河北省保定市博野中學高三數學文下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(其中A>0,)的部分圖象如圖所示,為了得到的圖象,則只要將的圖象（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度參考答案：A略2.下圖給出的是計算的值的一個程序框圖，其中判斷框內應填入的條件是（

） A． B．

C． D．參考答案：C略3.函數的定義域為（

）A．[0,1)

B．(－∞,0]

C.(1,+∞)

D．[0,+∞)參考答案：D4.已知函數既是二次函數又是冪函數，函數是上的奇函數，函數，則（

）A．0

B．2018

C.4036

D．4037參考答案：D因為函數f(x)既是二次函數又是冪函數，所以，因此，因此選D.5.設正項等比數列中，，則A．12

B．10

C．8

D．參考答案：B6.下列函數中既是奇函數，又在區間（）上單調遞減的函數是A. B.C. D.參考答案：C略7.在等比數列{an}中，若，則(

)A. B. C.2 D.4參考答案：D【分析】由等比數列性質得q,即可求解【詳解】，則故選：D【點睛】本題考查等比數列的運算及基本性質，熟記公式是關鍵，是基礎題8.設命題p：x<－1或x>1；命題q：x<－2或x>1，則?p是?q的

(

)A、充分不必要條件

B、必要不充分條件

C、充要條件

D、既不充分也不必要條件參考答案：答案：A9.已知集合，，則集合（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B10.已知是定義在上的奇函數，且當時不等式f(x)+xf1(x)＞0成立，若，則大小關系是()

A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.給出下列命題，其中正確的命題是（把所有正確的命題的選項都填上）．①函數y=f（x﹣2）和y=f（2﹣x）的圖象關于直線x=2對稱．②在R上連續的函數f（x）若是增函數，則對任意x0∈R均有f′（x0）＞0成立．③底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐．④若P為雙曲線x2﹣=1上一點，F1、F2為雙曲線的左右焦點，且|PF2|=4，則|PF1|=2或6⑤已知函數y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）為偶函數，其圖象與直線y=2的交點的橫坐標為x1，x2，若|x1﹣x2|的最小值為π，則ω的值為2，θ的值為．參考答案：①⑤【考點】命題的真假判斷與應用．【專題】閱讀型．【分析】對于①，令x﹣2=t，則2﹣x=﹣t，由y=f（t）和y=f（﹣t）的對稱性，從而得到函數y=f（x﹣2）和y=f（2﹣x）的圖象的對稱；對于②，可舉反例，函數y=x3，即可判斷；對于③，考慮側面的一側棱和底面的一底邊相等，即可判斷；對于④，討論P的位置在左支上，還是在右支上，結合雙曲線上的點到焦點距離的最小值，判斷出P為右支上一點，再由雙曲線的定義，即可求出|PF1|；對于⑤，由函數為偶函數，應用誘導公式得，θ=，再根據其圖象與直線y=2的交點，求出ωx=2kπ，再根據|x1﹣x2|的最小值為π，取k=0，k=1，求出ω．【解答】解：對于①，令x﹣2=t，則2﹣x=﹣t，則y=f（t）和y=f（﹣t）關于直線t=0對稱，即關于直線x=2對稱，故①正確；對于②，在R上連續的函數f（x），若是增函數，則對任意x0∈R均有f′（x0）≥0成立，比如f（x）=x3，f′（x）≥0，故②錯；對于③，側面為等腰三角形，不一定就是側棱為兩腰，故③錯；對于④，若P為雙曲線x2﹣=1上一點，F1、F2為雙曲線的左、右焦點，且|PF2|=4，若P在左支上，則|PF2|的最小值為＞4，故P在右支上，|PF1|﹣|PF2|=2，故|PF1|=6，故④錯；對于⑤，函數y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）為偶函數，則由誘導公式得，θ=時，y=2sin（）=2cos（ωx）為偶函數，又其圖象與直線y=2的交點的橫坐標為x1，x2，即cos（ωx）=1，ωx=2kπ，x=，若|x1﹣x2|的最小值為π則可取k=0，1，即有，ω=2，故⑤正確．故答案為：①⑤．【點評】本題以命題的真假為載體，考查兩函數圖象的對稱和導數與單調性的關系，以及雙曲線的定義及應用，三角函數的圖象與性質，屬于基礎題．12.如圖，四面體ABCD的一條棱長為x，其余棱長均為1，記四面體ABCD的體積為，則函數的單調增區間是____；最大值為____.參考答案：(或寫成)試題分析：設，取中點則,因此,所以，因為在單調遞增，最大值為所以單調增區間是，最大值為考點：函數最值，函數單調區間13.已知首項都是1的數列滿足（I）令，求數列的通項公式；（II）若數列為各項均為正數的等比數列，且，求數列的前項和.

