力間的關系，究其實質還是他們沒深刻理解牛頓第二定律。此后迎來的是一系列深藏在表象里面的、極其抽象的概念和規律，如沖量、動量、動量定理、動量守恒定律、功、功率、動能定理、勢能、機械能、機械能守恒定律等等。這些經數代科學家在經過不斷地觀察、實驗、思考、邏輯推理、爭論、去偽存真、抽象、概括的高度濃縮的更本質的智慧結晶，對學生而言就象壓縮餅干一樣難于咀嚼。有的學生在學習時認為這無非是把公式變來變去，在玩數學游戲，是物理學家們好事；而有的則感嘆這些規律真偉大、真奇妙，但遇到問題時卻一如既往地以牛頓定律為武器，他們怕這些規律，懷疑自己有駕馭的能力；多數同學已迎難而上了，然而上新課時，所做的練習是經專門挑選的，用來操練新規律的，所以學生往往不必去細究更多，有時依樣畫個葫蘆，有時套套公式，也能應付過來。經過一個階段的集中訓練，公式是熟悉多了，然而這時如果問起這些規律是怎么來的，與以前的內容間有何聯系，如何根據具體問題來選擇規律時，能回答一、二的學生卻不多。當然上新課時，經精心設計，以舊引新，這些規律的來龍去脈都講過，平時訓練有時也彼此作比較，但學生在面對這些本身極其抽象，自己又沒在其中“摸爬滾打”過的知識、經驗時，印象往往是不深刻的。這樣，一章一章學下來，學到后來，在學生腦海中的物理只是一塊塊的、獨立的、隔章如隔山的、不成體系的、零亂的知識堆砌。那么這些規律間到底是什么關系呢？是互相獨立的，互不相干的？還是相互間有聯系的，但又是獨立的？還是完全一樣，可以互相取代的？只有弄清了相互間的關系，才能進行融會貫通、綜合分析、靈活應用。那么教師怎樣才能在有限幾節復習課上讓學生明白得盡可能多點，而達到良好的復習效果呢？在學生方面，經過近一年的學習，學生已有了一定的認識和理解，有了自己的體會，有些學生學得還真不錯了，這時的他們已有了進一步理解的基礎，同時他們自身也有了欲從高處俯瞰力學“迷宮”，想更進一步深入的要求，可以說在這時候進行一次較全面的分析，共同構建力學知識體系的時機成熟了。于是我想通過一個簡單的、常見的情景題，讓這些規律一個牽著一個地走出來，一溜齊全地站在學生面前，給學生以強烈的視覺和思想沖擊，這些在學生印象中該在不同階段出現，應用于不同題目的規律，聚在一起，向學生展示各自的風采。[題1]如圖（1），一質量為m的小球在人所施加的豎直向上的恒定拉力F作用下勻加速上升，加速度為a，空氣阻力不能忽略，設為恒力Ff，在t時間內，小球速度由V變為Vˊ，上升高度為h，那么這些物理量間的相互關系怎樣？對小球，據牛頓第二定律（F合=ma，力的瞬時作用效應），有F－mg－Ff=ma，①據運動學公式，有Vˊ－V=at，②Vˊ2－V2=2ah，③討論：若a=0，則小球有F－mg－Ff=0，即處于力平衡狀態，Vˊ=V，而F合=0，是物體的平衡條件。將①②聯立，消去a得（F－mg－Ff）t=mVˊ－mV，④此式表明小球所受合外力的沖量等于小球在此過程中的動量的變化，這就是動量定理，是反映力對時間的積累效應。將①③聯立，得（F－mg－Ff）h=mVˊ2－mV2，⑤此式表明小球所受合外力的功（或各外力的功的和）等于小球在此過程中動能的變化，這就是動能定理，是反映力對空間的積累效應。又WG=－mgh=－ΔEp⑥或ΔEp=mgh，⑥ˊ重力對物體做多少功，物體的重力勢能（嚴格講重力勢能是物體與地球組成的系統所共有的，其存在以兩者間的引力作用為前提，故重力對物體的功的實質是物體受到的重力和地球所受反作用力的功的和，其值取決于重力和兩者的相對距離的改變，故我們常以其中之一的地球為參考分析h，求得重力功。）減少多少；物體克服重力做多少功，物體的重力勢能增加多少。重力功等于重力勢能增量的負值。凡跟重力做功具有相同特點的力，即其功與物體運動路徑無關，只與初、未位置有關，都以下的比較便說明問題了。動量是矢量，有大小、方向，合成時遵循平行四邊形定則；動能是標量，只有大小而沒有方向。