河南省信陽市楊集鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)使得對任意實(shí)數(shù)恒成立，則的值等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C解：令c=π，則對任意的x∈R，都有f（x）+f（x-c）=2，于是取a=b=，c=π，則對任意的x∈R，f（x）+f（x-c）=1，由此得=-1，選C2.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A

(0,)、(0,)

B

(0,-1)、(0,1)

C

(-1,0)、(1,0)

D

(,0)、(,0)參考答案：A略3.設(shè)集合，則等于

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A4.已知命題p：|x－1|≥2，q：x∈z．若“p且q”與“非q”同時(shí)為假命題，則滿足條件的x為（

）

A．{x|x≥3或x≤－1，xz}

B．{x|－1≤x≤3，xz}

C．{－1，0，1，2，3}

D．{0，1，2}參考答案：D5.某展室有9個(gè)展臺(tái)，現(xiàn)有3件展品需要展出，要求每件展品獨(dú)自占用1個(gè)展臺(tái)，3件展品所選用的展臺(tái)既不在兩端又不相鄰，且3件展品所選用的展臺(tái)之間間隔不超過2個(gè)展臺(tái)，則不同的展出方法種數(shù)為（

）A.60

B.54

C.48

D.42參考答案：D6.若x∈A則∈A，就稱A是伙伴關(guān)系集合，集合M={－1，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合的個(gè)數(shù)為A．15

B．16

C．28

D．25參考答案：A7.已知命題，都有，命題，使得成立，則下列命題是真命題的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C試題分析：對數(shù)函數(shù)定義域大于零，所以為假命題.顯然是真命題，故為真命題.考點(diǎn)：含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性.8.已知函數(shù)，則下面結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．C．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱D．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)參考答案：D試題分析：由題意得，根據(jù)給定的圖象可得，所以，所以，即，令，則，解得，所以函數(shù)的解析式為，當(dāng)時(shí)，則，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故選D.考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).9.函數(shù)在區(qū)間上的最小值是

（

）

A．

B．1 C．

D．參考答案：B10.已知函數(shù)，，則的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．2

B.3

C.4

D5參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）的虛部為

參考答案：略12.一個(gè)均勻小正方體的六個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)以數(shù)0，兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù)1,一個(gè)面上標(biāo)以數(shù)2，將這個(gè)小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是

參考答案：13.已知函數(shù)f(x)＝2ax2－bx＋1，若a是從區(qū)間[0,2]上任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]上任取的一個(gè)數(shù)，則此函數(shù)在[1，＋∞)遞增的概率為________．參考答案：略14.已知函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則的值為

.參考答案：因?yàn)榈膱D像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則與互為反函數(shù)。所以由得，解得，所以。15.我校計(jì)劃招聘男教師名,女教師名,和須滿足約束條件則我校招聘的教師人數(shù)最多是

名.參考答案：16.正方體的棱長為，若動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是______________.參考答案：17.的最小正周期是＿＿＿＿。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分14分)如圖，橢圓長軸端點(diǎn)為,為橢圓中心，為橢圓的右焦點(diǎn),且，.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)記橢圓的上頂點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)，問：是否存在直線，使點(diǎn)恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請說明理由.參考答案：（1）設(shè)橢圓方程為，由題意又∵即∴

故橢圓方程為

…………4分（2）假設(shè)存在直線交橢圓于兩點(diǎn)，且恰為的垂心，則設(shè)，∵，故

……………6分于是設(shè)直線為，由得

…………8分∵又得

即

由韋達(dá)定理得解得或（舍）

經(jīng)檢驗(yàn)符合條件則直線的方程為:………14分19.設(shè)函數(shù)f（x）=1﹣e﹣x，函數(shù)g（x）=（其中a∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)h（x）=f′（x）?g（x）的極值；（2）若f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