參考答案：（Ⅰ）cn=3n-2（II）Sn=8-（6n+8）×()n．（Ⅰ）由題意得an+1bn=an?bn+1+3bn?bn+1，

兩邊同時除以bnbn+1，得又cn=，∴cn+1-cn=3，又c1==1，

∴數列{cn}是首項為1，公差為3的等差數列，∴cn=1+3（n-1）=3n-2，n∈N*．

（Ⅱ）設數列{bn}的公比為q，q＞0，∵b32=4b2?b6，∴b12q4=4b12?q6，

整理，得q2=，∴q=，又b1=1，∴bn=()n-1，n∈N*，an=cnbn=(3n-2)×()n-1，

∴Sn=1×()0+4×()+7×()2+…+(3n-2)×()n-1，①

∴Sn=1×+4×()2+7×()3+…+(3n-2)×()n，②

①-②，得：Sn=1+3×+3×()2+…+3×()n-1-（3n-2）×()n

=1+3[+()2+…+()n-1]-（3n-2）×()n=1+3[1-()n-1]-(3n-2)×()n

=4-（6+3n-2）×()n=4-（3n+4）×（）n，∴Sn=8-（6n+8）×()n．【思路點撥】（Ⅰ）由題意得an+1bn=an?bn+1+3bn?bn+1，從而，由此推導出數列{cn}是首項為1，公差為3的等差數列，進而求出cn=1+3（n-1）=3n-2，n∈N*．

（Ⅱ）設數列{bn}的公比為q，q＞0，由已知得bn=()n-1，n∈N*，從而an=cnbn=(3n-2)×()n-1，由此利用錯位相減法能求出數列{an}的前n項和Sn．

略14.已知函數，將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍（縱坐不變），得到函數的圖象，則關于有下列命題:①函數是奇函數；

②函數不是周期函數；③函數的圖像關于點(π，0)中心對稱；④函數的最大值為.

其中真命題為____________參考答案：③15.如圖，A，B，C是⊙O上的三點，BE切⊙O于點B，D是與⊙O的交點.若，則______；若，，則

.參考答案：；3略16.已知函數f（x）=1﹣ax﹣x2，若對于?x∈[a，a+1]，都有f（x）＞0成立，則實數a的取值范圍是．參考答案：考點： 二次函數在閉區間上的最值．專題： 函數的性質及應用．分析： 根據二次函數的性質結合函數的圖象得到不等式組，解出即可．解答： 解：令f（x）=1﹣ax﹣x2=0，∴x1=，x2=，若f（x）＞0成立，∴，解得：﹣＜a＜﹣．故答案為：（﹣，﹣）．點評： 本題考查了二次函數的性質，函數的最值問題，是一道中檔題．17.若函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數，A>0，ω>0)的部分圖象如圖所示，則f(0)＝________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(12分)已知各項均為正數的數列{}的前n項和滿足，且（1）求{}的通項公式；（2）設數列{}滿足，并記為{}的前n項和，求證：.