動量所反映的是只有物體間互相傳遞、轉移的機械運動量，這一規律由動量守恒定律所表述；動能則反映的是可以轉化為內能、電能、光能等其它形式運動量的機械運動量，這一特點由能量守恒定律所反映。動量的變化（傳遞、轉移）是通過沖量而實現而量度；動能的變化（傳遞或轉化）是通過做功而達到而量度。所以動量和動能是反映機械運動不同側面的、客觀存在的機械運動量。當兩個物體發生非彈性碰撞時，其動量是守恒的，而動能是不守恒的。所以力和運動觀點、動量觀點、功能觀點是動力學問題在不同視角下的體現。上題我們進行了全面的剖析、全方位地把問題的不同側面都展現出來，讓我們全面地、透徹地感受了該運動過程。既然觀察問題的角度有多個，所以一般問題的解法往往也有多種，我們從不同觀點出發，可以得到同樣的結果。[題2]如圖（2）甲所示，質量為m的物體（可視為質點）以水平初速V0滑上原來靜止在光滑水平面上的質量為M的小車上，物體與小車上表面的動摩擦因數為μ，小車足夠長，求從物體滑上小車到與小車相對靜止這段時間內，小車通過的位移。分析：對m、M進行受力分析如圖（2）乙所示，各力的大小為：因m豎直方向力平衡，有FN1=mg；而滑動摩擦力Ff=μFN=μmg；又由牛頓第三定律得Ffˊ=Ff=μmg，兩力方向相反。[解一]力和運動觀點以向右為正方向，對m據牛頓第二定律有－μmg=mam，（1'）對M據牛頓第二定律有μmg=MaM，（2'）m、M相對靜止時有V0+amt=aMt，（3'）而SM=aMt2，（4'）由（1'）（2'）（3'）（4'）解得SM=。[解二]動量觀點以向右為正方向，對m據動量定理得－μmgt=mV共－mV0，（1''）對M據動量定理得μmgt=MV共－0，（2''）而SM=t，（3''）或因m、M系統水平方向不受外力，所以水平方向動量守恒，有mV0=（M+m）V共，（4''）（此式實際由牛頓第三定律和m、M各自的動量定理公式即（1''）、（2''）推導而得。）由（1''）（2''）（3''）或（1''）（3''）（4''）或（2''）（3''）（4''）均可解得SM。[解三]功能觀點對m據動能定理得－μmgSm=mV共2－mV02，（1'''）對M據動能定理得μmgSM=MV共2－0，（2'''）SM=t，（3'''）Sm=t，（4'''）由（1'''）（2'''）（3'''）（4'''）解得SM。由此可見，針對一個力學問題，我們從不同角度切入，用不同規律求解都能得到同樣的結果。那么就以上問題，有沒有更便捷的方法呢？如何選擇？由于該題是涉及到兩個相互作用的物體，所以選擇關于系統的規律往往較對每個物體單獨分析列式更直接、更簡單。另外，已知量、所求量分別是什么，哪些規律是反映這些物理量間的關系，而不涉及其它或在不得不涉及其它未知量時涉及得較少。如果能做到綜合各觀點，有選擇地去應用規律，則可以少繞彎子，少走冤枉路。上題如下列式便特別簡單。[解四]綜合mV0=（M+m）V共，（1）μmgSM=MV共2－0，（2）由（1）（2）解得SM。若求m、M間的相對位移S相對，將動量守恒（上（1）式）和能量守恒mV02－（M+m）V共2=μmgS相對聯立便得。由于題2兩物體所受的力均是恒力（或分段后各段中是恒力），所以在用不同觀點求解的具體過程中沒有障礙。若題目稍微改動一下，比如在此運動過程中物體m還受到一個外界施給的豎直向下、大小不斷變化且已知其變化規律的力，其余不變。則m、M間的彈力是變力，滑動摩擦力是變力，此時牛頓第二定律依然成立，加速度隨摩擦力變化而變化，其變化規律可求出，m、M都做變加速直線運動，所以解一中的（3'）（4'）式、解二中的（3''）式、解三中的（3'''）（4'''）式都不成立（它們只對勻變速直線運動成立），而實際的速度、位移規律往往因中學數學知識的局限無法求出，只有當加速度與時間成線性關系，即at=a0+kt，a0、k已知時，我們用與課本求勻變速直線運動位移類似的方法求速度，因a隨時間均勻變化，=，ΔV=，或畫a—t圖象，用無限分割逐漸逼近的方法（高等數學的基本思想之一）得ΔV即圖線與橫軸t所包“面積”，從而求得速度（凡這種一個量是另一量的線性函數，由它們的乘積所決定的量均可如此求出），但位移依然無法求出。