參考答案：解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=1﹣e﹣x，∴f′（x）=﹣e﹣x?（﹣1）=e﹣x，函數(shù)h（x）=f′（x）?g（x）=xe﹣x，∴h′（x）=（1﹣x）?e﹣x，當(dāng)x＜1時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0，故該函數(shù)在（﹣∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．∴函數(shù)h（x）在x=1處取得極大值h（1）=．（Ⅱ）由題1﹣e﹣x≤在[0，+∞）上恒成立，∵x≥0，1﹣e﹣x∈[0，1），∴≥0，若x=0，則a∈R，若x＞0，則a＞﹣恒成立，則a≥0．不等式1﹣e﹣x≤恒成立等價(jià)于（ax+1）（1﹣e﹣x）﹣x≤0在[0，+∞）上恒成立，令μ（x）=（ax+1）（1﹣e﹣x），則μ′（x）=a（1﹣e﹣x）+（ax+1）e﹣x﹣1，又令v（x）=a（1﹣e﹣x）+（ax+1）e﹣x﹣1，則v′（x）=e﹣x（2a﹣ax﹣1），∵x≥0，a≥0．①當(dāng)a=0時(shí)，v′（x）=﹣e﹣x＜0，則v（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，∴μ（x）在[0，+∞）上單減，∴μ（x）≤μ（0）=0，即f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；（7分）②當(dāng)a≥0時(shí)，v′（x）=﹣a?e﹣x（x﹣）．ⅰ）若2a﹣1≤0，即0＜a≤時(shí)，v′（x）≤0，則v（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，∴μ（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，∴μ（x）≤μ（0）=0，此時(shí)f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；ⅱ）若2a﹣1＞0，即a＞時(shí)，若0＜x＜時(shí)，v′（x）＞0，則v（x）在（0，）上單調(diào)遞增，∴v（x）=μ′（x）＞v（0）=0，∴μ（x）在（0，）上也單調(diào)遞增，∴μ（x）＞μ（0）=0，即f（x）＞g（x），不滿足條件．綜上，不等式f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，]．

略20.（12分）已知函數(shù)f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝6lnx＋m，是否存在實(shí)數(shù)m，使得y＝f(x)的圖像與y＝g(x)的圖像有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．參考答案：[解]函數(shù)y＝f(x)的圖像與y＝g(x)的圖像有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)h(x)＝g(x)－f(x)有且只有三個(gè)零點(diǎn)．∵h(yuǎn)(x)＝x2－8x＋6lnx＋m，定義域?yàn)?0，＋∞)，∴h′(x)＝2x＋－8，令h′(x)＝0，得x＝1或x＝3.

x，h′(x)，h(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1,3)3(3，＋∞)h′(x)＋0－0＋h(x)↗極大值↘極小值↗如圖，要使h(x)有且只有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)∴7<m<15－6ln3.

因此存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖像有且僅有三個(gè)不同的交點(diǎn)，m的取值范圍是(7,15－6ln3)．略21.（本小題滿分14分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，其中（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：參考答案：（1）；（2）見解析【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列遞推式．D1D4解析：（1）令，得，即，由已知，得………1分把式子中的用替代，得到由可得即，即即得：，……4分所以：即………………6分又，所以又，……………7分（2）,……11分【思路點(diǎn)撥】（1）求出數(shù)列的首項(xiàng)，通過，得到數(shù)列的遞推關(guān)系式，利用累加法求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）化簡bn=+，為，然后求解數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，即可證明：Tn＜2n+．22.某人經(jīng)營一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲，顧客花費(fèi)3元錢可購買一次游戲機(jī)會(huì)，每次游戲中，顧客從標(biāo)有黑1、黑2、黑3、黑4、紅1、紅3的6張卡片中隨機(jī)抽取2張，并根據(jù)摸出的卡片的情況進(jìn)行兌獎(jiǎng)，經(jīng)營者將顧客抽到的卡片情況分成以下類別：A：同花順，即卡片顏色相同且號(hào)碼相鄰；B：同花，即卡片顏色相同，但號(hào)碼不相鄰；C：順子，即卡片號(hào)碼相鄰，但顏色不同；D：對子，即兩張卡片號(hào)碼相同；E：其他，即A，B，C，D以外的所有可能情況．若經(jīng)營者打算將以上五種類別中最不容易發(fā)生的一種類別對應(yīng)顧客中一等獎(jiǎng)，最容易發(fā)生的一種類別對應(yīng)顧客中二等獎(jiǎng)，其他類別對應(yīng)顧客中三等獎(jiǎng)．（1）一、二等獎(jiǎng)分別對應(yīng)哪一種類別？（寫出字母即可）（2）若經(jīng)營者規(guī)定：中一、二、三等獎(jiǎng)，分別可獲得價(jià)值9元、3元、1元的獎(jiǎng)品，假設(shè)某天參與游戲的顧客為300人次，試估計(jì)經(jīng)營者這一天的盈利．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【分析】（1）分別用A1，A2，A3，A4，B1，B3表求標(biāo)有黑1、黑2，黑3，紅苕，紅3的卡片，從6張卡片中任取2張，共有15種取法，分別求出A類別、B類別、C類別、D類別、E類別的概率，由此能求出一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)對應(yīng)的類別．（2）顧客獲一、二、三等獎(jiǎng)的人數(shù)分別為40，80，180，由此能估計(jì)經(jīng)營者這一天的盈利．【解答】解：（1）分別用A1，A2，A3，A4，B1，B3表求標(biāo)有黑1、黑2，黑3，紅苕，紅3的卡片，從6張卡片中任取2張，共有15種取法，共中A類別包括A1A2，A2A3，A2A4，即P（A）=；B類別包括A1A3，A1A