參考答案：解析：（I）由，解得或，由假設，因此，又由，得，即或，因，故不成立，舍去．因此，從而是公差為，首項為的等差數列，故的通項為．（II）證法一：由可解得；從而．因此．令，則．因，故．特別地，從而．即．證法二：同證法一求得及，由二項式定理知，當時，不等式成立．由此不等式有．證法三：同證法一求得及．令，．因．因此．從而．證法四：同證法一求得及．下面用數學歸納法證明：．當時，，，因此，結論成立．假設結論當時成立，即．則當時，因．故．從而．這就是說，當時結論也成立．綜上對任何成立．19.設M是焦距為2的橢圓E：+=1（a＞b＞0）上一點，A、B是橢圓E的左、右頂點，直線MA與MB的斜率分別為k1，k2，且k1k2=﹣．（1）求橢圓E的方程；（2）已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）上點N（x0，y0）處切線方程為+=1，若P是直線x=2上任意一點，從P向橢圓E作切線，切點分別為C、D，求證直線CD恒過定點，并求出該定點坐標．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【專題】直線與圓；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】（1）設A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），代入橢圓方程，運用直線的斜率公式，化簡整理，注意整體代入，解方程即可求得a，b，進而得到橢圓方程；（2）設點P（2，t），切點C（x1，y1），D（x2，y2），運用橢圓上一點的切線方程，再代入P點，可得直線CD的方程，再令y=0，即可得到定點．【解答】（1）解：設A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），則+=1，即n2=b2?，由k1k2=﹣，即?=﹣，即有=﹣，即為a2=2b2，又c2=a2﹣b2=1，解得a2=2，b2=1．即有橢圓E的方程為+y2=1；（2）證明：設點P（2，t），切點C（x1，y1），D（x2，y2），則兩切線方程PC，PD分別為：+y1y=1，+y2y=1，由于P點在切線PC，PD上，故P（2，t）滿足+y1y=1，+y2y=1，得：x1+y1t=1，x2+y2t=1，故C（x1，y1），D（x2，y2）均滿足方程x+ty=1，即x+ty=1為CD的直線方程．令y=0，則x=1，故CD過定點（1，0）．【點評】本題主要考查橢圓的簡單性質、直線與橢圓的位置關系，導數的幾何意義等基本知識，考查運算能力和綜合解題能力．解題時要注意運算能力的培養．20.（本大題滿分14分）設函數．（1）當時，求的最大值；（2）令，以其圖象上任意一點為切點的切線的斜率恒成立，求實數的取值范圍；（3）當，時，方程有唯一實數解，求正數的值．參考答案：（1）依題意，知的定義域為.

當時，，.

令，解得.當時，，此時單調遞增；當時，，此時單調遞減.所以的極大值為，此即為最大值.……3分（2），所以，在上恒成立，所以，當時，取得最大值．所以……6分（3）因為方程有唯一實數解，所以有唯一實數解．設，則.令，得．因為，所以（舍去），，……8分當時，，在單調遞減，當時，，在單調遞增．當時，，取最小值.因為有唯一解，所以．則，即……10分所以，因為，所以．設函數，因為當時，是增函數，所以至多有一解．因為，所以方程的解為，即，解得……14分

21.（本小題滿分14分）已知函數=，其中a≠0．

（1）若對一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合．（2）在函數的圖像上取定兩點，，記直線AB的斜率為K，問：是否存在x0∈（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．參考答案：（Ⅰ）若，則對一切，，這與題設矛盾，又，故．而令當時，單調遞減；當時，單調遞增，故當時，取最小值于是對一切恒成立，當且僅當．①令則當時，單調遞增；當時，單調遞減．故當時，取最大值．因此，當且僅當即時，①式成立．綜上所述，的取值集合為．（Ⅱ）由題意知，令則令，則．當時，單調遞減；當時，單調遞增．故當，即從而，又所以因為函數在區間上的圖像是連續不斷的一條曲線，所以存在使單調遞增，故這樣的是唯一的，且．故當且僅當時，．綜上所述，存在使成立．且的取值范圍為．22.（本小題滿分12分）已知函數．（1）當時，求函數的單調遞減區間；（2）當時，設函數．若函數在區間上有兩個零點，求實數的取值范圍．參考答案：（1）當時，的單調遞減區間為，當時，的單調遞減區間為，當時，的單調遞減區間為；（2）.

②當時，恒有，∴