所以用力和運動觀點無法求出SM。這時m、M的動量定理可表達為－Fft=mV共－mV0、Fft=MV共，其中Ff應是摩擦力對時間t的平均值。動量依然守恒，方程如（1）式不變，但單純用動量觀點無法求出SM。動能定理方程表達為Wfm=mV共2－mV02、WfM=MV共2，若摩擦力的功要表達為FfS，則Ff應是摩擦力對相應S的平均值，此時兩物的摩擦力的平均值往往并不相等。單純用功能觀點也無法求出SM。那么走結合的道路，象前述解四那樣，但小車所受摩擦力的功如何用SM表達出，若摩擦力與M的位移成線性關系，即Ff=F0+SM，而F0、已知，則利用Ff—SM圖象得功為F0SM+SM2，再結合動量觀點，則能解出SM，若摩擦力變化著但不具有上述特點，那受數學限制就無能為力了。需要明確的是，此時這些描述運動不同側面的規律依然客觀存在著，只是在具體求解時由于數學原因而不得不放棄某些規律。實際我們遇到的問題是如此紛繁復雜，有單個物體，有涉及相互作用著的多個物體；有的物體所受外力是恒定的，有的物體所受外力是在不斷變化（或大小變或方向變或大小、方向都變）著的；有的物體做直線運動，有的則做曲線運動；有的求速度，有的求力，有的求能量等等；有的速度是對地的，有的則是相對運動著的物體（其速度還可能在變化）而言的。我們知道速度、位移、加速度等運動量會隨參考系的不同而不同，那么規律中出現的運動量該以誰為參考呢？如果我們能充分領悟以下幾點，那么中學階段遇到的動力問題都能迎刃而解了。當然這些是應中學階段要求的、淺層次的、對學生較實用的規則經驗。一、各觀點并非孤立，而有密切的內在聯系，它們客觀存在著，從不同角度描述動力問題，互相加強、互相補充。解題時注意結合使用。有了這樣的認識，你就有足夠的信心去面對各種各樣的力學問題，就能防止只知道用某一觀點、某一規律解決問題而死鉆牛角尖，當遭遇此路不通時，應及時更換其它規律來解決，總可以“柳暗花明又一村”。二、無論選什么定理（律）解題，關鍵是確定研究對象，進行受力分析。牛頓第二定律、動量定理、動能定理中的力均指物體所受的合外力。動量守恒定律、機械能守恒定律都有成立條件，判斷守恒與否同樣要進行受力分析。應用功能原理時也得受力分析，得出系統所受外力和內力中除重力、彈簧彈力以外的力的功。即使用能量守恒時，也不妨借助受力特點分析出所有參與轉化的能量。三、涉及單體，用牛頓第二定律、動量定理、動能定理分析。涉及加速度a，一般用牛頓第二定律求解；涉及時間t，而不涉及a、S，一般用動量定理求解；涉及位移S，而不涉及a、t，一般用動能定理求解。涉及多體，一般選用關于系統的規律，如動量守恒定律、機械能守恒定律，能量守恒定律等求解往往較簡單。這些建立廣泛的物體間運動量聯系的規律，反映問題往往更直接。四、恒力問題，一般三種觀點均可解之；變力問題，一般選動量、功能觀點求解。應用這些規律時，都得先明確過程始末。用動量定理時，僅需研究過程始末動量變化和平均力的沖量。對于系統，只要符合所受外力之和為零或內力遠大于外力的條件，內力作用不管是什么形式：碰撞、分裂、爆炸、化學反應等，大小不管如何變化，動量守恒或近似守恒，從而僅需研究系統在過程始末的總動量即可。用動能定理時，僅需研究過程始末動能變化和各力功的情況，由于功的計算特點，有不少變力功我們能直接求出，如力與運動方向時時垂直，功為零；力大小恒定，與運動方向總同向或反向，功為FS或-FS（S為路程）；如F與S成線性關系，能求出功；如力的功率P恒定，功為Pt；如P與t成線性關系，功亦能求出；等等。功能原理與動能定理并無本質區別，區別僅在于功能原理中引入了重力勢能而無需